(完整word版)相似三角形题型归纳
(完整word版)相似三角形的性质及判定(1)含答案非常的全面
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例相似三角形的性质及判定如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AHk S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
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一、相似三角形中的动点问题1.如图，在RtA ABC 中，/ ACB=90°, AC=3, BC=4,过点B作射线BB1// AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH丄AB于H, 过点E作EF丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时DE的长度；(2)当△ DEG与^ ACB相似时，求t的值. 4.如图所示，在^ ABC 中，BA= BC= 20cm , AC= 30cm, 点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动•设运动的时间为x.(1)当x为何值时，PQ// BC?(2)△ APQ与△ CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由.2.如图，在△ ABC中，^ ABC= 90° AB=6m, BC=8m,动点P 以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动•同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)① 当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当△ CPQ为等腰三角形时，求出t的值. 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm, BC=6cm,点沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t (S)表示移动的时间(0v t < 6)。
(1)当t为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与^ ABC相似？在RtAABC 中，/ ACB= 90° AC= 6, BC= 8, 3.如图1 ,点D在边AB上运动，DE平分三CDB交边BC于点E,EM丄BD,(1)当AD= CD 时，求证：DE/ AC;垂足为M, EN丄CD,垂足为N.(2)探究：AD为何值时，△ BME与^ CNE相似？C/V /V z二、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45。
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相似三角形压轴经典大题解析1•如图，已知一个三角形纸片ABC , BC边的长为8, BC边上的高为6 , B和C都为锐角，M为AB 一动点(点M与点A B不重合)，过点M作MN // BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x , MN上的高为h •(1)请你用含x的代数式表示h •(2)将△ AMN沿MN折叠，使△ AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A ,△ AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少?【答案】解：(1) Q MN // BC△AMN ABCh x6 8h 3x4(2) Q A AMN AMN△ A,MN的边MN上的高为h ,①当点A落在四边形BCNM内或BC边上时，1 13 3y S—MN = MN - h x• — x x2(0 x < 4)2 2 4 8②当A落在四边形BCNM外时，如下图(4 x 8),设厶A“EF的边EF上的高为h ,3则h1 2h 63x 6Q△ A1MN ABC △ A,EF ABCQ EF // MN △ A,EF A,MN2S A 仲 S A ABC(1) 求出抛物线的解析式； (2)P 是抛物线上一动点，过 P 作PM x 轴，垂足为M ,是否存在P 点，使得以A , P , M 为顶点的三 角形与A OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；Q S A ABC16 8 2423x 6 2 624 3 2 x 12x 242Q ySA A 1MNSA A 1EFx 8所以 y9 2x 12x 248综上所述： 当0x < 4时，当4x 8时， y9 2x 取x 168,y 最大83Q8 612x 24212x 24(4 8)，取xy 最大612x 24, A(4,0), B(1,0), C(0, 2)三点.当Ax 鲁时，y 最大，y最大8C2.如图，抛物线经过2【答案】解：（1） Q 该抛物线过点C （0, 2）, 可设该抛物线的解析式为 y ax 2bx 2 .当 m 1 时，P( 3, 14).将 A(4,0) , B(1 ,0)代入,1/口 16a 4b 2 0,么/口 a2得解得a b 2 0.一 52此抛物线的解析式为 y1 2 x 5x 2 22则P 点的纵坐标为1 2 m 5m 2 ,2 2当1 m 4时，AM4 m , PM丄歸222又Q COA PMA90°①当誥0° 2时,△ APM ACO ,1 5即 4 m 2 m 2 m 22 2解得 m 2, m 2（舍去）， P(21).②当AM OC PM OA115 时，△ APM CAO ，即 2(4 m) m 2 m222解得 mi 4 , m 25 （均不合题意，舍去）当 1 m 4 时，P(2,1). 类似地可求出当m 4时，P （5,2).（2）存如图，设点的横坐标为,综上所述，符合条件的点P 为(2⑴或(5, 2)或(3, 14).2 83.如图，已知直线11 : yx 与直线l 2 : y 2x 16相交于点C , l 1> l 2分别交x 轴于A 、B 两点•矩 3 3形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线h 、J 上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合.(1 )求△ ABC 的面积；(2) 求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；(3) 若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 < t < 12)秒，矩形DEFG 与△ ABC 重叠部分的面积为• D 点坐标为8,8 .