矩阵理论1
矩阵理论在高等数学中的应用与发展
矩阵理论是高等数学的一个重要分支，它的应用领域广泛，不仅在数学学科中发挥着重要的作用，还在物理学、工程学等学科中有许多实际的应用。
本文将探讨矩阵理论在高等数学中的应用与发展。
首先，矩阵在线性代数中的应用是最为广泛的。
在线性代数中，矩阵被用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以得到线性方程组的解。
矩阵的加法、减法和乘法等运算规则为线性方程组的求解提供了便利，使得计算更加简单高效。
此外，矩阵在线性变换中也有重要应用，通过矩阵的乘法运算，可以表示线性变换的组合和复合操作，这对于研究线性变换的性质和应用具有重要意义。
其次，矩阵理论在微积分中也有广泛运用。
微积分中的矩阵函数是一类在矩阵上定义的函数，它可以将矩阵作为输入并输出一个新的矩阵。
矩阵函数的导数和高阶导数等概念在微积分中也得到了相应的推广，矩阵导数的研究对于优化算法、控制理论等领域具有重要意义。
此外，矩阵理论还广泛应用于微分方程的研究中，矩阵微分方程是一类以矩阵形式表示的微分方程，它在描述一些物理过程、生物系统以及经济模型等方面具有重要的应用价值。
此外，矩阵理论在信号处理和图像处理等领域也发挥着重要作用。
在信号处理中，矩阵能够表示和处理多维信号，如图像和音频信号。
矩阵的特征值和特征向量等概念可以用于图像和音频信号的分析与处理，如图像的压缩、降噪和特征提取等。
在图像处理中，矩阵的运算和分解方法可以用于图像的变换与恢复等操作，从而提高图像处理的效率和质量。
在矩阵理论中，特征值和特征向量是一个重要的基础性概念。
它们不仅在线性代数和微积分中有广泛的应用，还在其他学科中发挥着重要作用。
矩阵的特征值和特征向量可以用于描述和分析系统的稳定性和动态特性。
在控制理论中，矩阵的特征值和特征向量可以用于判断一个系统的稳定性，并通过控制设计的方法来实现系统的稳定和优化控制。
在量子力学中，矩阵的特征值和特征向量与量子态和量子测量等概念相联系，为理解和描述微观粒子的行为提供了重要的工具。
矩阵理论第一章课后习题答案
1.按通常矩阵的加法及数与矩阵的乘法，下列数域F 上方阵集合是否构成F 上的线性空间：（1）全体形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a-a 0的二阶方阵的集合； （2）全体n 阶对称（或反对称、上三角）矩阵的集合； （3）{|0,}n n V X AX X F ⨯==∈（A 为给定的n 阶方阵）.解：（1）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b a-a 0α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222a 0b a β⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3330b a a γ ①αββα+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+111222212121222111b a -a 0a 00a 0b a -a 0b a b b a a a a b a ②)(0b a -a 0000a 0b a -a 0)(323232111321321321333212121333222111γβαγβα++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++b b a a a a b b b a a a a a a b a a b b a a a a b a a b a③存在零向量V ∈0，使得对每个V a ∈，a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+111111b a -a 00000b a -a 00④对每个V a ∈，存在负向量a -,使得0b -a a -0b a -a 0)(111111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a a再令F y x ∈,⑤αα)(b a -a 0xyb xya -xya 0yb ya -ya 0b a -a 0)(111111111111xy xy x y x y x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⑥αα=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111b a -a 011⑦βαβαx x b a xb xb xa xa xa xa b b a a a a x b a x x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+222111212121212121222111a 0b a -a 000a 0b a -a 0)(⑧ya xa yb xb yaxa ya xa y x y x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+111111*********yb ya -ya 0xb xa -xa 00b a -a 0)()(α所以全体形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a -a 0的二阶方阵的集合构成F 上的线性空间。
