结构力学超静定结构总论
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9-1超静定结构的概念及超静定次数的确定
缺点
要求熟练掌握静定结构的构 造特点，否则易错。 基本结构与超静定次数判别 完全脱离，需另外选择。
最适用范围
构造相对简单 的结构 构造相对复杂 的结构
具体应用中建议先采用物理方法判别超静定次数，然后采用数学方法校 核。
注意的问题
超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，
但作为力法基本结构的静定结构必须几何不变。
§9-1 超静定次数和力法基本结构
超静定次数的判别
切断一个单刚结点（相当于去掉两个线位移约束和一个角位移约束）
X1 切断一个单刚 X2
X3
原结构
基本结构
数学方法：计算结构体系的自由度，如果自由度小于零，说明体系是
超静定结构，超静定次数为自由度的绝对值。 按平面链杆体系计算自由度： 结点数量8；链杆数量16；支杆数量3。 自由度W=2× (结点数)－(链杆数+支杆数) =2×8－(16+3)=－3 三次超静定。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
超静定次数
力法基本未知量和基本结构是相互对应的。
若选择静定结构作为基本结构，那么基本未知量就是多余约束力，故， 基本未知量的数量就是多余约束的数量。 多余约束的个数称为超静定次数。若一个结构有n个多余约束，则称其 为n次超静定结构。 几次超静定?
§9-1超静定结构的概念、超静定次数的确定
§9-1 超静定结构的概念
• 超静定结构的几何特征和静力特征
几何特征：有多余约束的几何不变体系。 静力特征：仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。 与静定结构相比的优点：内力分布均匀；能够内力重分布，抵抗破坏的能
结构力学第12章超静定结构总论
（4）计算工具 使用的计算工具越先进，计算简图就可以越精确。
§12-4 结构计算简图续论
结构体系的简化：
1 将空间结构分解为平的 横截面取出一个平面单 元按圆环进行计算
通过相邻纵向柱距的中 线，截出一个平面单元
§12-4 结构计算简图续论
为了保证结构的承载力，可取横向刚架进行计算
l
0
0 EA 0 l
0
12EI 6EI
1 l3 1 l2
12EI
1 l3
6EI
1 l2
kGe
对
和位移公式。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
2 位移法中的复杂单元
与通常作法的区别：
▲减少了未知数的个数。
▲需要的单元种类增加了， 不仅仅是等截面直杆。
实际结构
需要的单元种类可以是：
基本结构
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
3 子结构的应用 应用子结构进行分析的过程：
■刚架
M A SA* A
M B SB*B
§12-5 支座简图和弹性支撑概念
■直墙式隧道衬砌
§12-5 支座简图和弹性支撑概念
（2）结构的相邻部分互为弹性支撑，而且互相提供的弹性 支撑的强弱程度正好相反
§12-5 支座简图和弹性支撑概念
（3）当相邻部分刚度相差较大时，可按极限情况处理
■支座转动刚度≥20时，可简化为固定端，误差在5%以 内。 ■支座转动刚度≤ 20时，可简化为铰支座，误差在5%以 内。
§12-4 结构计算简图续论
