小学奥数几何专题训练完整版
(完整版)五年级奥数平面几何(一)
五年级奥数平面几何（一）【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_ G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ DB【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．D【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B CDEF?852O A BC DEF【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．BEE【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCB【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNM F PADCBMHGF E DCBA。
完整版)小学奥数几何专题
完整版)小学奥数几何专题小学几何面积问题一引理：如图1在ABCD中，P是AD上一点，连接PB、PC，则S△PBC=S△ABP+S△pcD= P/AD（适应长方形、正方形）。
1.已知：四边形ABCD为平行四边形，求阴影部分面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几？无需删除）2.已知：ABCD的面积为18，E是PC的中点，求阴影部分面积。
无需删除）3.在ABCD中，CD的延长线上的一点E，DC=2DE，连接BE交AC于P点，（如图）知S△PDE=1，S△ABP=4，求平行四边形ABCD的面积。
无需删除）4.四边形ABCD中，BF=EF=ED，（如图）1) 若S四边形ABCD=15，则S阴=（无需删除）2) 若S△AEF+S△BFC=15，则S四边形ABCD=（无需删除）3) 若S△AEF=3S△BFC，则S四边形ABCD=（无需删除）5.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，（如图）若四边形AECG=15，则S四边形ABCD=（无需删除）6.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，（如图）若阴影部分面积为15，则S四边形ABCD=（无需删除）7.若ABCD为正方形，F是DC的中点，已知：S△BFC=1。
1) 则S四边形ADFB=（无需删除）2) S△DFE=（无需删除）3) S△AEB=（无需删除）8.直角梯形ABCD中，AE=ED，BC=18，AD=8，CD=6，且BF=2FC，S△GED=S△GFC，求阴影部分面积。
无需删除）小学几何面积问题二1.如图S△AEF=2，AB=3AE，CF=3EF，则S△ABC=（无需删除）2.如图S△BDE=30，AB=2AE，DC=4AC，则S△ABC=（无需删除）3.正方形ABCD中，E、F、G为BC边上四等份点，M、N、P为对角线AC上的四等份点（如图），若S正方形ABCD=32，则S△NGP=（无需删除）4.已知：S△ABC=30，D是BC的中点，AE=2ED，则S△BDE=（无需删除）1.在梯形ABCD中，AD//BC，OC=2AO，阴影部分的面积为4，求梯形ABCD的面积。
小学生奥数几何、计数、计算练习题
小学生奥数几何、计数、计算练习题1.小学生奥数几何练习题篇一一、填空1、两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个（）形或（）形或（）形。
2、两个完全相同的梯形可能拼成一个（）形或（）形或（）形。
3、当梯形的上底与下底相等时，梯形就变成（）形。
4、平行四边形的面积公式是（）。
5、一个平行四边形和一个三角形的面积相等，而且它们的的底边也相等，三角形的高是10厘米，平行四边形的高是（）。
二、判断题1、两个三角形可以拼成一个平行四边形。
（）2、一个梯形可以分成两个大小、形状完全相同的三角形。
（）3、等腰梯形的对角线相等。
（）4、两个形状相同、大小相等的直角梯形一定能拼成一个平行四边形。
（）5、平行四边形、菱形、等腰梯形都是轴对称图形。
（）6、只有一组对边平行的图形叫做梯形。
（）7、举一反三：有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（）8、两个大小相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。
（）9、两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形。
（）2.小学生奥数几何练习题篇二例题：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的`面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。
（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）练习：（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。
小学奥数几何题100道及答案(完整版)
小学奥数几何题100道及答案(完整版)题目1：一个正方形的边长是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：正方形面积= 边长×边长，即5×5 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目2：一个长方形的长是8 分米，宽是6 分米，它的周长是多少分米？解题方法：长方形周长= （长+ 宽）×2，即（8 + 6）×2 = 28（分米）答案：28 分米题目3：一个三角形的底是10 厘米，高是6 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：三角形面积= 底×高÷2，即10×6÷2 = 30（平方厘米）答案：30 平方厘米题目4：一个平行四边形的底是12 米，高是8 米，它的面积是多少平方米？解题方法：平行四边形面积= 底×高，即12×8 = 96（平方米）答案：96 平方米题目5：一个梯形的上底是 4 厘米，下底是6 厘米，高是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：梯形面积= （上底+ 下底）×高÷2，即（4 + 6）×5÷2 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目6：一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：圆的面积= π×半径²，即3.14×3²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目7：一个半圆的半径是 4 分米，它的周长是多少分米？解题方法：半圆的周长= 圆周长的一半+ 直径，即3.14×4×2÷2 + 4×2 = 20.56（分米）答案：20.56 分米题目8：一个长方体的长、宽、高分别是5 厘米、4 厘米、3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？解题方法：长方体表面积= （长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2，即（5×4 + 5×3 + 4×3）×2 = 94（平方厘米）答案：94 平方厘米题目9：一个正方体的棱长是6 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：正方体体积= 棱长³，即6³= 216（立方分米）答案：216 立方分米题目10：一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是多少平方厘米？