命题与逻辑连接词

数理逻辑的两个最基本逻辑---命题逻辑和谓词逻辑的基础。
§8.1 命题与逻辑连接词 8.1.1 命题 命题逻辑以命题作为研究对象， 那么什么叫命题呢？
今天北京是阴天。
我们班是三好班集体。
1/5是自然数。 公鸡能下蛋。
象这些表示判断的语句都是命题. 命题（propositions）是表示判断 的陈述句。 尽管这些判断有些是符合事实的, 有些是不符合事实的。
不是命题
(3) 我正在说假话。不是命题
(4) 本命题是假的。不是命题
原子命题(atoms)或简单命题 命题表示的都是一个基本的判断 由一个主语和一个谓语构成。
复合命题compositive propositions 由两个或更多个原子命题和连词
组成的命题
逻辑连接词（logical connectives） 或命题连接词 连接原子命题的连接词
第八章 命题逻辑基础 我们在日常生活中经常会遇到推 理.日常生活中使用的语言常称为 自然语言或元语言，而自然语言 含义丰富，有时甚至含糊多义。 例如我们说三句带“是”的语句： 孔子是孔仲尼； 孔子是人；
人是动物。 这三句中 “是”的符号含义分别为 “=”、“∈”、“”。 因此用自然语言进行的推理非常 灵活，结论不定。
个质数的和（哥德巴赫猜想）。
（6）第29届奥林匹克运动会开幕 时北京天晴。
（7）好过瘾啊！ （8）你去上机吗？ （9）请随手关门！ （10）我希望有一台笔记本电脑。
（11）我只给那些不给自己刮胡
子的人刮胡子。
解： （1），（2），（3）都是命题， （1）,（3）真值为真, （2）真值为假。 （4）,（5），（6）也是命题， （7）是感叹句 （8）是疑问句
或一个真值，我们叫做赋值或真值 指派(assignments)，而更多的我们 是给命题变元一个真值指派， 因为在逻辑演算和推理中我们更 关心它的真值。
例 将下列命题写成原子命题与连 接词的复合
(1) 6是偶数是不对的。 (2) 6是偶数且是3的倍数。
(3) 6是偶数或是3的倍数。 (4) 如果6是偶数，则3是奇数。
可能有二义性。为排除二义性, 在 数理逻辑中必须给出连接词的严格
定义，并用特定符号表示。
8.1.2 逻辑连接词 例 下列语句都是复合命题， 其中带下划线的词为逻辑连接词 （1）3不是奇数（并非3是奇数）
（2）今晚我去书店或者去打球。 （3）他去了教室，也去了实验室 （用“也”表示逻辑联结词“并且 （4）你作硬件，我作软件。
（9），（10）都是祈使句 它们都不表示一个判断，
因此都不是命题。 （11）是著名的理发师悖论， 悖论是自相矛盾的，即无论真假 都会导致矛盾， （11）将导出“我”既不能给自己
刮胡子，又不能不给自己刮胡子
的矛盾结论。故它不是命题。
例 判断下列语句哪些是命题；
(1) a > b
是命题
(2) x > y
（用逗号表示逻辑联结词“并且”
（5）如果有辆车,那么我去接你。 （6）偶数a是质数,当且仅当a=2. 五个逻辑联接词 否定词(negation)“并非”（not）， 用符号 表示。 设P表示一命题， 那么 P表示命题P的否定。
P真时， P假， P假时， P真。 P读作 “非P”
其真值状况
P
P
(5) 6是偶数当且仅当3是奇数。
解:本例中的5个语句都是复合命题 都是由原子命题通过自然语言中的 连接词复合而成的。若将涉及到的
原子命题符号化如下， P: 6是偶数 q: 6是3的倍数 r: 3是奇数 则5个复合命题表示为
(1) 非
(2) P且q (3) p或q
(4) 如果p，则r
(5) p当且仅当r 上述出现的非、且、或、如果,则 当且仅当等都是自然语言中常用的 连接词，但自然语言中的连接词
说：“我现在年纪大了，搞了这 么多年软件,错误不知犯了多少， 现在觉悟了。我想，假如我早年 在数理逻辑上好好下点功夫的话
我就不会犯这么多的错误。不少 东西逻辑学家早就说了，可我不 知道。要是我能年轻20岁的话，
就要回去学逻辑。”
我国著名数理逻辑学家甚至说得 更加直截了当：“事实上，程序设 计或者就是数理逻辑，或者是用
原子命题非常简单,它只有真或假, 而复合命题的真值不仅要依赖于 组成它的原子命题的真值，而且 更要依赖于连接原子命题的逻辑 联接词。因此逻辑联接词是逻辑
重要而基本的内容。 一般用大写英文字母或带下标的 大写字母如P，Q，A，B，…， P1,P2，…来表示命题，并且若P 表示一个确切的命题，则称其为 命题常元propositional constants 若P表示任意一个命题，则称其为 命题变元propositional variables。 对一个命题变元指定它一个命题
符合事实的判断其命题真值为真
记为“T”或“1”； 不符合事实的判断其命题真值为
假，记为“F”或“0”。 因此一个命题的真值一定为“真、
假”其中的一个（也有其他的逻辑 不这样定义，如第10章的多值逻 辑和模糊逻辑）。
例 判断下列语句哪些是命题； 对于是命题的其真值是什么？
（1）台湾是中国的一部分。 （2）多伦多是加拿大的首都。 （3）2是偶数并且也是素数。 （4）天津解放的那天有100个 婴儿出生。 （5）大于2的偶数均可分解为两
计算机语言书写的数理逻辑，或
者是数理逻辑在计算机上的应用” 可以说计算机的本质结构就是逻 辑结构。
数理逻辑是计算机程序设计、硬 件逻辑设计以及人工智能等学科 的重要理论基础。有趋势表明： 微积分在人类体力劳动自动化的 过程中扮演了重要角色，数理逻 辑在人类脑力劳动自动化的过程 中将起越来越大的作用。
数理逻辑（mathematical logic） 是用数学的方法来研究推理的一 门学科，它采用一套符号来简洁
地表达命题及其间的关系。 因此它表示的含义单一、明确， 在给定前提下会有确切的结论。
计算机科学中有两个常用的公式：
程序 = 算法 + 数据； 算法 = 逻辑 + 控制。 著名计算机软件设计大师戴克斯 特拉（E.W.Dijkstra）曾经这样
0
1
1
0
设P 表示“3是奇数”， 则“3不是奇数”表示为 P， P的真值为真， P的真值为假。 设P 表示“整数都是自然数”， 则P表示“并非整数都是自然数” 或“整数不都是自然数”， 而不是“整数都不是自然数”。