对数坐标图典型环节
故它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。
频率特性的物理意义是：当一频率为 的正弦信号
加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比； 或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
《自动控制理论》 §5.1 频率特性的基本概念（2）
例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Asint,求uc(t)=?
G(s) Uc(s)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
线性系统
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
图5-1 频率响应示意图
输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号 频率的变化而变化。如上图5-1。
设系统的传递函数为 C(s) G(s) U(s)
R(s)
（4）可用频率响应法设计抑制某频率段范围（产生严重噪 声）的系统。
《自动控制理论》 频域分析法特点（二）
⑴ 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律 ⑵ 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能 ⑶ 图解分析法 ⑷ 有一定的近似性
《自动控制理论》
§5.1 频率特性的基本概念（1）
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正 弦输入信号的响应特性。
频率性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。通 过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能 指标或反之。因此，频率特性法与时域分析法是统一的。
应用时域分析法分析系统时，应先知道系统的开环传递函 数，而频率特性法既可以根据系统的开环传递函数采用解析 的方法得到系统的频率特性，也可以用实验方法测出稳定系 统或元件的频率特性。
V (s)
已知输入 r(t) Asin(t) ，其拉氏变换
其中 A为常量，则系统输出为
R(s)
A s2 2
C(s) G(s)R(s) U(s) A V(s) s2 2
(s
p1 )( s
U(s) p2 )
(s
pn )
A s2 2
p1, p2 , pn G(s) 的极点
所以
n
C(s)
bi
C( j) G( j) R( j)
s j 1
j
G
(
j
)
R(
j
)
e
jt
d
(
j
)
2πj j
1
G(j)R(j)e
jt
d
2π
《自动控制理论》
§5.1 频率特性的基本概念（4）
例2 系统结构图如图所示, r(t)=3sin(2t+30º), 求 cs(t), es(t)。
解：(s) 1 s1 s
AT 1
A1
T
s
Uc(s) 1 2T2 s 1 T
1 2T2
1 2T2 s2 2
1 2T2
s2
2
AT t uc (t) 1 2T2 e T
A sint cos cost sin
1 2T2
AT 1 2T2
t
eT
A sin(t-arctanT) 1 2T2
《自动控制理论》
频域分析法特点（一）
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方 法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说， 具有重要的实际意义。
（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统 进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还适用于传递 函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。
1
1 TCR
1T
Ur (s) CRs 1 Ts 1 s 1 T
Uc(s)
1T s1 T
A s2 2
C0 s1
T
C1s C2
s2 2
A T AT
C0
lim
s1 T
s2
2
1 2T2
- AT C1 1 2T2
A C2 1 2T2
建模 ur R i uc i Cuc
ur CR uc uc Ur [ CR s 1] Uc
《自动控制理论》
§5 频率响应法
§5.1 频率特性的基本概念 §5.2 对数频率特性（Bode图） §5.3 幅相频率特性（Nyquist图） §5.4 用频率法辨识系统的数学模型 §5.5 频域稳定判据 §5.6 相对稳定性分析 §5.7 频率性能指标与时域性能指标的关系
《自动控制理论》
频率特性
G( j) 称为电路的频率特性。 它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。
G( j ) 是 G( j ) 的幅值 它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。
( ) 是 G( j ) 的相角
它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。
由于 G( j) 和 ( ) 都是输入信号频率 的函数
e(s) s 1
( j) 1
1
2
1
cs(t)
1 j 1 2
53
2
( j ) arctan 63.4 cs (t) r(t) cs (t) 30
《自动控制理论》
§5.1 频率特性的基本概念（3） r(t) Asint
频率特性G( j)的定义
G( j ) 定义一：G( j ) G( j ) G( j )
cs(t)
A sin(t-arctanT) 1 2T2
G( j ) cs (t)
1
r(t) 1 2T2
G( j ) cs (t) r(t) arctan T
a
G(s)
A s2 2
(s
j)
s j
G(
j) (s
A j)(s
(s j)
j) s
j
G(
j)
A 2j
G( j ) P( ) jQ( ) | G( j ) | e j()
c(t) AG( j ) sin(t )
以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同的正弦信
号，其输出与输入的幅值比为 G( j，)输出与输入的相位 差 ( ) arg。G( j )
a
a
i1 s pi s j s j
a,a和bi (i 1,2, n)
待定系数
n
c(t ) ae jt ae jt bie pit i 1
t 趋向于零
a
G(s)
A s2 2
(s
j ) s j
G( j ) (s
A j )(s
(s j )
j ) s j
G( j ) A 2j
幅频特性 相频特性
G( j ) 定义二：G( j) G(s) s j
1
1 2T2
arctan T
11
1 jT 1 jT
1
1 jT
1 Ts 1 s j
G(
j
)
定义三：G(
j
)
C( R(
j ) j )
c(t ) 1 j G(s)R(s) estds
2πj j
G(s) C(s) R(s) C(s) G(s)R(s)
频率特性的物理意义是：当一频率为 的正弦信号
加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比； 或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
《自动控制理论》 §5.1 频率特性的基本概念（2）
例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Asint,求uc(t)=?