解题方法：圆柱侧面积= 底面周长×高，底面周长= 2×3.14×2，即2×3.14×2×5 = 62.8（平方厘米）答案：62.8 平方厘米题目11：一个圆锥的底面半径是3 厘米，高是4 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：圆锥体积= 1/3×底面积×高，底面积= 3.14×3²，即1/3×3.14×3²×4 = 37.68（立方厘米）答案：37.68 立方厘米题目12：两个边长为4 厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？解题方法：长方形的长为8 厘米，宽为4 厘米，面积= 8×4 = 32（平方厘米）答案：长8 厘米，宽4 厘米，面积32 平方厘米题目13：一个三角形的面积是18 平方厘米，底是6 厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 面积×2÷底，即18×2÷6 = 6（厘米）答案：6 厘米题目14：一个平行四边形的面积是24 平方米，底是 4 米，高是多少米？解题方法：高= 面积÷底，即24÷4 = 6（米）答案：6 米题目15：一个梯形的面积是30 平方分米，上底是5 分米，下底是7 分米，高是多少分米？解题方法：高= 面积×2÷（上底+ 下底），即30×2÷（5 + 7）= 5（分米）答案：5 分米题目16：一个圆环，外圆半径是5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？解题方法：圆环面积= 外圆面积-内圆面积，即 3.14×（5²- 3²）= 50.24（平方厘米）答案：50.24 平方厘米题目17：一个长方体的棱长总和是48 厘米，长、宽、高的比是3:2:1，长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：一条长、宽、高的和为48÷4 = 12 厘米，长为6 厘米，宽为4 厘米，高为2 厘米，体积= 6×4×2 = 48（立方厘米）答案：48 立方厘米题目18：一个正方体的表面积是54 平方分米，它的一个面的面积是多少平方分米？解题方法：一个面的面积= 表面积÷6，即54÷6 = 9（平方分米）答案：9 平方分米题目19：一个圆柱的底面直径是4 分米，高是3 分米，它的表面积是多少平方分米？解题方法：底面积= 3.14×（4÷2）²= 12.56 平方分米，侧面积= 3.14×4×3 = 37.68 平方分米，表面积= 2×12.56 + 37.68 = 62.8（平方分米）答案：62.8 平方分米题目20：一个圆锥的底面周长是18.84 分米，高是5 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 分米，体积= 1/3×3.14×3²×5 = 47.1（立方分米）答案：47.1 立方分米题目21：一个长方体的水箱，长 5 分米，宽4 分米，高 3 分米，里面装满水，把水倒入一个棱长为5 分米的正方体水箱，水深多少分米？解题方法：水的体积= 5×4×3 = 60 立方分米，正方体水箱底面积= 5×5 = 25 平方分米，水深= 60÷25 = 2.4 分米答案：2.4 分米题目22：一块长方形的铁皮，长8 分米，宽6 分米，从四个角各切掉一个边长为1 分米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方分米？解题方法：盒子长6 分米，宽4 分米，高1 分米，容积= 6×4×1 = 24（立方分米）答案：24 立方分米题目23：一个圆柱的体积是60 立方厘米，底面积是12 平方厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 体积÷底面积，即60÷12 = 5（厘米）答案：5 厘米题目24：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积是27 立方分米，圆锥的体积是多少立方分米？解题方法：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即27×1/3 = 9（立方分米）答案：9 立方分米题目25：把一个棱长为 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36 平方厘米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少厘米？解题方法：正方体体积= 6³= 216 立方厘米，圆柱体的高= 体积÷底面积，即216÷36 = 6（厘米）答案：6 厘米题目26：一个直角三角形的两条直角边分别是3 厘米和4 厘米，斜边是5 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？解题方法：直角三角形面积= 两条直角边乘积的一半，即3×4÷2 = 6（平方厘米）答案：6 平方厘米题目27：一个等腰三角形的周长是20 厘米，其中一条腰长8 厘米，底边长多少厘米？解题方法：等腰三角形两腰相等，所以底边长= 周长-腰长×2，即20 - 8×2 = 4（厘米）答案：4 厘米题目28：一个扇形的圆心角是90°，半径是6 厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？解题方法：扇形面积= 圆心角÷360°×圆的面积，即90÷360×3.14×6²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目29：一个长方体的底面是边长为5 厘米的正方形，高是8 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：长方体体积= 底面积×高，底面积= 5×5 = 25 平方厘米，体积= 25×8 = 200（立方厘米）答案：200 立方厘米题目30：一个圆柱的底面周长是18.84 厘米，高是10 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 厘米，体积= 3.14×3²×10 = 282.6（立方厘米）答案：282.6 立方厘米题目31：一个圆锥的底面直径是8 厘米，高是6 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 8÷2 = 4 厘米，体积= 1/3×3.14×4²×6 = 100.48（立方厘米）答案：100.48 立方厘米题目32：把一个棱长为8 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解题方法：圆柱的底面直径和高都是8 厘米，体积= 3.14×（8÷2）²×8 = 401.92（立方厘米）答案：401.92 立方厘米题目33：一个长方体玻璃缸，从里面量长4 分米，宽 3 分米，高5 分米，缸内水深2.5 分米。
小学奥数题库《几何》几何图形正多边形0星题(含详解)全国通用版
几何-几何图形-正多边形-0星题课程目标知识提要正多边形•概念各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形（边数大于或等于3）．•内角和计算公式正n边形的内角和度数为：(n−2)×180∘．•外角和正n边形的外角和度数为360∘．精选例题正多边形1. “足球”可以近似地看成是由一些正五边形与正六边形组成的几何体，每一个顶点处有3条棱，这个几何体是阿基米德立体(Archimedean Solids)中的一个，通常，可以通过如下图所示的方法，截正二十面体得到“足球”，那么，一个“足球”的棱数为．【答案】90【分析】这个多面体由20个面围成，有12个顶点，30条棱，所以个顶点都截出一个正五边形，所以棱有12×5+30=90(条).2. 如图，分别以正八边形的四个顶点A、B、C、D为圆心，以正八边形边长为半径画圆．圆弧的交点分别为E、F、G、H．如果正八边形边长为100厘米，那么，阴影部分的周长是厘米．（π取3.14）【答案】314【分析】正八边形内角为135∘，如图，连接BE、CE，则BP=PC=CE=EB,所以四边形BPCE是菱形，那么∠PBE=180∘−135∘=45∘=∠PCE,而135∘−45∘−45∘=45∘,所以每段弧长都被三等分，那么阴影部分周长为2π×100×135360×43=314.3. 