洛伦兹力
《洛伦兹力》 讲义
《洛伦兹力》讲义一、什么是洛伦兹力在物理学中，当带电粒子在磁场中运动时，会受到一种力的作用，这种力被称为洛伦兹力。
洛伦兹力是由荷兰物理学家亨德里克·安东·洛伦兹首先提出的。
要理解洛伦兹力，我们先来看看带电粒子的运动。
带电粒子可以是电子、质子等，它们带有一定的电荷量。
当这些带电粒子在没有磁场的情况下做直线运动时，它们遵循牛顿运动定律。
然而，当存在磁场时，情况就变得复杂了。
磁场是一种特殊的物质，它具有能量和动量。
带电粒子在磁场中运动时，会与磁场发生相互作用，从而受到洛伦兹力的影响。
洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁场的磁感应强度有关。
具体来说，洛伦兹力的大小可以用公式 F ＝qvBsinθ 来表示，其中 F 是洛伦兹力的大小，q 是带电粒子的电荷量，v 是带电粒子的速度，B 是磁场的磁感应强度，θ 是速度方向与磁感应强度方向的夹角。
从这个公式可以看出，如果带电粒子的运动方向与磁场方向平行（即θ ＝ 0 或 180°），那么洛伦兹力为零；只有当带电粒子的运动方向与磁场方向不平行时，才会受到洛伦兹力的作用。
二、洛伦兹力的方向洛伦兹力的方向可以用左手定则来判断。
左手定则的具体方法是：伸出左手，让磁感线垂直穿过手心，四指指向正电荷运动的方向（或者负电荷运动的反方向），那么大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。
需要注意的是，洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，所以洛伦兹力永远不做功。
这是因为做功的条件是力在力的方向上有位移，而洛伦兹力与运动方向垂直，在运动方向上没有分力，也就不会做功。
举个例子，如果一个带正电的粒子以速度 v 向右运动，磁场方向垂直纸面向里，那么根据左手定则，洛伦兹力的方向向上。
三、洛伦兹力与电场力的区别在研究带电粒子的运动时，我们经常会遇到洛伦兹力和电场力。
虽然它们都是对带电粒子的作用力，但它们有很多不同之处。
首先，产生的原因不同。
电场力是由电场对带电粒子的作用产生的，只要带电粒子处于电场中，就会受到电场力的作用。
洛仑兹力
据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动 在球面上做水平的匀速圆周运动, 解： 据题意，小球 在球面上做水平的匀速圆周运动 该圆周的圆心为O' 受到向下的重力mg、 该圆周的圆心为 。P受到向下的重力 、球面对它 受到向下的重力 方向的支持力N和磁场的洛仑兹力 f＝qvB 沿OP方向的支持力 和磁场的洛仑兹力 方向的支持力 和磁场的洛仑兹力f ＝ 式中v为小球运动的速率， 的方向指向O′, 式中 为小球运动的速率，洛仑兹力 f 的方向指向 为小球运动的速率 根据牛顿第二定律： 根据牛顿第二定律：
2m B≥ q g R cosθ
可见，为了使小球能够在该圆周上运动， 可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度 大小的最小值为
Bmin 2m = q g R cosθ
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为n R sinθ
v= 2a = 2m
N cosθ mg = 0
v2 f N sinθ = m R sinθ 由前面三式得： 由前面三式得： qBR sinθ gR sin2 θ v2 v+ =0 m cosθ
N P mg f R θ O O'
由于v是实数，必须满足： 由于 是实数，必须满足： 是实数 qBR sinθ 2 4 gR sin2 θ =( ) ≥0 m cosθ 由此得： 由此得：
若小球带负电， 解： 若小球带负电，带电小球受到的洛仑兹力向 试管底，不能从试管口处飞出， 错 试管底，不能从试管口处飞出，A错。 洛仑兹力与运动方向垂直，不做功， 错 洛仑兹力与运动方向垂直，不做功，C错。 小球带正电，受到洛仑兹向试管口作匀加速运动 小球带正电，受到洛仑兹向试管口作匀加速运动, 同时随试管向右匀速运动，合运动的轨迹是一条 同时随试管向右匀速运动， 抛物线， 正确 正确。 抛物线，B正确。 小球受到洛仑兹向试管口作匀加速 运动时，又受到洛仑兹力， 运动时，又受到洛仑兹力，方向向 且逐渐增大， 左，且逐渐增大，所以维持试管匀 速运动的拉力F应逐渐增大 正确. 应逐渐增大,D正确 速运动的拉力 应逐渐增大 正确
洛伦兹力
