几何画板与椭圆曲线教学整合案例
巧用几何画板探索椭圆轨迹
（ 斛÷） ＾ ２ ２
方程。
教师 ： “ 以上解法是很典 型的。这里设点Ａ、 的 坐标 ， 但 并不需要求出 ， 只是利用Ａ、 曰 的坐标进行过 渡 。这是解析几何 中常用 的一种求轨迹方法——设 而不求 。 寻找动点之 间的关系是求轨迹问题的关 键。 还有其他解法没有？”
２
看 一个具体 的例子 ： 如图 １ ， 过 椭 圆 ＋ ＝ １ （ 。 ＞ ６ ＞
ａ ｚ ｂ
教师： “ 点Ｐ 与Ａ、 Ｂ 两点的坐标的关系怎样 ？” 学生 ： “ 根 据 中点 坐 标 公 式 得 到 ：ｘ ｌ ＋ Ｘ ２， ｖ ：
２ ｙｌ ＋ ） ， ２ ， ，
一
ｆ Ｆ 严
＼ 、 ．
／
，
＼ ～
图３ 图４ “ 猜猜看 ， 点Ｊ Ｐ 的轨迹是什么？” 不少学生 已经利用几何画板演示 了出来 ：拖 动 主 动 点 Ａ， 得到点Ｐ 的轨迹 是一个 小椭 圆 ， 并 且 这 个
小椭圆的长轴是线段０ 即半焦距 。（ 如 图４ ）
２ ２
于 是 有 二 ： 一 ． — Ｘ ｌ ＋ — ｘ ２ 一娑 ： ｋ ： ＿ ｌ ｙ ＿ ， ｒｘ ２ ， ２ ， Ｘ ＋Ｃ
化简得—— 一＋ —Ｌ ： １ ， 此 即为所求 的轨迹
（ ＿ ｃ ＿ ） ｚ （ ｃ） ｂ ｚ
２ ２０
方 程 。”
，
ｉ
图 １
一 ／
图 ２
；
“ 有ｋ ： ￣ Ｙ ｌ － ｙ， 还有 ： ， ｌ。”
Ｘｌ －Ｘ２ Ｘ＋Ｃ
“ 如何 得 ￣ ｌ Ｊ Ｙ Ｉ － Ｙ ２ ７”
Ｘ１ － Ｘ２
几何画板演示 ：拖动 主动点Ａ在椭圆上转动 或 制作点Ａ 在 椭圆上运动 的动画按钮 ， 跟踪 点Ｍ， 得 到 点Ｍ的轨迹是一个小 圆。如 图２ ， 怎样求 出这个小 圆
活用几何画板优化高中数学圆锥曲线定义的教学——以椭圆定义及其定义法求椭圆为例
活用几何画板优化高中数学圆锥曲线定义的教学——以椭圆定义及其定义法求椭圆为例摘要在高中数学教学中，灵活地合理运用几何画板这一辅助教学工具，不仅有助于形象地展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，还有助于培养学生的发散思维、创新思维等能力。
本文以椭圆定义及定义法求椭圆为例，突显几何画板在圆锥曲线教学中的应用价值。
关键词：几何画板；定义；椭圆；数学概念；应用价值理解数学概念是学习数学的基本要求，也是学生进一步解决数学问题的基础知识。
数学概念往往有一个核心概念，再由核心概念演绎而成的子概念，核心概念和子概念组成一个知识体系。
解题运用过程中，往往运用核心概念将数学知识有效的整合，形成系统的知识网络，不仅更有效快速地解决问题，而且有助于学生思维能力的发展和核心素养的内化。
圆锥曲线是高考考查的热点，考题以中、高难度为主，题型涵盖选择题、填空题和解答题，解答题中的求解圆锥曲线方程时，待定系数法与定义法求轨迹是常见方法，我们知道，圆锥曲线这一模块知识，主要考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理。
然而，以历年的教学经验看来，在圆锥曲线的解答题中，第一问的求解曲线方程的运算出错的学生都不在少数，特别是题干中可以用定义法快速求解的，由于学生未能抓住题目关键条件，对圆锥曲线定义的理解只停留在表面，反而用了直译法列出方程，却又由于计算不到位，未能化简出结果，最终导致整道题丢分。
因此，若要突破解决这一问题，根源在于让学生理解圆锥曲线的定义。
一、几何画板在椭圆定义教学中的意义对于椭圆的定义，如果只是按照传统的理论传授教学方式进行授课的话，那么作为接收理解知识的学生来讲，概念的理解可能更多的只是停留在概念中文字的描述，而至于椭圆的生成过程的动态过程，在他们脑海里显得淡化甚至是没有。
因此，在传统的教学过程，如果我们教师本身能恰当地利用多媒体技术，借助几何画板的图形界面和简单的操作，把曲线轨迹的形成过程用动态的过程展示，并且最后让学生看到直观图形。
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
*轨迹与轨迹方程
轨迹：动点按照一定条件运动所形成的曲线 （几何图形）
轨迹方程：动点运动，其坐标(x,y)所满足的 关系式
（代数方程）
例1 如图，F是定点，l 是不经过F的定直线，动点 M到定点F的距离与到定直线 l 的距离的比e是小于
1的常数，动点M的轨迹是什么？
所以，这样的动点Q的轨迹即为椭圆.