如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别为AB、CD、EF的中点，那么三角形PQR的面积是．【答案】141【分析】设整个图形的中心是O点；观察四边形ABCM，对其进行等积变形，它的面积正是菱形ABCO的面积（因为OM平行于AC），也就正是大正六边形面积的三分之一；同理四边形CDEN的面积、四边形EFAK的面积都是大正六边形面积的三分之一；由“重叠等于未覆盖”可知所求阴影面积等于△APK、△CQM、△ERN面积之和；这3个小三角形由于对称明显面积相等，故所求面积正是3倍的△APK的面积；下面求这个小三角形的面积：如上图，△AMY与△XMD构成“沙漏”，比为MY:MD=3:1，故XD=43AK，故XE=103AK；另一方面△APK与△EPX构成“沙漏”，比正是刚算得的3:10，设AB与CD之间的距离为2份，则△APK中AK边上的高为613份；对比△APK与△AOB，两者底之比为1:2，高之比为6:13，故面积之比为3:13，故△APK占大正六边形面积的3 13×16=126;所以所求面积占大正六边形面积的326，面积是1222×326=141.4. 画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【答案】无数．【分析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．5. 如果一个边长为8的正三角形的面积是28，那么一个边长为8的正十二边形面积是．【答案】720【分析】 将正十二边形做如下图所示的划分，可以看出一个正十二边形由 6 个边长 8 的正方形和 12 个边长为 8 的正三角形组成，面积为 6×82+12×28=720．6. 已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 ．【答案】 623【分析】 从图中可以看出，虚线 AB 和虚线 CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线 BC 和虚线 DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线 AE 外的图形是两个三角形，从下图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的 16，所以虚线外图形的面积等于1×3+16×2=313,所以五边形的面积是10−313=623.7. 下图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点．那么阴影部分面积是空白部分面积的倍【答案】3【分析】如下图将原图形分割为完全相同的24个小三角形，其中空白部分6块，阴影部分18块，显然阴影部分面积是空白部分的3倍．8. 如下图所示，它们是大小相同的五个正六边形，若其阴影部分的面积依次记为a,b,c,d,e，那么a,b,c,d,e的大小关系是．【答案】c=e>a=b=d【分析】正六边形的面积是a的2倍；正六边形的面积是b的2倍；正六边形的面积是c的1.5倍；正六边形的面积是d的2倍；正六边形的面积是e的1.5倍．所以由大到小为c=e>a=b=d．9. 如下图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动．小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正方形的边滚动了一周后返回出发时的位置，那么，在这个过程中线段OA围绕着O点旋转了圈．（O点是小正六边形的中心）【答案】3圈【分析】观察小正六边形沿着大正六边的边滚动情况．从左图到中图的滚动过程中，OA绕O点旋转了60∘；从中图到右图的滚动过程中，OA绕O点旋转了120∘．即小正六边形从点A位置滚动到点B位置，OA绕O点共旋转了60∘+120∘=180∘．类似地，从B点滚动到C点，从C点滚动到D点，⋯⋯最后从F点又滚动回到A点，OA绕O点都要旋转180∘．因此，当小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，线段OA绕D点旋转了180∘×6=1080∘，即旋转了三圈．10. （1）已知一个正方形的对角线的长度为a，则这个正方形的面积等于．（用含字母a的式子表示）（2）已知一个正六边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等于b，则这个正六边形的面积等于．（用含字母a、b的式子表示）（3）已知一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等于b，则这个正八边形的面积等于．（用含字母a、b的式子表示）（4）已知一个正十边形中最长的对角线等于 a ，最短的对角线等于 b ，则这个正十边形的面积等于 ．（用含字母 a 、b 的式子表示）（5）已知一个正十二边形中最长的对角线等于 a ，最短的对角线等于 b ，则这个正十二边形的面积等于 ．（用含字母 a 、b 的式子表示）（6）已知一个正 2n 边形中最长的对角线等于 a ，最短的对角线等于 b ，则这个正 2n 边形的面积等于 ．（用含字母 a 、b 的式子表示） 【答案】 （1）a 22；（2）3ab 4； （3）ab ；（4）5ab 4； （5）3ab2； （6）nab 4．【分析】 （1）对角线相互垂直的图形，面积可以用 对角线×对角线2来计算．因此正方形的面积为 a 22；（2）如下图所示的正六边形，可看出两条对角线相互垂直，因此阴影部分的面积为 a 2×b 2=ab 4，所以正六边形的面积为 ab4×3=3ab 4；（3）如下图所示的正八边形，阴影部分的面积为 a 2×b 2=ab 4，原正八边形可以分成 4 个阴影部分，因此正八边形的面积为 ab4×4=ab ；（4）可以想象，正十边形可以分成5个阴影部分，因此正十边形的面积为ab4×5=5ab4；（5）正十二边形的面积为ab4×6=3ab2；（6）正2n边形的面积为ab4×n=nab4．11. 下图中正六边形的面积为24平方米，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影部分的面积是平方米．【答案】5【分析】将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成24个面积为1平方米的正三角形，根据毕克公式，内部点n=2，边上点b=3，则阴影的面积为：(2+3÷2−1)×2=5（平方米）．12. 如图，ABCDEF为正六边形，∠G=100∘，那么∠NBC=．【答案】40【分析】正六边形内角和为720度，每个内角和为120度，∠FAB=∠ABC=120∘，∠BAG=60∘，∠ABG=180∘−100∘−60∘=20∘，所以，∠NBC=180∘−∠ABG−∠ABC=180∘−120∘−20∘=40∘13. 如下图所示，大正六边形的面积是24平方厘米，其中放了三个一样的小正六边形．阴影面积是平方厘米．【答案】18【分析】如上图所示，将六边形分割为三角形格点，正六边形被分成24个面积为1平方厘米的正三角形，阴影的面积为：1×18=18（平方厘米）．14. 古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来，三边形数：1，3，6，10，15，⋯⋯四边形数：1，4，9，16，25，⋯⋯五边形数：1，5，12，22，35，⋯⋯六边形数：1，6，15，28，45，⋯⋯按照上面的顺序，第8个三边形数为．【答案】36【分析】三边形：1、1 + 2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+5、1+2+3+4+ 5+6、⋯⋯、1+2+3+⋯+8=36．15. 若一正n边形，其内角度数是其外角度数的4倍，则n=．【答案】10【分析】多边形外角和是360度，所以这个正多边形的内角和是360×4=1440度，根据正多边形的内角和公式(n−2)×180=1440，n=10．16. 如下图所示，正十二边形的面积是60平方米，点O是正十二边形的中心，那么阴影三角形的面积是平方米．