理论力学-第三章刚体力学3资料
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第3章刚体力学基础讲解
的转动惯量。
z
解：
dJ x2dm
dm o
dm dx m dx
x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
例3-2 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并 与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：dJ r 2dm
dm 2 rdr
J 2 R r3dr 0
第三章 刚体力学基础
§３-1 刚体定轴转动 运动学
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二. 刚体的运动
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动 1.平动 运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
相加
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
i
i
i
F内力ri sini 0 令 F外力ri sini M
i
J miri2 i
i
M J
转动定律
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
三. 刚体定轴转动的描述
1.角坐标 (t)
从上往下看，逆时针为正，顺时针为负
2.角速度 d 单位： rad s 1或 s 1
dt
刚体定轴转动：转动方向用正负表示
刚d体非0 定轴0转逆动时z：r针用转矢v动量;
d0 表示
0 P
0
顺时针转动
参考平面
x 参考轴
3.角加速度
理论力学第三章刚体力学 ppt课件
正常转动，赝张量的变换多出一个负号。
对于张量，可定义如下运算：
1）相等。
设A和B为两个同阶张量，如果它们的所有分量相等，
即
A ... B ... ，则称它们相等，记为A = B.
2）加法。
两个同阶张量A和B的和定义为 C ...＝A ...＋B ... 它仍为一个张量，记为 C＝A＋B
L
a
L
a AL L )(a L
a L
a
B L
L
)
a L aa L a AL L BL L (a a )
a L aa L a ( AL L BL L )
nr nr nr nr
1）转动前： rr 2）转动nr 后：rr nr rr
3）再rr 转动nr rrnr后nr：rr nr rr
不计二阶微量，则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序，则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移，有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
1. 描写刚体位置的独立变量
将两个矢量Av和Bv按顺序并在一起，不作任何运算
得到的量称为并矢，记为
vv AB
A
B ev ev
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
理论力学第三章
Fx 0 Fy 0
Mz 0
五、力偶
； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。
a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
x0 ( x)
(a)
x0
(b)
初始时刻
z0 z2
：进动角，
y2
z0
：进动角，
：章动角，
z
y
确定刚体绕这轴线所转过 的角度
：自转角。
y0
O
O
y0
x2 ( N )
x0
N (d)
x
x0
(c)
：章动角，
：自转角。
欧勒动力学方程
k0 k
x i y j z k '
这里只是把 n 看成一个有方向的量，并不确定它是矢量。
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1
相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明P点经两个分转动而产生的位移之和等价于一个合转动产生的位移， n n 而这个合转动的角位移是两个分转动的角位移之和 1 。 2
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
第3章 刚体力学.PPT
Q ∑ Fit ri = M 外 合外力矩） （合外力矩）
∑
i
Fit ri + ∑ f it ri = β ∑ ∆ m i ri 2
i i
J = ∑∆ mi ri 2 定义：转动惯量—— 定义：转动惯量
i
注意： 是质元至转轴的垂直距离） （注意：ri 是质元至转轴的垂直距离）
则可得刚体定轴转动的 转动定律为： M 外 = Jβ
难点：角动量定理、角动量守恒及其应用 难点：角动量定理、
刚体是一种特殊 的质点系统，无论在 的质点系统， 多大外力作用下， 多大外力作用下，系 统内任意两质点间的 距离始终保持不变。 距离始终保持不变。 物体的形状、大小都 物体的形状、 不变的固体称为刚体。 不变的固体称为刚体。 刚体是可以忽略由于受力而引起的形状和 刚体是可以忽略由于受力而引起的形状和 体积的改变的理想模型 体积的改变的理想模型 演示动画 刚体的平动
演示实验 角速度矢量合成
转动物体的线速度和加速度 （1）线速度
r r r r r v =ω × R =ω ×r
v = ωR sin α = ω r
在与转轴垂直的平面上 （2）加速度 v2 an = = ω 2r r dω aτ = r = rβ dt o
α
练习：在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子 练习：在高速旋转的微型电动机里，
0
ri
∆ mi r et
v fi
上式两边同乘 ri 得： Fit ri + f it ri = ∆ m i ri 2 β
