第三节频率特性的对数坐标图
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第三章 对数频率特性(3-2)
1 T
说明
ω ωn
为二阶系统(振荡环节)的转折频率。
13
。
10
0.1
0.2 0. 3
L ( )
0
0 .7 1
10
dB
0
0.1
0. 2 0.3 0. 7
1
( ) 90
180 0.1
0.2
0.4
0.6 0.8
1
2
4
6
8
10
/n
14
可见：当频率接近 ω ω n 时，将产生谐振峰 值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。 0 相角 是ω和ζ的函数。在ω=0， ω ；当 ω ωn 90 时，不管 ζ值的大小， ； ω当 ω=∞ 180 ω。相频曲线对 时， -90°的弯曲点是斜 对称的。 1 ω 振荡环节的对数幅频特性在转折频率 T 附近产生谐振峰值 Gjω 可通过下列计算得到：
20lg 1 ω2T 2 20lg1 0 dB
近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性 是与横轴相重合的直线。
6
在 时（高频段）： 幅频特性： 2 2
ω
1 T
20lg 1 ω T 20lg ω T dB
ω 1 T
——表示一条经过 横轴处，斜率为-20dB/dec的直线 方程。 1 ω 综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在 T 处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示： 1 ω 当 T 时，是一条0分贝的直线； 当 ω
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
ω t g1
2ζ Tω 2 2 1 T ω
说明
ω ωn
为二阶系统(振荡环节)的转折频率。
13
。
10
0.1
0.2 0. 3
L ( )
0
0 .7 1
10
dB
0
0.1
0. 2 0.3 0. 7
1
( ) 90
180 0.1
0.2
0.4
0.6 0.8
1
2
4
6
8
10
/n
14
可见：当频率接近 ω ω n 时，将产生谐振峰 值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。 0 相角 是ω和ζ的函数。在ω=0， ω ；当 ω ωn 90 时，不管 ζ值的大小， ； ω当 ω=∞ 180 ω。相频曲线对 时， -90°的弯曲点是斜 对称的。 1 ω 振荡环节的对数幅频特性在转折频率 T 附近产生谐振峰值 Gjω 可通过下列计算得到：
20lg 1 ω2T 2 20lg1 0 dB
近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性 是与横轴相重合的直线。
6
在 时（高频段）： 幅频特性： 2 2
ω
1 T
20lg 1 ω T 20lg ω T dB
ω 1 T
——表示一条经过 横轴处，斜率为-20dB/dec的直线 方程。 1 ω 综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在 T 处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示： 1 ω 当 T 时，是一条0分贝的直线； 当 ω
Lω 20lg 1 T 2ω2 2ζ Tω
2
2
ω t g1
2ζ Tω 2 2 1 T ω
自动控制原理3第三节典型环节的频率特性
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。
1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 5T
Saturday, November 05, 2016
15
微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) s
05, 2016
12
振荡环节的波德图
2 T ( ) tg 相频特性： 1 T 2 2
1
几个特征点： 0, ( ) 0;
1 , ( ) ; , ( ) 。 T 2
由图可见：
K 10, T 1, 0.3 10 G ( j ) 2 s 0.6s 1 1 o T
1
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
(1 T 2 2 )2 (2T )2 2 T ( ) tg 1 1 T 2 2
L( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2 对数幅频特性为：
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0 高频段渐近线： T 1时， L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐进线的交点 o 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T Saturday, November
1 2
T
时，无谐振峰值。当
M p A( p )
1 2
1 0.707时， p 0 。 2
时，有谐振峰值。
1 2 1 2
1 当 0 ， A(0 ) ， 。 L ( ) 20 lg 2 0 2
系统的频率特性
三、机械系统动刚度的概念
质量-弹簧-阻尼系统(m- k- B)
f(t):输入力
x(t):输出位移
k
B
m
其传递函数
阻尼比
无阻尼自然频率
系统的频率特性
动柔度： 动刚度： ω = 0时，即为系统静刚度。 当
f
x1
k1
m1
k2
m2
x2
例p142：弹簧吸振器简化图示模型,若质量m1受到干扰力f=Asinωt,如何选择吸振器参数m2和k2,使质量m1产生的振幅为最小?
