专题：电磁感应导体棒问题

F1图专题：电磁感应导体棒问题电磁感应导体棒问题涉及力学、功能关系、电磁学等一系列基本概念、基本规律和科学思维方法。

分清不同性质的导轨，熟悉各种导轨中导体的运动性质、能量转化特点和极值规律，对于吃透基本概念，掌握基本规律，提高科学思维和综合分析能力，具有重要的意义。

主干知识一、发电式导轨的基本特点和规律如图1所示，间距为l 的平行导轨与电阻R 相 连，整个装置处在大小为B 、垂直导轨平面向上的匀强磁场中，质量为m 、电阻为r 的导体从静止 开始沿导轨滑下，已知导体与导轨的动摩擦因数为μ。

求：棒下滑的最大速度． 1、 电路特点导体为发电边，与电源等效，当导体的速度为v 时，其中的电动势为 E=Blv 2、 安培力的特点安培力为运动阻力，并随速度按正比规律增大。

F B =BI l =v rR vl B l r R Blv B∝+=+22 3、 加速度特点加速度随速度增大而减小，导体做加速度减小的加速运动mr R v l B mg mg a )/(cos sin 22+--=θμθ 4、 两个极值的规律faR beBdc r当v=0时，F B =0，加速度最大为a m =g （sin θ-μcos θ） 当a=0时，ΣF=0，速度最大，根据平衡条件有mgsin θ=μmgcos θ+)(22r R v l Bm +所以，最大速度为 ：22))(cos (sin l B r R mg v m+-=θμθ5、 匀速运动时能量转化规律当导体以最大速度匀速运动时，重力的机械功率等于安培力功率（即电功率）和摩擦力功率之和，并均达到最大值。

P G =P F +P f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+====θμθcos )(sin 22m fm m m m m m F m G mgv P r R I r R E E I v F P mgv P当μ=0时，重力的机械功率就等于安培力功率，也等于电功率，这是发电导轨在匀速运动过程中，最基本的能量转化和守恒规律。

mgv m sin θ=F m v m =I m E m )(22r R I rR E m m +=+=例1、如图所示，两根平行金属导轨abcd,固定在同一水平面上,磁感应强度为B 的匀强磁场与导轨所在的平面垂直，导轨的电阻可忽略不计。

一阻值为R 的电阻接在导轨的bc 端。

在导轨上放一根质量为 m ，长为L ，电阻为r 的导体棒ef ，它可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中与导轨接触良好并保持垂直。

（1）若导体棒从静止开始受一恒定的水平外力F 的作用求：导体棒获得的最大速度时，ef 的位移为S,整个过程中回路产生的焦耳热。

（2）若金属棒ef 在受到平行于导轨，功率恒为P 的水平外力作用下从静止开始运动。

求:金属棒ef 的速度为最大值一半时的加速度a 。

二、双动式综合导轨的基本特点和规律如图所示，宽为l 的光滑平行导轨的水平部分处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。

质量为m 的导体从高h 处由静止开始滑下，而且与原来静止在水平轨道上质量为M 、电阻为R1、电路特点两导体同方向运动，开始电动势较大的为发电边，与电源等效；电动势较小的为电动边，与电动机等效。

2、电流特点导体m 进入磁场后，开始切割磁感线，产生感应电动势，并在回路中形成感应电流；同时，在安培力的作用下，导体M 也同向运动，产生反电动势。

根据欧姆定律，电路中的电流可以表示为：rR v v Bl r R Blv Blv I M m M m +-=+-=)(所以电流随两导体的相对速度v m -v M 的减小而减小。

当v M =0时电流最大。

当v m =v M ，电流I=0 3、安培力、加速度特点安培力对发电边为阻力，对电动边为动力，在轨道宽度不变的情况下，两边的安培力大小相等，方向相反即矢量和为零。

安培力的大小可表示为：rR v v l B BIl F M m B +-==)(22所以安培力也随两导体的相对速度v m -v M 的减小而减小。

当v M =0时安培力最大。

当v m =v M ，安培力F B =0据牛顿第二定律知：加速度a 随安培力的变化而变化 4、速度极值根据机械能守恒定律，发电边进入水平轨道时速度的最大值为gh v v 20max ==当两者达到共同速度时，发电边的速度达到最小值，电动边的速度达最大值。

根据系统动量守恒，所以有Mm mv v v M m mv +=+=00)(5、 全过程系统产生的热当相对速度为零，即v m =v M =v 时，电流为零，回路不再消耗电能——两导体开始以共同速度v 匀速运动。

根据全过程中能转化和守恒规律，有Q v M m mgh ++=2)(21所以全过程中系统产生的热为：Mm Mmghv M m mgh Q +=+-=2)(21 6、 全过程两导体产生的热量之比与电阻成正比根据连导体串联电路中，每时刻通过的电流相等，从而有Q=I 2Rt 所以全过程中两导体产生的热之比为：Rr Q Q R r = 例2电容冲电式导轨的基本特点和规律如图所示，宽为l 的光滑竖直导轨，处于磁感应强度为B 方向垂直导轨平面的匀强磁场中，上端接有电容为C 的电容器。

一根质量为m 的导体，从静止开始沿导轨滑下。

1、电路特点导体为发电边，在加速运动的过程中不断对电容器充电，电路中始终存在充电电流 2、三个基本关系在重力和安培力的作用下，导体的加速度可以表示为：mF mg a B-=① 受到的安培力可以表示为：F B =BI l ②回路中的电流可以表示为：I CBla tvCBl t E C t Q I =∆∆∆∆=∆∆= ③ 3、四个重要结论结论一：导体做出速度为零的匀加速直线运动证明 将②、③式代入①得：加速度为22L CB m mga +=结论二：电路中的充电电电流恒定不变，为恒定直流。