G(s) Uc(s)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
线性系统
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
图5-1 频率响应示意图
输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号 频率的变化而变化。如上图5-1。
设系统的传递函数为 C(s) G(s) U(s)
R(s)
（4）可用频率响应法设计抑制某频率段范围（产生严重噪 声）的系统。
《自动控制理论》 频域分析法特点（二）
⑴ 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律 ⑵ 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能 ⑶ 图解分析法 ⑷ 有一定的近似性
《自动控制理论》
§5.1 频率特性的基本概念（1）
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正 弦输入信号的响应特性。
频率性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。通 过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能 指标或反之。因此，频率特性法与时域分析法是统一的。
应用时域分析法分析系统时，应先知道系统的开环传递函 数，而频率特性法既可以根据系统的开环传递函数采用解析 的方法得到系统的频率特性，也可以用实验方法测出稳定系 统或元件的频率特性。
V (s)
已知输入 r(t) Asin(t) ，其拉氏变换
其中 A为常量，则系统输出为
R(s)
A s2 2
C(s) G(s)R(s) U(s) A V(s) s2 2
(s
p1 )( s
U(s) p2 )
(s
pn )
A s2 2
p1, p2 , pn G(s) 的极点
所以
n
C(s)
bi
C( j) G( j) R( j)
s j 1
j
G
(
j
)
R(
j
)
e
jt
d
(
j
)
2πj j
1
G(j)R(j)e
jt
d
2π
《自动控制理论》
§5.1 频率特性的基本概念（4）
例2 系统结构图如图所示, r(t)=3sin(2t+30º), 求 cs(t), es(t)。
解：(s) 1 s1 s
AT 1
A1
T
s
Uc(s) 1 2T2 s 1 T
1 2T2
1 2T2 s2 2
1 2T2
s2
2
AT t uc (t) 1 2T2 e T
A sint cos cost sin
1 2T2
AT 1 2T2
t
eT
A sin(t-arctanT) 1 2T2
《自动控制理论》
频域分析法特点（一）
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方 法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说， 具有重要的实际意义。
（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统 进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还适用于传递 函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。
1
1 TCR
1T
Ur (s) CRs 1 Ts 1 s 1 T
Uc(s)
1T s1 T
A s2 2
C0 s1
T
C1s C2
s2 2
A T AT
C0
lim
s1 T
s2
2
1 2T2
- AT C1 1 2T2
A C2 1 2T2
建模 ur R i uc i Cuc
ur CR uc uc Ur [ CR s 1] Uc
《自动控制理论》
§5 频率响应法
§5.1 频率特性的基本概念 §5.2 对数频率特性（Bode图） §5.3 幅相频率特性（Nyquist图） §5.4 用频率法辨识系统的数学模型 §5.5 频域稳定判据 §5.6 相对稳定性分析 §5.7 频率性能指标与时域性能指标的关系
《自动控制理论》
频率特性
G( j) 称为电路的频率特性。 它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。
G( j ) 是 G( j ) 的幅值 它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。
( ) 是 G( j ) 的相角
