线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质简图(高中立体几何)
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
高中数学第八章立体几何初步-平面与平面垂直的判定课件及答案
则 AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角．在 Rt△BSC
中，∵SB＝SC＝a，
∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
在 Rt△ABD 中，AD＝ 22a.在△ADS 中， ∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角 A-BC-S 为直二面角，故平
面 ABC⊥平面 SBC.
(3)垂线法．过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线，垂 足为 B，由点 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 O，连接 AO，则∠AOB 为二面 角的平面角或其补角．如图③，∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角．
【对点练清】
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两
D．AO⊥l，BO⊥l，且 AO⊂α，BO⊂β 答案：D
3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A-BC-A1 的平面 角等于 ________． 答案：45°
知识点二 平面与平面垂直
(一)教材梳理填空 1．面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直__二__面__角__，就说 定义
D．不存在
()
答案：C 3．若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则
()
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α 与 γ 相交但不垂直 答案：D
D．以上都有可能
题型一 二面角的概念及其大小的计算
【学透用活】 (1)一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． (2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的 平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都 与棱垂直，这三个条件缺一不可． (3)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两 个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 180°，所以二面角的平面角 α 的取值范围是 0°≤α≤180°.
线面平行面面平行的判定ppt课件
2.平面 内有两条直线与平面 平行, , 平行吗?
面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直
线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
用符号表示为： aa⊂ ∥βα，，bb⊂∥βα，a∩b＝P⇒β∥α.
定理的本质：
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
1.如图 3，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，Q 是 PA 的中点．求证：PC接QO. ∵ABCD为平行四边形，
解：(1)在图 2 中，线段 BB1、BC、CC1、
C1B1、BC1 所在的直线与平面 ADD1A1 平行．
(2)在图 2 中，平面 A1B1C1D1、CC1D1D
与 AB 所在的直线平行.
图1
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行， 则另一条也 与这个平面平行．
其中正确命题的个数是( B )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
4．若 a、b 是异面直线，则下列命题中是假命题的是( D ) A．过 b 有一个平面与 a 平行 B．过 b 只有一个平面与 a 平行 C．过 b 有且只有一个平面与 a 平行 D．过 b 不存在与 a 平行的平面
人教A版高中数学必修二.1直线与平面垂直的判定(25张)
1.线面垂直定义 （1）创设情境—感知概念
（2）观察归纳—形成概念
A
B α
讨论：能否用一条直线垂直于一个平面内 直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？
直线与平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的任任意意一条直线都垂直，
我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：a⊥α.直
个平面垂直的方法吗？
实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得 到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置 在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.
A
B
D
C
问题:折痕AD 与桌面垂直吗？如何翻折
才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？
问题:由折痕AD⊥BC ，翻折之后垂直关系， 即AD⊥CD ，AD⊥BD 发生变化吗？由此你
C DE
E
BB
H G FF
2.线面垂直判定定理的探究
问题:在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，棱BB1与底面 ABCD 垂直。观察BB1与AB、 BC 的位置关系,由此你认为保证
A1 B1
BB1⊥底面ABCD的条件是什么？ A
B
D1 C1
D C
猜想问：题一: 如条何直将线一与张一长个方平形面贺内卡的直两立条于相桌交 面直？线由都此垂，直你，能则猜该想直出线判与断此一平条面直垂线直与。一
⇔ l⊥PQ ⇔l⊥平面PAQ
A
lQ
B
人教A版高中数学必修二 .1 直线与平面垂直的判定（25张）
人教A版高中数学必修二 .1 直线与平面垂直的判定（25张）
3.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线
2.斜足 斜线和平面相交的交点
线面垂直_面面垂直的性质定理
l α 符号表 αβ l β 示：
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
（2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点求证： （1）MN CD;
β B பைடு நூலகம் l A a
C
练1. 四边形ABCD中，AD∥BC， AD=AB，∠BCD=450， ∠BAD=900，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面 BCD，构成四面体ABCD. 求证:平面ADC⊥平面ABC A
A
D
D
B
C
B
C
练2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a， ∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将 四边形折成直二面角. (1)证明：AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
例1 a
如图已知平面α、β,α⊥β,α∩β = l , 直线a⊥β, α，试判断直线a与平面α的位置关系.
a b
α
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的性质定理： 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴ a∥ b
立体几何线线垂直专(史上最全)
立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．AEDBC例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SACBC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：AE ⊥平面PBC .证明：∵PA ⊥O 所在平面，BC 是O 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴BC AC ⊥. ∵,PAAC A PA =⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC .∴BC ⊥平面PAC ，AE ⊂平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PCBC C =,PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC .∴AE ⊥平面PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，SDCBAACBPEO图2所以BD ⊥平面AED .例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点． 求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D证明：连结ACB D AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A C A C BC A C BC D11111同理可证平面练习；1、 如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP ⊥BC ；AC2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .证明：DC 1⊥BC 。
立体几何直线平面平行的判定和性质课件文
2023-11-06•直线与平面平行的判定•直线与平面平行的性质•直线与平面平行的重要结论•立体几何直线平面平行问题建模•立体几何直线平面平行问题的求解策略目录01直线与平面平行的判定直线与平面平行是指直线与平面内任意一条直线都无公共点，即直线与平面平行。
直线与平面平行的基本性质是：如果直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行。
直线与平面平行的定义直线与平面平行的判定定理如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的任何一条直线都平行。
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线的方向向量与此平面的法向量垂直。
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线的斜率与此平面的法向量的斜率互为相反数的倒数。
在工程学中，直线与平面平行的判定定理也被广泛应用，例如在机械加工、建筑设计等领域中，都需要用到这个定理来计算和设计物体的位置和形状。
直线与平面平行判定的应用在立体几何中，我们常常需要判断一条直线是否与一个平面平行，或者判断一个平面是否与另一个平面平行。
通过直线与平面平行的判定定理，我们可以很容易地判断出直线与平面的位置关系，从而解决一些立体几何的问题。
02直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理直线与平面平行，则该直线与平面内的任意一条直线均无交点，因此它们平行或异面。
若直线与平面平行，则该直线与平面的垂线互相垂直。
若两条直线都与同一平面平行，则它们的夹角为0度。
直线与平面平行性质的应用在建筑学中，可以利用直线与平面平行的性质来设计建筑物的结构，确保其稳定性和安全性。
在机械加工中，可以利用直线与平面平行的性质来加工和测量工件的尺寸和形状。
在实际生活中，可以利用直线与平面平行的性质来检测平直的物体或线段是否平行。
直线与平面平行性质的证明方法方法一01利用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行，然后根据性质定理得出结论。
方法二02利用反证法证明直线与平面平行。
假设直线与平面不平行，根据性质定理可得出矛盾，从而证明直线与平面平行。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1．若ba、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。
4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH面ABC ，GF面ABD ，由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ．例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。