证明：将加速度a 之值代入③式，所以，电流为：22lCB mg CBlmgI +=结论三：导体受到的安培力为恒力证明： 将电流代入安培力公式得，2222lCB m mg l CB FB += 结论四：电容器储存的电场能等于安培力做的功证明：f2222)(21)(21)21()()21(Blv C Blat C at l CBla B at BIl h F W B F =====式中Blv=E ，即导体的电动势，也即电容器连极板间的电压，所以，安培力的功等于电容器储存的电场能E c ，即c F E CE W ==221例2、如图所示，导体棒ef 、bc 处于水平放置宽度不同的足够长的平行金属导轨上，L 1=2L 2，导体棒bc 和ef 的质量均为m ，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面。

现固定bc 棒，给ef 一水平向右的初速度V 0，不计导轨电阻及摩擦。

问：当bc 棒不固定时，ef 以V 0起动后整个运动过程中产生多少热量 ？ 练习：例1、如图所示，在间距为l 的光滑的水平导轨上，放置两根质量均为m 、电阻均为R 的导体a 和b ，处于方向竖直向上的大小为B 的匀强磁场中。

如果对导体a 价水平向右的恒力F ，是计算：（1）导体a 的加速度的最小值和导体b的加速度的最大值是多少？（2）两导体最终的相对速度【解析】但两导体开始运动后，导体a 为发电边，受到的安培力为阻力，做加速度减小的加速运动；导体b 为电动边，受到的安培力为动力，做加速度增大的加速运动。

（1）当两者的加速度相等时，导体a 的加速度达到最小值，导体b 的加速度达到最大值。

以系统为研究对象，根据牛顿第二定律，两极值为mF a a 2max min == （2）以导体b 为研究对象，根据牛顿第二定律，安培力为F ma F B 21max == 从而有l RBlv Blv B BIl F b a 2)(21-== 这时，两导体的相对速度（v a -v b ）、电路中的电流I 也恒定不变。

所以两导体最终的相对速度为22)(lB FRv v v b a ab =-=例2、如果上题中，导体a 以初速度v 0向导体b 运动，两导体始终没接触，试计算： （1）在运动中产生的焦耳热是多少？（2）当导体a 速度减少1/4时，导体b 的加速度是多大？【解析】当两导体运动后，导体a 为发电边，受到的安培力为阻力做加速度减小的减速运动；导体b 为电动边受到的安培力为动力，作加速度减小的加速运动。

（1）当两者达到共同速度v ，即E=E 反时，电路中无电流机械能不再转化为焦耳热。

根据系统的动量和能量守恒，有Q v m mv mvmv +==2200)2(21212 所以，产生的焦耳热为22204121mv mv mv Q =-=（2）当导体a 的速度减小1/4，即v a =3v 0/4时，根据动量守恒得，40v v mv mv mv b b a =+=，则 这时导体b 受到的安培力为Rv l B l R Blvb Blva B BIl F B 42)(022=-==所以这时导体b 的加速度为mRv l B m F a B b 4022==例5、如图所示，宽为L=1m 、倾角θ=30o 的光滑平行导轨与电动势为E=3.0V 、阻r=0.5Ω的电池相连接，处在磁感应强度B=T 33、方向竖直向上的匀强电场中。

质量为m=200g 、电阻R=1Ω的导体ab 从静止开始运动。

不计其余电阻，且导轨足够长，试计算：（1）若在导体ab 运动t=3s 是将开关合上，这时导体受到的安培力是多大？加速度是多少？（2）导体ab 的收尾速度是多大？（3）当达到收尾速度时，导体ab 的重力功率、安培力功率、电功率，以及回路中焦耳热功率各是多少？【解析】 在电路接通前，导体ab 在3s 末的速度为s m gt at v /15sin 0===θ导体ab 的电动势为V E V BLv E ab 35.7cos 0=>==θ因此，导体ab 于电源等效，而电池为被充电的反电动势负载 （1）所以，开关S 和尚时导体ab 阿后到的安培力水平向右，大小为N L rR EE BL BI F ab 300=+-== 而导体的加速度为200/5.2cos sin s m mF mg a -=-=θθ式中负号表示加速度方向沿斜面向上，即导体沿斜面作减速运动。

（2）以沿斜面向上为正方向，导体加速度的一般表达式为θθθθsin cos )()(sin cos g r R m E E BL mmg F a ab -+-=-=因此导体做加速度减小的加速运动，当a=0时，速度最小，然后以最小速度开始匀速运动。

从而有θθθcos )cos (sin min rR E BLv BL mg +-=所以收尾速度为s m L B BEL r R mg v /12cos cos sin )(222min =++=θθθ（3）当导体以收尾速度匀速运动时，导体ab 的重力功率、安培力功率和电功率大小相等，即： W mgv P 12sin min ==θ同理，还有 θcos min min min min BLv I E I P == 则电路中电流为 A BLv P I 2cos min min ==θ所以回路中焦耳热功率为 W r R I P 6)(2min=+=热 如图所示，两根光滑的水平放置的平行导轨，相距为d ，两根质量均为m 金属棒ab 、cd 平行静止在导轨上，金属棒与导轨垂直，其中ab 棒用长为L 的绝缘细线悬挂在支架上，细线伸直，ab 恰好与导轨接触，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，现把ab 棒移至水平位置a /b /，从静止开始释放，到最低点与轨道接触，又继续向左摆动，摆到最高点位置a //b //时与竖直方向成600，问（1）ab 棒与导轨第一次接触后，cd 棒的速度大小（2）ab 棒与cd/电容冲电式导轨的基本特点和规律如图所示，宽为l 的光滑竖直导轨，处于磁感应强度为B 方向垂直导轨平面的匀强磁场中，上端接有电容为C 的电容器。