矩阵论第1章
例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质． （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； （2）对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价； （3）传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都 有 0 ，称 0 为零元素； （ 4 ） ( 有 负 元 ) 对 任 何 V ， 都 有 元 素 V ， 使
0 ，称 为 的负元素，记为 ；
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T
矩阵论第一章线性空间和线性变换
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
量子力学中的矩阵理论
量子力学中的矩阵理论量子力学是研究微观物体行为的重要分支，而量子力学中的矩阵理论则是支撑这一学科发展的关键工具之一。
在量子力学中，微观粒子的性质和行为往往无法用经典物理学的概念来解释，而矩阵理论则为我们提供了一种有效的数学框架，帮助我们理解和描述这些微观粒子的奇妙世界。
量子力学中的矩阵表示方法最早由狄拉克（Dirac）提出，经过多年的发展和完善，已经成为解决量子力学问题的一种重要数学工具。
矩阵在量子力学中的应用可以追溯到海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学，而这些理论的成功也为矩阵理论在量子力学中的应用奠定了基础。
矩阵理论在量子力学中的应用之一是描述微观粒子的态矢量。
在经典物理学中，我们用向量来描述物体的物理状态，而在量子力学中，我们则使用态矢量。
态矢量是一个复数向量，表示粒子在某个状态下的量子机会。
而这些态矢量可以通过矩阵来表示。
例如，一个二维复数向量可以用一个二阶矩阵来表示，而三维的情况则需要使用更高维度的矩阵。
通过矩阵表示态矢量，我们可以方便地进行各种计算和推导。
这是因为矩阵在数学上有着丰富的属性和运算法则。
我们可以对矩阵进行求和、乘法、转置等操作，而这些操作在量子力学中具有重要的物理意义。
例如，我们可以通过计算两个矩阵的乘积，得到两个量子态叠加的结果。
这种用矩阵来表示量子态的方法，为我们研究量子系统的演化、相互作用等提供了便利。
除了描述态矢量，矩阵理论在量子力学中还有其他重要的应用。
其中之一是描述量子力学中的算符。
在量子力学中，算符是一种可以作用在量子态上的数学操作。
通过矩阵理论，我们可以将算符表示成矩阵的形式，从而可以方便地进行计算。
例如，我们可以通过对应的矩阵乘以态矢量，得到算符作用后的结果。
这种矩阵表示方法可以帮助我们理解和计算各种物理量的平均值、期望值等。
此外，矩阵理论还为我们提供了描述量子力学中的对易关系的工具。
在量子力学中，对易关系是描述两个物理量之间的量子态的关系。
通过矩阵理论，我们可以将对易关系表示成矩阵的形式，从而可以用矩阵的性质进行分析和计算。
矩阵论第一章
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作
a M
(或
a M ) .
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。
例 1：
A与B之间是一个住宿关系。
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3} （三套房间），
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
逆映射与复合映射
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 使 称此映射 g为 f 的逆映射 , 习惯上 计为 f 1. 若f有逆映射，则称f可逆. 例如, 映射
A
f
f 1
若存在一新映射
B
其逆映射为
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆 映射 f 1 是唯一的。
实数集合
R x x 为有理数或无理数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . 例如 , , ,
【矩阵理论课件】第1讲：线性空间及分解
6) k(l ) (kl) 7) (k l) k l 8) k( ) k l
返回
2 判断下列集合是否构成线性空间.
1) 空间中不平行于一已知向量的全体向量所构
成的集合， 2) 数域P上次数等于定数n(n 1)的多项式全体所
构成的集合，是否构成复数域上的线性空间?
返回
3. 线性空间的基和维数
存在向量 V1 如果 V2，则结论成立
如果: V2 , V2是非平凡子空间
返回
存在向量 V2 如果 V1，则结论成立 如果 V1，就有
V1, V1; V2, V2
V1, V2
返回
§1.2 空间分解与维数定理
定义1 设V1,V2是线性空间V 的子空间,则V1与V2的和为
且是唯一的，这个和 V1 V2 就称为直和,记为V1 V2
返回
定理2：设 V1 , V2是线性空间V的子空间,则下列命题等价 （1） V1 V2 是直和； （2） 零向量表示法唯一；
（3） V1 I V2 {0}.
