2014高三数学一轮复习课件--三角函数、解三角形
目 录
三角函数、解三角形
第一节 第二节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三节
第四节 函数
三角函数图像与性质
函数y＝sin(ω x＋φ )的图象及三角 模型的简单应用
第五节 第六节 第七节 第八节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理的应用
[典例]
2011· 江西高考已知角 θ 的顶点为坐,标原
点，始边为 x 轴的正半轴.若 P4，y是角 θ 终边上,一点， 且 sin θ＝－
2 5 ，则 y＝ 5
.
[尝试解题]
r＝ x2＋y2 ＝ 16＋y2，且 sin θ＝－
2 5 y y 2 5 ，所以 sin θ＝r ＝ 2＝－ 5 ，所以 θ 为第四象 5 16＋y 限角，解得 y＝－8.
π (2)由已知 ＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)， 2 π 则－π－2kπ<－α<－ －2kπ(k∈Z)， 2 π 即－π＋2kπ<－α<－ ＋2kπ(k∈Z)， 2 π 故 2kπ<π－α< ＋2kπ(k∈Z)， 2 所以 π－α 是第一象限角．
答案：(1)C (2)一
[例2]
(1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)， (
2．三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 y sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x，但若不是单位圆时，如 y x y 圆的半径为 r，则 sin α＝r ，cos α＝ r ，tan α＝x.
[例1] 已知角α＝45°， (1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
≥2，当且仅当 t＝1 时，tan α 取得最小值 2.
(2)由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义 2π 3 π 得 cos α＝sin ＝ ，故 α＝2kπ－ (k∈Z)，所以 α 的 3 2 6 11π 最小正值为 . 6
[答案] (1)B
(2)D
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出 终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利 用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角 为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
2．(1)(2013· 东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点
Px，
3 ，则 tan α＝ 2
(
)
A. 3 3 C. 3
B．± 3 3 D．± 3
(2)(2012· 潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且 4 cos α＝－ ，则m等于 5 ( )
11 A．－ 4 C．－4
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方
形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析： 设圆半径为 R， 则圆内接正方形的对角线长为 2R， 2R ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R ＝ 2.
答案： 2
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
制下更方便、简捷．
1 1 2 2． 记住下列公式： ①l＝αR； ②S＝ lR； ③S＝ αR . 2 2 其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形面积．
答案： B
3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
)
解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y
轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，
因此α在第三象限． 答案：C
2π 4．若点 P 在 角的终边上，且 P 的坐标为(－1，y)，则 3 y 等于________．
B．2 D. 2
则tan α的最小值为
A．1 1 C. 2
)
(2)(2013· 大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标
2π 2π 为sin 3 ，cos 3 ，则角
α 的最小正值为
(
)
5π A. 6 5π C. 3
2π B. 3 11π D. 6
[自主解答]
t2＋1 1 (1)根据已知条件得 tan α＝ t ＝t＋ t
答案：4
6π
1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是
{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为
{α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定 相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
(2)设集合
k M＝xx＝2 ×180° ＋45° ，k∈Z，
k xx＝ N＝ 4
×180° ＋45° ，k∈Z， 判断两集合的关系．
[自主解答] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45° ＋k×360° (k∈Z)， 则令－720° ＋k×360° ， ≤45° <0° 765 45 得－765° ≤k×360° <－45° ，解得－ ≤k<－ ， 360 360 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675° β＝－315° 或 .
B．2个 D．4个
(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________
象限．
3π 4π π 解析：(1)－ 是第三象限角，故①错误. ＝π＋ ，从而 4 3 3 4π 是第三象限角正确．－400° ＝－360° －40° ，从而③正 3 确．－315° ＝－360° ＋45° ，从而④正确．
2π 解析：因 tan ＝－ 3＝－y，∴y＝ 3. 3
答案： 3
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________， 面积为________．
3 解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝ π， 4 l 3π 1 由弧长公式 l＝α· 得 r＝α＝ ＝4， r 面积 S＝ lr＝6π. 3 2 π 4
叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 正数 ，负角的弧度数为
l 负数 ，零角的弧度数为 零 ，|α|＝ r ，l 是以角 α 作
为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 比值 l 与所取的 r 的大小无关，仅与 角的大小 有关． r
π ④弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝ 弧度．
[答案] －8
1.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定 义，从而得出错误结果.