它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。
由于 G( j) 和 ( ) 都是输入信号频率 的函数
e(s) s 1
( j) 1
1
2
1
cs(t)
1 j 1 2
53
2
( j ) arctan 63.4 cs (t) r(t) cs (t) 30
《自动控制理论》
§5.1 频率特性的基本概念（3） r(t) Asint
频率特性G( j)的定义
G( j ) 定义一：G( j ) G( j ) G( j )
cs(t)
A sin(t-arctanT) 1 2T2
G( j ) cs (t)
1
r(t) 1 2T2
G( j ) cs (t) r(t) arctan T
a
G(s)
A s2 2
(s
j)
s j
G(
j) (s
A j)(s
(s j)
j) s
j
G(
j)
A 2j
G( j ) P( ) jQ( ) | G( j ) | e j()
c(t) AG( j ) sin(t )
以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同的正弦信
号，其输出与输入的幅值比为 G( j，)输出与输入的相位 差 ( ) arg。G( j )
a
a
i1 s pi s j s j
a,a和bi (i 1,2, n)
待定系数
n
c(t ) ae jt ae jt bie pit i 1
t 趋向于零
a
G(s)
A s2 2
(s
j ) s j
G( j ) (s
A j )(s
(s j )
j ) s j
G( j ) A 2j
幅频特性 相频特性
G( j ) 定义二：G( j) G(s) s j
1
1 2T2
arctan T
11
1 jT 1 jT
1
1 jT
1 Ts 1 s j
G(
j
)
定义三：G(
j
)
C( R(
j ) j )
c(t ) 1 j G(s)R(s) estds
2πj j
G(s) C(s) R(s) C(s) G(s)R(s)
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自动控制原理3第三节典型环节的频率特性
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。
1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 5T
Saturday, November 05, 2016
15
微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) s
05, 2016
12
振荡环节的波德图
2 T ( ) tg 相频特性： 1 T 2 2
1
几个特征点： 0, ( ) 0;
1 , ( ) ; , ( ) 。 T 2
由图可见：
K 10, T 1, 0.3 10 G ( j ) 2 s 0.6s 1 1 o T
1
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
(1 T 2 2 )2 (2T )2 2 T ( ) tg 1 1 T 2 2
L( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2 对数幅频特性为：
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0 高频段渐近线： T 1时， L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐进线的交点 o 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T Saturday, November
1 2
T
时，无谐振峰值。当
M p A( p )
1 2
1 0.707时， p 0 。 2
时，有谐振峰值。
1 2 1 2
1 当 0 ， A(0 ) ， 。 L ( ) 20 lg 2 0 2
02240机械工程控制基础
02240机械工程控制基础第一章绪论1.1控制理论的发展简史（了解）1.2机械工程控制论的研究对象1）机械工程控制理论主要是研究机械工程技术为对象的控制论问题。
2）当系统已经确定，且输出已知而输入未知时，要求确定系统的输入以使输出并根据输出来分析和研究该控制系统的性能，此类问题称为系统分析°3）最优控制制：当系统已经确定，且输出已知而输入已施加但未知时，要求识别系统的输入以使输出尽可能满足给定的最佳要求。
4）滤波与预测问题当系统已经确定，且输出已知，输入已施加当未知时，要求识别系统的输入（控制）或输入中的有关信5）当输入与输出已知而系统结构参数未知时，要求确定系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，此类问题及系统辨识。