例 1：设, 线性无关,则L() L( )是直和,
而L( ， ) L()不是直和.
0 0 1
1 1 0
0 1 1
100
0 1 0
0 1 1
1 1 0
0 1 1
100
0 1 1
0 1 0
返回
1 1 0
0 1 1
100
1 0 0
1 1 0
1 1 0
0 1 1
100
1 0 1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
100
1 1 0
1 0 1
定义: 在V中有n个线性无关的向量1,L ,n , 而 V中任意n 1个向量都线性相关,则称1,L ,n是V
矩阵理论 -Kronecker积
返回
(8) 当m n, p q时，
tr( A B) trA• trB
(9) rank(A B) rankA• rankB
(10) 当m n, p q时，
det( A B) (det A) p g(det B)m
证：
1
A
P 1
2
O
P
P 1J1 P
a22 L LL
am1 am2 L
a1n
a2n L
amn
记A的列为 Ac1, Ac2 ,K , Acn A ( Ac1, Ac2 ,K , Acn )
Ac1
向量化算符:Vec
A
Ac2 M
Acn
返回
性质1： Vec (kA lB) kVec A lVec B
定理5：设 A Cmn , X Cnr , B Crs , 则 Vec ( AXB) (BT A)Vec X
0
m
返回
1
பைடு நூலகம்
B
Q1
0
2
O
Q
Q 1 J 2Q
p
A B (P1J1P) (Q1J2Q) (P Q)1(J1 J2 )(P Q)
det( A B) det(J1 J2 )
p
p
p
m
p
( 1 j )( 2 j )L ( m j ) ( i ) p ( j )m
(2)当U,V均为酉矩阵时,U V也是酉矩阵;
(3) ( AB)[k] A[k]B[k].
返回
例1：以1或-1为元素的m阶矩阵H，如果有 HH T mEm
则称H 为m阶Hadamard矩阵.设Hm , Hn分别为m, n阶Hadamard矩阵,则 Hm Hn为mn阶Hadamard
研究生矩阵论第1讲 线性空间
矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲 线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
电磁场中的矩阵理论Chapter 1_C
叠加原理
线性变换应用举例
微波遥感
Thanks
1.1 线性方程组 1.2 向量方程 1.3 矩阵方程 Ax=b 1.4 线性方程组的解集 1.5 线性无关 1.6 线性变换
矩阵方程 Ax=b
向量方程 x1a1+x2a2+…+xnan=b
解方程Ax=b就是要求出R4中所有经过乘以A的作用变为b的向量x
变换
X在T(x)作用下的像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无解，因此c不在T的值域中。
投影变换
若
变换
能否把R3中的点投影到x1，x2坐标平面上？
剪切变换
设
T=Ax,
求其作用于右图后的图形
旋转变换 设 求 在T下的像
左旋90o
线性变换性质
变换T称为线性的，若 a. 对T的定义域中一切u，v，T（u+v）=T（u）+T（v） b. 对一切u，v和标量c，T（cu）=cT（u） c. 对任意数c1，c2…cp
值域：所有像的集合
定义域
取值空间
例：
Optical Scanning Holography (OSH)
系统的传输函数可以写为:
H (k x , k y ; z ) exp[ j
z 2 (k x2 +k y )] zk0 f f z k x , y ' k y ) exp[ j ( x ' k x y ' k y )]dx ' dy ' k0 k0 f
* p1 ( x ', y ') p2 ( x '
如果p1(x, y)=1 ， p2(x, y) = δ(x, y)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4 线性变换的矩阵表示引言：数域P 上线性空间V 上的所有线性变换组成的集合—L (V )是数域P 的线性空间。
若V 是n 维线性空间，那么L (V )的维数是多少呢？L (V )与n n P ⨯之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵表示。
一、线性变换在一组基下的矩阵表示：设n εεε,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，对V ∈∀α，则有n n k k k εεεα+++= 2211 )()()(11n n A k A k A εεα++=∴又),1()(n i VA i =∈ε则有：)()()()(22112222112212211111*⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn nn a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε用矩阵形式表述（*）有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n n a a a a a a a a a A A A 2122221112112121),,())(),(),((εεεεεε习惯上记上式左边为：),(21n A εεε，，则有：A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =；这就有了下面的定义：1.Df 1.