5 离散化和连续化 离散化 将连续的因素转化为分散的或分段连续的因素。 连续化 将分散的因素转化为连续的因素。 （1）无铰拱的离散化
§12-4 结构计算简图续论
结构体系的简化：
1 将空间结构分解为平的 横截面取出一个平面单 元按圆环进行计算
通过相邻纵向柱距的中 线，截出一个平面单元
§12-4 结构计算简图续论
为了保证结构的承载力，可取横向刚架进行计算
l
0
0 EA 0 l
0
12EI 6EI
1 l3 1 l2
12EI
1 l3
6EI
1 l2
kGe
对
和位移公式。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
2 位移法中的复杂单元
与通常作法的区别：
▲减少了未知数的个数。
▲需要的单元种类增加了， 不仅仅是等截面直杆。
实际结构
需要的单元种类可以是：
基本结构
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
3 子结构的应用 应用子结构进行分析的过程：
■刚架
M A SA* A
M B SB*B
§12-5 支座简图和弹性支撑概念
■直墙式隧道衬砌
§12-5 支座简图和弹性支撑概念
（2）结构的相邻部分互为弹性支撑，而且互相提供的弹性 支撑的强弱程度正好相反
§12-5 支座简图和弹性支撑概念
（3）当相邻部分刚度相差较大时，可按极限情况处理
■支座转动刚度≥20时，可简化为固定端，误差在5%以 内。 ■支座转动刚度≤ 20时，可简化为铰支座，误差在5%以 内。
§12-4 结构计算简图续论
5 离散化和连续化 离散化 将连续的因素转化为分散的或分段连续的因素。 连续化 将分散的因素转化为连续的因素。 （1）无铰拱的离散化
超静定结构总论课件
实例分析
赵州桥
中国著名的古代石拱桥，采用弹性连接 超静定结构，具有较好的抗震性能。
VS
金门大桥
美国著名的钢斜拉桥，采用平衡超静定结 构，具有较高的承载能力。
超静定结构的优缺点及应用
优点
稳定性强
超静定结构由于有多余约束，可以提 供额外的稳定性，使得结构在受到外 力作用时不易发生过大变形。
承载能力高
和计算能力，设计过程相对复杂。
维护困难 超静定结构的维护和检修需要专业的 技术和设备支持，维护成本和维护难
度相对较大。
成本高 由于超静定结构的构造复杂，需要更 多的材料和施工成本，因此其成本相 对较高。
延性较差 超静定结构的延性相对较差，在地震 等突然作用下容易发生脆性破坏。
应用领域
桥梁工程
超静定结构在桥梁工程中应用广泛，如连续梁桥、 拱桥等。
THANKS
感谢观看
各杆件间通过弹性连接传递力和变形， 具有较好的抗震性能。
按受力特性分 类
平衡超静定结构
结构在受力状态下能保持平衡状态，如斜拉桥。
稳定超静定结构
结构在受力状态下需要依靠自身稳定性保持平衡，如拱桥。
按材料特性分 类
钢超静定结构
采用钢材制作，具有较高的承载能力和塑性变形能力。
混凝土超静定结构
采用混凝土制作，具有较好的抗压能力和耐久性。
工程应用进展
大型工程应用
超静定结构在大型工程中得到了广泛应用，如大型桥梁、高层建筑 等，其优良的性能和稳定性得到了充分验证。
新型超静定结构体系
随着研究的深入，出现了多种新型超静定结构体系，如预应力超静 定结构、杂交超静定结构等，满足了多样化的工程需求。
跨学科应用
超静定结构在跨学科领域也得到了应用，如生物医学、航天航空等， 展现了广泛的应用前景和发展潜力。
结构力学 力法计算超静定结构
项目三 超静定结构的内力计算
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
《工程力学》超静定结构.