解 其稳态响应为： 求一阶系统G(s)=K/Ts+1的频率特性及在正弦信号xi(t)=Xsinωt作用下的频率响应。
求系统如图所示，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °)时，试求系统的稳态输出。
[结论]：当传递函数中的复变量s用 jω代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数
卡通风学期计划
频率特性
频率特性的对数坐标图
频率特性的极坐标图
最小相位系统
闭环频率特性与频域性能指标
系统辨识
第五章 系统的频率特性
B
D
F
A
C
E
掌握系统频率特性的概念和求法
掌握系统闭环频率特性的求取方法
根据bode图估计系统的传递函数
熟悉系统的bode图和nyquist图的构成
系统幅频特性和相频特性的求法
解:以f为输入,x1为输出,系统微分方程为
则位移x1与干扰力f之间的传递函数为
4第三节系统对数频率特性的绘制
m1 −1 m2 −1
2ζ lTlω −ν − ∑ tg T pω − ∑ tg 2 2 p =1 1 − Tl ω 2 l =1 π π ϕ (0) = −ν , ϕ (∞) = −(n − m) 。n = ν + n1 + 2n2 , m = m1 + 2m2 且有： 2 2 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方 法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
G1 ( s ) =
1+ s 1 + 10 s
G1 ( s ) =
1− s 1 + 10 s
最小相位系统
非最小相位系统
对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应 关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部 频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这 个结论对于非最小相位系统不成立。 非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是 当系统中包含一个或多个非最小相位环节；另一种情况可能发 生在系统存在不稳定的内部小回路。 一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
[解]：1、k = 10 −3 ,20 log k = −60;ν = 2; ω1 =
1 1 ω3 = = 8, ω 4 = = 20, 0.125 0.05
2、低频渐进线斜率为 − 20ν = −40dB ，过（1，-60）点。 3、高频渐进线斜率为 ：− 20 × (n − m) = −60 4、画出波德图如下
ϕ (ω )
− 45o
− 90o − 135o
1 T1
1 T2
− 20 − 40 − 60 − 80
−40
2ζ lTlω −ν − ∑ tg T pω − ∑ tg 2 2 p =1 1 − Tl ω 2 l =1 π π ϕ (0) = −ν , ϕ (∞) = −(n − m) 。n = ν + n1 + 2n2 , m = m1 + 2m2 且有： 2 2 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方 法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
G1 ( s ) =
1+ s 1 + 10 s
G1 ( s ) =
1− s 1 + 10 s
最小相位系统
非最小相位系统
对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应 关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部 频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这 个结论对于非最小相位系统不成立。 非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是 当系统中包含一个或多个非最小相位环节；另一种情况可能发 生在系统存在不稳定的内部小回路。 一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
[解]：1、k = 10 −3 ,20 log k = −60;ν = 2; ω1 =
1 1 ω3 = = 8, ω 4 = = 20, 0.125 0.05
2、低频渐进线斜率为 − 20ν = −40dB ，过（1，-60）点。 3、高频渐进线斜率为 ：− 20 × (n − m) = −60 4、画出波德图如下
ϕ (ω )
− 45o
− 90o − 135o
1 T1
1 T2
− 20 − 40 − 60 − 80
−40
自控理论 4-3对数坐标图
(2) 将各环节的L(w),j(w)曲线画于对数坐标纸上 1) L1(w) = 20lg4 ≈12(dB)是幅值为12dB的水平线。 2) L2(w)是过ω=1, L(w)0dB,斜率为 -20dB/dec的直线。 3) L3(w)是转角频率为ω=0.5的惯性环节对数幅频曲线。 4) L4(w)是转角频率为ω=2的微分环节对数幅频曲线。 5) L5(w)是转角频率为ω=8的振荡环节对数幅频曲线。
惯性环节L(w) 1 ① G(s)= 0.5s+1
L(w)dB 40 26dB 20
100 ② G(s)= s+5
[-20]
0dB 0o -20 - 30o - 45o o -40 - 60 - 90o 0.1 0.2
ω
1
2
10 20
[-20]
100
5. 一阶微分环节 (Ts 1) L(w ) 20lg 1 (wT) 2 j (w ) tg -1wT 1 Ts 1与 两环节的 Bode 图关于 Ts 1 横轴成镜像对称 关系。
斜率 40 20 20
40
30
-20
20
17.5
10
-60 -80
0
-10
-60
-20
-30
-40 -1 10
10
0
10
1
图4-19 例4-6的幅频特性
1 7.5( s 1) 3 G( s) 1 s 2 1 s( s 1)[( ) s 1] 2 2 2
图4-19 例4-6的相频特性
j
290o w r w n 1 2
2
wn
0dB
L(w r ) 20 lg 2
5.2 对数坐标图.