定义法：利用所学过的曲线的定义直接写出 所求的动点的轨迹方程
课堂小结 1.用几何画板探究点的轨迹. 2.轨迹方程的常见求法.
作业
1、已知点P(2,0),Q(8,0)，点M与点P
的距离是它与点Q的距离的
1 5
，求点M轨
迹方程.并说明轨迹是什么图形.
2、点M与定点F(2,0)的距离和它到定 直线x=8的距离的比是1:2，求点M轨迹
解：设d是M到直线l : x 245的距离，设M(x,y) 根据题意有 MF 4
d 5
即
(x 4)2 y 2 4
x
25 4
5
将上式两边平方并化简，得：9x2 25y2 225
y
.M(x,y) .O
F(-4,0)
即
x2 y2
25 9
1
x 所以，点M的轨迹是长轴、短轴分 别为10、6的椭圆.
又 OQ PQ 为定值 ，等量代换有 OQQAr，分析这个 式子本身的几何意义即得点Q的轨迹.
Pl
Q
..
O
A
演示轨迹三
解：因为点Q是线段PA垂直平 分线上的点，所以有
PQ QA
又 OQPQr
Pl
Q
..
O
A
所以，OQQAr 此即为动点Q到两个定点O、A的距离之和
数学实验----探究轨迹：椭圆 精品教案
《数学实验——探究轨迹：椭圆》教学设计教学流程合作探究学习实验报告单小组名称：小组奖金：小组成员：A组长B记录员C管理员D报信员一、实验课题：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆（选修2-1课本P50）二、实验准备:根据学生对电脑使用的熟练程度按4人一组,分成16个实验小组，对每个成员进行分工（操作、观察、记录数据）.学生根据老师提供的素材，事先用几何画板软件画出满足条件的动点。
三、实验目标：借助几何画板，观察动点轨迹，探究动点轨迹为什么是椭圆，同时结合具体图象变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的思想，从而熟练求轨迹方程的方法——定义法。
同时，也为后面双曲线与抛物线的学习奠定基础。
四、实验过程：环节一：复习定义合作策略：轮流说+随机抽问。
奖励：50班币操作：（1）打开名为《椭圆第一定义》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？（2）椭圆的第一定义概念：时间：3分钟【设计意图】利用几何画板演示椭圆轨迹的形成过程，让学生一边观察，一边回忆椭圆的定义。
一方面强化“动点到两定点的距离和为定值”这一认识，另一方面提醒学生注意2a>2c是一重要条件,为这节课的探究奠定基础。
环节二实例引入例1 已知M(0,6)是圆22+=100x y内的一个定点, 求经过M且与已知圆内切的动圆圆心p的轨迹。
操作：（1）打开名为《例1》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？答：轨迹是（2）怎么证明你的猜想？（老师讲解）时间：7分钟【设计意图】通过例题，先让学生拖动点，利用已有经验去猜测轨迹的图象，再用所学知识去验证，使得数学经验得以提升。
我选取的这道例题，椭圆的中心不在原点，即两定点不关于原点对称，打破学生的思维定势，引导学生通过“内切”这一关键条件得出“动点到两定点的距离各为定值”这一结论。
学生无须求写曲线方程。
整个教学过程中，充分体现了学生的主体地位，教师只是教学的组织者和引导者。
环节三：变式练习合作策略：思对论。
奖励：100班币已知圆O的半径为4，A是圆O内一个定点，且OA=2，点P是圆上的动点，若线段AP的中垂线L交半径OP于Q，当P在圆上运动时，求动点Q的轨迹方程？操作：（1）打开名为《练习》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？答：轨迹是(2)点击《运动对象》，验证轨迹图像；（3）怎么证明？并求出轨迹方程。
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
2
6 3
，-1
2
MP 2 MF MP MN .MP 2 MF MP MN .
m in
m in
过点P1，-1作PN0
l于N
0交椭圆于M
0
,当M运动
到与M
重合
0
，
即P, M , N三点共线时，MP 2 MF 取得最小值.
答案：MP
2
MF
的最小值为3，此时M
解：（1）依题意可得椭圆左焦点为 F13,0, 右焦点为 F2 3,0，由椭圆第二定义可得
MF1 d1
e
c a
3 5,
而
MF1
3.d1
5
MF1 3
5.