• E 点坐标为4,8 . • OE 8 4 4, EF 8.(3)解法一：①当0< t 3时，如图1，矩形DEFG 与厶ABC 重叠部分为五边形 CHFGR (t 0【答案】 2 解：由土 x 380,得x4. A 点坐标为34,0 .由2x16 0,得 x 8.B 点坐标为8,0 .••• AB412.2 x3 2x 8 3,解得 16.5• C 点的坐标为 6.5,6 .…S A ABC12 6 36.(2)解：•••点D 在h 上且x DX B 8, y DS ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的又•••点E 在l 2上且y E y D 8,2x E16 8. X E4.y时，为四边形CHFG ).过C 作CM AB 于M，则Rt △RGB s Rt A CMB.BG BMQ RtA AFH s Rt A AMC ,4•如图，矩形 ABCD 中，AD 3厘米，AB a 厘米(a 3) •动点M , N 同时从B 点出发，分别沿 B A ，B C 运动，速度是1厘米/秒•过M 作直线垂直于 AB ，分别交AN , CD 于P , Q .当点 N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动•设运动时间为 t 秒.(1) 若a 4厘米，t 1秒，则PM __________ 厘米； (2) 若a 5厘米，求时间t ,使△ PNBPAD ，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； (4) 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面 积都相等？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由.y*2t .2t即S4 2 16 44 t 2 t3 3 3 .当3 t 8时， 如图 2，为梯形面积,1 刖2 一 - 8 c 2t,s 1 4[2(4 t) 8 8 ?G (8— t,0). •• GR =2..8 (8 t)—33880t 3 32t ,3当8 t 12时，如图3,为三角形面积,1 2ts 2(8 §)(12 t )t 28t 48(图2)(图3)•- SSA ABCSA BRG S A AFH36N【答案】解: (1) PM -,4(2) t 2，使△ PNB PAD，相似比为3: 25. 如图，已知△ ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点 P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿 AB 、 BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是1cm/s ,点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点 都停止运动，设运动时间为 t (s ),解答下列问题：(1 )当t = 2时，判断△ BPQ 的形状，并说明理由； (2) 设厶BPQ 的面积为S (cm 2)，求S 与t 的函数关系式；(3) 作QR//BA 交AC 于点R ,连结 PR ,当t 为何值时，△ APR s^ PRQ ?【答案】 解：(1) △ BPQ 是等边三角形，当 t=2 时,AP=2 X 1=2,BQ=2X 2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP.又因为/ B=600,所以△ BPQ 是等边三角形.⑵过 Q 作 QE ! AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t • sin60 °= 一 3t,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 BPQ 」X BP X QE=l (6-t) X 、3t= -------------------- t 2+3.3t ;2 2 2⑶因为 QR// BA,所以/ QRC 2 A=6d ,/ RQC N B=60°,又因为/ C=60°,1所以△ QRC 是等边三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t 因为 BE=BQ cos60°= X 2t=t,2(3) Q PM 丄 AB, △ AMP ABC ,CB 丄AB , PMAMP AM 即 fMAB tABC ， 口 ,Q PM at(a t)QM当梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，即(QP AD)DQ (MP BN)BM坐 3 (a 1)a 2-(a t) t t-化简得26a6aQt < 3 ,-6久< 3，则 a < 6, 3 a < 6 , 6 a(4) Q3 a < 6时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，贝U CNPM-(a t) 3 t ，把 t a旦代入，解之得a 2. 3，所以6 a所以，存在a ,2 3时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、 梯形PQCN 的面积相等.所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以EP// QR,EP=QR 所以四边形 EPRC 是平行四边形 所以 PR=EQ= 3 t,又因为/ PEQ=90,所以/ APR=/ PRQ=90.因为△ APR-A PRQ, 所以/ QPR 2 A=60°,所以 tan60 °=坐，即 6 2t . 3,所以 t= 6 ,PRV3t 5所以当 t= 6 时,△ APF HA PRQ56. 在直角梯形 OABC 中，CB // OA ,Z COA = 90o , CB = 3, OA = 6, BA = 3.分别以 OA 、OC 边所 在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系. (1) 求点B 的坐标；(2) 已知D 、E 分别为线段 OC 、OB 上的点，OD = 5, OE = 2EB ，直线DE 交x 轴于点F .求直线 DE 的 解析式； (3)点M 是(2)中直线DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点N .使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解：！ I )作砌丄工抽F 点舐网边年nitnc 为加序、VH -＜；ti r 3. ....... ............................................................................. U W -OA -1=3.