2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要
根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问 题要注意分类讨论.
针对训练
已知角 α 的终边过点 P(－8m， －6sin 30° 且 cos α )， 4 ＝－ ，则 m 的值为 5 ( )
位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的 AT .我们把有 余弦线 、
向线段OM、MP、AT叫做α的
正弦线 、 正切线 .
三角函数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题能否全取] 1．－870°的终边在第几象限 A．一 B．二 ( )
C．三
D．四
3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，
该扇形的周长取到最小值？
解：设扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l，根据已知 2S扇 1 条件 lR＝S 扇，则扇形的周长为：l＋2R＝ ＋2R≥4 S扇， R 2 2S扇 当且仅当 ＝2R，即 R＝ S扇时等号成立，此时 l＝2 S扇， R l α＝ ＝2， R 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的周长取到最小值．
1 A．－ 2 1 C. 2
3 B．－ 2 3 D. 2
解析：由点 P(－8m，－6sin 30° )在角 α 的终边上且 4 cos α＝－ ，知角 α 的终边在第三象限，则 m>0 ，又 cos 5 －8m 4 1 α＝ ＝－ ，所以 m＝ . 2 5 2 －8m ＋9
答案： C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
三角函数、解三角形
[知识能否忆起]
超链接
1．任意角
(1)角的分类：
[动漫演示更形象，见配套课件]
①按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 ． ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 ． (2)终边相同的角： 360°(k∈Z) ． 终边与角α相同的角可写成 α＋k·
(3)弧度制： ①1弧度的角：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角
上点的坐标或坐的标比值为 函数值 的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、 二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三 角函数的定义知，点P的坐标为 (cos α，sin α) ， MP ，单 即 P(cos α，sin α) ，其中cos α＝ OM ，sin α＝ 终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝
11 B. 4 D．4
3 解析：(1)由|OP| ＝x ＋ ＝1， 4
2 2
1 得 x＝± ，tan α＝± 3. 2
m 4 (2)由题意可知，cos α＝ ＝－ ， 2 5 m ＋9 又 m<0，解得 m＝－4.
答案：（1）B（2）C
[例3] 圆心角．
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的
三角函数、解三角形
第一节 第二节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三节
第四节 函数
三角函数图像与性质
函数y＝sin(ω x＋φ )的图象及三角 模型的简单应用
第五节 第六节 第七节 第八节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理的应用
[典例]
2011· 江西高考已知角 θ 的顶点为坐,标原
点，始边为 x 轴的正半轴.若 P4，y是角 θ 终边上,一点， 且 sin θ＝－
2 5 ，则 y＝ 5
.
[尝试解题]
r＝ x2＋y2 ＝ 16＋y2，且 sin θ＝－
2 5 y y 2 5 ，所以 sin θ＝r ＝ 2＝－ 5 ，所以 θ 为第四象 5 16＋y 限角，解得 y＝－8.
π (2)由已知 ＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)， 2 π 则－π－2kπ<－α<－ －2kπ(k∈Z)， 2 π 即－π＋2kπ<－α<－ ＋2kπ(k∈Z)， 2 π 故 2kπ<π－α< ＋2kπ(k∈Z)， 2 所以 π－α 是第一象限角．
答案：(1)C (2)一
[例2]
(1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)， (
2．三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 y sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x，但若不是单位圆时，如 y x y 圆的半径为 r，则 sin α＝r ，cos α＝ r ，tan α＝x.
[例1] 已知角α＝45°， (1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
≥2，当且仅当 t＝1 时，tan α 取得最小值 2.
(2)由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义 2π 3 π 得 cos α＝sin ＝ ，故 α＝2kπ－ (k∈Z)，所以 α 的 3 2 6 11π 最小正值为 . 6
[答案] (1)B
(2)D
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出 终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利 用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角 为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
2．(1)(2013· 东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点
Px，
3 ，则 tan α＝ 2
(
)
A. 3 3 C. 3
B．± 3 3 D．± 3
(2)(2012· 潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且 4 cos α＝－ ，则m等于 5 ( )
11 A．－ 4 C．－4
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方
形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析： 设圆半径为 R， 则圆内接正方形的对角线长为 2R， 2R ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R ＝ 2.