【答案】5【分析】如下图所示，阴影部分面积等于三角形OAB的面积，正十二边形可被分成12个形如三角形OAB的部分，所以三角形OAB的面积=60÷12=5（平方米），即阴影部分面积为5（平方米）．17. 正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，那么整个图形的面积是平方米．【答案】2【分析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：1×2=2(平方米)．18. 如下图所示，三个正六边形的面积均为6平方厘米，那么，阴影部分的面积是平方厘米．【答案】12【分析】如下图所示，一个正六边形可以分成面积相等的六个三角形，所以每个三角形面积为6÷6=1（平方厘米），空白部分包括6个这样的三角形，所以阴影部分面积为18−6= 12（平方厘米）．19. 某人从某点向前走16米，原地向右转18∘，再向前走16米，再向右转18∘⋯⋯这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了米．【答案】320【分析】这个人每次走相同的长度之后右转18∘，那么如果他要回到出发点，至少需要转360∘，也就是转360∘÷18∘=20(次)，期间一共走了20×16=320(米)．实际上，由于多边形外角和是360∘，这个人走的轨迹构成一个正二十边形．20. 若干个大小相同的正五边形如图排成环状，图中所示的只是3个五边形，那么要完成这一圈共需个正五边形．【答案】10个【分析】如图，设O，A、B、C、D形的顶点，连结OA，OB，OC．从图中可以看出，△OAB和△OBC是完全相同的，所以∠OBA=∠OBC,∠OBA是正五边形的一个外角，所以∠OBA=360∘÷5=72∘,又∠OAB=∠OBA，所以∠AOB=180∘−72∘×2=36∘,所以要用360∘÷36∘=10个正五边形才能围成一圈．21. 如下图所示，已知一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等于b，则这个正八边形的面积等于（用含字母a、b的式子表示）【答案】ab【分析】如下图所示，AC=AD=AB=a2，BC=b，因为是正八边形，所以BC与AD是垂直的，因此四边形ABDC的面积为12×b×a2=ab4，正八边形的面积为四边形ABDC面积的4倍，所以正八边形的面积等于ab4×4=ab．22. 在下图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．图中阴影部分的面积是平方厘米．【答案】288【分析】如下左图，记AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a．取E为DC中点，连接BE，将△ABC分成直角三角形ABE和等腰直角三角形BEC．四个△BEC可以拼成一个边长a的正方形．记BE=b，则CE=b，DE=b．由AE=a+b，BE=b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个以AB为边长的正方形（如下右弦图）．题中阴影可看做8个△ABE再加上8个△BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC拼成边长为12的正方形，因此本题答案为122×2=288平方厘米．23. 如下图所示，六边形ABCDEF为正六边形，P为对角线CF上一点，若三角形PBC、三角形PEF的面积分别为3平方米与4平方米，则正六边形ABCDEF的面积是平方米．【答案】21【分析】如下图所示，连接BF、CF，三角形ABF的面积是平行四边形ABOF面积的一半．六边形ABCDEF的面积是平行四边形ABOF的3倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形ABF的面积的6倍．三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和是平行四边形BFEC面积的一半．而六边形ABCDEF的面积是平行四边形BFEC的1.5倍，故六边形ABCDEF的面积是三角形BCP的面积与三角形EFP的面积和的3倍．所以，由△PBC、△PEF的面积分别为3与4，可知正六边形ABCDEF的面积是(3+4)×3=21（平方米）．24. 给定一个正六边形，用不相邻的顶点所连的线段可以将这个正六边形分割为4个三角形，例如，下图所示的是两种不同的分割方法，那么，不同的分割方法一共有种．【答案】14【分析】每次绕中心旋转60∘，一共可以得到6种不同的分割方法；每次绕中心旋转60∘，一共可以得到6种不同的分割方法；每次绕中心旋转60∘，一共可以得到2种不同的分割方法；综上所述，一共有6+6+2=14(种)不同的分割方法．25. 如下图所示，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12．图中阴影部的面积是．【答案】324【分析】如下图所示，阴影部分被分为3个相同的部分，每一个部分由两个三角形构成；其中一个三角形是腰为12的等腰直角三角形，面积为12×12÷2=72，另一个三角形底为12，高为12×12=6，面积为12×6÷2=36．每一个部分面积为72+36=108．阴影部分面积为108×3=324．26. 如下图所示，已知△ABC的面积是12平方厘米，以正六边形的边长为正方形的边长，向外做了6个正方形，最后以正方形的边长为等边三角形的边长，做了6个小等边三角形，这六个小三角形的面积之和是平方厘米．【答案】24【分析】△ABC可以分成三个等腰三角形，那么这个正六边形的面积为△ABC的两倍，即24平方厘米．正六边形又可以分割成6个和阴影一样的等边三角形，那么这六个小三角形的面积之和也为24平方厘米．27. 如图所示，是正方形内部最大的正十二边形，正方形与正十二边形的边长差为，那么正十二边形的面积是．【答案】54【分析】连接OQ，ON，QN．QON=60°，OQ=QN，所以 QON为正三角形．由勾股定理得OQ=ON2=QN2=DQ2+DN2=2×(62)2=18另一方面，正十二边形面积为1 2×12×r×r2=3r2所以阴影部分面积为3×ON2=3×18=5428. 已知一正多边形，其每个内角小于150∘，且大于120∘，试求出此多边形可能是哪几种正多边形？【答案】可能是正六、七、八、九、十、十一边形．【分析】正五边形的每个内角是120度，正十一边形的每个内角约是147度，所以这个正多边形可能是正六、七、八、九、十、十一边形．29. 下图中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是10cm2，求正六边形的面积．【答案】15cm2【分析】如下图所示，三角形分割成4个小等边三角形，六边形分割成6个小等边三角形．因为三角形与六边形的周长相等，所以每个小等边三角形的边长相等，从而面积相等．六边形的面积是三角形的1.5倍，所以面积为10×1.5=15cm2．30. 有一个正多边形，它的内角的度数是它外角度数的8倍，这个正多边形共有多少条边？【答案】18条【分析】正n边形外角和360∘，内角和是180∘×(n−2)，根据题意180∘×(n−2)=360×8,解得n=18.31. 比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子的5边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起．如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？【答案】20块．【分析】对于每一条边，以它为一条边的皮子只有两块，我们考虑两侧皮子是一黑一白的边，不妨称之为混色边．每条混色边都要与一块黑皮子相邻，一共有12块黑皮子，每块黑皮子的5条边都是混色边，故混色边共有12×5=60条．每条混色边都要与一条白皮子相邻，每块白皮子恰有3条混色边，所以这个足球有白色正六边形皮子60÷3=20块．32. 如图，连接正六边形ABCDEF（即AB=BC=CD=DE=EF=FA）的各边中点，得到一个较小的正六边形，它的面积是正六边形ABCDEF面积的几分之几？