5、莫尔积分计算多余约束处的相应位移；
5、用能量法计算梁的弯曲变形。
q
莫尔积分法
x
RB
梁的弯矩方程： MRBx1 2q2x
在B处加一单位力
1.0
单位力作用下弯矩方程为： M(x)1x
进行莫尔积分
1.0wB0l M(xE )M I(x)dx
1 .0w B E 10 lI(R B x2 1q2x )xdx
L
L
P
L/2 L/2
9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
L1
P
L2
EI1
EI2
10、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直 角拐的抗扭刚度GIｐ＝4 EI /5，拉杆CD 的抗拉 压刚度相等EA＝2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗 弯刚度。求CD杆的内力。
钢杆，长为L＝1000毫米，材料的弹性模量为E＝200GPa，剪
变模量G＝0.4E，许用应力为[σ]=100Mpa,且不考虑剪力的影
响。试根据强度条件确定最大允许的装配误差△，以及B1和B2 间的相互作用力。
A D
L
B1
L
B2 L
C
7、水平曲拐ABC为圆截面折杆，在C端的上方有一铅垂杆 DK。制造时DK做短了Δ。曲拐AB段和BC段的抗扭刚度和抗 弯刚度皆为EI、GIP。且GIP＝4 EI /5。杆DK的抗拉刚度为 EA，且EA＝2EI/(5a2)。求①:在AB段的B端加多大的扭矩， 才可使C点刚好与D点接触。②若C、D两点接触后，用铰链 将C、D两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时DK 杆的轴力和固定端A截面的内力。
多余约束 （以方便为准）
建立 2 在未知力处
5、用能量法计算梁的弯曲变形。
q
莫尔积分法
x
RB
梁的弯矩方程： MRBx1 2q2x
在B处加一单位力
1.0
单位力作用下弯矩方程为： M(x)1x
进行莫尔积分
1.0wB0l M(xE )M I(x)dx
1 .0w B E 10 lI(R B x2 1q2x )xdx
L
L
P
L/2 L/2
9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
L1
P
L2
EI1
EI2
10、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直 角拐的抗扭刚度GIｐ＝4 EI /5，拉杆CD 的抗拉 压刚度相等EA＝2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗 弯刚度。求CD杆的内力。
钢杆，长为L＝1000毫米，材料的弹性模量为E＝200GPa，剪
变模量G＝0.4E，许用应力为[σ]=100Mpa,且不考虑剪力的影
响。试根据强度条件确定最大允许的装配误差△，以及B1和B2 间的相互作用力。
A D
L
B1
L
B2 L
C
7、水平曲拐ABC为圆截面折杆，在C端的上方有一铅垂杆 DK。制造时DK做短了Δ。曲拐AB段和BC段的抗扭刚度和抗 弯刚度皆为EI、GIP。且GIP＝4 EI /5。杆DK的抗拉刚度为 EA，且EA＝2EI/(5a2)。求①:在AB段的B端加多大的扭矩， 才可使C点刚好与D点接触。②若C、D两点接触后，用铰链 将C、D两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时DK 杆的轴力和固定端A截面的内力。
多余约束 （以方便为准）
建立 2 在未知力处
结构力学(I)-结构静力分析篇4-2 超静定结构计算
6i k12 k 21 l 15i k 22 2 l
M2
k 22
6i 4i
12i l2 3i l2
23 / 69
第四章
FP
1 FP l 2
超静定结构计算
9 Z1 FP l 76i 13 Z2 FP l 2 114i
M Z1 M 1 Z 2 M 2 M P
利用反力互等定理，尽量选取结 点力矩方程求系数会减少工作量
第四章
4i 8i
Z2 1
超静定结构计算
3i
Z1 1
M1
k 21
8i
k 22
3i
k11
3i l
M2
12i l
12i l
12i l
k12
3i l
k
k
45 / 69
第四章
1 2 ql 12
超静定结构计算
R2 P
q
1 2 1 2 ql ql 12 8
1 2 ql 12
MP
1 2 ql 8
k11 11i
第四章
q
超静定结构计算
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
30 / 69
第四章
q
超静定结构计算
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