在屮(BK --加-7(3^)* -3=-^ .................... (2#}门 点H 的耶-标为 m 点) .... ... .... (3余)亀X 站的H 析式九一 i爲“I 叮带川1 T 轴于点昨.翩扒M 帕.<)£ _<W_£G PA「丽丽上 IJt -2, Al ： ^4,A 点鰻的肆掠为W - (5 点"的卷赫为他Sk设r (线砒 的第折式为"如*4.(if ： -2EB,讷A 赴讴f H(2)证明：如图 4，过点 B 作 BE // CA 交 DO 于 E ,「./ ACO = / BEO .（和 评；T7fl ； ........ * ..... ... .......... .. ....... ........................................... .. （#沪）I 如圏1 . *\ m = tilt = AH \0 “时*网边瞻CUH 八孩f 曼形一 fl-肿丄»半1于点代則轴尸八tin..'.凸册05匕刚 •' 躊"懵m 跖 时” -yj+J «O P 二 卜A 的坐标为（HL 1卜》・ 二 OF 二闇4伍 Ri MM 沖 ip * tv 血 M OD G 亦■ VPVio 1 ■小 MP =2J S ^ m>A L ； 点w 的堡h 为 -■■ h 、射爭村为〔・2廣.方I * ...................................i 如阳 2 ・峙 ffO = z = 'S W * .Vf? - 5 ar F Hi/JME 29%^培托VW 左工繃干庸P ・Ml i W 输・Y 点 v = -V 1 *5 1：T徙M 点串林为5・-y-fl T 3 ) *第得 叫只.気冈（會扫.点肘骑豎肛为2. 3片嵐、的士杯为2.帕+........................................................ （12沪）nw»-w ■■耳- 召 r ■ f3一刨图乩書川F=灯& = ”\吋 边"谭风目卷吩-连搖Y 叭交M |点儿& )'U ~>Y -^1 * 2 F *- - 1*»*5 = V'.7.在图15-1至图15-3中，直线 MN 与线段AB 相交 于点 O ,/ 1 = / 2 = 45 °（1） 如图15-1，若AO = OB ，请写出 AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2） 将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图 15-2，其中 AO= OB .求证：AC = BD , AC 丄 BD ;（3） 将图15-2中的OB 拉长为 AO 的k 倍得到图15-3，求BD 的值.AC【答案】 解：(1) AO = BD , A0丄BD ;1'4< Hi W\中,0护*州尸=rtV *（毎甜總应阳■ m * ■ I I 』好〕镰I 所曲*轴匕方的点V {| .^ V,升躬为＜',（-2 J 轧；5）, V （4. R ）. 叫亠2）O图7-3又••• AO = OB ,Z AOC = / BOE,•••△ AOC 也△ BOE.A AC = BE.又•••/ 1 = 45 °ACO = / BEO = 135 °•••/ DEB = 45 °•••/ 2 = 45 ° • BE = BD，/ EBD = 90 °. • AC = BD . 延长AC 交DB 的延长线于F，如图4.T BE / AC,•••/ AFD = 90 ° • AC 丄BD .(3)如图5，过点B 作BE // CA 交DO 于E，•/ BEO = / ACO.•••△BOE s △AOC .BE = BD . •kACN若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA乍匀速运动，1分钟可到达A点。
(完整word版)相似三角形中考复习(知识点题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1。
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
2。
平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3。
相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交,所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：(1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1;②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系,可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
(2)在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上,把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念：…1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）^A三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EFAE AF EB FC =AE AF AB AC =BE CFAB AC=A B C EF FECBAAE AF EB FC =AE AFAB AC=BE CFAB AC='//EF BC 'F 'F …△ABC '''△A B C '''△∽△ABC A B C ∽∽B A'A C'B 'C∽△△ABC A B C '''A A '∠=∠，B BC C ''∠=∠∠=∠，∽△△ABC A B C '''AB BC ACk A B B C A C ===''''''k △ABC △A B C '''AM AH 、AD △ABCBC A M ''A H ''A D ''△A B C '''B C ''AB BC AC AM AHADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''【△ABC △A B C '''AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++△ABC△A B C'''△△ABCA B CBC AHS BC AHkS B C A HB C A H2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅2>'A A∠=∠'B B∠=∠△∽△ABC A B C'''AB BC ACA B B C A C==''''''△∽△ABC A B C'''AB ACA B A C='''''A A∠=∠△∽△ABC A B C'''\BAD EC∥△∽△AD AE DEDE BC ADE ABCAB AC BC⇔⇔==AD CBO∥△∽△AB OA OBAB CD AOB CODCD OC OD⇔⇔== .