弹塑性力学第十章解读
000弹塑性力学-应力理论
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
弹塑性力学(第10讲)
L-N 方程()()()22200G u G X x G v G Y y G w G Z zθλθλθλ∂∇+++=∂∂∇+++=∂∂∇+++=∂()2,0i i i G u G f λθ∇+++=(),,0i kk j ji i Gu G u f λ+++=B-M 方程()2,,,,111ij ij i j j i k k ijf f f νσδνν∇+Θ=−+−+−Chapter 6.3223112222321222233122223221211121112111111x y z yz zx f f f f xx x y z f f f f yy x y z f f f f zz x y z f f y z z y νσνννσνννσνντντν⎛⎞∂∂∂∂∂Θ∇+=−−++⎜⎟+∂∂−∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂Θ∇+=−−++⎜⎟+∂∂−∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂Θ∇+=−−++⎜⎟+∂∂−∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂Θ∇+=−+⎜⎟+∂∂∂∂⎝⎠∂∇++231221211xy f f x z z x f f x y y x τν∂∂Θ⎛⎞=−+⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂Θ∇+=−+⎜⎟+∂∂∂∂⎝⎠(),,,,,111ij kk kk ij i j j i k k ijf f f νσσδνν+=−+−+−ijε本构关系ijσ位移表示的平衡方程（L -N 方程）（3）边界条件位移解法iu 几何关系基本框架()2,0i i i G u G f λθ∇+++=Chapter 6.2222u v u u w X G l G m G nx x y z x v u vw v Y G l G e m G n x y y y z u w w v w Z G l G m G e n z x y z z λθλλ⎞⎛∂∂∂∂∂⎞⎞⎛⎛=+++++⎜⎟⎜⎟⎟⎜∂∂∂∂∂⎝⎝⎠⎠⎝⎠⎞⎞⎞⎛⎛⎛∂∂∂∂∂=+++++⎟⎟⎟⎜⎜⎜∂∂∂∂∂⎝⎝⎝⎠⎠⎠⎞⎛∂∂∂∂∂⎞⎞⎛⎛=+++++⎜⎟⎜⎟⎟⎜∂∂∂∂∂⎝⎝⎠⎠⎝⎠用位移表示的外力边界条件：ijε本构关系ijσ应力协调方程（3）应力平衡方程（3）边界条件应力解法iu 几何关系基本框架()2,,,,,1110ij ij i j j i k k ijji j i f f f f νσδννσ∇+Θ=−+−+−+=6 弹性力学问题的微分提法和基本解法•6.1 弹性力学问题的微分提法•6.2 位移解法•6.3 应力解法•6.4 解的唯一性定理•6.5 应力函数解法•6.6 叠加原理•6.7 圣维南原理位移应力应变几何方程本构方程应力公式应力函数协调方程平衡方程红线：位移解法蓝线：应力函数解法Chapter 6.4位移解法与应力函数解法的求解思路圈表示物理量，框表示关系式，双框表示最后导出的定解方程，实箭头表示推导过程，虚箭头表示自动满足。
弹塑性力学
M bh s M p
2
13
对于静定梁，当跨中截面，即出现一个
塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失继 续承载的能力。若为超静定梁，则需要 形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏 机构。
14
10-1-3 弯矩与曲率的关系
当梁的截面处于弹性状态时， E ，可得
K
在z h处 = s时，由上式得
10
塑性铰
由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通将使跨
中左右两边的截面产生相对转动正如普通结构铰 的作用一样跨中出现了塑性铰。 塑性铰与结构铰的比较： 相同点：允许梁产生转动。 不同点：①结构铰不能承受弯矩，而塑性铰则 能承受基本不变的弯矩；②结构铰集中于一点， 而塑性铰则有一定的长度；③结构铰可在两个 方向产生转动，而塑性铰则是单向铰，且转动 方向与弯矩作用方向相同。
10-1 梁的弹塑性弯曲
SJ1217班 结构工程专业 第一组
当荷载达到一定值时，结构中的“危险点”将
进入塑性变形阶段，此种状态称为结构的弹性 极限状态，相应的荷载称为弹性极限荷载。 随着荷载的逐渐增大，结构中进入塑性状态的 材料越来越多，即塑性区域不断扩大。 如果材料是理想塑性的（理想刚塑性和理想弹 塑性的），则结构可能发生这样的变形，即当 荷载增加到某一数值时，变形将无限制的发展 而荷载却不能继续增加。此时，我们称结构达 到了塑性极限状态，相应的荷载称为塑性极限 荷载。
Ke M s = 3 1 Ks M p
1/2
当he 0时，M s M p , K s K p , 该截面出现无约束 的塑性变形(即形成塑性铰)。
16
弯矩与曲率的关系
Ks M s 3 1 Kp M p
弹塑性力学第十章共131页文档
15.11.2019
23
§10-2 虚功方程
代入虚功方程左端，得
W e V fiu i (k 2 )d V Vi(k ,1 jj )u i (k 2 )d V Vi(k 1 j )i(k 2 j)d
并注意
(
V
i(k ,j1 j)fi)ui(k2)d
V 0
则
We=Wi
虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性
质虚功方程成立。
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24
§10-2 虚功方程
虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立， 但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚 设可能状态（虚设状态）。
q P=1
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25
§10-3 功的互等定理
将虚功方程用于线弹性体可导出功的互 等定理。同一弹性体处于两种真实状态。
30
§10-3 功的互等定理
x Q A