五、带电粒子在磁场中的运动 ——极值多解问题 极值多解问题 （一）、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题： ）、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题： 带电粒子在有界磁场中运动的极值问题 注意下列结论，再借助数学方法分析： 注意下列结论，再借助数学方法分析： 1、刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中 、 运动的轨迹与边界相切 边界相切。 运动的轨迹与边界相切。 2、当速度 一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心 一定时， 、当速度v一定时 弧长越长， 角越大， 角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越 长。 3、注意圆周运动中有关对称规律： 、注意圆周运动中有关对称规律： 如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时， 如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时， 速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内， 速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿 径向射入的粒子，必沿径向射出。 径向射入的粒子，必沿径向射出。
五、带电粒子在磁场中的运动 ——极值多解问题 极值多解问题 （二）、洛仑兹力的多解问题 ）、洛仑兹力的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动， 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动， 由于多种因素的影响，使问题形成多解， 由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形 成原因一般包含下述几个方面。 成原因一般包含下述几个方面。 （1）带电粒子电性不确定形成多解 ） 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷， 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也 可能带负电荷，在相同的初速度的条件下， 可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负 粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。 粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。 （2）磁场方向不确定形成多解 ） 有些题目只告诉了磁感应强度大小， 有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指 出磁感应强度方向， 出磁感应强度方向，此时必须要考虑感应强度方 向不确定而形成的多解。 向不确定而形成的多解。
细谈洛伦兹力
法拉第电磁感应定律应用
01
法拉第电磁感应定律内容
当一个回路中的磁通量发生变化时，就会在回路中产生感应电动势。感
应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，即$e=-Nfrac{dPhi}{dt}$，
其中$N$为回路匝数，$Phi$为磁通量。
02
洛伦兹力与感应电动势关系
在电磁感应现象中，洛伦兹力作用于运动电荷上，使得电荷在磁场中发
电荷运动方向与磁场方向成任意角度
03
此时θ为v与B的夹角，洛伦兹力F=qvBsinθ，其大小随θ的变化
而变化。
03
洛伦兹力与电场关系
电场对运动电荷作用
电场力
电场对电荷的作用力，与电荷的电量和 电场强度成正比，方向沿电场线切线方 向。
VS
运动电荷在电场中的轨迹
运动电荷在电场中受到电场力的作用，其 运动轨迹与电场线的形状和电荷的初速度 有关。
粒子加速器还应用于材料科学 、化学、生物学等领域。例如 ，利用粒子加速器可以模拟太 空环境，研究材料在太空中的 性能变化；还可以用于研究化 学反应的动力学过程等。
06
总结与展望
洛伦兹力研究意义和价值
揭示电磁相互作用机制
洛伦兹力是电磁学中的基本力，研究 它有助于深入理解电磁相互作用的本 质和机制。
多场耦合效应的复杂性
在实际应用中，洛伦兹力往往与其他物理场（如电场、热场等）相互耦合，使得问题变 得更为复杂，难以精确求解。
高性能计算资源的需求
对洛伦兹力的精确模拟和计算需要高性能的计算资源，如何有效利用和优化计算资源是 当前面临的挑战之一。
未来发展趋势及前景预测
01
深入研究极端条件下 的洛伦兹力
洛伦兹
洛伦兹力的方向由左手定则判定。
洛伦兹力
带电粒子是以 B的正方向(负电荷)或负方 向(正电荷)为转轴作圆周运动的，角频率的 大小也与带电粒子的运动速度无关。
洛伦兹力演示仪
亥姆霍兹线圈
电 加速电压 选择挡
子
枪
磁场强弱选择挡
c. v0 与 B斜交成 θ 角
把 0 分解成两个分矢量：平行于B的分矢量v// v0 cos 和垂直于B的分矢量 v v0 sin .由于磁场作用，带电 粒子在垂直于磁场的平面内以 v作匀速圆周运动 .但 由于同时有平行于B的速度分矢量v//不受磁场影响， 所以带电粒子合运动的轨迹是一螺旋线，螺旋线的半 径是 m v m v0 sin