【答案】四分之三【分析】因为正六边形的一个内角：(6−2)×180∘÷6=120∘，∠GBH=∠GIH=120∘，∠IGH=∠BGH=30∘，GH=GH，所以△GBH与△GIH面积相等且完全一样，即3△BGH的面积是一个△GOH的面积，所以大正六边形有8个△GOH，小的正六边形有6个△GOH，所以它的面积是正六边形ABCDEF面积的四分之三．33. 如图，在一个面积为60的正十二边形内，有一个小正方形，求阴影部分面积．【答案】10【分析】根据正十二边形的画法，正十二边形可以分为六个正方形和十二个正三角形（均以正十二边形的边长为边长），而阴影部分为1个正方形和2个正三角形，为整个正十二边形的1，阴影部分的面积是10．634. 如图，正六边形的面积为24平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】6【分析】将正六边形等分成24个形状、大小都相等的正三角形，那么阴影的面积是24÷24×6=6(平方厘米)．35. 早在公元前300多年前，古希腊著名科学家欧几里德就在他的旷世名著《几何原本》一书中记载了几何学中最基本、最引人入胜的一条著名定理：“三角形的内角和等于180度”．我们的问题是：①四边形的内角和等于多少度（见下图）？答：．五边形的内角和等于多少度（见下图）？答：．②进一步，如果把多边形的边数记住n，你能够归纳出n边形的内角和的计算公式吗？答：公式为．③在家庭装修中，经常采用各种正多边形（注：正多边形就是各条边均相等且各内角也相等的多边形）的瓷砖搭配出各式各样的地面图案．小明家装修时采用了三种正多边形瓷砖铺地面，这三种型号的瓷砖可以围绕着地面上的一点既不重叠又不产生漏洞的拼接起来．其中一种型号是正方形，另一种型号是正六边形，你知道第三种型号的多边形瓷砖的边数是多少吗？请写出你的计算过程．【答案】①360∘，540∘②(n−2)×180∘③第三种型号的多边形瓷砖边数是3或12．【分析】③正方形每个内角为90∘，正六边形每个内角为120∘，要拼接起来需要拼接360∘．当一个正多边形内角360∘−90∘−120∘=150∘时，由180(n−2)=150n，得n=12，当一个正多边形内角360∘−90∘−90∘−120∘=60∘时，由180(n−2)=60n，得n=3，当一个正多边形内角360∘−90∘−120∘−120∘=30∘时，这样的多边形不存在，因此第三种型号的多边形瓷砖边数是3或12．36. 如下图，ABCDEF是正六边形，O是它的中心．画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF 分成了两个形状、大小都相同的五边形．能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？【答案】【分析】（1）画3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形，答案如下：（2）把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形，答案如下：（3）把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形，答案如下：37. 如图，若多边形ABCDE为正五边形，试求角BAC和角ACD的度数．【答案】36度、72度．【分析】正五边形的内角和是540度，则角B=540度÷5=108度，角BAC=(180度−108度)÷2=36度、角ACD=108度−36度=72度．38. 画一条直线，将一个正六边形分割成形状相同、大小相等的两部分，共有多少种不同的分法？【答案】无数种【分析】如图进行分割：只要满足直线经过正六边形中心即可．39. 如图，正八边形中的阴影部分的面积是125平方厘米，问：正八边形的面积是多少平方厘米？【答案】500【分析】 该等腰梯形占正八边形面积的 14，所以正八边形的面积是 125×4=500(平方厘米)．40. 如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米．问：图形的总面积是多少平方厘米？【答案】 48【分析】从原图中取出原图的 16，如上图，其中的阴影部分占右图的 13．所以原阴影部分也是总面积的13．图形的总面积为 16÷13=48(平方厘米)．41. 如图，若多边形 ABCDE 为正五边形，试求 ∠BAC 和 ∠ACD 的度数．【答案】 36；72【分析】正五边形的每个内角是108度，AB=BC，所以∠BAC=∠BCA=(180−108)÷2=36度，∠ACD=108−36=72度．42. 在下图的正八边形中，长方形的面积是正八边形面积的几分之几？【答案】12【分析】如下图，正八边形可以分成四个全等的长方形和八个全等的等腰直角三角形，而长方形部分是两个全等的长方形和四个全等的等腰直角三角形，正好是八边形面积的1．243. 如图，正六边形ABCDEF的面积是24平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF 中点．求三角形MNP的面积．【答案】9【分析】观察阴影所占的份数即可．44. 如图所示，一个正六边形的面积为36平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【答案】12【分析】把图形进行如下图的分割，我们发现，阴影部分面积实际上是三角形OAB面积的．二倍，而三角形OAB面积又是六边形面积的16因此阴影部分面积为36÷6×2=12.45. 如果一个边长为a的正三角形的面积是b，那么一个边长为a的正十二边形面积是多少？【答案】6a2+12b【分析】将正十二边形做如下图所示的划分，可以看出一个正十二边形由6个边长为a的正方形和12个边长为a的正三角形组成，面积为6a2+12b．46. 如图，CDGHI为正五边形，ABCDEF为正六边形，试求∠BCI的度数．【答案】12∘【分析】正五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘,所以正五边形的内角是540∘÷5=108∘,即∠DCI=108∘.正六边形的内角和为(6−2)×180∘=720∘,所以正六边形的内角是720∘÷6=120∘,即∠DCB=120∘.于是∠BCI=∠DCB−∠DCI=120∘−108∘=12∘.47. 如图所示，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？【答案】168∘【分析】正五边形的内角和是(5−2)×180∘=3×180∘=540∘,每个内角是540∘÷5=108∘.而△CDF是正三角形，每个内角是60∘，因此∠CFD=∠FCD=60∘.而∠BCF=108∘−60∘=48∘,是等腰△BCF的顶角，因此∠BFC=(180∘−48∘)÷2=66∘,同理∠DFE也等于66∘．于是∠BFE=360∘−∠BFC−∠CFD−∠DFE=360∘−66∘−60∘−66∘=168∘.48. 如图，正六边形的面积为6平方厘米，那么阴影部分的面积是多少．【答案】2平方厘米【分析】经过割补，阴影部分面积等于两个三角形面积．6÷6×2＝2(平方厘米)．49. 连结正六边形一部分边的中点，可以得到如下图形，如果这个图形的面积是20，那么正六边形的面积是多少？【答案】40【分析】将原图进行格点分割，可以看出六边形被分割成24个大小相同的小正三角形，同时阴影三角形的大小等于12个小正三角形的面积，所以六边形面积为20÷12×24=40.50. 如下图所示，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角形面积是多少平方厘米？【答案】48平方厘米【分析】如下图所示，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等（能完全重叠地放在一起）的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后有6×4=24(个)与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面积是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．51. 