性上升20dB，故微分环节的 对数幅频特性是一条斜率为 20dB/dec的斜线,
20dB / dec
积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，
只相差正负号，二者以 轴为基准，互为镜象；同理，
二者的相频特性互以 轴为镜象。 可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高 ，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出 超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。
5.2 对数频率特性
（重点）
5.2.1 对数频率特性曲线基本概念
对数频率特性图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对 数分度运算，使系统的分析和设计变得十分简便。
1. 伯德（ Bode ）图的构成
1）对数幅频特性 横坐标： 以
进行标注，但是却以 lg 进行分度的。
标注角频率的真值，以方便读数。 每变化十倍，横坐标1gω就 增加一个单位长度，记为 decade 或简写 dec, 称之为“十倍频”或 “十倍频程”。 横坐标对于ω是不均匀的，但对1gω却是均匀的线性分度。由于 0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。
10 -20.04 -20 -0.04
最大误差发生在 1 o 处，为 T
max 20log 1 T 20 3(dB)
2
0 -1 -2 -3 -4
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
低频渐 近线
高频渐 近线
20dB / Dec
精确 曲线
若横轴上有两点ω1 与ω2 ，则该两点的距离不是ω2 −ω1，而是 lg ω2−lgω1 ，如 2 与 20 、 10 与 100 之间的距离均为一个单位长度，即一 个十倍频程。
20dB / dec
积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，
只相差正负号，二者以 轴为基准，互为镜象；同理，
二者的相频特性互以 轴为镜象。 可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高 ，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出 超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。
5.2 对数频率特性
（重点）
5.2.1 对数频率特性曲线基本概念
对数频率特性图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对 数分度运算，使系统的分析和设计变得十分简便。
1. 伯德（ Bode ）图的构成
1）对数幅频特性 横坐标： 以
进行标注，但是却以 lg 进行分度的。
标注角频率的真值，以方便读数。 每变化十倍，横坐标1gω就 增加一个单位长度，记为 decade 或简写 dec, 称之为“十倍频”或 “十倍频程”。 横坐标对于ω是不均匀的，但对1gω却是均匀的线性分度。由于 0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。
10 -20.04 -20 -0.04
最大误差发生在 1 o 处，为 T
max 20log 1 T 20 3(dB)
2
0 -1 -2 -3 -4
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
低频渐 近线
高频渐 近线
20dB / Dec
精确 曲线
若横轴上有两点ω1 与ω2 ，则该两点的距离不是ω2 −ω1，而是 lg ω2−lgω1 ，如 2 与 20 、 10 与 100 之间的距离均为一个单位长度，即一 个十倍频程。
第三节频率特性的对数坐标图
2
所以极坐标图的低频段与系统型号有关。
2019/9/29
I型系统
0
频率分析法--典型环节的频率特性
0型系统
3
2）极坐标图的高频段
G
j
K
j
m1
j i
1m2
2 k
j
2
2
k k
j
1
i1 n1
k 1
j
j
1
n2
时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T
1,o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
2019/9/29
频率分析法--典型环节的频率特性
12
惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
低频段：当T 1时，L() 20log K，称为低频渐近线。
高频段：当T 1时，L() 20log K 20logT，称为高频渐近线。 这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增 加10倍频程下降
20分贝）。 当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当
高频段渐近线： T 1时，L() 20log (T 22)2 40logT
两渐进线的交点o
相频特性：
K 1 K 1 K 1
() 180
K 0 log
() K
0 180
K 0 K 0
机械工程控制基础 第四章第三节_典型环节频率特性的绘制
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3 -1 10
10
0
10
1
一阶系统的频率响应曲线以渐近线表示时 引起的对数幅值误差 23
Bode Diagram of G(jw )=jw T+1) T=0.1 25 20
Magnitude (dB)
15 10 5 0 90
0(dB)
20lg T (dB)
Phase (deg)
1 为转角(转折、交接)频率 T
20
L( ) 20 lg [1 (T ) 2 ]( dB) ( ) arctan(T )
低频时，即
1 , T 1 T
L( ) 20 lg [1 (T ) 2 ] 20 lg1 0( dB)
1 n 为转折频率。 T
25
L( ) 20 log (1 2T 2 ) 2 (2T ) 2
( ) arctan
1 低频时， ,即T 1时 T
2T 1 2T 2
L() 20lg1 0
() 00
1 高频时， ,即T 1时 T 2 L() 20lg(T ) 40lg T
0
Re
4
3. 积分环节
传递函数：G ( s )
1 s
频率特性： G( j ) [G(s)]s j
1 A( ) 0 ( ) 90
1 1 1 900 0 j e j
由于() = - 90°是常数。A()随 增大而减小。因此，积分环节是 极坐标图一条与虚轴负段相重合的
18
Bode Diagram of )=jw Bode Diagram ofG(jw G(j )=j 40 30
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2 l
j
2
2
l l
j
1
(5-84)
j 1
l 1
当 时，由于实际的物理系统通常是 n m ，由式（5-84）可知
lim G j 0 ，即极坐标特性曲线的终点都卷进坐标原点。根据相角特性得
lim G j
上式表明，幅相特性曲线在
幅值A() 1.00 1.26 1.56
2.0 0
2.5 1
3.1 6
5.6 2
10. 0
100 1000 10000
对数幅值 0 2 4 6 8 10 15 20 40 60 80
20lgA
幅值A() 1.00 0.79 0.63
0.5 0
0.3 9
0.3 2
0.1 8
0.1 0
0.0 1
高频段渐近线： T 1时，L() 20log (T 22)2 40logT
两渐进线的交点o
时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T
1,o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
2019/9/29
频率分析法--典型环节的频率特性
12
惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
