附录3 债券的久期与凸性教学文案
久期和凸性
久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度.久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券;在利率下降周期，要选择久期大的债券.凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小,选择凸性较大的债券，对持有者越有利。
久期描述了价格—收益率（利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
在利率变化很小的时候,传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系,但是更为精确的衡量则是修正久期。
久期(也称持续期，duration)是1938年由F。
R。
Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。
久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。
久期取决于债券的三大因素：到期期限，本金和利息支出的现金流，到期收益率.债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券;在预期未来升息时，可选择久期小的债券.案例:某只债券基金的久期是5年,如果利率下降1个百分点，则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失.又如,有两只债券基金，久期分别为4年和2年，前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
久期和凸性
二、久期、息票(xī piào)率和到期收益率
下表给出了三种(sān zhǒnɡ)不同的到期收益率和 四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券 的久期变化。
精品资料
到期期限
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
6％
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
精品资料
债券(zhàiquàn)久期的计算公式为：
d
1
C1 (1 k
)
2
C2 (1 k)2
3
C3 (1 k)3
... t
(Cn F (1 k)t
)
/
P
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。
现金流入包括利息(lìxī)C和赎回本金F，并且时间加权 数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以 债券价格P（债券估值公式中的P）。
650 508
600
550
463
500 450
400
422 386
350
322
300
295
7 8 9 10 11 12 13 利率%
图5 利率变化对债券价值影响关系图示
精品资料
如前所述，零息票债券(zhàiquàn)的久期与其期限相 同。因此图中债券(zhàiquàn)的久期与期限一样也是 10年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前 到期收益率为10％时价格变化曲线的切线。
T t(t 1)CT
cv ( 1 ) t1 (1 k )T
(
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
)
10(11)(1000) (1.10)10
55
2
附录3 债券的久期与凸性
1 y ln p ln{c[1 ] } ln y N N (1 y) (1 y)
债券的久期
ln p 1 p y p y 1 cN (1 y ) N 1 (1 y ) N N y (1 y ) N 1 y c[1 (1 y ) N ] y (1 y ) N 1 p D [(1 y )] p y 1 N ( y c) (1 y ) 1 y c[(1 y ) N 1] y
由此可见， 同理可证，
当y k时，pn1 pn
当y k时，pn 1 pn
pn 1 / Pn 1 pn / Pn dpn 1 / Pn 1 dpn / Pn 即 y y dy dy
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
2
债券的凸性
凸性的金融学含义
由定理6可知
T t 2 ct (1 y ) t dD 1 { D2} dy 1 y t 1 p T ct (1 y ) t 1 S 2 { (t D ) } 1 y t 1 p 1 y
又由于
dp 1 y D dy p
tc (1 y)
t
T
t
p
)}
债券的久期
T t 2 ct (1 y ) t ct (1 y ) t 2 D (t D) 2 0 p p t 1 t 1 T
T t 2 ct (1 y ) t D 1 { D2} 0 y 1 y t 1 p
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期 时间。