t 2 qB
因此为了粒子和交变电场的频率仍能保持同步，必须使交变电场的角频率ω 同步降低
交变电场角频率应保持满足ωm=qB
qB 即其频率满足 f 2m
根据这个原理设计的回旋加速器，叫做同步回旋加速器。
北 京 正 负 粒 子 对 撞 机
实物图
高大上的比如这个(*´・ω・)ノ
蠢一点的比如这个(*´＿⊃`)ノ
mv 随着粒子一次次被加速，粒子在盒中绕行的半径 R qB
也不断增大，最后以很高的速度由致偏电极引出，这样 就获得了高能粒子束。 若设粒子最后一次在D形盒内的绕行半径 为 qBR D 则粒子的出射速度： v max
RD
m
然而当粒子被加速到接近光速的时候，必须考虑相 对论效应，粒子的质量将随速度的增大而增加。由 T m 粒子在半盒内的运动时间也增加。 于
磁聚焦的应用：电真空器件中对电子束的聚焦 利用示波管和磁聚焦法可以测定电子的 荷质比
2.回旋加速器
回旋加速器是原子核物理、高能物理等实验中获得 高能粒子的一种基本设备。
洛伦兹力
答案 AD
[思考]
若没有轨道存在， 两小球运动的轨 迹如何? 答案 A球将沿直 线做匀加速运 动． B球的轨迹是摆线, 如下图所示．
三、带电体在洛伦兹力作用下的运动问题
洛伦兹力特点: 可能是恒力 也可能是变力
（匀速） （变速）
直线
曲线 变速运动中f洛大小、方向均有可能改变，与 速度有关。(状态)
洛伦兹力及其应用
磁场对运动电荷的作用 ---洛伦兹力
1．洛伦兹力的大小 F安是F洛宏观体现
F=Bqvsinθ， θ为v与B的夹角
v∥B时．洛伦兹力F＝0 v⊥B时，洛伦兹力F＝Bqv 2．洛伦兹力的方向 左手定则： 注意：1）F ⊥ B和v所决定的平面（因为它由B、V 决定）,但B与V不一定垂直（因为它们由自身决 定） 2）四指的指向是正电荷的运动方向或负电荷 运动的反方向 3．洛伦兹力对运动电荷不做功，只改变运动电荷 速度的方向 ．
aO' b 60
即
1 m t T 6 3qB
特点1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心， 则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。
（3）圆形磁场区域 特点2 入射速度方向（不一定指向区域圆圆心） 初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的 圆心都在弧弦的垂直平分线上。 （弦切角为 ），则出射速度方向与入射速度方向的 偏转角为 2 ，轨迹圆弧对应的圆心角也为 2
即V>Bed/m。
O
B
拓展：如已知带电粒子的质量m和电量e，若要带电粒 子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足什 么条件？
（3）圆形磁场区域 例1。 如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度为B，现有一电荷量为q，质量为m 的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射 出磁场区域方向与入射方向的夹角为 60 求：此离子在磁场区域内飞行的时间。 由几何关系得出
洛伦兹力的微观解释
洛伦兹力的微观解释（原创版）目录一、洛伦兹力的概念及公式二、洛伦兹力的微观解释1.电荷在电场中的受力2.电荷在磁场中的受力3.洛伦兹力的微观本质正文一、洛伦兹力的概念及公式洛伦兹力，又称为洛伦兹磁力，是由荷兰物理学家洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）在 19 世纪末 20 世纪初提出的一种力。
洛伦兹力是描述电荷在电磁场中受到的力的公式，该公式为：F = q(E + v x B)。
其中，F 表示洛伦兹力，q 表示电荷量，E 表示电场强度，v 表示电荷的速度，B 表示磁场强度，x 表示叉乘符号。
二、洛伦兹力的微观解释1.电荷在电场中的受力当电荷处在电场中时，它会受到电场力。
根据库仑定律，电场力 F_E = qE，其中 q 为电荷量，E 为电场强度。
电荷在电场中的受力与电荷的电量和电场强度成正比。
2.电荷在磁场中的受力当电荷处在磁场中时，它会受到磁场力。
根据安培环路定律，磁场力F_B = qvB，其中 q 为电荷量，v 为电荷的速度，B 为磁场强度。
电荷在磁场中的受力与电荷的电量、速度和磁场强度成正比。
3.洛伦兹力的微观本质洛伦兹力实际上是电荷在电场和磁场共同作用下所受到的力。
从微观角度来看，洛伦兹力可以解释为电荷在磁场中受到的力是由于磁场对电荷的运动产生了影响，使得电荷的运动轨迹发生了偏转。
这种偏转现象在电子显微镜中尤为明显，电子在磁场中受到洛伦兹力作用，从而在磁场中形成特定的轨迹。
综上所述，洛伦兹力是一种描述电荷在电磁场中受到的力的公式。
电荷在电场中的受力与电荷的电量和电场强度成正比，电荷在磁场中的受力与电荷的电量、速度和磁场强度成正比。
洛伦兹力专题知识
第2节 研究洛仑兹力
洛伦兹
荷兰物理学家
（1853-1928）
磁场对电流有力旳作用吗?
