债券久期、免疫方法与凸性
久期和凸性
久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度.久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券;在利率下降周期，要选择久期大的债券.凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小,选择凸性较大的债券，对持有者越有利。
久期描述了价格—收益率（利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
在利率变化很小的时候,传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系,但是更为精确的衡量则是修正久期。
久期(也称持续期，duration)是1938年由F。
R。
Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。
久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。
久期取决于债券的三大因素：到期期限，本金和利息支出的现金流，到期收益率.债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券;在预期未来升息时，可选择久期小的债券.案例:某只债券基金的久期是5年,如果利率下降1个百分点，则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失.又如,有两只债券基金，久期分别为4年和2年，前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。
债券的凸性与免疫
凸度与免疫
目录 | CONTENTS
01债券的ຫໍສະໝຸດ 度02债券的免疫01
债券的凸度
债券的凸度
凸度
凸度 (Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动
关系曲线的曲度。
C
1 P
2P y 2
债券的凸度
久期的缺陷
现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不 是线性关系，而是非线性关系 。如果只用久期来估计收益率 变动与价格变动率之间的关系，那么收益率上升或下跌一个 固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。显然这与 事实不符
债券的凸度
• 考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：
dP D*dy 1 C dy2
P
2
• 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动 率之间的关系就可以近似表示为 ：
P D*y 1 Cy2
P
2
02
债券的免疫
债券的免疫
★ 免疫技术：由雷丁顿 (Readington, 1952) 首先提出，投资者或金融机构用来保护他们的全部金融资 产免受利率波动影响的策略。 ★ 两种作用相互抵消的利率风险：价格风险和再投资风险，例如利率上升资产和负债的利息会增加，同 时资产和负债的价格会下降。 ★ 久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，价格 风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。 ★ 免疫资产的构造：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。
债券的免疫
★ 久期免疫的缺陷 久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动 带来的预期收益或损失。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
投资学简答
A卷B卷3、久期：它是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
就是每一期息票期限或债券本金偿付的加权平均。
4、凸性：价格-收益曲线的曲率叫做债券的凸性。
久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了曲线的弯曲程度。
凸性是债券价格对收益率的二阶导数。
5、免疫：免疫是保护债券组合避免利率风险的一种策略。
管理者选择久期等于他们负债的到期期限的债券组合，利用价格风险和再投资利率风险互相抵消的特点，保证管理者不受损失。
6、期货：与现货相对，是指现在进行买卖，但是在在未来的某一时期以事先商定的价格买入或卖出某种商品或金融资产的标的物。
1、投资者三种类型的区别（去年考试简答题1）答：风险厌恶者只有在附加风险可以得到风险溢价补偿时才愿意承担风险，这种投资者衡量潜在的风险收益的补偿关系来进行投资选择。
风险中性者只关注预期收益，而不考虑风险，这种投资者将选择具有最高预期收益的投资项目。
风险喜好者将参与公平游戏和赌博，这些投资者在考虑预期收益时还考虑了面对风险的乐趣。
3、资产资本定价模型的假设条件(P184-185)（1）市场存在着大量的投资者，每个投资者的财富相对于财富总和来说是微不足道的；（2）所有投资者的投资持有期都相同；（3）投资者投资范围仅限于公开金融市场上的交易资产，比如股票、债券、借入或借出无风险资产账款等；（4）投资者不用缴纳证券收入所得税和支付交易费用（佣金和服务费用等）；（5）所有投资者都是理性的，都追求投资组合的方差最小化；（6）所有投资者对证券的分析方法相同，对经济时局的看法也是一致的。
8、（资本市场线和证券市场线的区别）1、资本市场线是指表明有效组合的期望收益率和标准差之间的一种简单的线性关系的一条射线。
由风险资产和无风险资产构成的投资组合。
资本市场线通过标准来衡量每单位总风险的风险溢价（超过无风险收益的收益）。
债券的久期和债券的凸度
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1Biblioteka P（4-2）例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