△ABC△∽△ADG ABCDG ANBC AM=BAC∠=90︒△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC NMGFEDCBAGFEDCBAG EDCBAGFEDC BA G FEDCB ADEFCBA GAH DFBECAGDF BEC]::::x y z =135x y z x y z +3--3+x y z 234==x y z x y-+3=3-a b c2=3=4abc ≠0a bc b+-2x k =y k =3z k=5x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53113-2:2:3x y =53x y y +=13y x y -=123x y =1314x y +=+23a c e b d f ===a c b d ++2323a c e b d f -+-+b c a c a b a b c a b c +-+-+-==()()()a b b c a c abc+++11x y ≠23a cb d +=+232233a c e b d f -+=-+0a b c ++≠()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=()()()a b b c a c abc +++=80a b c ++=()()()()()()a b b c a c c a b abc abc +++-⋅-⋅-==-11-∥∥l l l 123AB DE BC EF=∥∥AD BE CF AB =4AC =10DE =5DF =∥∥l l l 123AB =3BC =5DF =12_______DE =______EF = AD BE CF l 12l 3l A D B E C FAD BE CF l 12l l 3△△ABE CBES AB BC S =∴∥AD BE∵∥BE CF △△ABE DEB S S =∴△△CBE FEB S S =△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DE BC S S EF ===∴25292152∥∥l l l 123.cm AG =06.cm BG =12.cm CD =15CH =△ABCAD BD 2=3AE =3AC =AC =3BD =3CD =2CE =A CH GDBl 1l 2l 3B ADEA B C152∠ADC =90︒∥AD BC ∠∠DFC AEB =△∽△ADF CAE AD =8DC =6∥AD BC∠∠DAF ACE =∠∠DFC AEB =DFA AEC ∠=∠△∽△ADF CAE AD =8DC =6AC =10AF =5△∽△ADF CAEAD AF CA CE =CE 85=10CE 25=4BC 25=2125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭△ABC △DEF 90A ∠=︒90F ∠=︒5AC =13BC =10DF =26EF =85C ∠=︒85E ∠=︒AC DEBC DF=1AB = 1.5AC =2BC =8EF =10DE =16FD =46A ∠=︒80B ∠=︒45E ∠=︒80F ∠=︒△ABC AD AC =DE BC ⊥△∽△ABC FCD △ABC BD CE BC 21⋅=2△∽△ACE DBAAEF DAD B CE AD AC =∵FDC ACB ∠=∠∴DE ∵EB EC =∴ABC FCD ∠=∠△∽△ABC FCD ∴（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ． A D BECF l 12l 3l F EDCB A题型一 &题型二“A ”字和“8”字模型例题1 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105． （2）！（3）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固1： （1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ． （2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAACEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3~解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型三 与内接矩形有关的相似问题例题2 （1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2;解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ， 则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=． 由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ?∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固2： 如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF AB解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24． 由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37． 法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型四 {题型五“A 字和“8”字模型的构造例题3 如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，GFED CBA H MACDEG BIHABDECHP ED CBAAH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， -∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3． 还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固3： 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK KC 5=2，求CDAB的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ， ：∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ， ∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2， 而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-． 