31 / 69
1 FP l 2
FP
MP
R1P R2 P
FP
38
16 50
FP l ) 76
M2
k 22
6i 4i
12i l2 3i l2
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第四章
FP
1 FP l 2
超静定结构计算
9 Z1 FP l 76i 13 Z2 FP l 2 114i
M Z1 M 1 Z 2 M 2 M P
利用反力互等定理，尽量选取结 点力矩方程求系数会减少工作量
第四章
4i 8i
Z2 1
超静定结构计算
3i
Z1 1
M1
k 21
8i
k 22
3i
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3i l
M2
12i l
12i l
12i l
k12
3i l
k
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第四章
1 2 ql 12
超静定结构计算
R2 P
q
1 2 1 2 ql ql 12 8
1 2 ql 12
MP
1 2 ql 8
k11 11i
第四章
q
超静定结构计算
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
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第四章
q
超静定结构计算
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
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1 FP l 2
FP
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R1P R2 P
FP
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FP l ) 76
结构力学 超静定结构总论
第十四章
超静定结构总论
• 基本解法的分类和比较 • 基本解法的推广和联合应用
• 混合法与近似法 • 超静定结构的特性 • 关于计算简图的补充讨论
§14-1 超静定结构解法的分类和比较
手 基本形式
算
能量形式
渐近形式
力法类型 力法
余能法 （渐近力法）
位移法类型 位移法 势能法
力矩分配法、无剪力分配法
电算 矩阵形式
变形条件：
11X1 12X 2 133 144 1P 0
21X1 22X 2 233 244 2P 0
X2 X1
平衡条件： M B 0, M BA M BC M BD 0
M D 0, M DB M DE M DF 0
六个多余 未知力， 两个结点 位移。用 位移法作。
A
θ3 B
C
θ4
DF E
对称问题按位
P移法或力矩分源自配法计算，反对称问题按力
法或无剪切分
配法计算。
P/2 P/2
对 称
P/2 P/2
反 对 称
§14-3 混合法
混合法的基本特点是：基本未知量中既有位移，又有力。
两个多余 未知力， 五个结点 位移。用 力法作。
合理的方法是混合法：
基本未知量：X1 X2θ3θ4 基本方程：变形条件、平衡条件。
2）忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架
分成一层一层地计算。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
除底层柱底外，其余各柱端是 弹性固定端。故将上层各柱的 i×0.9,传递系数改为1/3。
二、反弯点法 （适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构）
假设：横梁为刚性梁；结点无转角。柱的反弯点在其中点。
超静定结构总论
• 基本解法的分类和比较 • 基本解法的推广和联合应用
• 混合法与近似法 • 超静定结构的特性 • 关于计算简图的补充讨论
§14-1 超静定结构解法的分类和比较
手 基本形式
算
能量形式
渐近形式
力法类型 力法
余能法 （渐近力法）
位移法类型 位移法 势能法
力矩分配法、无剪力分配法
电算 矩阵形式
变形条件：
11X1 12X 2 133 144 1P 0
21X1 22X 2 233 244 2P 0
X2 X1
平衡条件： M B 0, M BA M BC M BD 0
M D 0, M DB M DE M DF 0
六个多余 未知力， 两个结点 位移。用 位移法作。
A
θ3 B
C
θ4
DF E
对称问题按位
P移法或力矩分源自配法计算，反对称问题按力
法或无剪切分
配法计算。
P/2 P/2
对 称