y z 0
x
Q EA
Q
Qx
y z x Q EA
yb
Q b
EA
P Pb
Q
EA
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31
§10-4 虚位移原理和最小势能原理 4.1虚位移原理
运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡
的 变状 形态 状，态，ij、为f真i、实X状i 、态u 位i ; 移而的第变二分状:态为可能
第十章 弹性力学的能量原理
§10-1 几个基本概念和术语 §10-2 虚功方程 §10-3 功的互等定理 §10-4 虚位移原理和最小势能原理 §10-5 虚应力原理和最小余能原理 §10-6 基于能量原理的近似解法
15.11.2019
岩土弹塑性力学研究生课程教学课件U10
塑性应变增量偏张量和 应力偏张量相似且同轴
｛ ｛ 本构方程数学表达
d ii
1 2
E
d ii
deij deiej deipj
deiej
1 2G
dsij
deipj dSij
回忆：张量分解 球张量和偏张量分解
ij m ij sij
m
1 3
(
x
y
z)
yxx
xy y
xz yz
m
m
xy y m
xz yz
zx zy z 0 0 m zx
zy z m
ij m ij eij
m
1 3
( x
y
z)
ii x y z
yxx
xy y
xz yz
m
0
0 m
0 0
x yx
m
xy y m
xz yz
zx zy z 0 0 m zx
硕士研究生课程
岩土弹塑性力学
第十章 经典塑性理论
同济大学地下建筑与工程系
10.1 塑性全量理论 10.2 塑性增量理论 10.3 塑性位势理论
回忆：张量分解 球张量和偏张量分解
ij m ij sij
m
1 3
(
x
y
z)
yxx
xy y
xz yz
m
0
0 m
0 0
x yx
与Mises屈服条件相关连的流动法则
屈服条件
f
J2
2 s
0
Drucker公设确定方向
d
p ij
d f ij
d
J
2
ij
dsij
引入弹性应变
弹塑性力学第10章
• • • • • • §10-1 梁的弹塑性弯曲 §10-2 压杆的塑性失稳 *§10-3 圆杆的弹塑性扭转 §10-4 理想弹塑性材料的厚壁球壳 §10-5 理想弹塑性材料的厚壁圆筒 §10-6 关于塑性力学的解题方法
第十章 简单弹塑性问题
• 前面几章介绍了塑性力学的基本理 论,利用这些基本理论就可以求解塑性力 学问题。由于塑性力学基本方程的复杂 性，一般的弹塑性力学边值问题的求解 是相当困难的。但是，对于未知量较少 和边界条件较简单的弹塑性问题，有可 能克服数学上的因难而获得解析解。本 章就介绍这类简单的弹塑性问题，并通 过它们说明塑性力学解题的方法和特点。
s
ys
式（10—3）自动满足
h/2
h / 2
（10—4）
理想弹弹性弯曲应力分布
h/2 ys
M 2
ys
0
y b y dy 2 s
2
yb y dy
M 2
s
ys
ys
0
y b y dy 2 s
2
h/2
ys
yb y dy
式（10—5）确定了弯 矩M和弹性区高度ys的 关系
§10-1 梁的弹塑性弯曲
• • • • 1.假设和屈服条件 2.梁的纯弯曲 3.梁的横力弯曲 4.梁的弹塑性挠度
1.假设和屈服条件
• 这里研究的梁其横截面具有两个对称轴， 载荷作用于纵向对称平面内。仍采用材料力学 中梁弯曲理论的一般假设： ①变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持 为垂直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设； ②不计各层间的相互挤压； ③小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多。 ④梁长比横向尺寸大得多。
•
弹塑性力学之结构的塑性极限分析
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
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x
2E
3
2dxdydz
2E
l3
2 Adx
3
30
2
EAl
3 2
2EA l 32
3
3l
2EAl 3
E
3
2P3l 3E2 A2
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§10-1 几个基本概念和术语
Uc =P l –U =P l -U
P
2
l
U
E
l
P
o
x
U
2P3l 3E 2 A2
P3l 3E2 A2
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§10-1 几个基本概念和术语
作业：图示结构各杆等截
面杆，截面面积为A,结点 A
C承受荷载P作用,材料应
力—应变关系分别为（1） l
y
=E ，(2) =E 1/2 。
试计算结构的应变能U 和 B
应变余能Uc。
P
Cx
C’
l
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§10-1 几个基本概念和术语
1.2可能位移 ui(k) 和可能应变 ij(k)：
、ij(k2)之差称为虚应变ij
。
ij =(ui,j +uj,i )/2 在V内 ui =0 在su上齐次位移边界条件。
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§10-1 几个基本概念和术语
1.5 虚应力 ij ：
ij
=
(k1 ij
)-ij(k2 )
在V内：
ij,j = 0
在s 上:
njij = 0；
满足齐次静力方程。
第二种状态：
弹性体处于可能变形状态 ui(k2) 、ij(k2)
在s =su:
ui(k2 ) ui
则第一种状态外力在第二种状态可能位移作
的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二
种状态可能应变上作的虚变形功。
——虚功原理
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§10-2 虚功方程
We
第十章 弹性力学的能量原理
§10-1 几个基本概念和术语 §10-2 虚功方程 §10-3 功的互等定理 §10-4 虚位移原理和最小势能原理 §10-5 虚应力原理和最小余能原理 §10-6 基于能量原理的近似解法