题型六 斜“A ”和斜“8”模型例题4 ?例题5 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB=，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，C DEKBA ED CAB∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固4： （1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅． （2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．%FECDBAA BDEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， 】∵AF AD ⊥，M 为DE 中点 ∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2． 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅， 又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2． 总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找-巩固5： 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明． （2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）ADEF CM123图3图2图1lP FEDC B AFP EDCB AlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC B A 图3lPFEDC B A图8-1 图8-2 图8-3解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下：？∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△． （2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型七 射影定理例题6 如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅． ~解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅， 又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固6： （1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．/（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅．C AEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△． GHFED CB A（2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅， 于是仅需证明AB FDAC ED=， 由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证． 题型八 ?题型九三垂直模型例题7 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠， 又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．￥（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固7： （1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB ABy D E OAxC图10-1 图10-2%解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==，∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =， 又∵4EF =，∴855CE =，455CF =1255BC ，855AB ， ∴矩形ABCD 的周长为5EDCG FBM A（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===， 设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-，:由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-， 解得45x =，故45CG =，125DF =， 求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固8： 如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ． （1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2，解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠， 又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△． （2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PA a =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十 三平行模型例题8 (例题9 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥． （2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+．DFAPQFEMDCBA巩固9： 如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF.解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点． 由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+． 题型十一角平分线定理例题10 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- &∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固10：（1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD AC DBBC ==，由于5AB =，31577AD AB ==∴ 》（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+． 