P/2 P/2
反 对 称
§14-3 混合法
混合法的基本特点是：基本未知量中既有位移，又有力。
两个多余 未知力， 五个结点 位移。用 力法作。
合理的方法是混合法：
基本未知量：X1 X2θ3θ4 基本方程：变形条件、平衡条件。
2）忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架
分成一层一层地计算。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
除底层柱底外，其余各柱端是 弹性固定端。故将上层各柱的 i×0.9,传递系数改为1/3。
二、反弯点法 （适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构）
假设：横梁为刚性梁；结点无转角。柱的反弯点在其中点。
结构力学 力法计算超静定结构
Δ1 = 0 称为位移协调条件。
（ 3 – 1）
情景二 力法的基本原理和典型方程
知识链接
Δ1 = 0 的物理意义：基本结构在荷载与 X1 的共同作用下，B 处所产 生的竖向位移应等于原结构 B 处的实际竖向位移（因原结构 B 处无
竖向位移，故 Δ = 1 0 ）。根据叠加原理，基本结构在 q 与 X1 的 共同作用下，产生的 B 处竖向位移 Δ1，应等于 q 与 X1 分别单独作 用在基本结构 B处的竖向位移的叠加，即
情景二 力法的基本原理和典型方程 知识链接
情景二 力法的基本原理和典型方程
知识链接 2．力法原理
如图 3 – 17a 所示一次超静定梁，去掉支座 B，用多余未知力 X1 代 替，得如图 3 – 17b 所示的基本结构。由前述知，只要设法求出多 余未知力 X1，则其余支反力和内力的计算就与静定结构完全相同。 但仅靠平衡条件无法求出 X1，因为在基本结构中除 X1 外还有三个 支座反力未知，故平衡方程数目少于未知力数，其解值是不定的。 为求出未知力 X1，将图 3 – 17a 所示超静定梁与图 3 – 17b 所示静 定梁的受力条件和变形条件进行比较。
Δ11=δ11X11，于是上述位移条件（3–2）可写成
δ11X11 + Δ1P= 0
(3-3)
此方程为力法的基本方程。δ11 和 Δ1P 都是静定结构在已知力作用下 的位移，完全可以由项目二中所述方法求得，于是多余未知力 X 1 即可
由式（3–3）求得。这种以多余未知力为基本知量，通过基本结构，利
用计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法称为力法。 为了计算 δ11 和 Δ1P ，分别作基本结构在荷载作用下的弯矩图 MP 和
由于原结构在b点的位移为零因此基本结构在荷载和多余未知力共同作用下b点沿x1x2x3方向的水平位移竖向位移和角位移也都应该为零即b处应满足位移条件102030项目实施情景二力法的基本原理和典型方程x11单独作用时沿x1x2x3方向位移分别为112131
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§12-2 分区混合法
例题 试用混合法求解刚架。
解 （1）选取基本未知量 （2）建立混合法基本方程
基本体系
11X1 122 D1P 0
M BA M BC M BD 0
§12-2 分区混合法
（3）求系数和自由项
11
1 2
5
3
2
1 3
1 2
4
3
2
7 3
1 2
4 7 1
27 3
m2
FP EI
M M1X1 M22 MP
§12-2 分区混合法
4 混合分区的典型方程
k
k
X
DP FP
0 0
——a区与力X相应的柔度矩阵
k ——b区与位移Δ相应的刚度矩阵
——由位移Δ引起的沿力X方向的位移影响系数矩阵
k ——由力X 引起的沿位移Δ方向的约束力影响系数矩阵
§12-2 分区混合法
3 基本方程中的四类系数和两类自由项
11 X1 122 D1P 0
k21 X1 k222 F2P 0
§12-2 分区混合法
11 a
2
M1
a
144 m3 ds
EI
EI
k21 6 m, 12 6 m
D1P a
M1
a
M
P
a
EI
d s 12 m3 EI
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
对超静定结构分析作一综合性的回顾，并作一些补充 第一、对计算方法加以比较和引申。
将力法中静定的基本结构引申到超静定的基本结构； 将位移法中的简单单元引申到复杂单元、子结构。 第二、补充混合型解法——分区混合法。 第三、对超静定结构的力学特征加以归纳和总结 第四、对结构计算简图作进一步讨论 第五、对剪切变形对超静定结构的影响作进一步讨论
（5）解方程
X1 30.03kN 2 12.55
§12-2 分区混合法
（6）作弯矩图 M M1X1 M P