（2）方法一（直接法）：由椭圆定义可得 MF1 MF2 2a 10,而MF1 3, MF2 7
设点M到右准线的距离为d 2 , 由椭圆第二定义可得
4 5
，求点
M 的轨迹.
探究 F是定点，l是不经过F的定直线，动点M到定点F的
距离和它到定直线 l的距离比e是小于1的常数.猜想M
的轨迹是什么？
几何画板探究M的轨迹
发现：M的轨迹是椭圆
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
概念分析
椭圆的第二定义：
平面内到一个定点F和一条定直线 l 的距离的比
人教A版数学选修1-1 第二章 2.1椭圆
信息技术应用
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
白银市第一中学 陈彦娟
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
一、回顾旧知
椭圆的定义： PF1 PF2 2a F1F2 .
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
2018年安徽省第三届微课大赛
联系信箱：XXX
2018年安徽省第三届微课大赛
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章第一节
椭圆及其标准方程
滁州市明光市第二中学 明光市第二中学 郑伟
郑伟
课件、微课名
教学目标
01
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章第一节
理解椭圆的定义
02
能由椭圆定义推导椭圆的方程 明确焦点、焦距的概念
熟练掌握椭圆的标准方程，
03
会根据所给的条件画出椭圆的草 图并确定椭圆的标准方程
2018年安徽省第三届微课大赛 2018年安徽省第三届微课大赛
联系信箱：704531508@
2018年安徽省第三届一师一优课
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章2.1椭圆
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
明光市明光第二中学 郑伟
课件名
知识回顾
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
我们在前面学习了椭圆的哪些知识？ 回顾
求曲线方程的方法步骤
建系 点的轨迹：椭圆
例6 点M（x,y)与定点F（4，0）的距离和它到定直线
l: x 25 的距离的比为 4 ，求点M的轨迹.
4
5
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
几何画板与椭圆曲线教学整合案例论文
几何画板与椭圆曲线教学整合案例摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。
关键词：几何画板圆锥曲线整合【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重，考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。
同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。
对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题：（1）在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。
（2）仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质。
（3）面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。
运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。
同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。
这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。
【实例制作及应用】题目：椭圆及其性质课件使用方法：（1）利用课件1，如图（1）所示，双击a=3.00及b=2.00输入椭圆的长半轴及短半轴的值，可以得到我们想要的椭圆，同时也可以看到相应椭圆的离心率及准线方程的值。
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
导学案：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆反思【学习目标】（1）理解椭圆的第二定义，体验椭圆的另外几种生成形式；（2）通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的直观想象能力；（3）培养学生利用信息技术解决数学问题的能力。
【重点难点】：重点：1.体验椭圆的生成过程；理解椭圆的第二定义。
2.培养学生利用信息技术解决数学问题的能力。
难点：培养探索问题、解决问题的核心素养【自主探究】【教材助读】（阅读书本P41/例6, 完成书本P43/B组第2题）B组/ 2、点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【疑惑记录】【合作探究】知识探究（一）【动手实验】例1.点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【试一试】（小组合作，用几何画板动手实验）思考1、改变定点F的位置，其他的都不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？思考2、改变定直线的位置，其他的都不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？思考3、比值改变，定点和定直线的位置不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？由此，你有什么发现？（请一个小组派代表上台展示小组成果，请其他小组的同学补充）结论1：知识探究（二）【猜想证明】猜想：若动点M ()y x ,和定点F ()0,c 的距离与它到定直线ca x l 2:=的距离的比是常数)0(a c ace <<=，则动点M 的轨迹方程是椭圆. （你能证明你的猜想吗？这个椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别是什么？）结论2：定点F ()0,c 是椭圆的一个焦点，直线ca x l 2:=称为相应于焦点F 的准线.相应于焦点F ()0,-c ，椭圆的准线是 .当焦点在y 轴上时，准线方程是知识探究（三）【再体验】任务一：用《几何画板》探究书本P 35/例3点M 的轨迹，并试着改变点A 、B 的位置，乘积的大小、符号，思考满足点M 的轨迹是椭圆的条件.任务二：用《几何画板》探究书本P 34/例2点M 的轨迹，完成书本P 43/B 组第1题.【归纳反思】谈谈本节课你的收获（基本知识、基本方法、数学思想）.【课堂延伸】1、椭圆的第二定义中，如果比值大于1，轨迹会发生变化吗？为什么？2、书本P 35/例3中，若乘积的符号发生改变，点M 的轨迹又会发生怎样的变化呢？反思。
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几何画板与椭圆曲线教学整合案例
发表时间：2013-11-12T15:09:22.670Z 来源：《素质教育》2013年8月总第128期供稿作者：方奎李玲仙[导读] 运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。
方奎李玲仙摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。
关键词：几何画板圆锥曲线整合【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重,考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。
同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。
对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？
对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题： (1)在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。
(2)仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质。
(3)面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。
运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。
同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。
这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极
性。
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