答案： 2
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
制下更方便、简捷．
1 1 2 2． 记住下列公式： ①l＝αR； ②S＝ lR； ③S＝ αR . 2 2 其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形面积．
答案： B
3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
)
解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y
轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，
因此α在第三象限． 答案：C
2π 4．若点 P 在 角的终边上，且 P 的坐标为(－1，y)，则 3 y 等于________．
B．2 D. 2
则tan α的最小值为
A．1 1 C. 2
)
(2)(2013· 大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标
2π 2π 为sin 3 ，cos 3 ，则角
α 的最小正值为
(
)
5π A. 6 5π C. 3
2π B. 3 11π D. 6
[自主解答]
t2＋1 1 (1)根据已知条件得 tan α＝ t ＝t＋ t
答案：4
6π
1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是
{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为
{α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定 相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
(2)设集合
k M＝xx＝2 ×180° ＋45° ，k∈Z，
k xx＝ N＝ 4
×180° ＋45° ，k∈Z， 判断两集合的关系．
[自主解答] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45° ＋k×360° (k∈Z)， 则令－720° ＋k×360° ， ≤45° <0° 765 45 得－765° ≤k×360° <－45° ，解得－ ≤k<－ ， 360 360 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675° β＝－315° 或 .
B．2个 D．4个
(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________
象限．
3π 4π π 解析：(1)－ 是第三象限角，故①错误. ＝π＋ ，从而 4 3 3 4π 是第三象限角正确．－400° ＝－360° －40° ，从而③正 3 确．－315° ＝－360° ＋45° ，从而④正确．
2π 解析：因 tan ＝－ 3＝－y，∴y＝ 3. 3
答案： 3
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________， 面积为________．
3 解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝ π， 4 l 3π 1 由弧长公式 l＝α· 得 r＝α＝ ＝4， r 面积 S＝ lr＝6π. 3 2 π 4
叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 正数 ，负角的弧度数为
l 负数 ，零角的弧度数为 零 ，|α|＝ r ，l 是以角 α 作
为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 比值 l 与所取的 r 的大小无关，仅与 角的大小 有关． r
π ④弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝ 弧度．
[答案] －8
1.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定 义，从而得出错误结果.
2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要
根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问 题要注意分类讨论.
针对训练
已知角 α 的终边过点 P(－8m， －6sin 30° 且 cos α )， 4 ＝－ ，则 m 的值为 5 ( )
位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的 AT .我们把有 余弦线 、
向线段OM、MP、AT叫做α的
正弦线 、 正切线 .
三角函数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题能否全取] 1．－870°的终边在第几象限 A．一 B．二 ( )
C．三
D．四
3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，
该扇形的周长取到最小值？
解：设扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l，根据已知 2S扇 1 条件 lR＝S 扇，则扇形的周长为：l＋2R＝ ＋2R≥4 S扇， R 2 2S扇 当且仅当 ＝2R，即 R＝ S扇时等号成立，此时 l＝2 S扇， R l α＝ ＝2， R 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的周长取到最小值．
1 A．－ 2 1 C. 2
3 B．－ 2 3 D. 2
解析：由点 P(－8m，－6sin 30° )在角 α 的终边上且 4 cos α＝－ ，知角 α 的终边在第三象限，则 m>0 ，又 cos 5 －8m 4 1 α＝ ＝－ ，所以 m＝ . 2 5 2 －8m ＋9
答案： C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
三角函数、解三角形
[知识能否忆起]
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1．任意角
(1)角的分类：
[动漫演示更形象，见配套课件]
①按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 ． ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 ． (2)终边相同的角： 360°(k∈Z) ． 终边与角α相同的角可写成 α＋k·
(3)弧度制： ①1弧度的角：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角
上点的坐标或坐的标比值为 函数值 的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、 二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三 角函数的定义知，点P的坐标为 (cos α，sin α) ， MP ，单 即 P(cos α，sin α) ，其中cos α＝ OM ，sin α＝ 终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝
11 B. 4 D．4
3 解析：(1)由|OP| ＝x ＋ ＝1， 4
2 2
1 得 x＝± ，tan α＝± 3. 2
m 4 (2)由题意可知，cos α＝ ＝－ ， 2 5 m ＋9 又 m<0，解得 m＝－4.