6）当输入与输出已知而系统尚未构建时，要求设计系统使系统在该输入条件下尽可能符合给定的最佳要求，此类问题即最优设计。
1.3控制系统的系统的基本概念1）信息传递是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递的过程。
2）系统是指完成一定任务的一些部件的组合。
3）制制系统是指系统的可变输出能按照要求的参考输入或控制输入进行调节的系统。
4）系统分类：按照控制系统的微分方程进行分类分为线性系统、非线性系统。
按照微分方程系数是否随时间变化分为定常系统和时变系统。
按照控制系统传递信号的性质分类分为连续、离散系统。
按照系统中是否存在反馈将系统分为开环控制、闭环控制系统。
5）对控制系统的基本要求有稳定性、快速性、准确性第二章拉普拉斯变换的数学方法2.3典型时间函数的拉式变换（必须牢记）1）单位阶跃函数为，2）单位脉冲函数为，单位脉冲函数具有以下性质3）单位斜坡函数为，L（t）?第三章系统的数学模型....3.1概述1）数学模型概念在控制系统中为研究系统的动态特性而建立的一种模型。
2）建立数学模型的方法有分析法和实验法。
3）线性系统最重要的特性是叠加原理,具体内容是系统在几个外加作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用下的响应之和。
第三节频率特性的对数坐标图
2 l
j
2
2
l l
j
1
(5-84)
j 1
l 1
当 时，由于实际的物理系统通常是 n m ，由式（5-84）可知
lim G j 0 ，即极坐标特性曲线的终点都卷进坐标原点。根据相角特性得
lim G j
上式表明，幅相特性曲线在
幅值A() 1.00 1.26 1.56
2.0 0
2.5 1
3.1 6
5.6 2
10. 0
100 1000 10000
对数幅值 0 2 4 6 8 10 15 20 40 60 80
20lgA
幅值A() 1.00 0.79 0.63
0.5 0
0.3 9
0.3 2
0.1 8
0.1 0
0.0 1
高频段渐近线： T 1时，L() 20log (T 22)2 40logT
两渐进线的交点o
时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T
1,o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
2019/9/29
频率分析法--典型环节的频率特性
12
惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
11
惯性环节的Bode图
⒊ 惯性环节的频率特性：
A( ) K , 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
( ) tg1T
G( j ) K Tj 1
①对数幅频特性：L() 20log A() 20log K 20log 1 T 22 ，为
自控理论 4-3对数坐标图
(2) 将各环节的L(w),j(w)曲线画于对数坐标纸上 1) L1(w) = 20lg4 ≈12(dB)是幅值为12dB的水平线。 2) L2(w)是过ω=1, L(w)0dB,斜率为 -20dB/dec的直线。 3) L3(w)是转角频率为ω=0.5的惯性环节对数幅频曲线。 4) L4(w)是转角频率为ω=2的微分环节对数幅频曲线。 5) L5(w)是转角频率为ω=8的振荡环节对数幅频曲线。
惯性环节L(w) 1 ① G(s)= 0.5s+1
L(w)dB 40 26dB 20
100 ② G(s)= s+5
[-20]
0dB 0o -20 - 30o - 45o o -40 - 60 - 90o 0.1 0.2
ω
1
2
10 20
[-20]
100
5. 一阶微分环节 (Ts 1) L(w ) 20lg 1 (wT) 2 j (w ) tg -1wT 1 Ts 1与 两环节的 Bode 图关于 Ts 1 横轴成镜像对称 关系。
斜率 40 20 20
40
30
-20
20
17.5
10
-60 -80
0
-10
-60
-20
-30
-40 -1 10
10
0
10
1
图4-19 例4-6的幅频特性
1 7.5( s 1) 3 G( s) 1 s 2 1 s( s 1)[( ) s 1] 2 2 2
图4-19 例4-6的相频特性
j
290o w r w n 1 2
2
wn
0dB
L(w r ) 20 lg 2
对数坐标图的公式
Dec Dec Dec Dec
− ∞...