如图，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？【答案】 2.25平方厘米【分析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6÷24=0.25(平方厘米),三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积=0.25×9=2.25(平方厘米).52. 如图所示，正六边形的面积是36平方厘米，那么阴影的面积是多少平方厘米？【答案】12平方厘米【分析】如下图，易得阴影的面积是36÷6×2=12平方厘米．53. 如图，一个面积为54平方厘米的正六边形，阴影部分是六个一样的等腰三角形，则阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】 18【分析】 如图分割，可以看出阴影部分占正六边形的 13，面积为 13×54=18．54. 如图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？【答案】 36【分析】 枚举：边长为 1：3+4+5+4+3=19 个；边长为 2：2+3+2=7 个；边长为 3：1 个，其中边长为 2 的六边形中，连接各边中点可构成 7 个新的六边形．边长为3的六边形中，连接各边三等分点可构成2个新的六边形．共有：19+7+1+7+2=36个．55. 正12边形的内角和是多少度？【答案】1800度．【分析】由多边形内角和公式可得：(12−2)×180=1800度．56. 如图，一个正十二边形的中心到各个顶点的距离为1厘米，则这个正十二边形的面积为多少平方厘米．【答案】3【分析】正十二边形可以分割成6个如下的图形ABCD，此图形的面积为1 2×1×1=12,所以正十二边形的面积为6×12=3(平方厘米).57. 如图，将一个正五边形和一个正六边形放置在同一条直线上，请问角CBG为多少度？【答案】角CBG=84【分析】六边形每个内角(6−2)×180度÷6=120度，正五边形每个内角(5−2)×180度÷5=108度，角BAH=180度−120度=60度，角AHB=180度−108度=72度，角ABH=180度−60度−72度=48度，角CBG=360度−120度−108度−48度=84度．58. 观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形．【答案】见解析．【分析】几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形．59. 如图：将一个正五边形和一个正六边形放置在同一条直线上，请问角ABH为多少度？【答案】48【分析】角BAF=120度，角BHK=108度，所以角BAH=60度，角BHA=72度，因为三角形内角和为180度，所以角ABH=180度−角BAH−角BHA=48度．60. 某正多边形的一个外角为36度，那么这个正多边形共有多少条边？【答案】10=10(条)．【分析】3603661. 如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度（小于180∘的）？。
小学奥数题库《几何》-曲线型-圆环-2星题(含解析)
几何-曲线型几何-圆环-2星题课程目标知识提要圆环•概述圆环是由两个半径不相等的同心圆构成的，大圆面积比小圆面积多的部分就是圆环。
•面积公式S=πR2−πr2=π(R2−r2)精选例题圆环1. 如下图所示，已知圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是平方厘米．（π取3.14）【答案】45【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π(R2−r2)=141.3(平方厘米),所以阴影部分面积为R2−r2=141.3÷3.14=45(平方厘米).2. 如下图所示，有10个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．如果射击时命中最里面的小圆得10环，命中最外面的圆环得1环．得1环圆环的面积是10环圆面积的倍．【答案】19【分析】1环、2环、10环的外圈的圆的半径值比为10:9:1，面积比为100:81:1，1环面积是10面积的(100−81)÷1=19倍．3. 如下图所示，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是平方厘米．（π取3.14）【答案】157平方厘米【分析】将小正方形转45∘，如下图所示，可以看出大正方形的面积是小正方形面积的两倍，所以大圆面积是小圆面积的两倍．因为大正方形面积是400平方厘米，所以大圆面积为314平方厘米，小圆面积为157平方厘米，圆环面积为314−157=157(平方厘米)．4. 如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环面积是平方厘米．（π取3.14）【答案】157【分析】如图所示，由大正方形的面积为400平方厘米知AB=20(厘米)．取圆心O，AB中点M，连接OM交小正方形于点E，连接OB交大圆于点F．于是MB=OM=OF=10(厘米),易知△OEF为等腰直角三角形，所以2OE2=OF2=100(平方厘米),于是OE2=50(平方厘米),所以圆环的面积为π⋅OM2−π⋅OE2=π×102−π×50=50π≈157(平方厘米).5. 两个半径不等的同心圆，内圆半径3cm，外圆直径8cm，圆环面积是多少？【答案】21.98平方厘米．【分析】注意外圆的直径是8cm，半径应是4cm，那么圆环的面积是π×4×4—π×3×3=21.98(平方厘米).6. 在直径为6米的圆形花坛的外面，围绕着一条宽1米的环形小路，这条小路的面积是多少？【答案】21.98平方米．【分析】此题相当于知道小圆直径和环宽，求圆环的面积．小圆半径3米，大圆半径4米，圆环的面积是21.98平方米．7. 大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．（圆周率取3.14）【答案】157平方厘米【分析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是R2−r2=50平方厘米，那么环形的面积为：πR2−πr2=π(R2−r2)=π×50=157(平方厘米)．8. 图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．（π取3.14）【答案】157平方厘米【分析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是R2−r2=50平方厘米，那么环形的面积为：πR2−πr2=π(R2−r2)=π×50=157(平方厘米).9. 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．（π=3.14）【答案】 4.1平方厘米．【分析】⑴每个圆环的面积为：π×42−π×32=7π=21.98(平方厘米)⑵五个圆环的面积和为：21.98×5=109.9(平方厘米)⑶八个阴影的面积为：109.9−77.1=32.8(平方厘米)⑷每个阴影的面积为：32.8÷8=4.1(平方厘米)10. 已知与小圆相切的线段长度是10厘米，那么图中圆环的面积是多少？【答案】 25π 平方厘米【分析】连接 OC 、OB ，则 OC ⊥AB ，在直角三角形 OBC 中，OB 2−OC 2=BC 2=(12AB)2=25, 图中圆环的面积为πR 2−πr 2=π(R 2−r 2)=π×(OB 2−OC 2)=25π(平方厘米).11. 图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴．已知纸的厚度为 0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【答案】71.4米．【分析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．