11
惯性环节的Bode图
⒊ 惯性环节的频率特性：
A( ) K , 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
( ) tg1T
G( j ) K Tj 1
①对数幅频特性：L() 20log A() 20log K 20log 1 T 22 ，为
（4）由所求得的实频特性 P 和虚频特性 Q 代入式(5-10) 和(5-11)，求出幅频特性 A 和相频特性 的表达式；然
后选取不同的 值并计算 A 和 ，在极坐标上描点并
连成曲线。
A P2 Q2
(5-10)
2019/9/29
了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
低频段：当T 1时，L() 20log K，称为低频渐近线。
高频段：当T 1时，L() 20log K 20logT，称为高频渐近线。 这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增 加10倍频程下降
20分贝）。 当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当
对于0型系统， 0 : A0 K ,0 0;
Im
GH平面
对于I型系统， 1: A0 ,0 ;
对于II型系统，
2:
A0
, 0
2 2
;
0
0 Re
对于 型系统， : A0 ,0 2; II型系统
相频特性：
K 1 K 1 K 1
() 180
K 0 log
() K
0 180
K 0 K 0
180
K 0
2019/9/29
频率分析法--典型环节的频率特性
10
积分环节的Bode图
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
频率特性：
G( j)
n m
2
时的极限角与
G
j
(5-87)
的分子、分母的阶数之差有关：
当 n m 1 时，特性曲线沿负虚轴卷向原点； 当n m 2 时，特性曲线沿负实轴卷向原点； 当 n m 3 时，特性曲线沿正虚轴卷向原点；
依此类推，如右图。
3）与坐标轴的交点
Im
GH平面
0
3(dB)
-1
-2
-3
-4
1
1
1
1
2
5
10
10T
5T
2T
T
T
T
T
2019/9/29
频率分析法--典型环节的频率特性
14
②相频特性：() tg1T 作图时先用计算器计算几个特殊点：
惯性环节的波德图
T 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 -0.6 -1.1 -2.9 -5.7 -11.3 -16.7 -26.6 -35 -45 T 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10 20 50 100 -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
arctan
Q P
(5-11)
频率分析法--典型环节的频率特性
2
2.开环极坐标图的近似绘制
1）极坐标图的低频段
幅频、相频特性表达式分别为
A
G
j
K
(5-85)
(5-86)
2
可见，低频段的幅值和相角均与积分环节的个数 有关，或者说与系统的型别有关：
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
log
01
2
1 10 100
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
2019/9/29
频率分析法--典型环节的频率特性
6
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍
j )
(1 T
1
2 2 )
j2 T
幅频特性为：
A()
1
(1 T 22 )2 (2T )2
相频特性为：
(
)
tg
1
1
2T T 2
2
对数幅频特性为：L() 20log A() 20log (1T 22)2 (2T )2
低频段渐近线： T 1时，L() 0
30 40 50 60 80 100 一倍频程
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lg
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgω 0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
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频率分析法--典型环节的频率特性
-10
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
20T 10T 5T
1
1
2
2T
T
T
5
10
20
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
振荡环节
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频率分析法--典型环节的频率特性
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惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
当 o 时，误差为：1 20log 1T 2 2 当 o 时，误差为：2 20log 1T 22 20logT
T
0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 最大误差发生在
L,dB -0.04 -0.2 渐近线,dB 0 0
-1 0
-3 0
-7 -6
-14.2 -14
-20.04 -20
o
1 T
处，为
误差,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2 -0.04 max 20 log 1 T 202
nm3
Re
用解析法求取，令幅相特性表达式中虚
部为零，解得 x ，再把它代入 G j 的
实部，即得与实轴的交点坐标。
nm2
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频率分析法--典型环节的频率特性
n m 1
4
第三节 频率特性的对数坐标图
• BODE图及其特点 • 典型环节的BODE图 • 开环系统的BODE图（单独作一节课讲） • 最小相位系统和非最小相位系统
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T
变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是
2
所以极坐标图的低频段与系统型号有关。
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I型系统
0
频率分析法--典型环节的频率特性
0型系统
3
2）极坐标图的高频段
G
j
K
j
m1
j i
1m2
2 k
j
2
2
k k
j
1
i1 n1
k 1
j
j
1
n2
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频率分析法--典型环节的频率特性
5
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）及特点
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。
⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度： 横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 log 进行线 性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非 线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十 倍频程（或十倍频），用dec表示。类似地，频率 的数值变化 一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct 表示。如下图所示：