T Ct Ct D t [ / ] t t (1 y ) t 1 (1 y ) t 1 T Ct 1 C1 2C2 TCT [ ,..., ]/ 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) t 1 (1 y ) T Ct T C1 TC2 TCT [ ... ]/ T 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) t 1 (1 y ) T
a3金融风险的度量__久期、凸性及久期缺口模型
2 (1 y )2T 1
2
2
T
1 2
2t
Ct
t1 (1 y )2t1
2
2
金融风险管理
赵建群
T
dP P' ( y) • dy
tCt
T
• dy
tCt • dy
t1 (1 y )2t1
t1 (1 y )2t (1 y )
2
2
2
2
2
T
tCt
t1 2
(1
y )2t 2
P
•
P• (1
（为了克服上面的第二种缺陷，引入凸性）
金融风险管理
赵建群
四、久期缺口模型
1、利率敏感性（资产、负债）价值变化与久期
令利率敏感性资产价值为 PA ，
则有
PA PA
DA
y 1 y
其中 DA 为资产的久期
金融风险管理
Байду номын сангаас
赵建群
令利率敏感性负债价值为 PL ，
则有
PL PL
y DL 1 y
其中 DL 为负债的久期
将
dP D • Pdy 1 y
变形得 D dP dy P 1 y
或者取其离散形式 D P y
P 1 y
（之所以采用 ≈ ，是因为 dP 的推导采取的是Taylor一阶近似，当 利率的变化比较大时，取一阶近似是不对的）
金融风险管理
赵建群
考察 D dP dy
P 1 y
或者
D P y P 1 y
CT
t1 (1 y)t
(1 y)T
金融风险管理
赵建群
③息票债券久期的上限是相应的永久债券的久期
债券估值,利率期限结构,久期和凸性
债券价值评估模型
零息债券定价模型
零息债券(zero-coupon bonds)
-持有期间不支付利息，只在到期时偿付本金； -债券的发行价格和面值之间的价值，代表持有人在持有期间的收益；
PV买价
Fபைடு நூலகம்面值
零息债券估值的基本模型
PV(1F rV)n
债券价值评估模型
零息债券的价值计算
【例】假设面值为1000元、期限为2年的零息债券，如果投 资者的预期年收益率是8%，那么该债券的内在价值是多少？
( 1 y 2 ) 2 ( 1 y 1 ) ( 1 E ( r 2 ) )
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有
(1y2)2 (1y1)(1f2)，则 E(r2)f2
利率的期限结构
(1 y3)3 (1 y2 )2 (1 f3) (1 y2)2(1 E(r3))
f3 E(r3)
利率的期限结构
3. 流动性溢酬理论（the liquidity preference theory） ◆ 理论内容：
通过对债券的考察，可以看到由于通货膨胀和将来利率的不确定性，即使是无违约风险 的债券也存在风险。这些风险是理解债券收益率曲线的关键。债券持有者面临着通货膨胀和 利率的风险。债券的期限越长，这两种风险就越大。既然一些债券的持有者想要在债券到期 之前出售债券，那么就存在利率风险。这些投资者要求对于他们购买的长期债券所承担的风 险进行补偿。正如在通货膨胀的情形下，到期时间越长，风险越大，因此补偿也必须随之上 升。流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。
1 r n n1 0 f1 1 1 f21 2 f3 1 n 1 fn 流动性
利率的期限结构
债券价格波动和利率风险衡量方法——“久期”与“凸性”运用
$396,389.88
1,189,169.64
$527,594.93 0.683013455
$360,354.44
1,441,417.74
$527,594.93 0.620921323
$327,594.94
1,637,974.71
$2,637,974.65
-------
$2,000,000.00
5,620,251.57
(4) = (2)×(3)
现金流 的现值
(5)
现金流的现值 对债券市价的
比率(权重)
(6) = (5)×(1) 现金流的现值对 债券市价的比率 与现金流动所需
时间的乘积
1年
$80
0.9091
$72.73
0.076535648
0.076535648
2年
$80
0.8264
$66.12
0.069581689
....
(n)CFn (1r)n
n
PV(CFt )t
t1
P0
n
PV(CFt )
t1
对公式的解释
• 公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即 债券的市场价格；而分子则是指：全部利息和 本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用 预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行 折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现 值用作权重(weights)对各次支付所需要的时间 进行加权，最后再作加总
d P 2 .554 61 % 5 9 2 .585144% 6； 59814 P
$ 2 ,0,0 00 0 10 0 .0255 4 4 $ 1 ,6 9.5 4 99 8 .0 8。 8 6 01
“麦考莱久期”
固定收益证券3_久期和凸性
20.24308 24.33865, ?