因此，纸的长度≈纸卷侧面积纸的厚度≈3.14×102−3.14×320.04=3.14×(100−9)0.04=7143.5(厘米)所以，这卷纸展开后大约71.4米．12. 图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积．【答案】157cm2．【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有R 22−r22=25，即R2−r2=50.则圆环面积为：πR2−πr2=π(R2−r2)=50π=157(cm2).13. 如图所示，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米．求阴影部分的面积．（π取3.14）【答案】78.5平方厘米．【分析】如图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段作垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形，由勾股定理可得R2−r2=52=25,所以图中阴影部分面积为πR2−πr2=π×(R2−r2)=25π=78.5(平方厘米).14. 图中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【答案】157平方厘米．【分析】记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为π(R2−r2)，只要能够求出R2−r2即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于12(R2−r2)，所以R2−r2=2×25=50(厘米).由此可得圆环面积等于50×3.14=157(平方厘米).15. 如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【答案】9388.6【分析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为π×(1802)2−π×(502)2=7475π(平方厘米),如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米（即0.025厘米），所以长为7475π÷0.025=938860(厘米)=9388.6(米).所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．16. 如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径是20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？（π取3.14）【答案】 65.94【分析】 卷纸问题：依据体积不变原则求解，缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：[π×(202)2−π×(82)2]×100=8400π(立方厘米)薄膜展开后为一个长方形，体积保持不变，而厚度为 0.04 厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π÷0.04=659400(平方厘米)=65.94(平方米).17. 如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 20 厘米，中间有一直径为 8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？【答案】 65.94 平方米．【分析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：[π×(202)2−π×(82)2]×100=8400π(立方厘米), 薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为 0.04 厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π÷0.04=659400(平方厘米)=65.94(平方米).另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为π×(202)2−π×(82)2=84π(平方厘米),展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π÷0.04=6594(厘米),所以展开后薄膜的面积为6594×100=659400(平方厘米)=65.94(平方米).。
完整版)小学奥数几何(燕尾模型)
完整版)小学奥数几何(燕尾模型)燕尾定理是一个关于三角形内部相交线段和三角形面积比的定理。
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么，S△下面通过一个例题来证明燕尾定理：如图，D是BC上任意一点，请你说明：解析：三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC 为底，所以有另外，还有一个关于四边形面积的例题：如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且解析：方法一：连接CF，根据燕尾定理，△ABF/△ACF=BD/DC=1/2，设△BDF的面积为1份，则△DCF的面积为2份，△ABF的面积为3份，△AEF的面积和△XXX的面积都为3份。
所以四边形DFEC的面积为11/12.方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD=S△ABC=1/3，S△ADE=S△ADC=(1/3)×S△ABC。
所以S△DEF=(1/2)×S△DEB=(1/2)×(2/3)×S△BEC=(1/3)×S△ABC=1 /3.而S△CDE=(1/3)×S△ABC。
所以四边形DFEC的面积为1−1/3−1/3=1/3.已知BD=3DC，EC=2AE，可以发现三角形ABC被分成的四个部分是三角形ABO、三角形AEO、三角形BDC和四边形BCOE。
因为BD=3DC，所以三角形BDC的底边BC上的高是三角形ABO的底边AO上的高的3倍，所以三角形BDC的面积是三角形ABO的面积的3倍。
同理，因为EC=2AE，所以三角形AEO的底边AE上的高是三角形ABO 的底边AO上的高的2倍，所以三角形AEO的面积是三角形ABO的面积的2倍。
因此，四个部分分别占据三角形ABO面积的1/6、1/3、3/10和2/15.解析】连接CF，设S△ABF=1份，则S△ACF=2份，S△CBF=3份，S△BDF=4份，S△DCF=8份。
由于S四边形DFEC=22，所以S△AFC+S△BDF+S△DCF=22.代入可得8份+4份+2份=22，因此S△ABC=3份。
小学奥数几何题、数论练习题
小学奥数几何题、数论练习题1.小学奥数几何题习题篇一1、一挂钟时针长10厘米,经过一昼夜时针的顶端走多少厘米?一昼夜走两圈走的路程为：2*2πr=2*2*3.14*10=125.6厘米2、小刚用一根长452.6分米的绳子绕一棵树干正好绕6圈,这棵树干的周长是多少厘米?横截面的面积是多少平方厘米?这棵树的周长为：452.6÷6≈75.4分米半径为：75.4÷(3.14*2)≈12分米横截面积为：3.14*12=452.16平方分米3、一根铁丝在一个圆形缸口上绕了3圈,正好用去3.768米,这个缸口的面积是多少平方米?这个缸口的'周长为：3.768÷3=1.256米半径为：1.256÷(3.14*2)=0.2米面积为：3.14*0.2=0.0628平方米2.小学奥数几何题练习题篇二例题：人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米？答案与解析：用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。
所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。