答案：（1）B（2）C
[例3] 圆心角．
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的
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第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第2课时三角恒等变换的综合应用课件
sin cos − cos sin = 0，即sin − = 0.因为B, ∈ 0, π ，所以 = .故
△ 为等腰三角形.故选B.
【点拨】利用三角恒等变换判断三角形的形状，主要是考虑三角形内角和为180∘ ，
结合诱导公式与和、差、倍角公式进行推断.
变式4 在△ 中，若sin − = sin ，则△ 是(
又sin =
10
= − ，所以cos
10
5
2 5
，所以cos =
.
5
5
− =
所以sin = sin [ − − ]
= sin cos − − cos sin −
=
5
3 10
×
5
10
π
4
−
2 5
×
5
所以 = .故选C.
−
10
10
=
2
.
2
3 10
.
10
= + − = − + 等.②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的
目的，其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.③变式，根据式子的结构特征进行变形，
使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其方法通常有“常值代换”（如1 =
π
tan ,
4
1 = sin 2 + cos 2 )“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.其中角
+ =
4
− .
5
3
5
于是sin = sin [ + − ] = sin + cos − cos( + )sin = ×
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
高考总复习一轮数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
3
3
tan
(2)(2024·四川绵阳诊断测试)已知
4
A.±
5
3
B.5
3
解析 由 tan α=4,α∈[0,π],知
16
2
于是 cos α= .
25
4
又 cos α>0,所以 cos α= .
5
3
tan α=4,α∈[0,π],则 cos α 的值为(
4
4
C.
D.5
5
π
α∈(0,2),sin
3
α=4cos
______
-tan α
______
sin α
______
-cos α
-tanα
______
______
cos α
cos α
______
______
sin α
-sin α
—
—
函数名改变,符号看象限
微思考诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.如何理解这里的
“奇”“偶”“变”“不变”?
提示
π
“奇”“偶”指的是“k· +α(k∈Z)”中的
考向1 “知一求二”问题
例 1(1)(2024·河北石家庄模拟)已知 α 是第二象限角,若 sin
α=( B )
A.√2
B.-√2
√2
C.
2
√6
α= 3 ,则
√2
D.2
解析 ∵α 是第二象限角,
6
sin
√6 2 √3
2
∴cos α=- 1-sin =- 1-( 3 ) =- 3 ,故 tan α=cos = 3 =-√2.
联立①②,得 sin
3
tan
(2)(2024·四川绵阳诊断测试)已知
4
A.±
5
3
B.5
3
解析 由 tan α=4,α∈[0,π],知
16
2
于是 cos α= .
25
4
又 cos α>0,所以 cos α= .
5
3
tan α=4,α∈[0,π],则 cos α 的值为(
4
4
C.
D.5
5
π
α∈(0,2),sin
3
α=4cos
______
-tan α
______
sin α
______
-cos α
-tanα
______
______
cos α
cos α
______
______
sin α
-sin α
—
—
函数名改变,符号看象限
微思考诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.如何理解这里的
“奇”“偶”“变”“不变”?
提示
π
“奇”“偶”指的是“k· +α(k∈Z)”中的
考向1 “知一求二”问题
例 1(1)(2024·河北石家庄模拟)已知 α 是第二象限角,若 sin
α=( B )
A.√2
B.-√2
√2
C.
2
√6
α= 3 ,则
√2
D.2
解析 ∵α 是第二象限角,
6
sin
√6 2 √3
2
∴cos α=- 1-sin =- 1-( 3 ) =- 3 ,故 tan α=cos = 3 =-√2.
联立①②,得 sin
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件
变式2 （2022年全国乙卷）记的内角,,的对边分别为,, ，已知 .
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
25.
5
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos������
=
3 5
,
于是 1
cos ������-sin ������
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
-23-
(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连 接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
������
2������π
+
π 3
≤
������
≤ 2������π +
2π 3
,������∈Z
考点1
考点2
考点3
-18-
(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
������ 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
������ 2
<2nπ+34π
,
������ 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ������<2nπ+7π , ������是第四象限角.
-12-
知识梳理 双基自测
12345
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半 轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
第七页，共45页。
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理
,
= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2
a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;
2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,
2
即 cos A-cos A+=0,
sin B=2× = ,
2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2
2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+
综上,b= ,c=
+
.
或 c=
-
(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×
=
=
.
- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=
2sin Acos A=2×
(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形