2第二节典型环节的频率特性(对数坐标图及最小相位系统 )

lim G j
上式表明，幅相特性曲线在
n m
2
时的极限角与
G
j
(5-87)
的分子、分母的阶数之差有关：
当 n m 1 时，特性曲线沿负虚轴卷向原点； 当n m 2 时，特性曲线沿负实轴卷向原点； 当 n m 3 时，特性曲线沿正虚轴卷向原点；
依此类推，如右图。
3）与Biblioteka Baidu标轴的交点
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lg
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgω 0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
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频率分析法--典型环节的频率特性
7
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L() 20log A() 表 示。其单位为分贝(dB)。直接将 20log A()值标注在纵坐标上。
s2
10 0.6s
1
o
1 T
40dB / Dec
① 对数相频特性曲线 在半对数坐标系中 对于( 0, -90°)点 是奇对称的。
② 对数幅频特性曲线 有峰值。
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频率分析法--典型环节的频率特性
17
谐振频率，谐振峰值
对 A() 求导并令等于零，可解得 A() 的极值对应的频率 p。
K 1
K 1 log
K 1
对数幅频特性：
0
L( ) 20 lg K 常数 0
0
相频特性：
K 1 K 1 K 1
() 180
K 0 log
( )
K
0 180
K 0 K 0
180
K 0
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频率分析法--典型环节的频率特性
10
积分环节的Bode图
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
后选取不同的 值并计算 A 和 ，在极坐标上描点并
连成曲线。
A P2 Q2
(5-10)
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arctan
Q P
(5-11)
频率分析法--典型环节的频率特性
2
2.开环极坐标图的近似绘制
1）极坐标图的低频段
幅频、相频特性表达式分别为
A
G
j
K
(5-85)
(5-86)
2
可见，低频段的幅值和相角均与积分环节的个数 有关，或者说与系统的型别有关：
G(s) K Ts 1
( ) tg1T
G( j ) K Tj 1
①对数幅频特性：L() 20log A() 20log K 20log 1 T 22 ，为
了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
低频段：当T 1时，L() 20log K，称为低频渐近线。
高频段：当T 1时，L() 20log K 20logT，称为高频渐近线。 这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降 20分贝）。
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频率分析法--典型环节的频率特性
5
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）及特点
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。
⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度： 横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 log 进行线 性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非 线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十 倍频程（或十倍频），用dec表示。类似地，频率 的数值变化 一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct 表示。如下图所示：
0
频率分析法--典型环节的频率特性
0型系统
3
2）极坐标图的高频段
G
j
K
j
m1
j i
1m2
2 k
j
2
2
k k
j
1
•
i1 n1
k 1
j
j
1
n2
2 l
j
2
2
l l
j 1
(5-84)
j 1
l 1
当 时，由于实际的物理系统通常是 n m ，由式（5-84）可知
lim G j 0 ，即极坐标特性曲线的终点都卷进坐标原点。根据相角特性得
似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
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频率分析法--典型环节的频率特性
9
二、典型环节的波德图（Bode图）
比例环节的bode图
⒈ 比例环节： G(s) K ; G( j) K
幅频特性：A() K；相频特性：() 0
L() / dB
20log K 20log K
20log K
1
高阶系统极坐标图的绘制
1.用幅频特性和相频特性计算作图
（1）求环节（或系统）的传；递函数 Gs （2）用 j 取代传递函数中的 s ，求出频率特性表达式 G j
（3）将 G j 分成实部P 和虚部 Q ，若遇到G j 的分母
为复数或虚数的情况时，应将其作有理化处理。
（4）由所求得的实频特性 P 和虚频特性 Q 代入式(5-10) 和(5-11)，求出幅频特性 A 和相频特性 的表达式；然
增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节波
德图
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频率分析法--典型环节的频率特性
15
振荡环节的频率特性
⒋
振荡环节的频率特性：
G(s)
T
2s2
K
2Ts
1
s2
Kn2 2 n s
n2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
G(
j )
1
(1 T 2 2 )
j2 T
当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T 1,o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
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频率分析法--典型环节的频率特性
12
10 100 1000
当 10时，L() 20 可见斜率为－20/dec
当K 0时， 1, L() 20log K;
当 K时，L() 0 当有两个积分环节时可见斜率为 －40/dec
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频率分析法--典型环节的频率特性
11
惯性环节的Bode图
⒊ 惯性环节的频率特性：
A( ) K , 1 T 2 2
频率特性：
G( j)
K
s j K
K
j
e2
j
A( ) K
() tg1( K 0)
L() / dB
L(
)
20
2 log
A(
)
20
log
K
40
20log K 20log ,
20
K 10