若A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =则称A 为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵，且可逆若V ∈α在n εεε,,,21 下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k 1，那么)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标又如何呢？⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=n n n n k k A A A A k A k A 12111))(),(),(()()()(εεεεεα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n k k A k k A 121121),,,(),,(εεεεεε可见，)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标是由A 与α在n εεε,,,21 下的坐标来确定的。
2.结论：Th 1.域P 上n 维线性空间V 中的线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是唯一的。
由此可推得：当给定线性空间V 的一组基n εεε,,,21 后，A 与域P 上的n n A ⨯一一对应。
进一步可得Th 2..若n εεε,,,21 是域P 上的n 维线性空间V 的一组基，i A 是V 上的线性变换，i A 在n εεε,,,21 下的矩阵为i A ，则有2121A A A A +→+ 2121A A A A →⋅ 11A A λλ→ 11--→A A由此可得：Th3..数域P 上的n 维线性空间V 在取定一组基下，L (V )与P 域上所有的n n ⨯矩阵构成的线性空间nn P⨯是同构的即：n n P V L ⨯≅)(推论：2dim )(dim n P V L n n ==⨯上述线性变换与矩阵之间的对应关系是在给定的一组基下实现的，随着基的改变，线性变换的矩阵表示会发生什么样的变化？二、线性变换在不同基下的矩阵表示(首先回忆过渡矩阵的概念)Df 2.设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是n 维线性空间V 的两组不同基，且满足P n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =。
则称P 为由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵，且P 是可逆的。
从而可以研究同一线性变换在两组不同基下的矩阵的关系。
下面定理解决这个问题：Th 4. A 在不同基下的矩阵是相似的Proof :设n εεε,,,21 ;n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组不同基B A n n ),,(),,(2121ηηηηηη =由121212121),,,(),,,(),,,(),,,(-=⇒=P P n n n n ηηηεεεεεεηηη则),,(21n A ηηη AP P n 121),,(-ηηηP 可逆，上式两边右乘1-P由Th 1 1A PBP -=AP B P1-=即B A ~eg 1.设4维线性空间4R 上的线性变换A 在基4321,,,x x x x 下的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2211310310758231A试求A 在基⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=14213321243211x y x x y x x x y x x x x y 下的矩阵解：由已知有A x x x x x x x x A ),,,(),,,(43214321= 设B y y y y y y y y A ),,,(),,,(43214321=而P x x x x x x x x y y y y ),,,(0001001101111111),,,(),,,(432143214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 计算得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00110110110010001P又B 与A 相似() ==∴-AP P B 1三、正交变换在一组标准正交基下的矩阵：正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵 或线性变换在一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵设T 是内积空间V 的正交变换，n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，由上节课知，n T T T εεε ,,21亦是V 的一组标准正交基若A T n n ),,,(),,,(2121εεεεεε = 即A T T T n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =则A 可以看作是由n n T T T εεεεεε,,,,,,2121 →的过渡矩阵 据正交基变换可知：A 为正交矩阵)(E A AT=同样，内积空间的正交变换与正交矩阵亦是一一对应的。
