2-1 静电场中的导体

1 Q 1 q V 4π 0 R 4π 0 r
Q R q r
可见大球所带电荷量Q比小球所带电量q多。 两球的电荷密度分别为
R
Q 4πR 2
,
r
q 4πr 2
对孤立导体可见电荷面密度和半 径成反比，即曲率半径愈小（或 曲率愈大），电荷面密度愈大。
尖端放电现象 在导体的尖端附近,由于场强很大,当达到一定量值时, 空气中原留有的离子在这个电场作用下将发生激烈的 运动,并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大 量的离子,其中和导体上电荷异号的离子,被吸收到尖 端上,与导体上的电荷相中和,而和导体上电荷同性的 离子,则被排斥而离开尖端,作加速运动，这使得空气 被“击穿”而产生的放电现象称为尖端放电现象。 + + + + + +
2 3
(Q Q ) 2S
1 2 3 4
S
E
Q
Q'
上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面上面 电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面上面电 荷密度大小相等、符号相同。如果 Q = Q ，可以求出：
1 4 0 , 2 3
金属针上的电荷形成的“电风 ”会将蜡烛的火焰吹向一边， 这就是尖端放电现象。
ΔS EΔS 0
E 0
三、空腔导体
1.内表面上不存在净电荷，所有净 电荷都只分布在外表面。
可能有两种情形，第一种情形是等 量异号电荷宏观上相分离，并处于内 表面的不同位置上，与静电平衡条件 相矛盾。因此只能是第二种情形，即 内表面上处处电量为零。
1
2d2
d1
5.0 106 C m2
qB 1.0 10 C
U A 2.3 103V
28
7
qC 2.0 107 C
例5 有一外半径R1，内半径为R2的金属球壳。在球壳 中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有10-8C的正 电荷。问：（1）两球电荷分布；（2）球心的电势； （3）球壳电势。 解： （1）电荷+q分布在内球表面。 球壳内表面带电荷 -q。
静电感应过程 导体达到静电平衡
E0
E外 E感 0
2.导体的静电平衡 静电平衡： 导体内部及表面均无电荷定向运动， 导体上电荷及空间电场分布达到稳定。 条件：
' E内 E 0 E 0 ' E表面 E0 E 表面
导体是等势体
或
导体表面是等势面。
E0
Vp VQ E dl .
P
Q
E导体内 0。
2.由于电场线与等势面垂直，因此导体表面附近 的电场强度处处与表面垂直。
3. 导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都分布在导 体表面上。 在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理， 应有 1
E dS q
Q S
[例4]面电荷密度为0的无限大均匀带电平
板旁有一无限大的原不带电的导体平板， 求导体板两表面的面电荷密度。
0 1 2
E2
·
E1
E0
解：设导体两表面的面电荷密度分别为 1、2 (在未求出结果之前，1、2 均看作正)
· 由电荷守恒有 1 + 2 = 0 (1) · 由导体内场强为零有 E0 +E1 - E2 = 0
0
· 正确结果
例.金属板A、B、C面积200cm2，A板带正电3.0 10-7库仑，略去边缘效应，问B和C上电荷各是多少？ 地电位为零，A电位是多少？ 解：
E1d1 E2d2
2q 2 1.0 10 5 C m 2 3S
1 2 d1 d2 0 0
(1 2 )S q
3. 范德格拉夫静电高压起电机
这种起电机是利用导体空腔所 带电荷总是分布在外表面的原 理做成的。右图是范德格拉夫 静电高压起电机的示意图，起 电机工作时A的电势可达2106 V。这种装置是静电加速器的 关键部件，主要用于加速带电 粒子以进行核反应实验，也用 于离子注入技术以制备半导体 器件。
4. 库仑平方反比律的精确证明 由于库仑定律是电磁理论的基本规律之一，另 外，库仑定律是否为严格的平方反比律，即在下 式中是否严格等于零，是与一系列重大物理问 1 题相联系的
Q
Q'
1 EA ( 1 2 3 4 ) 0 2 0 1 EB ( 1 2 3 4 ) 0 2 0
根据已知条件 S ( 1 2 ) = Q S ( 3 4 ) = Q . 可解得 (Q Q ) 1 4 2S
法拉第
花法 放拉 电第 的对 屏 蔽 千 实 伏 验 火 800
2. 场致发射显微镜
右图是场致发射显微镜的原理图。 在真空玻璃泡内充以少量氦气并在 中心放置被测试金属针，泡的内壁 涂敷荧光导电膜。若在金属针与荧 光导电膜之间有很大的电势差，泡 内上部空间会产生辐射状的电场。 氦分子在尖端处被电离成氦离子并 沿辐射状电场线射向荧光导电膜。 于是就在膜上产生一个荧光点，它 就是该氦离子与金属尖端相碰的那 个金属原子的“像”。利用荧光膜 上的光点将描绘出金属针尖端表面 的原子分布图像。