久期的局限性
凸性
• 债券的凸性是由收益率的微小变化引起的 价格-收益率曲线斜率的变化，价格-收益率 曲线的二阶导数提供了凸性的计算方法。 • 根据泰勒展开式，价格变化可以写为： P 1 2P 2 P y 2 y (3) y 2 y
P
• 当收益率上升0.005%时，价格为：
P
4 104 101.91832 0.05995 0.05995 2 (1 ) (1 ) 2 2
4 104 101.90862 0.06005 0.06005 2 (1 ) (1 ) 2 2
• 因此如果面值为1百万美元，则其PVBP为：
简介
• 债券的价格风险（或者等价的称为利率风 险）指的是由于市场中利率的变化所引起 的价格的变化。
PVBP or DV01
• DV01 (PVBP)测量的是当收益率变化一个基 点（0.01%）时债券价格的变化。 • 假设P为债券的价格，y为债券的收益率， 一阶导数dP/dy测量了当收益率变化时价格 的变化。
久期的局限性
P • 根据修正久期的公式： MD y P
• 当收益率增加200个基点时：
P 200 12.12 24.24% P 10000
• 因此价格的实际变化为：
P 100.40695 24.24% 24.33865
久期的局限性
• 当然，我们也可以利用价格——收益率曲线 计算新的收益率7.216%+200个基点下的债 券价格为80.16387，因此其价格的实际变化 为： • 100.40695-80.16387=20.24308
久期（Duration）
• 久期是另外一个较常用的测量风险的工具 • 久期克服了需要重复计算价格的缺陷 • 债券价格公式：
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/
T t1
Ct (1 y)t
]
[ 1C1
(1 y)
2C2 (
T t1
Ct (1 y)t
[ T C1 TC2
... TCT
T
]/
Ct
T
(1 y) (1 y)2
(1 y)T t1 (1 y)t
所以，D＜T
债券的久期
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。
由 修 正 久 期 的 定 义 dP/PD *得 到 dy
r dPD*dy P
债券的久期
则债券回报率的方差为
Var(r)Var(dP)D *2Var(dy) P
则债券回报率的风险（标准差）为
rV a r (r )V a r (d P P )D * 2 V a r (d y ) D *V a r (d y )
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占 总现值的比例
债券的久期
久期：现金流现值翘翘板的支点
现 金 流
时间
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流 发生时间加权平均的结果！
债券的久期
一、久期的性质
久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投 资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下
y
N y (1 (1 y)N
y) N 1
D 1 p [(1 y)] p y
1 N(y c) (1 y) 1 y c[(1 y)N 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当 N→∞，久期为1+1/y
债券的久期
对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期 的债券，其久期计算公式为
F k (1 i)n2
y
y
d y
d y
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
债券的久期
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。
即债券价格的波动幅度随着期限的增加而增加，但增 加的速度递减：n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之 间的差异
证明：分别观察n期、n+1期和n＋2期的债券最后1、2期和3期现金流的现值， 其中
债券的久期
当0yk时，有1k1，则 1y
(1Fyk)n1(1Fy)n1(1Fy)n11ky(1Fy)n
由此可见， 当 yk时 ， pn1pn
同理可证， 当 yk时 ， pn1pn
即 - p n 1 /P n 1 p n /P n d p n 1 /P n 1 d p n /P n
PVn
Fk (1i)n
F (1i)n
PVn,n1 (1Fik)n (1Fi)kn1 (1Fi)n1
债券的久期
PVn,n2
F k (1 i)n
F k (1 i)n1
F k (1 i)n2
F (1 i)n2
Q
PVn,n1 PVn
Fk (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
PVn,n2
PVn,n1
债券的久期与凸性
主要内容
债券的久期 债券的凸性 债券组合的久期与凸性
债券的久期
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响： 债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。 债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动 带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
债券的久期
设债券的价格p满足P
T t 1
Ct (1 y)t
,则有
dP
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P ( T
tCt
)/ P
1
T
(
tCt
T
/
Ct )
dy
t1 (1 y)t1
1 y t1 (1 y)t t1 (1 y)t
@ D D* 1 y
在收益率微小变动下，债券回报率的标准差（风险）为 收益率的D*倍。D *越大债券风险越大。
债券的久期
债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关， 故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨 债券风险的特征。
债券的久期
定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
(1
Ct y
)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 10 (1 y)
20 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期 时间。
D
T t1
t
[(1Cty)t
证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
pkN 1(1cy)k
1 (1y)N
cy[1(11y)N](11y)N
两边取对数得到
1
c
y
y[c(1y)N(1y)N]
lnpln{c[1(1 1 y)N](1 yy)N}lny
债券的久期
ln p 1 p y p y
1 y
cN(1
y)N1 (1 y)N c[1 (1 y)N ]
债券的久期
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。
证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券
证明：对于任意的息票率k，持有期为n的债券价格为
pn
n1
t1
C (1y)t
C (1y)n
F (1y)n
n1
t1
Fk (1y)t
(1Fyk)n
(1Fy)n
持有n+1期的债券，有
p n 1 n t 1 1(1 F y k )t (1 F y k )n (1 F y k )n 1 (1 F y )n 1
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
D
T
t [
Ct
t1 (1 y)t
/
T t1
Ct (1 y)t
T
] @ t wt
t1
其中，wt为t时期的权重
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
D11ycN [((1yyc))N(1 1]yy)
若该债券以面值出售
D1y[1 1 ] y (1y)N
例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面 值发行，求该债券的久期
D 1 0 .0 0 .5 0 5 [ 1 ( 1 0 1 .0 5 ) 6 0 ]B 1 9 .8 7 5 8 ( 半 年 ) 9 .9 3 7 9 年