eg 2.设321,,x x x 是三维欧氏空间V 的一组标准正交基，试求V 的一个正交变换T ，使得：⎩⎨⎧+-=-+=321232112222x x x Tx x x x Tx 解：设3213cx bx ax Tx ++= 由T 在321,,x x x 下的矩阵为正交矩阵 即A x x x x x x T ),,(),,(321321=其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=c b a A 211222为正交矩阵由E A A T= 可解得a = b = c = 从而可得正交变换。
第5节 不变子空间与点到子空间的距离上节课研究了线性变换在一组基下的矩阵及不同基下的矩阵之间的关系，从中可得，线性变换与矩阵之间的关系，以及正交变换与正交矩阵之间的关系。
知道这些关系对研究矩阵理论具有很重要的意义。
不但如此，而且线性空间、线性变换及矩阵这三者之间的关系也是紧密的联系在一起，为此我们先研究一下不变子空间。
一、不变子空间1.Df : 设A 是线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若对W x ∈∀W x A ∈)(。
即W W A ⊆)(。
则称W 为A 的不变子空间，或者说子空间W 对线性变换A 是不变的。
2.结论：①零空间及V 本身都是A 的不变子空间。
②若21,V V 是n 维线性空间 V 的两个子空间，且是线性变换的不变子空间，若21V V V ⊕=且m e e e ,,21与n m m e e e ,,,21 ++分别是1V 与2V 的一组基，则向量组n m m m e e e e e e ,,,,,,2121 ++便构成V 的一组基，且A 在基n m m m e e e e e e ,,,,,,2121 ++下的矩阵为分块对角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A其中：1A 是A 在基m e e e ,,21下的矩阵；2A 是A 在基n m m e e e ,,,21 ++下的矩阵注：该结果可以推广到有限个子空间直和的情形。
即：若V 可分解为有限的k 个子空间),2,1(k i V i =的直和 二、点到子空间的距离与最小二乘法1.点到子空间的距离Df :设V 是有限维内积空间（即欧氏空间），V y x ∈∀,称x-y 的长度y x -为x 与y 的距离，记为),(y x d),(y x d 满足下列三个基本的性质：①);,(),(x y d y x d =②);,(),(),(z y d y x d z x d +≤ ③0),(,0),(==⇔≥y x d y x y x d 时当然这里点到子空间的距离，也象几何里点到直线（平面）的距离一样，是指点到子空间各点距离的最短距离。
即设子空间V x x x L W k ⊂=),,,(21 ，x 是V 中给定的一元素，显然有),2,1(k i x x W x i =⊥⇔⊥（？）设W ∈y ，满足W y x ⊥-)(，且对W z ∈-∀都有：z x y x -≤-（向量x 到W 的各向量间距离以垂线最短）则y x -即为点x 到子空间W 的距离。
作为点到子空间距离的应用来解决最小二乘法问题2. 最小二乘法：——在系统理论中处理最优化问题时有重要的应用。
考虑不相容线性方程组 b Ax =※（方程个数与变量个数不同）其中k n ij a A ⨯=)( Tn b b b b ),,(21 = ()Tk x x x x ,,21=（线性代数知：R (A )=R (A ,b )时，※有解，R (A )≠R (A ,b ) ※无解） 这里解决无解的情况（利用最小二乘法）也即：设法找出一组数0201,,k x x x 使偏差的平方和：∑=-++=ni i k ik i i b x a x a x a 122211)( η最小，00201,,k x x x 称为※的最小二乘解。
若令y =Ax ，则y 是n 维列向量；上述η即为2b y -。
而最小二乘法即是找一组0201,,k x x x 。
使y 与b 的距离最小。
为此；假设),,(21k A ααα =，i α表示A 的第i 列。
则有k k x x x y ααα+++= 2211显然),,(21k L y ααα ∈，则上述问题可叙述为：求x ，使2b y -最小，即在),,(21k L ααα 中找一向量y ，使向量b 到它的距离比到子空间),,(21k L ααα 中其它向量的距离都短。
若k k x x x y ααα ++=2211即为所求向量，则),,()()(21k L Ax b y b c ααα ⊥-=-=A0),(),(),(21====⇔k c c c ααα,0,021===⇒c c c T k T T ααα此即 θ=-)(Ax b A T即b A Ax A T T =——这就是最小二乘解所满足的代数方程，它仍是一个线性方程组，系数矩阵为A A T，常数项为b A T。
eg 2: 用最小二乘法解方程组：13121231231210x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=111111011101A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111101111T A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0121b b A x x x Ax A T T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴012301033134321解此线性方程组，得最小二乘解为，2031=x ,60112=x ,2013-=x。