有导体存在时静电场场量的计算
原则:
1.静电平衡的条件
E内 0
or c
E dl 0
L
2.基本性质方程
E d s
S
q
i
i
0
3.电荷守恒定律
Q const.
i i
例题1 两个半径分别为R和r 的球形导体（R>r），用一 根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体 组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的 关系。 Q
导体上感应电荷将对原来的外加电场施加影响，改 变其分布。
外电场与自由电荷移动后的附加场E 之和 为总场强 E0 E E0 E 0.
移动的状态称为静电平衡状态。
E ' 当导体内部和表面都无电荷定向 E 0
1. 整个导体是等势体，导体的表面是等势面。 在导体内部任取两点P 和Q，它们之间的电势差 可以表示为
s 0 i
i
因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零， 所以导体内部必定不存在净电荷。 二、导体表面的电荷和电场 导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近 带电体的状况等多种因素有关。大致的规律为：在 导体表面凸起部尤其是尖端处，面电荷密度较大； 表面平坦处，面电荷密度较小；表面凹陷处，面电 荷密度很小，甚至为零。
+ + +++ + + + + + + + ++
+
+
由于尖端放 电产生的“ 电风”
尖端放电原理的应用 在高压设备中，为了防止因尖端放电而引起的危险 和漏电造成的损失, 具有高电压的零部件的表面必须 做得十分光滑并尽可能做成球面。
避雷针：利用尖端放电使 建筑物避免“雷击”的。 电晕现象 静电喷漆
例题2.（1）如果人体感应出1μ C的电荷，试以最简单的 模型估计人体的电势可达多少？ （2）在干燥的天气里，空气的击穿电场强度为3MV/m， 当人手指接近门上的金属门把手时可能产生的电火花有多 长？ 解： 把人体看作半径1m的球体，于是人的电势为
§2-1 静电平衡
一、金属导体的静电平衡 (electrostatic equilibrium) 自由电子 通常的金属导体都是以金属键结 合的晶体，处于晶格结点上的原子很 容易失去外层的价电子，而成为正离 子。脱离原子核束缚的价电子可以在 整个金属中自பைடு நூலகம்运动，称自由电子。 当把导体放入静电场E0中，导体中的自由电子 在外电场E0的作用下定向运动，并在导体一侧集 结出现负电荷，而另一侧出现正电荷，称静电感 应现象。集结的电荷称为感应电荷。
q 在导体内： E dS i 0 s 0
S
说明空腔内表面所带总电量与空腔内带电体的电量 相等、符号相反。导体空腔是等势体，腔内场强不 为零，不是等电势区间。
四、导体静电平衡性质的应用 1.静电屏蔽 (electrostatic shielding)
＋q ＋q ＋q
-q
-q
0 1 - 2 + 2 0 2 0 2 0 = 0
(2)
1 = - 0 2 0 2 =
2
1 - 2 = - 0 · 可得
思考：如果导体板接地，下面结果正确吗？ · 接地：意味着“导体电势为零”， 不意味 着“电荷一定全跑光”。
0 -0/2
0
0
0
0/2
0 - 0
解：两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系， 在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远， 使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略 不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球 又可近似的看作为孤立导体，
在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所 带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球的电势为
R2 R3 R1
E3 0
球壳外表面带电荷 2q。
E2
q
（r < R3 ）
2
4π 0 r E1 0 （R2 <r< R1 ） E0
（R3 <r< R2 ）
2q （r > R1 ） 2 4π 0 r
（2）
R2
VO

0

R3 R2 R1 E dl
在带电导体表面任取一面元S，可认为其电荷面密 度 为均匀分布。包围S作一圆柱状闭合面，使其上、 下底面与导体表面平行。通过整个圆柱状闭合面的电通 量等于通过圆柱上底面的电通量。 根据高斯定理，有 S E dS = EΔS