表5-1 美国主要债券指数的资产组合
项目
莱曼兄弟指数
美林指数 所罗门指数
债券种数
6500种以上
5000种以上 5000种以上
上述债券的期限 不包括的债券
≥ 1年
垃圾债券、可转 换债券、鲜花债
券、浮息债券
≥ 1年
≥ 1年
垃圾债券、 垃圾债券、
可转换债券、 可转换债券、
鲜花债券
浮息债券
权重
市值
市值
市值
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
债券久期免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。
通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。
价格为95.2，当前利率为12%。
求其持续期。
持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。
持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度：∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +∙-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
债券估值,利率期限结构,久期和凸性
债券价值评估模型
零息债券定价模型
零息债券(zero-coupon bonds)
-持有期间不支付利息，只在到期时偿付本金； -债券的发行价格和面值之间的价值，代表持有人在持有期间的收益；
PV买价
Fபைடு நூலகம்面值
零息债券估值的基本模型
PV(1F rV)n
债券价值评估模型
零息债券的价值计算
【例】假设面值为1000元、期限为2年的零息债券，如果投 资者的预期年收益率是8%，那么该债券的内在价值是多少？
( 1 y 2 ) 2 ( 1 y 1 ) ( 1 E ( r 2 ) )
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有
(1y2)2 (1y1)(1f2)，则 E(r2)f2
利率的期限结构
(1 y3)3 (1 y2 )2 (1 f3) (1 y2)2(1 E(r3))
f3 E(r3)
利率的期限结构
3. 流动性溢酬理论（the liquidity preference theory） ◆ 理论内容：
通过对债券的考察，可以看到由于通货膨胀和将来利率的不确定性，即使是无违约风险 的债券也存在风险。这些风险是理解债券收益率曲线的关键。债券持有者面临着通货膨胀和 利率的风险。债券的期限越长，这两种风险就越大。既然一些债券的持有者想要在债券到期 之前出售债券，那么就存在利率风险。这些投资者要求对于他们购买的长期债券所承担的风 险进行补偿。正如在通货膨胀的情形下，到期时间越长，风险越大，因此补偿也必须随之上 升。流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。
1 r n n1 0 f1 1 1 f21 2 f3 1 n 1 fn 流动性
利率的期限结构
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
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债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。
通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。
价格为95.2，当前利率为12%。
求其持续期。
持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。
持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度：∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +•-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
后面，我们把债券的凸度 (C) 类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。
持续期已经变成了一项测量资产的风险价值的非常有用的指标。
有上式可知，资产和负债价格（请注意：在金融资产的场合，对于一方是资产，对于另一方就是负债，影响一方资产价格的因素也就是影响另一方负债价格的因素）的变动产生于二个因素：持续期和利率变动。
一旦你知道了一项资产的持续期，你就会很容易地计算出利率变动对资产价格的影响。
从这里我们可以发现资产价格与利率变动负相关，利率上升资产价格下降，利率下降资产价格上升，持续期的长短放大了这种影响（利率变动引起价格变动的风险）。
【例2】有一6年期的公司债券（面额100元），票面利率8%，而市场要求的到期收益率也是8%，已知持续期D=4.993年。
如果目前的到期收益率上升1个基本点（1%），此时公司债的价格会下跌0.0462%。
()()()()()()1006%811081005%8181004%8181003%8181002%818100%818)1(654321⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+++=+=∑=P i tCD n t t t =0.074074+0.137174+0.190520+0.23521+0.272233+4.08350=4.993()0462.0%8101.0*993.41-=+-=+⨯-=i di D P dP 公司债的价格现在是100*（1-0.0462）=95.38元。
三、免疫的基本含义利率风险表现在两个方面：价格风险和再投资风险。
价格风险是由于市场利率上升引起债券价格下跌给债券投资者带来的资产损失；再投资风险是由于市场利率下降引起利息的再投资收入减少给债券投资者带来的收入损失。
当市场利率上升时，债券投资者面临着资产损失和再投资收入增加；而当市场利率下降时，债券投资者面临着资产增加和再投资收入损失。
因此，债券的价格风险和再投资风险有相互抵消的特性。