当K 1时， 1, L() 0;
20 40 ()
90
10 100 1000
K 1
对于0型系统， 0 : A0 K ,0 0;
Im
GH平面
对于I型系统， 1: A0 ,0 ;
对于II型系统， 2 : A0 ,0 22 ; 0
0 Re
对于 型系统， : A0 ,0 2; II型系统
2
所以极坐标图的低频段与系统型号有关。
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I型系统
频率特性极坐标图的绘制要 点回顾
比例环节的极坐标图
积分环节的极坐标图
惯性环节的极坐标图—极坐标图为圆。
振荡环节的极坐标图
微分环节的极坐标图—有三种形式：纯微分、一阶微分和二 阶微分。
一阶不稳定环节的极坐标图
延迟环节的极坐标图
高阶系统极坐标图的绘制
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频率分析法--典型环节的频率特性
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
log
01
2
1 10 100
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
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频率分析法--典型环节的频率特性
6
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍频程 一倍频程 一倍频程
一倍频程
30 40 50 60 80 100 一倍频程
惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
-10
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
20T 10T 5T
1
1
2
2T
T
T
5
10
20
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
振荡环节
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
13
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
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频率分析法--典型环节的频率特性
8
使用对数坐标图的优点：
• 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。
• 可以将乘法运算转化为加法运算。 • 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）
近似表示。 • 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近
Im
GH平面
nm3
Re
用解析法求取，令幅相特性表达式中虚
部为零，解得 x ，再把它代入 G j 的
实部，即得与实轴的交点坐标。
nm2
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频率分析法--典型环节的频率特性
n m 1
4
第三节 频率特性的对数坐标图
• BODE图及其特点 • 典型环节的BODE图 • 开环系统的BODE图（单独作一节课讲） • 最小相位系统和非最小相位系统
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T
变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是
根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当
频率分析法--典型环节的频率特性
18
振荡环节的波德图
L( )(dB)
20
10
0
-10
渐近线
()(deg) 0°
-30°
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
幅频特性为： A()
1
(1 T 22 )2 (2T )2
相频特性为：
(
)
tg
1
1
2T T 2
2
对数幅频特性为：L() 20log A() 20log (1T 22)2 (2T )2
低频段渐近线： T 1时，L() 0
高频段渐近线： T 1时，L() 20log (T 22)2 40logT
两渐进线的交点o
1 T
称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
16
振荡环节的波德图
相频特性：
(
)
tg
1
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
由图可见：
K 10,T 1, 0.3
G(
j )
p
1 2 2
T
该频率称为谐振峰值频率。可见，当
1 2
0.707
时， p
0
。
当 1 时，无谐振峰值。当 1 时，有谐振峰值。
2
2
M p A( p ) 2
1
1 2
当
0
， A(0 )
1
2
，L(0) 20 lg 2
。
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 有很大的误差。
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惯性环节的波德图
T 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 -0.6 -1.1 -2.9 -5.7 -11.3 -16.7 -26.6 -35 -45 T 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10 20 50 100 -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
处，为
误差,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2 -0.04 max 20 log 1 T 202
0
3(dB)
-1
-2
-3
-4
1
1
1
1
2
5
10
10T
5T
2T
T
T
T
T
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频率分析法--典型环节的频率特性
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②相频特性：() tg1T 作图时先用计算器计算几个特殊点：
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 log(幅值)
幅值A() 1.00 1.26 1.56
2.0 0
2.5 1
3.1 6
5.6 2
10. 0
100 1000 10000
对数幅值 0 2 4 6 8 10 15 20 40 60 80
20lgA
幅值A() 1.00 0.79 0.63
0.5 0
0.3 9
0.3 2
0.1 8
0.1 0
0.0 1
0.00 1
0.000 1
对数幅值 20lgA
0
-2 -4 -6 -8 -10 -15 -20 -40 -60 -80
当 o 时，误差为：1 20log 1T 2 2 当 o 时，误差为：2 20log 1T 22 20logT
T
0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 最大误差发生在
L,dB -0.04 -0.2 渐近线,dB 0 0
-1 0
-3 0
-7 -6
-14.2 -14
-20.04 -20
o
1 T