安培力
电流是怎样形成旳? 电荷旳定向移动
由此推理,你能够提出哪些猜测?
__________________________________
•由此我们会想到：磁场对通电导线旳安培力 可能是作用在大量运动电荷上旳力旳宏观体 现，也就是说磁场对运动电荷可能有力旳作 用.
磁场方向一定与电荷运动方向垂直 D．粒子旳速度一定变化
• 6、下列有关磁场对运动电荷旳洛仑兹力旳说 法中正确旳是 （ D ）
• A．运动电荷在某处不受洛仑兹力作用， 则该处旳磁感应强度一定为零；
• B．运动电荷在磁场中一定受到洛仑兹力； • C．安培力是洛伦兹力旳微观体现，洛伦
兹力是安培力旳宏观体现； • D．洛仑兹力对运动电荷一定不做功； • E. 洛仑兹力既不能变化带电粒子旳动能，
v
v垂直纸面对内
例与练
• 3、下列各图中已经画出磁场方向、电荷旳 运动方向和洛仑兹力旳方向，请指出电荷 旳电性。
-
-
例与练
• 4、下图中已经懂得电荷旳运动方向和洛仑 兹力旳方向，请指出磁铁旳极性。
B
N
S
例与练
• 5、如图所示，在一根电流方向向右旳通电
直电线旳正下方有一种电子射线管与导线
平行放置，则管内旳电子射线将（ B）
• 洛伦兹力旳方向可由左手定则来鉴定．
洛伦兹力
洛仑兹力旳演示
洛仑兹力方向 怎样判断？
试验表白：
• 阴极射线管（电子射线管）中旳电子束 在磁场中发生偏转，磁场对运动电荷确 实存在作用力．
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第II 卷（非选择题）
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1．（8分）如图所示为一速度选择器，板间存在方向互相垂直的匀强电场和磁场。
现有速率不同的电子从A 点沿直线AB 射入板间。
平行板间的电压为300 V ，间距为5 cm ，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T ，问：
(1)匀强磁场的方向指向纸面里还是向外？
(2)能沿直线通过该速度选择器的电子的速率？
【答案】(1) 垂直于纸面向里(2) 105m/s
【解析】
试题分析：(1)由于电子所受到的电场力向上，由平衡知，洛伦兹力向下，由左手定则判断出 B 的方向垂直于纸面向里（2分）
(2)电子受到的洛伦兹力为：F B =evB ，它的大小与电子速率v 有关，只有那些速率的大小刚好使得洛伦兹力与电场力相平衡的电子，才可沿直线KA 通过小孔S
据题意，能够通过小孔的电子，其速率满足下式：evB=eE(2分) 解得：E v B
=
（1分） 又因为U E d
=（2分） 所以U v dB =得v=105m/s （1分） 考点：左手定则、速度选择器、物体平衡、洛伦兹力、电场力
2．（16分）如图所示，在磁感应强度为B 的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直平面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α。
一质量为m 、带电荷量为＋q 的圆环A 套在OO′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ<tan α，现让圆环A 由静止开始下滑，试问圆环在下滑过程中：
（1）圆环A 的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？
（2）圆环A 能够达到的最大速度为多大？
【答案】（1）m a gsin α＝ 1v mgcos qB
α=
（2）(sin cos )m mg q v B αμαμ+＝ 【解析】
B
试题分析：：(1)由于tan μα<，即sin cos mg mg θμθ>所以环将由静止开始沿棒下滑。
环A 沿棒运动的速度为1v 时，受到重力mg 、洛伦兹力1qv B 、杆的弹力1N 和摩擦力11f N μ＝。
根据牛顿第二定律，对圆环A 受力分析有
沿棒的方向：1mgsin f ma α－＝（2分）
垂直棒的方向：11N qv B mgcos α＋＝（2分）
所以当10f ＝ (即10N ＝)时
a 有最大值m a ，且m a gsin α＝