应用于所有的质元有：
r Fi
∆ mi
o
2
ri
∑F r +∑
it i i i
f it ri = β ∑ ∆ m i ri
∑
i
Fit ri + ∑ f it ri = β ∑ ∆ m i ri 2
i i
J = ∑∆ mi ri 2 定义：转动惯量—— 定义：转动惯量
i
注意： 是质元至转轴的垂直距离） （注意：ri 是质元至转轴的垂直距离）
则可得刚体定轴转动的 转动定律为： M 外 = Jβ
难点：角动量定理、角动量守恒及其应用 难点：角动量定理、
刚体是一种特殊 的质点系统，无论在 的质点系统， 多大外力作用下， 多大外力作用下，系 统内任意两质点间的 距离始终保持不变。 距离始终保持不变。 物体的形状、大小都 物体的形状、 不变的固体称为刚体。 不变的固体称为刚体。 刚体是可以忽略由于受力而引起的形状和 刚体是可以忽略由于受力而引起的形状和 体积的改变的理想模型 体积的改变的理想模型 演示动画 刚体的平动
演示实验 角速度矢量合成
转动物体的线速度和加速度 （1）线速度
r r r r r v =ω × R =ω ×r
v = ωR sin α = ω r
在与转轴垂直的平面上 （2）加速度 v2 an = = ω 2r r dω aτ = r = rβ dt o
α
练习：在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子 练习：在高速旋转的微型电动机里，
0
ri
∆ mi r et
v fi
上式两边同乘 ri 得： Fit ri + f it ri = ∆ m i ri 2 β
应用于所有的质元有：
r Fi
∆ mi
o
2
ri
∑F r +∑
it i i i
f it ri = β ∑ ∆ m i ri
大学物理第三章刚体力学
第三节 定轴转动的动能定理
1. 力矩的功
dA F dl F cos dl F cos rd Frsin d Md
A Md
1 2
d
dl
r
F
dA d M M 功率为： P dt dt
2.转动动能
刚体中任一质元 mi 动能：
1 1 2 2 2 mi vi mi ri 2 2
因此，刚体的转动动能：
ri
vi
1 1 2 2 2 2 Ek mi ri mi ri 2 2
1 2 Ek J 2
3.刚体做定轴转动时的动能定理
d dA Md J d J d d t 2 1 1 2 2 A dA J d J 2 J 1 1 2 2 1 2 1 2 A J 2 J 1 2 2
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。 对于定轴转动任意一点线速度与角速度、线加速度与角加 速度的关系：
v r
at r an r 2
刚体作匀变速转动时， 0 t 有以下的运动方程： 1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 0
定轴转动角动量定理：作定轴转动的刚体所受的对轴的的 冲量矩等于系统角动量的增量。
对于绕固定点的转动，可以做如下变化
dL M dt
t2 dL Mdt L2 L1 M t1 dt t2 是力矩在t1 到t2时间内的冲量矩。 M d t
t1
3.角动量守恒定律 ������ = 0 , ������������ = 0 , ������ = const. ������������ ������2 = ������1 ������2 ������ 2 = ������1 ������ 1 若系统合外力矩为零，则系统的角 动量守恒。 ——自然界重要的普遍规律
第3章 大学物理刚体力学ppt课件
M2 0
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动，力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择： 1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点； 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A ①容易；
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法，此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动： 可沿转轴设正方向，
dω z 2 角加速度： α 方向：右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt
A
v ωr
v
r
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动，力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择： 1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点； 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A ①容易；
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法，此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动： 可沿转轴设正方向，
dω z 2 角加速度： α 方向：右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt
A
v ωr
v
r
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vi
ω Ri
θi ri
动力学方程：
取转动轴为z轴
k
dJ
M
dt
dJ z dt
Mz
d dt
I zz
M
z
I zz
d
dt
Mz
定轴转动动能：
T
i
1 2
mivi2
i
1 2
mi 2 Ri2
1 2
i
mi Ri2
2
1 2
I zz 2
平动动能：
T