巩固11：若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．B CAEDP DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴， 又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴． 题型十二 线束模型例题11 、例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =． 法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ， 由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ， 交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3， （即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN D EFQP GABCMN DEF巩固12： （1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． （2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．FED NMCBA（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3"解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=； （2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点； （3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅． 题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是 ．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60．②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴ttt23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固13：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42．∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。
(完整版)相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
浙教版九年级上册第四章《相似三角形》经典题型归纳与总结(word版无答案)
相似三角形的判定（一）知识点1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：知识点2：平行三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段成比例；知识点3：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（1）A型：如图1，ED∥BC，则△ADE∽△ABC.（2）8字型：（或漏斗型）如图2，ED∥BC，则△ADE∽△ACB.（3）A型线簇型：如图3，ED∥BC，则DF：FE=BM：MC；DF：FG：GE=BM：MN：MC（4）8字型（或漏斗型）线簇型如图4，AB平行CD，则AE：EB=CM：MD; AF：FE：EB=CN：NM：MD（5）三角形内接矩形：如图5，四边形DEFG为矩形，AN⊥BC与点N，则AM：AN=DE：BC;若四边形ABCD是正方形，则有1BG+1CG=1GF（6）三平行型：如图6，已知AB∥EF∥CD，1AB+1CD=1EF；1S△ABC+1S△BCD=1S△BCF图4图5图6图1图2图3【课堂巩固提升】1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，P 是线段DE 边上的任意一点（不与点D ，E 重合），连接AP 并延长交BC 于点Q .若BQ =5，CQ =4，DE =6，则DP =2. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段DO 上，OE ：DE =3：2，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC3. 如图，点D ,G 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，AD ：CD =2：3，BG =4AG .延长GD 与BC 的延长线交于点F ，作AE ∥BC 交DG 延长线于点E ，则BC ：BF4.如图，在△ABC 中，在BC 边上取一点P ，使得BP ：PC =2：5，点Q 是AC 的中点，AP ，BQ 相交于点R ，则AR ：RP5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是线段AD 上的一点，AF ：FD =1：5，连接CF ， 并延长交AB 于点E ，则AE ：EB6. 如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则AF ：AE7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段AD 上且DE =2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 的长为第2题第3题第1题8.如图，在△ABC中，中线AD与角平分线BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=10，则AC9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=EC，BD=1，AE=4，BC=5，则DE=10.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=3BD，作DE∥BC，交AC于点E，点M在线段DE上，DM：EM=3：2，CM交AB于点N，则BD：ND11.如图，AD是△ABC的中线，点E在线段AD上，AE=3DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：AC12.如图，在RT△ABC中有一正方形DEFG，点D在斜边AC上，EF在边AB上，连接AB 并延长，分别交DE，BC于点M，N，AB=4，BC=3，EF=1则BN=13.