正是基于这一抵消特性，产生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunization strategy ），用以规避利率变动给投资者带来的价格风险或再投资风险。
在诸多免疫策略中，被学术界重点关注和被投资界广泛应用的一类免疫策略是持续期配比策略（duration-matched strategy ）。
考虑一个每年付息一次的中长期附息债券，如果持有期小于一年，投资者面临的风险只有价格风险，没有再投资风险。
随着持有期的增加，价格风险减少而再投资风险增加。
如果持有到期，则投资者面临的风险只有再投资风险，没有价格风险。
由于价格风险和再投资风险具有相互抵消的特性，于是存在一个适当的持有期，使得在该持有期下投资者的利率风险为零，我们将它称之为持续期（duration）。
因此，持续期配比策略就是持有期等于持续期的投资策略。
对于债券投资者而言，如果利率下降，从短期看，债券价格将上涨，债券的短期投资者将会从利率下降中获取资本利得，反之，则会受损失。
但从长期投资看，情况会相反，因为债券到期时价格一定等于面值，但利率下降导致了债券利息的再投资收益率下降，因而债券投资者在长期内的全部收益下降。
利率变动，在长期与短期出现相反的结果，意味着它们之间存在一个“中期”。
从“中期”看，投资者的收益基本不受利率变动的影响，就相当于投资一个期限与这个“中期”相等的贴现债券，在持有的"中期"内，其投资收益不受利率变动的影响。
如果投资者建立的债券组合的久期等于这个“中期”，则可实现投资收益不受利率变动影响的目标，这就是债券投资组合管理中所通常采用的久期免疫策略。
当利率发生变化时，投资者面临两种风险，一为利率风险，即债券的价格会因利率上涨而下跌；二为再投资风险，即利息收入再投资会随着利率的上升而增加。
两种风险方向相反，对债券价值的影响有互相抵消的作用。
免疫策略的目的就是通过持有债券至一定期限，利用两种风险互相抵消的作用来锁定投资收益率。
通常的免疫策略是将债券持有到久期长度的期限，当长、短期利率平行变化时，则不论利率如何变动，到期时投资组合的价值将与预期的资产价值相同，而期末的实现报酬率也会等于目标报酬率。
四、免疫的案例【案例3】某人3年后需要200万元资金，目前市场利率为8%。
有三个方案解决这个问题。
方案1：如果有一个3年期债券，本金和利息再投资收益率都是8%，则现在投入200/1.083=158.77万元即可；方案2：找到一个3年期的零息债券，其年收益率也为8%，则200万元的到期面额债券，现在的发行和购买价格都是200/1.083=158.77万元，购买即可；方案3：方案1和2要么没有保证，要么不存在。
目前只有收益率为8%，还有2年和5年到期的债券（面额都是100万元，票面利率分别为6%和8%，每年支付利息，到期还本），可以采取组合的方式。
怎么组合？(一)先计算2年期债券和5年期债券的久期2年期债券的久期=()()=⨯++⨯+243347.96%81106143347.96%81620.0576*******+0.9423897631×2=1.9424 [()()43347.96%81106%8162=+++，此为两年期债券的现值和卖价] 2年期债券的修正久期=1.9424/（1+0.08）=1.79855年期债券的久期=()()()()()=⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+5100%811084100%8183100%8182100%8181100%8185432 4.3121 [()()()()()5432%81108%818%818%818%818+++++++++=100此为五年期债券的现值和卖价]5年期债券的修正久期=4.3121/（1+0.08）=3.9927（二）再计算投资于2年期和5年期债券的权重，分别为w 1和w 2，解下面的方程组即可1.9424w 1+4.3121w 2=3w 1+ w 2=1得w 1=55.37%,w 2=44.63%若用修正久期得出w 1=0.4524 w 2=0.5476(三)最后将现在准备的158.77万元，分别按照该比例投资即可。
2年期的债券投资87.910949万元，5年期的债券投资70.859051万元。
即买面额为100万元的2年期债券87.910949/96.43347=0.9116227903张，买面额为100万元的5年期债券70.859051/100=0.70859张若用修正久期得出的比例买2年期债券158.77*0.4524=71.8275，即71.8275/96.43347=0.7448399399张面额100万债券买5年期债券158.77*0.5476=86.9426，即86.9426/100=0.869246张面额为100万元的债券这样，今后无论市场利率从现在的8%升降，都会因为债券价格和再投资收益率的相反变动而抵消，不影响3年后200万本利和目标的实现。
假设市场利率1年后升到9%和下跌到7%，我们看看投资3年后的本利和是多少？ 先看升到9%的情况（1）1年后升到9%时，投资两年期债券3年的本利和两年期债券第2年得利息6万元*0.7448399399=4.469039639万元第2年的本利和=74.48399399+4.469039639=78.95303363万元到第三年底，第1年的利息再投资2年和第2年的本利和再投资1年的本利和4.469039639*1.092+78.95303363*1.09=91.36847265万元（2）1年后升到9%时，投资五年期债券3年的本利和五年期债券，前3年每年利息为8万元*0.869246=6.953968万元前两年利息再投资的本利和加上第三年的利息6.953968*(1.092+1.09+1)=22.7958025万元第三年底该五年期债券的卖价6.953968*（1/1.09+1/1.092）+86.9246/1.092=85.39549964万元到第三年底投资该五年期债券的所获收入108.1913021万元（3）投资这两种证券到第三年底获得91.36847265万元+108.1913021万元=199.5597748，接近200万元（因为小数点省略的原因）再看下跌到7%的情况（略）【例4】假定一家养老基金出售一种新的保险单，这种保单承诺在今后的15年内基金将每年支付100美元给投保人。
折现率为10%。
第一步：计算负债的持续期。