i
1 2
mivi2
i
1 2
mivC2
1 2
§3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
一、 刚体的平动（Translation of Rigid Body） 平动的特点：
各质点的运动情况完全相同
（位移、速度、加速度、轨迹等）
可以用一个点的运动来代表整个刚体（一般取质心）
运动学方程： rC
rC
t
动力学方程：
mrC
F
注意：M 0
例如：讨论平动汽车在刹车时受到的地面支持力。
a2 a2 3g 2
C
Cn
（3）求未知约束力：质心运动定理
tg1 aCn aC 60
maCn maC
Rx
Rx
3
Ry mg Ry mg
3mg 4
4
R R2 R2 1.32mg
x
y
tg1 Ry Rx 11
与x轴负向夹角
作业：P174 （3.7） （3.8）（3.11）
y
vAx
（2）几何法：
取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：
v
r
r
v
C
P
v r
vA rAC vB rBC
vA rAC vB rBC
已知薄片上任意两点的速度方向，就可求瞬心
vA
C vB
vA
vA
vB
C
vA vB
C
vB
vA vB
无瞬心，刚体平面平动
（3）观察法：
凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心
d dt
vA
r
dvA dt
d
r
dr
dt
dt
aA
d
dt
r
v
aA
d
dt
r
r
（利用 ：r • r r2 r2 ）
绝对加速度
a
aA
d
dt
r
r
2
相对向心 加速度
牵连加速度
相对切向 加速度
二、转动瞬心
1、定义：平面平行运动的刚体在角速度不为零时，在任一时刻 薄片上恒有一点的瞬时速度为零，该点称为转动瞬心，记为C
l
2 d 3g sin d 2 d 3g sin d
dt l
dt
l
y
Ry θ mg
Rx
x
I zz
1 ml 2 3
d 2
3g d cos 2 3g cos C
l
l
2 3g cos 3 3g
l
2l
利用初始条件θ=30o， 0 可得：C 3 3g
2l
2 3g cos 3 3g
定轴转动的特点：
各质点在垂直于转轴的平面内作圆周运动， 其角量相同（角位移、角速度、角加速度等）
运动学方程：
角量和线量的关系
t
vi
d ,
dt
ri
d
dt
d 2
dt 2
vi ri sini Ri
ai
dvi dt
d Ri
dt
Ri
Ri
ain
vi2 Ri
Ri 2
Ri
2Ri
Note： (1)瞬心是转动瞬时轴在薄片上的投影点
(2)瞬心的速度为零，加速度一般不为零 如果加速度为零，则刚体做定轴转动。
C
(3)瞬心不一定在刚体上，但一定在薄片所在的平面上
(4)确定时刻有确定瞬心，不同时刻瞬心不同
(5)若取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：
v
vA
r
v
r
2、瞬心的确定 （1）解析法：
【例】用瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹
方程。已知B点速度为c，并设 MA a, MB b, OBA
解：用瞬心法求解，即利用瞬心速度为零的特
点，取瞬心速度为基点来求任意点速度。如图
所示，在空间建立一个定系O-xyz,和一个固定
l
2l
即： 3g 3 2cos 2l
所以当杆转到水平时 3 3g , 3g
/ 2
2l
/ 2
/ 2 2l
（2）求质心加速度：ai Ri , ain 2Ri
acn
对于水平时的质心 aC RC 3g / 4
aCn 2RC 3 3g 4
ac
ac
总加速度：aC
§3.7 刚体的平面平行运动
一、平面平行运动运动学
平面平行运动 刚体任一点始终在平行于某固定平面的平面 内运动
运动特点 垂直于固定平面的直线上各点的运动状态相同
刚体→薄片（一般含质心的薄片）
平面平行运动 = 随基点平动 + 绕基点的转动
Note:
① 基点的选取是任意的，选择不同的基点有不同的平动位移， 常取质心为基点。
②基点的选取对角量无影响。
x xt
运动学方程
y
yt
t
x, y
刚体上任一点的速度、加速度
r
r0
r
v vA
或者即：：vvvvAArr
r0
v
动系： 定系：
vx vAx vy vAy
vx vAx
y
y x
y0
牵连速度
相对速度
vy
vAy
x
x0
牵连 相对
a
dv dt
y
vA
r
C
x
根据： v
vA
r
v
vA
r
ห้องสมุดไป่ตู้ r0
瞬心：v 0
A
η r0
r
对实验室坐标系 设C ( x , y )
vx vAx y y0 vy vAy x x0
x
x0
vAy
y
y0
vAx
ξ
对固着刚体坐标系
vx vAx y vy vAy x
设C
(
x’
,
y‘
)x
vAy
假设刹车后前后轮都停止转动，受力如图
f1 f2 ma
N1 N2 mg
h
f1 N1 f2 N2
还缺少一个方程！
f1 f2 h N1l N2l 0
l
N2
f2
联立可解： a g
mg l h
N1
2l
mg l h
N2
2l
v
l
G N1 f1
二、 刚体的定轴转动（Fixed-axis Rotation of Rigid Body）
3、瞬心的轨迹 C
（1）空间极迹（空间瞬心迹）： 瞬心在定系中（固定平面上）形成的轨迹
（2）本体极迹（本体瞬心迹）： 瞬心在固定在刚体的动系中（截面上/薄片上）形成的轨迹
定理：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在 平面运动时，本体极迹将沿着空间极迹作无滑滚动，两轨迹 的公共切点就是此时的转动瞬心。
i
mi
vC2
1 2
MvC2
【例】一根质量为m，长为 l的匀质细杆，一端用铰链固定在 桌角O点。求此杆自θ=30o处由静止转动到水平位置时的角速 度、角加速度、质心加速度及约束力。
（1）由转动方程求运动规律
I zz
d
dt
Mz
1 ml2 mg l sin 3g sin
3
2
2l
两边同乘2 : 2 3g sin