0
−2 0.01
−1 0.1
0 1
1 10
2 100
log ω
ω
由于ω 以对数分度，所以零频率点在－∞处。
更详细的刻度如下图所示
ω
lg ω
ω lgω
１ 0.00 0
2 0.30 1
3 0.47 7
4 0.60 2
5 0.69 9
6 0.77 8
7 0.84 5
−1 ϕ 相频特性： (ω ) = −tg
2ζωT 1 − T 2ω 2
1 π , ϕ (ω ) = − ; ω = ∞, ϕ (ω ) = −π。 T 2
几个特征点：ω = 0, ϕ (ω ) = 0; ω =
相频特性曲线在半对数坐标中关于( ω0, －90°)点是斜对称的。
1 1 这里要说明的是当 ω ∈ (0, ) 时， (ω ) ∈ (0,−90°) ,当 ω ∈ ( , ∞) ， , ϕ T T 时， (ω ) ∈ (−90°,−180°) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 ϕ
n2
− ∑ tg −1
l =1
n2
2ζ lTlω + ∠e − jTd ω 1 − ω 2Tl 2
• 所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似 表示。 • 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似 的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
5.2.2 典型环节的对数坐标图
π
L(ω ) / dB 40 20
ω
1 10 100
1 L (ω ) = 20 log A (ω ) = 20 log ω = − 20 log ω ,
− ∞...
0
−2 0.01
−1 0.1
0 1
1 10
2 100
log ω
ω
由于ω 以对数分度，所以零频率点在－∞处。
更详细的刻度如下图所示
ω
lg ω
ω lgω
１ 0.00 0
2 0.30 1
3 0.47 7
4 0.60 2
5 0.69 9
6 0.77 8
7 0.84 5
−1 ϕ 相频特性： (ω ) = −tg
2ζωT 1 − T 2ω 2
1 π , ϕ (ω ) = − ; ω = ∞, ϕ (ω ) = −π。 T 2
几个特征点：ω = 0, ϕ (ω ) = 0; ω =
相频特性曲线在半对数坐标中关于( ω0, －90°)点是斜对称的。
1 1 这里要说明的是当 ω ∈ (0, ) 时， (ω ) ∈ (0,−90°) ,当 ω ∈ ( , ∞) ， , ϕ T T 时， (ω ) ∈ (−90°,−180°) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 ϕ
n2
− ∑ tg −1
l =1
n2
2ζ lTlω + ∠e − jTd ω 1 − ω 2Tl 2
• 所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似 表示。 • 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似 的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
5.2.2 典型环节的对数坐标图
π
L(ω ) / dB 40 20
ω
1 10 100
1 L (ω ) = 20 log A (ω ) = 20 log ω = − 20 log ω ,
对数坐标图绘制
前式两边取对数再乘20，得
L( ) L1( ) L2( ) Ln( )
这样，系统的对数幅频特性、相频特性分别是 典型 环节的对数幅频特性、相频特性相加
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 ( Bode) （2）
绘制开环系统Bode图的步骤
⑴ 化G(s)为尾1标准型
例2 G ( s )
《自动控制理论》
§5.2 对数坐标图( Bode) （4）
⑺ 二阶复合微分 G( s) (
s
2 G( j ) 1 2 j 2 n n
n
) 2 2
s
n
1
2 2 2 L( ) 20 l g [1 2 ] [2 ] n n 2 n arctan 2 1- 2 n ( ) 2 n 360 arctan 2 1- 2 n
《自动控制理论》
§5.2 对数坐标图 ( Bode)（1）
§5.2.1 典型环节的Bode图
⑴ 比例环节 G( j ) K ⑵ 微分环节 G ( j ) j ⑶ 积分环节 G( j )
L( ) 20lg K ( ) 0 L( ) 20lg
( ) 90
s 1)(s 2 s 1) 0.2 0.2 惯性环节 0.5 一阶复合微分 1 振荡环节
基准点 ( 1, 斜率
L(1) 20l g K )
20 v dB de c
0.2 惯性环节 -20 0.5 一阶复合微分 +20 1 振荡环节 -40
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 ( Bode)
⑸ 一阶复合微分
G(s) Ts 1
G( j ) 1 jT
L( ) 20lg 1 2T 2
L( ) L1( ) L2( ) Ln( )