（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米）练习（1）：有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？练习（2）：一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？3.小学奥数数论练习题篇三有100名少先队员在岸边准备坐船去湖中离岸边600米的甲岛，等最后一人到达甲岛15分钟后，再去离甲岛900米的乙岛，现有机船和木船各1条，机船和木船每分钟各行300米和150米，而机船和木船可各坐10人和25人，问最后一批少先队员到达乙岛，最短需要多长时间？（按小时计算）分析：根据题意，先求出最后一批学生到达甲岛的时间，再求出最后一批学生到达乙岛所需要的时间，再由在甲岛休息15分钟，即可求出要求的答案。
三年级数学奥数专题训练几何
三年级数学奥数专题训练几何
三年级数学奥数专题训练：几何
一、目标
掌握基本的几何图形特征，如正方形、长方形、圆形、三角形等。
初步培养空间想象能力和逻辑推理能力。
能够运用所学知识解决简单的几何问题。
二、训练内容
图形的认识
正方形、长方形、圆形、三角形的定义和特征。
识别不同图形，并描述其特点。
图形的周长和面积
计算正方形、长方形的周长和面积。
了解周长和面积的概念，并初步掌握计算方法。
图形的变换
平移、旋转、对称等基本概念。
能够识别经过变换后的图形。
简单几何问题的解决
通过观察、分析、推理等方法，解决简单的几何问题。
初步培养解决问题的能力。
三、训练题目
一个正方形的边长是5厘米，它的周长是多少厘米？
一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，它的面积是多少平方厘米？
下列哪个图形是对称的？请画出对称轴。
A. 正方形
B. 三角形
C. 圆形
一个图形经过平移后，它的形状和大小有没有变化？
用8根火柴棒首尾顺次连接成一个三角形，能接成不同的三角形有多少个？
四、训练建议
在教学过程中，注重引导学生观察、思考和操作，培养学生的几何直觉和空间想象力。
通过小组合作和讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。
定期复习和巩固所学知识，确保学生能够熟练掌握基本几何概念和计算方法。
五、拓展内容
引入更复杂的几何图形，如梯形、菱形等，拓展学生的知识范围。
介绍一些基础的几何定理和公式，为后续学习打下基础。
通过实践活动或游戏，让学生在实际操作中感受几何的魅力，提高几何素养。
小学奥数：几何图形的认识.专项练习及答案解析
本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角． 锐角比直角小，钝角比直角大．（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．边边顶点直角锐角钝角知识点拨（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．顶角顶角边边角角角顶角边直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱． 腰腰下底上底半径直径半圆直径弧半径半径高宽长底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例 1】请看下图，共有个圆圈。
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小学奥数几何专题训练 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
六年级几何专题复习
如图，已知AB ＝40cm ，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接
而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。
(π取(几何)
有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。
(结头处绳长不计，π取 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。
(π取3)
如图，△ABC 中，点E 在AB 上，点F 在AC 上，BF 与CE 相交于点P ，如果S 四边形AEPF ＝S △BEP ＝S △CFP ＝4，则S △BPC ＝______。
如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实体圆柱
体，容器内盛有m 升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。
如果将容器倒
置，圆柱体有8厘米露出水面。
已知圆柱体的底面积是正方体底面积的 1/8，求实心圆柱体的体积。
在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是9，6，5，那么三角形DBE 的面积是
.
答案：
::()5:(96)1:3BDC ADE EDC DB DA S S S ∆∆∆=+=+=，
所以113(965)3445
EDB ABE ABC BD AE S S S BA AC ∆∆∆=⨯=⨯⨯=⨯⨯++=
如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF =DC ，且AD =2DE ．则两块田地ACF 和CFB 的面积比是______．
【分析】 连接BD ，设1CED S =△(份)，则2ACD ADF S S ==△△,设BED S x =△BFD S y =△，
则有122x y x y +=⎧⎨
=+⎩，解得3
4x y =⎧⎨
=⎩
，所以:(22):(431)1:2ACF CFB S S =+++=△△ 如图，H G F E 、、、、分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH 交于点
O ，123S S S 、、及4S 分别表示四个小四边形的面积．试比较13S S +与24S S +的
大小．
【分析】 连接AO 、BO 、CO 、DO ，则可判断出，每条边与O 所构成的三
角形被平分为两部分，分属于不同的组合，且对边中点连线，将四边形分成面积相等的两个小四边形，所以13S S +=24S S +．
如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？
［分析］ 如图，分层次来考虑：
（1）23
BMD ABD S S =⨯，23
BPD CBD S S =⨯，
所以22()3
3
MBPD ABD CBD ABCD S S S S =+⨯=⨯
又因为DOM
POM
S S =,MNP BNP S S =,
所以12
MNPO MBPD S S =；
121
233
MNPO ABCD ABCD S S S =⨯⨯=⨯．
（2）已知13
MJ BD =，23
OK BD =；
所以:1:2MJ BD =；
所以:1:2ME EO =,即E 是三等分点； 同理，可知F 、G 、H 都是三等分点； 所以再次应用（1）的结论，可知，
1111
3339
EFGH MNPO ABCD ABCD S S S S =⨯=⨯⨯=．
如图，正方形ABCD 和正方形ECGF 并排放置，BF 与EC 相交于点H ，已知AB =6厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米．
【分析】 连接DF 、CF ,可知四边形BDFC 是梯形，所以根据梯形蝴蝶定理
有BHC
DHF
S S =△△，又因为DHF DHG S S =△△,
所以66218BDC S S ==⨯÷=△阴影 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．
［分析］ 连接AD ，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方
形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=(平方厘米)．。