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，AB=10，EF=4，则CD=第16题第17题图 第18题图14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，已知PC =6，PB =3，则PD15.如图，在△ABC 中，底边BC 上的两点E ，F 把BC 分成三等分，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别交BM 于G ，H 两点，则BG ：GH ：HM16.如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AC 交BD 于点O ，过点O 作EF ∥CD 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EF =10，则1AB + 1CD =17.如图，已知P 为△ABC 的中位线MN 上的任意一点，BP ，CP 的延长线分别交对边AC ，AB 于点D ，E ，则AD DC + AE AB =18.如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，作BF ⊥AD 于点G ，交AE于点F ，交AC 于点M ，EG 延长线交AB 于点H ，则AH BH =19.AD 是△ABC 的角平分线，AB =8，AC =6，当∠BAC =120°，AD = ，当∠BAC =90°，AD = ，当∠BAC =60°，AD =20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 到点F ，使CF =12BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC =a ，则△FMB 的周长为21.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D 、E ，过点E 作⊙O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD .求证：EF 是△CDB 的中位线.22.在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，，交CA 延长线于点E ，交边BC于点N .求证：AD AB = AE AC23.正方形ABCD 中，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接DE 交AC 于点F ，交AB 于点G ，连接BF . 求证：(1)AF +BF =EF(2) 1AF +1BF =1GF24.如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，连接DG，DG⊥BD，正方形ABCD的边长为5，线段AD与线段OC相交于点M，AM=1，求正方形OEFG的边长.。
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图1 图2三角形题型归纳一、线段比例问题(构造平行)1、下图中，E 为平行四边形 ABCD 勺对角线AC 上一点，AE ： EC=1： 3, BE 的延长线交 CD 的 延长线于 G,交AD 于F ,求证：BF ： FG=1： 2.2、已知：如图，在直角三角形 ABC 中，/ BAC= 90° AB= AC, D 为BC 的中点，E 为AC 上 一点，点G 在BE 上,连结DG 并延长交 AE 于F ,若/ FGE=45°, (1)求证：BD- BC=BG- BE (2)求证：AGL BE ( 3)若E 为AC 的中点，求 EF ： FD 的值。
3、如图1,在Rt △ ABC 中，/ BAC=90 , AD L BC 于点D,点O 是AC 边上一点，连接 BO 交—AD 于F , OEL OB 交BC 边于点E. (1)求证：△ ABF ^A COE (2)当O 为AC 的中点，：丨 时，OFAC_ 0?如图2,求「的值；(3)当O 为AC 边中点，’时，请直接写出⑴的值.AF £B4、如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为DE 的中点，BR 分别 交AC , CD 于点P , Q . (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);(2)求BP:PQ:QR .2、过厶ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E,求证：AE ： ED=2AF FB.3、如果四边形 ABCD 勺对角线交于 0,过O 作直线 0G/ AB 交BC 于E ,交AD于F ,交CD 的延长线于 G,求证：0G=GE ・ GF.B 1二、相似比乘积处理方法(逆向和正向分析找解题思路)1、如下图，已知在厶ABC 中，AD 平分/ BAC,EM 是AD 的中垂线，交D E=BE ・ CE. BC 延长线于E.求证:4、已知如图，CD 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于F 。
求证：二匸亠-冷5、如图，在 Rt △ ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在CD 上, 于点 E.求证：(1 )△ AEB A CBIM (2) AS CM AC CD6、如图，BD CE 分别是△ ABC 的两边上的高，过 D 作DGLBC 于G 分别交 CE 及 BA 的延长 线于 F 、H 。
求证：(1) DG = BG- CQ (2) BG- CG= GF- GH7、已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD BC CD 的延长DH L BM 且与AC 的延长线交线、AB 的延长线分别相交于点 PE PHE 、F 、G H.求证：i '1:BBHBG& ( 1)如图1,点「在平行四边形 ABCD 勺对角线BD 上，一直线过点 P 分别交BA BC 的延长线于点Q, S,交 7 '■于点人丁 •求证：一 J 一 一； '' - - (2)如图2，图3，当点J 在三、构造相似辅助线一一A X 字型AB__CF_1、如图：△ ABC 中，D 是AB 上一点，AD=AC BC 边上的中线 AE 交CD 于F 。
求证：~AC~~DFBE _ BC 1---- ----------- 2、四边形ABCD 中, AC 为AB AD 的比例中项，且 AC 平分/ DAB 求证： DE CD 2平行四边形 ABCD 的对角线［或_匚的延长线上时 :--• --「'是否仍然成立？若成立,试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)图13、如图，过平行四边形ABCD勺顶点A的直线交BD于P,交CD于Q并交BC的延长线于R2求证：PQ PD PR一PB2四、相似类定值问题1、如图，在等边厶ABC中，M N分别是边AB, AC的中点，D为MN上任意一点，BD CD的延长线分别交AC AB于点E、F.1 1 _ 3求证：匸干一一上.1 : 1-- + ---=—2、已知，在△ ABC中作内接菱形CDEF设菱形的边长为a.求证：虫。