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1
第十章 弹性力学的能量原理
弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题 求解体系——静力法。
ij
ij
但
U
Uc
1 2
V ijijdV
W W ( ij ) Wc Wc ( ij )
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8
§10-1 几个基本概念和术语
各向同性线性材料的应力应变关系
ij
E
1
ij
1 2
kk
ij
U 1
2
V ijijdV
U
E
2(1 )
V
ij 2
1 2
kkll
dV
将几何关系引入上式
x
P = N = lEA/l,
l= Pl/(EA)
U = l 2EA/(2l), Uc = P 2 l/(2EA), （2） =E 1/2
1
T = U = WdV (d )dV ( E 2d )dV
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12
§10-1 几个基本概念和术语
1
l
P
T=U ( E 2d )dV o 0
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3
§10-1 几个基本概念和术语
1.1应变能U 和应变余能Uc：
应变能 U 在第四章中
已定义过：
ij
U
WdV
V
U (ij )
ij dij
应变能密度
W
ij
0 ij ij
W ( ij )
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4
§10-1 几个基本概念和术语
ij
W
ij
——弹性系
ij,j(k)+fi =0
(a)
在s上满足
Xi
n
j
(k) ij
(b)
满足式(a)、（b) —— 满足静力方程
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§10-1 几个基本概念和术语
1.4虚位移 ui和虚应变 ij ：
两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移
ui，而由两种可能位移状态对应的可能应
变
(k1) ij
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6
§10-1 几个基本概念和术语
ij
Wc
ij
——逆弹性关系
dij
且
W+Wc= ijij
ij
W
ij
0
ij d ij
ij dij
W ij ij
d ij
0 ij ij
ij ij
c
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7
§10-1 几个基本概念和术语
材料为线弹性时
W
Wc
1 2
应变能、应变余能的计算举例
l
P
o
x
解：
（1） =E
图示等截面杆，承受轴 向荷载 P 作用。杆截 面面积为 A,材料应 力—应变关系分别为
（1） =E ，(2)
=E 1/2. 试计算外力功T 、应变
能U 和应变余能Uc。
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11
§10-1 几个基本概念和术语
l o
P
T = U =Uc= P l/2
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§10-2 虚功方程
2.1虚功方程
在给定体力、面力和约束情 况下，如果找到两种状态:
S
第一种状态：
Su
在给定的体力 fi和面力 可能应力状态ij(k1)
X
，已知（找到）
i
在V内：
ij(k1)+fi =0 ;
在s =s :
Xi
n
j
( k1 ij
)
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§10-2 虚功方程
可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在
su上 满足 ：
u (k ) i
ui
可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的
(k) ij
1 2
(ui(,kj)
u
(k) j ,i
)
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§10-1 几个基本概念和术语
1.3可能应力 ij(k)： 可能应力 ij(k)：在V内满足
U=U( ui ) 应变能是位移的函数
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§10-1 几个基本概念和术语
各向同性线性材料的应力应变关系
ij
1 E
(1 ) ij
kk ij
代入Uc表达式
Uc
1 2
V ijijdV
Uc
1 2E
V
(1 ) ij 2 kk ll dV
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10
§10-1 几个基本概念和术语
在前面各章中就围绕平面问题、扭转问 题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。
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2
第十章 弹性力学的能量原理
弹性力学问题的解法还有另一种解 法：以能量形来建立弹性力学求解方 程——能量法（从数学意义上说也可认 为变分法）。
本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量 原理的近似解法。
在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概 念和术语。
如果将几何关系引入应变能, U、W 为位
移的函数。
应变余能（类似应变能）定义
Uc V WcdV
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5
§10-1 几个基本概念和术语
应变余能密度
Wc
0
ij
i
j
i
j
dij ij
——单位体积的应变余能
Wc 与积分路径无关，只与 终止状态和初始状态有关。
ij dij
Wc=ijij 为全微分