此时1qv B mgcos α＝（2分） 解得：1v mgcos qB
α=。
（2分） (2)设当环A 的速度达到最大值m v 时，环受杆的弹力为2N ，摩擦力为22f N μ＝。
此时应有0a ＝，即2mgsin f α＝（3分）
在垂直杆方向上
2m N mgcos qv B α＋＝ （3分） 解得：(sin cos )m mg q v B
αμαμ+＝（2分） 考点：洛伦兹力 牛顿第二定律
3．如图所示，质量为m 的小球带有电量q 的正电荷，中间有一孔套在足够长的绝缘杆上，杆与水平成α角，与球的摩擦系数为μ。
此装置放在沿水平方向磁感应强度为B 的匀强磁场之中，从高处将小球无初速释放，小球下滑过程中加速度的最大值是多少？小球运动速度的最大值是多少？ 【答案】sin
m a g θ= sin cos m mg v qB θθμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：将小球由静止开始释放，小球受到重力、垂直于杆向上的洛伦兹力、垂直于
杆的支持力和滑动摩擦力．开始阶段，洛伦兹力小于重力垂直杆向下的分力，杆对小球的支持力垂直杆向上，受力如图所示．
由牛顿第二定律有：
垂直杆方向：cos 0N mg f θ-+=洛
沿杆方向：mgsin f ma θ-=
又f qvB =洛 f N μ=
小球向下做加速运动，洛伦兹力逐渐增大，支持力和滑动摩擦力逐渐减小，合力增大，加速度增大，当洛伦兹力等于重力垂直杆向下的分力时，支持力和摩擦力为零，合力最大，加速度最大，则有sin m a g θ=．
此后，小球速度继续增大，当洛伦兹力大于重力垂直杆的分力时，杆对小球的支持力方向变为垂直于杆向下，受力情况如图所示，由牛顿第二定律有：
垂直杆方向：cos 0f N mg θ--=洛
沿杆方向：mgsin f ma θ-=
又f qvB =洛 f N μ= 可解得：sin cos qvB a g g m θμθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
随着速度增大，滑动摩擦力增大，合力减小，加速度减小，当加速度减小到零，小球做匀速直线运动，速度达到最大，于是可得： sin cos 0m qv B g g m θμθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
解得：sin cos m mg v qB θθμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
考点：本题考查牛顿第二定律的理解和应用、力的合成与分解的运用、洛仑兹力及左手定则，意在考查考生对带电物体在磁场中运动的受力分析和运动情况分析．
4．如图所示，质量m ＝0.1g 的小物块，带有5×10-4C 的电荷，放在倾角为30°的光滑
绝缘斜面上，整个斜面置于B=0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面指向纸里，物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面，求：
（1）物块带什么电？
（2）物块离开斜面时速度多大？
（3）斜面至少有多长？
【答案】（1）物体带负电（2）物体离开斜面时的速度为/s （3）斜面至少1.2 m
【解析】
试题分析：（1）带电滑块在滑至某一位置时，由于在安培力的作用下，要离开斜面．根据磁场方向结合左手定则可得带电粒子的电性．
（2）由于斜面光滑，所以小滑块在没有离开斜面之前一直做匀加速直线运动．借助于洛伦兹力公式可求出恰好离开时的速度大小．
（3）由运动学公式来算出匀加速运动的时间．由位移与时间关系可求出位移大小． 解：（1）由题意可知：小滑块受到的安培力垂直斜面向上．
根据左手定则可得：小滑块带负电．
（2）当物体离开斜面时，弹力为零，
因此有：cos30qvB mg =︒，
故cos30/s mg v qB
︒==． （3）由于斜面光滑，物体在离开斜面之前一直做匀加速直线运动，
由牛顿第二定律得：mgsin30°=ma，
由匀变速直线运的速度位移公式得：v 2=2ax ，
解得：x=1.2m ．
考点：洛仑兹力；力的合成与分解的运用。