§12-3 超静定结构特性
1 多余约束的存在及其影响
（1）防护能力：超静定结构具有较强的防护能力。 （2）荷载作用范围和大小
超静定结构内力分布比静定结构均匀，内力峰值也要小些。
§12-3 超静定结构的特性
温度和沉陷等变形引起的内力一般与刚度的绝对值成正比
§12-3 超静定结构的特性
（1）设计时要注意防止、消除或减轻自内力的影响
▲地基的不均匀沉降是产生自内力、发生工程事故的 主要原因之一。 ▲上部结构温度变化会产生自内力，建筑物超过一定 长度时要设温度缝，将建筑物基础以上部分分开。 （2）主动利用自内力来调节超静定结构的内力。
FP
k22 b
2
M 2 b d s 2 EI
EI
m
F2P F2P a F2P b 2m FP 2m FP 4m FP
§12-2 分区混合法
144 m3
EI
12 m3
X1 6 m 2 EI
FP 0
6m
X1
2 m
EI 2
4 m FP
0
X1
4m 27
FP
2
14 9
M M1X1 MP
M
图
P
M图
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
位移法求解：
k111 F1P 0
M
图
1
基本结构
3i k11 24 i 7
k11
45i 7
F1P
3ql 2 56
1 F1P k11 ql 2 120i
M M11 M P
M
Байду номын сангаас
图
P
ql 2 ql 2 8 14 F1P
M图
§12-2 分区混合法
实际结构
1分区混合的基本未知量 和基本体系
多余约束少、结点位移多的部分
——用力法分析（a区） ； 多余约束力多、结点位移少的部分
——区用位移法分析（b） 。
2 混合分区的基本方程 ——变形协调条件和平衡条件
基本体系
11 X1 122 D1P 0
k21 X1 k222 F2P 0
（3）刚度和稳定性
刚度和稳定性都比静定结构强。
§12-3 超静定结构的特性
2 各杆刚度改变时对内力的影响
ij
MiM j
ds
FNi FN j
d s kFQi FQ j
ds
超静定结构的内力与各 杆刚度的相对值有关
EI
EA
GA
iP
MiM P d s FNi FNP d s kFQi FQP d s 通过改变杆件的刚
首先，将整个结构划分为几个子结构； 然后，分别确定子结构的刚度或柔度特性； 最后，将子结构进行整体分析。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
4 例题 已知：EI=常数。 求：连续梁内力。
力法求解：11 X1 1P 0
11
5l 8EI
1P
ql 3 16EI
M
图
1
X1
1P
11
ql2 10
预应力——典型例子
§12-4 结构计算简图续论
结构力学内容涉及三个方面： ▲把实际结构抽象为力学模型——计算简图； ▲对力学模型进行力学分析； ▲把力学分析结果用于结构设计。
EI
EA
GA
度改变内力分布
§12-3 超静定结构的特性
3 温度和沉陷等变形因素的影响
11 X1 12 X 2 L 1n X n 1t 1c 0 21 X1 22 X 2 L 2n X n 2t 2c 0
LLL
n1 X1 n2 X 2 L nn X n nt nc 0
M M1X1 M2X2 L Mn Xn FN FN1 X1 FN2 X 2 L FN n X n FQ FQ1 X1 FQ2 X 2 L FQn X n
和位移公式。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
2 位移法中的复杂单元
与通常作法的区别：
▲减少了未知数的个数。
▲需要的单元种类增加了， 不仅仅是等截面直杆。
实际结构
需要的单元种类可以是：
基本结构
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
3 子结构的应用 应用子结构进行分析的过程：
第六、补充连续梁最不利荷载分布和内力包络图。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
1 力法中的超静定基本结构 力法中的基本结构也可以是超静定的。
实际结构
力法方程：
11X1 12 X2 1P 0 11X1 12 X2 1P 0
基本结构
与静定基本结构的区别： ▲减少了未知数的个数。 ▲需要使用超静定单元的内力
110.3
由几何关系，得 12 7
由图乘法，得
D1P
1 3
5 160
3 4
3
1 3
41605 3400
§12-2 分区混合法
（4）求杆端弯矩
由杆件的刚度方程，得
M BA
4iAB2
4
3 4
2
32
M BC
4iBC2
4
1 4
2
2
由平衡条件，得
M BD 7 X1 160
故
42 7 X1 160 0