这样，系统的对数幅频特性、相频特性分别是 典型 环节的对数幅频特性、相频特性相加
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 ( Bode) （2）
绘制开环系统Bode图的步骤
⑴ 化G(s)为尾1标准型
例2 G ( s )
《自动控制理论》
§5.2 对数坐标图( Bode) （4）
⑺ 二阶复合微分 G( s) (
s
2 G( j ) 1 2 j 2 n n
n
) 2 2
s
n
1
2 2 2 L( ) 20 l g [1 2 ] [2 ] n n 2 n arctan 2 1- 2 n ( ) 2 n 360 arctan 2 1- 2 n
《自动控制理论》
§5.2 对数坐标图 ( Bode)（1）
§5.2.1 典型环节的Bode图
⑴ 比例环节 G( j ) K ⑵ 微分环节 G ( j ) j ⑶ 积分环节 G( j )
L( ) 20lg K ( ) 0 L( ) 20lg
( ) 90
s 1)(s 2 s 1) 0.2 0.2 惯性环节 0.5 一阶复合微分 1 振荡环节
基准点 ( 1, 斜率
L(1) 20l g K )
20 v dB de c
0.2 惯性环节 -20 0.5 一阶复合微分 +20 1 振荡环节 -40
《自动控制理论》
§5.2.2 开环系统 ( Bode)
⑸ 一阶复合微分
G(s) Ts 1
G( j ) 1 jT
L( ) 20lg 1 2T 2
自动控制理论期末复习(知识点总结第四章-第五章)
Automatic Control Theory自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹法根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。
由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根(即系统的闭环极点)在s 平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
1、根轨迹的基本概念闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。
因此，可以用系统的零极点分布来间接研究控制系统的性能。
伊万思在1948年提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法——根轨迹法。
将开环系统的某一个参数(比如开环放大系数)的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。
根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、动态和稳态性能） 相关术语：*01210121()()()()()()()()()()mim i nn jj s z b s z s z s z G s H s K a s p s p s p s p ==----==----∏∏❖ 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 ❖ 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 ❖ 根轨迹增益：K *为开环系统根轨迹增益❖ 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 ❖闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根1*11()()()()1()()()()nj j n mjij i G s s p G s s G s H s s p K s z ===-Φ==+-+-∏∏∏闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。
第5章4——Bode图
2
1 2 n
2
n
2 arc tg n 2 1 2 n
0 0 ( ) 90 n 180
autocumt@ 22
振荡环节L()
L()dB 40 20 0dB -20
(rad / s)
10 -2
10 -1
1
10
0
2 3 4
10
1
autocumt@
自动控制原理
对数分度：
lg 2 0.301
lg 3 0.4771 lg 4 2lg 2 0.602 lg 5 0.699 lg 6 lg 3 lg 2 0.778
lg 7 0.845 lg 8 3 lg 2 0.903 lg 9 2 lg 3 0.954
（）º
(rad / s)
10 -2
autocumt@
10 -1
3
100
10
1
20 10 0
自动控制原理
L() dB -10
-20 -30 -40 900 450
( )
00 0 -450 -900
-1350
完 整 图 二 合 一
-1800
10 -2
autocumt@
[-20] 0.1 0.2
1
2
10 20
[-20]
100
16
5-4 对数频率特性——Bode图
（5）一次微分环节
传递函数： G（S） TS＋ 1 频率特性： G ( j ) Tj 1