別7 ―3、如图，在△ ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在厶ABC上。
A1 1 1---- 卜 - —----求证：_1匚 -」二一F DG B4、如图所示, ?ABCD中，AC与BD交于0点，E为AD延长线上一点, 0E交CD于F, E0延长5、一条直线截△ ABC的边BC CA AB（或它们的延长线）于点D E、F.求证：——■ ——• 二1EC EA FB 16、已知：P为？ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于，求证：「T五、证明线段相等1、在等腰A ABC , AB = AC 分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点 A 的直线与两平行线 分别交于点 D E,连接DC BE DC 与 AB 边相交于点 M BE 与AC 边相交于点 N ⑴如图1, 若DE//CB ，写出图中所有与 AM 相等的线段，并选取一条给出证明。
（2）如图2，若DE与CB 不平行，在（1）中与AM 相等的线段中找出一条仍然与 AM 相等的线段，并给出证明。
2、在面积为24的厶ABC 中，矩形 DEFG 勺边DE 在 AB 上运动，点F 、G 分别在BC AC 上。
（1 ）若 AE = 8, DE = 2EF,求 GF 的长；（2）若/ ACB= 90°，如图 2，线段 DM EN 分别为△ ADG^D ^ BEF 的角平分线，求证： MG NF ; （3）请直接写出矩形 DEFG 的面积的最大值。
S2D 團1B3、在厶ABC 中，点D 从A 出发，在AB 边上以每秒一个单位的速度向 B 运动，同时点F 从B 出发，在BC 边上以相同的速度向 C 运动，过点D 作DEI BC 交 AC 于点E .运动时间为t 秒. (1 )若AB= 5, BO 6,当t 为何值时，四边形 DFCE 为平行四边形；(2)连接AF CD 若BD= DE 求证：/ BAF=Z BCD (3) AF 交DE 于点M 在DC 上取点N,使MN/ AC 连接FN六、对应练习题1、如下图，在△ ABC 中，D E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、 AD 于 F 、G 贝U CF ： FG ： GM=5 3 ：2①求证:N._N D -c F 一F B一②若AB= 5, BO 6, AC= 4，当MN k FN 时，请直接写出 t 的值.AD E2、已知：在四边形 ABCD 中, AD// BC, / BAC=Z D,点 E 、F 分别在 BC CD 上，且/ AEF = / ACD 试探究AE 与EF 之间的数量关系。
（1）如图1，若AB= BC = AC,则AE 与EF 之间的 数量关系是什么；（2）如图2，若AB= BC 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜 想，并加以证明；（3）如图3,若AB= kBC ,你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜 想，并加以证明3、在 Rt △ ABC / C=90 , MF L AB 于点F , NE 丄AB 于点E. （1）特殊验证：如图 1，若AC=BC 且D 为AB 中点，求证: DM=DN AE=DF （2）拓展探究：若 AOBC.①如图2，若D 为AB 中点，（1）中的两个结论 有一个仍成立， “点M 在线段请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD 条件中“点 M 在BC 边上”改为CB 的延长线上”，其它条件不变，请探究AE 与DF 的数量关系并加以证明.D 为AB 边上一点，点 M N 分别在BC AC 边上，且 DM L DN 作4\\\L@37(1)⑵ (3)B A4、（1）如图1,在厶ABC 中，点D, E , Q 分别在 AB AC BC 上，且DE// BC AQ 交DE 于点 P.求证：兰二氏BQ QC在厶ABC 的边上，连接 的长；②如图3，求证（2） 如图，在△ ABC 中，/ BAG 90°，正方形DEFG 勺四个顶点 AG AF 分别交DE 于 M N 两点•①如图2，若AB=AC=直接写出 MN MN=DM ENC 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连 AC BD 交于P 点.（1）如图1,AP当OA=OB 且D 为AO 中点时，求 的值； PC 5、已知线段OM OB 6、如图1, D 是厶ABC 的BC 边上的中点，过点D 的一条直线交 AC 于F ,交BA 的延长线于 AG// BC 交EF 于G 我们可以证明 EG- DC=ED AG 成立（不要求考生证明）.（1）如图 若将图1中的过点D 的一条直线交 AC 于 F ,改为交CA 的延长线于F ,交BA 的延长线于 改为交BA 于E ,其它条件不变，则 EG- DC=ED AG 还成立吗？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由；（2）根据图2，请你找出EG FD ED FG 四条线段之间的关 系，并给出证明；（3）如图3,若将图1中的过点D 的一条直线交 向延长线于F.其它条件不变，则（ 2）得到的结论是否成立? E ,2, E, AC 于F ,改为交CA 的反图1 =-时，求 tan / BPC4图2图1 图27、已知：在厶 ABC 中AB= AC 点D 为BC 边的中点，点 F 是AB 边上一点，点 E 在线段 DF 的延长线上，/ BAE=Z BDF 点M 在线段 DF 上，/ ABE=Z DBM ( 1)如图1,当/ABC= 45 °时，求证：AE= " MD (2)如图2,当/ ABC= 60°时，则线段 AE 、MD 之间的数量关系为： _______ 。
(3)在(2)的条件下延长 BM 到P ,使MP= BM 连接CP,若AB= 7, AE = 2 7 , 求 tan / ACP 的值.8、如图 13,梯形 ABCD 中, AD// BC / ABC= 2/BCD- 2a ,点 E 在 AD 上 ,点 F 在 DC 上 , 且 / BEFK A. (1)Z BEF= _______ 用含a 的代数式表示)；(2)当AB= AD 时，猜想线段 EB EF 的数量关系，并证明你的猜想； (3)当AB^ AD 时，将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD的延长线上，且AE > AB, AB= mDE AD- nDW ,其他条件不变 (如图14),求EB/EF 的值(用 含m n 的代数式表示)。