0 0 1 相频特性 ( ) arctanT 45 T 90
二频率特性的对数坐标图
二 频率特性的对数坐标图
⒈对数坐标图的坐标系 ⒈对数坐标图的坐标系
L( ) 20 lg A( ) 20 lg A1 ( ) 20 lg A2 ( ) 20 lg An ( ) L( ) 20 lg A( ) L1 ( ) L2 ( ) Ln ( )
开环对数频率特性的绘制⑴
10 G( s) H (s) s (0.2 s 1)
绘制 Bode 图 绘制 Bode 图 的坐标系 的坐标系
绘制典型环 绘制典型环 节的 Bode 图 节的 Bode 图
确定转折频率 确定转折频率 幅值交界频率 幅值交界频率 相位交界频率 相位交界频率
100(2s 1) G (s) H (s) s (5s 1)( s 2 s 1)
Bode图叠加举例⑵
G ( s) H ( s) 1 (0.2 s 1)(0.01s 1)
叠加方法 :: 叠加方法 在转折频率 在转折频率 处增加相应 处增加相应 环节的高频 环节的高频 段的斜率。 段的斜率。
开环对数频率特性的绘制
⒊开环对数频率特性的绘制 ⒊开环对数频率特性的绘制 步骤： ①将开环传递函数写成典型环节的标准型式，即常数项 必须化为1； ②算出20lgK的分贝值； ③按大小写出各环节的转折频率，并标注在频率轴上； ④如果有积分环节，过（ω=1，L=20lgK）的这一点， 作斜率为-20dB/dec的直线； ⑤从低频段开始，每经过一个转折频率，将该环节高频 段的斜率叠加到前面的斜线上。 ⑥绘出各环节的相频特性曲线，叠加得系统的相频特性 曲线。
三 用Matlab绘制频率特性图⑴
（一） Nyquist图的绘制 直接调用 指令nyquist（num，den）绘制
⒈对数坐标图的坐标系 ⒈对数坐标图的坐标系
L( ) 20 lg A( ) 20 lg A1 ( ) 20 lg A2 ( ) 20 lg An ( ) L( ) 20 lg A( ) L1 ( ) L2 ( ) Ln ( )
开环对数频率特性的绘制⑴
10 G( s) H (s) s (0.2 s 1)
绘制 Bode 图 绘制 Bode 图 的坐标系 的坐标系
绘制典型环 绘制典型环 节的 Bode 图 节的 Bode 图
确定转折频率 确定转折频率 幅值交界频率 幅值交界频率 相位交界频率 相位交界频率
100(2s 1) G (s) H (s) s (5s 1)( s 2 s 1)
Bode图叠加举例⑵
G ( s) H ( s) 1 (0.2 s 1)(0.01s 1)
叠加方法 :: 叠加方法 在转折频率 在转折频率 处增加相应 处增加相应 环节的高频 环节的高频 段的斜率。 段的斜率。
开环对数频率特性的绘制
⒊开环对数频率特性的绘制 ⒊开环对数频率特性的绘制 步骤： ①将开环传递函数写成典型环节的标准型式，即常数项 必须化为1； ②算出20lgK的分贝值； ③按大小写出各环节的转折频率，并标注在频率轴上； ④如果有积分环节，过（ω=1，L=20lgK）的这一点， 作斜率为-20dB/dec的直线； ⑤从低频段开始，每经过一个转折频率，将该环节高频 段的斜率叠加到前面的斜线上。 ⑥绘出各环节的相频特性曲线，叠加得系统的相频特性 曲线。
三 用Matlab绘制频率特性图⑴
（一） Nyquist图的绘制 直接调用 指令nyquist（num，den）绘制
5.2 对数坐标图(上)解析
线作上下平移。
5.2.1 典型环节的伯德图
1. 比例环节
比例环节的频率特性表达式为 :
20lg K ( K 1) 20lg K ( K 1)
20lg K ( K 1)
G( j ) K
幅频特性:
L 20lg G( j) 20lg K (dB)
0 =常数 0 0
20 lg 1 20lg G( j) 90 频率每增加 10 倍，幅频特性
下降 20dB ，故积分环节的对数幅 频特性是一条斜率为 -20dB/dec 的 斜线。
20dB / dec
表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制
4、惯性环节
惯性环节的频率特性表达式为 :
1 1 T G( j ) j 2 2 1 jT 1 T 1 T 2 2
幅频特性: A( )
1 1 T 2 2
相频特性: ( ) atctgT
1）对数幅频特性
L 20lg G( j) 20 lg
性上升20dB，故微分环节的 对数幅频特性是一条斜率为 20dB/dec的斜线,
20dB / dec
积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，
只相差正负号，二者以 轴为基准，互为镜象；同理，
二者的相频特性互以 轴为镜象。 可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高 ，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出 超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。
相频特性:
K 1 K 1 K 1
G( j)
0
说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入
信号，幅值上有放大或衰减作用；