椭圆版高三数学(新高考)一轮复习优秀PPT
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新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第五节椭圆pptx课件北师大版
解得|PF1||PF2|=12.由三角形面积公式可得△F1PF2的面积为
1
|PF1||PF2|sin
2
1
√3
60°= ×12× =3√3.
2
2
考向3.利用椭圆定义求最值
典例突破
2 2
例 3.已知椭圆 8 + 2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于
A,B 两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为(
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
2
2
(3) + =1
20
4
和Q
4
- ,3
5
的椭圆标准方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
代入 P,Q 坐标得,
2
x2+ =1.故选
25
A.
9
25
16
25
+ 16 = 1,
+ 9 = 1,
解得
= 1,
=
1 所以所求椭圆方程为
,
25
(2)因为方程(k-1)x2+(9-k)y2=1 表示椭圆,
△1 2 =
1
1
|PF1||PF2|= ×8×6=24.故选
2
2
A.
名师点析解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,
其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧.
对点训练2已知P是椭圆
2 2
+
16 9
=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦
点,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为
1
|PF1||PF2|sin
2
1
√3
60°= ×12× =3√3.
2
2
考向3.利用椭圆定义求最值
典例突破
2 2
例 3.已知椭圆 8 + 2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于
A,B 两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为(
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
2
2
(3) + =1
20
4
和Q
4
- ,3
5
的椭圆标准方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
代入 P,Q 坐标得,
2
x2+ =1.故选
25
A.
9
25
16
25
+ 16 = 1,
+ 9 = 1,
解得
= 1,
=
1 所以所求椭圆方程为
,
25
(2)因为方程(k-1)x2+(9-k)y2=1 表示椭圆,
△1 2 =
1
1
|PF1||PF2|= ×8×6=24.故选
2
2
A.
名师点析解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,
其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧.
对点训练2已知P是椭圆
2 2
+
16 9
=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦
点,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为
2025年高考数学一轮复习-8.5椭 圆【课件】
D，由结论2知，D正确.故选A、C、D.
高中总复习·数学（提升版）
3.
2
已知 P 是椭圆 ＋ y 2＝1上的一点， F 1， F 2是椭圆的两个焦点，当
4
π
∠ F 1 PF 2＝ 时，△ PF 1 F 2的面积为
3
3
3
.
π
3
2
解析：由结论2可得， S ＝ b tan ，即 S ＝1·tan ＝ .
高中总复习·数学（提升版）
1. 若点 P 在椭圆上， F 为椭圆的一个焦点，则
（1） b ≤｜ OP ｜≤ a ；
（2） a － c ≤｜ PF ｜≤ a ＋ c .
高中总复习·数学（提升版）
2. 焦点三角形：椭圆上的点 P （ x 0， y 0）与两焦点 F 1， F 2构成的△
PF 1 F 2叫做焦点三角形，如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ.
2｜＝7.
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知椭圆 C ：16 x 2＋4 y 2＝1，则下列结论正确的是（
A.
1
长轴长为
2
C.
1
短轴长为
4
B. 焦距为
）
3
4
D. 离心率为
3
2
解析： 把椭圆方程16 x 2＋4 y 2＝1化为标准方程可得
2
1
16
＋
2
1
4
＝
1
1
3
3
1，所以 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则长轴长2 a ＝1，焦距2 c ＝ ，短
｜1 ｜＋｜2 ｜
2
）2＝ a 2；
（4）焦点三角形的周长为2（ a ＋ c ）.
椭圆及其性质课件-2025届高三数学一轮复习
,
=
+
向量的数量积求解；
= ，再由 =
+ ，借助
思路二：先利用椭圆定义以及在焦点三角形中用余弦定理先求出
,
=
+
和等于四条边的平方和求解.
思路三：利用等面积，即
点的坐标.ຫໍສະໝຸດ = ，再利用平行四边形对角线的平方
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之椭圆及其性质
1.椭圆的定义
条件
结论1
，
①________为椭
平面内与两个定点 ， 的距离的和等
于常数（大于 ）的点
+ =
>
结论2
点的轨
迹为椭圆
圆的焦点；
②_______为椭圆
求 ⋅ 的值,通过整体代入可求其面积等.
1.(2023·全国甲卷)设 , 为椭圆:
+ = 的两个焦点，点在上，
若 ⋅ = ，则 ⋅ =(
A.1
B.2
√
)
C.4
D.5
解析：选B.方法一：因为 ⋅ = ，所以 ⊥ ,则
的焦距
若= ，则动点的轨迹是线段 ；若< ，
则动点 的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点
+
= >>
+
2025届高中数学一轮复习课件《椭圆(二)》ppt
高考一轮总复习•数学
(2)由题意知，直线 AC 不垂直于 y 轴． 设直线 AC 的方程为 x＝ty－2，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
即 kAC≠0，可设为倒斜截式． 联立xx＝2＋ty2－y2＝2，8， 消去 x 并整理得 (t2＋2)y2－4ty－4＝0，Δ＝32(t2＋1)>0， 所以 y1＋y2＝t2＋4t 2，y1y2＝－t2＋4 2，
方法二(优解)：因为直线过点(0,1)，而 0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可以推断
直线与椭圆相交．故选 A．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第13页
3．已知 F 是椭圆2x52 ＋y92＝1 的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积
的最大值为( )
A．6
B．15
C．20
高考一轮总复习•数学
第1页
第九章 解析几何
第6讲 椭圆(二)
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根 据根与系数的关系及判别式解决问题.2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
第25页
设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
1 ＝ 1＋k2[y1＋y22－4y1y2](k 为直线斜率，k≠0)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判 别式．
高考一轮总复习•数学
可知 A，B 关于原点对称．
9.5.1椭圆定义及其性质-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共39张PPT)
解析：若 a2＝5，b2＝m，则 c＝
5－m，由ac＝
510，即
5－m＝ 5
510，
解得 m＝3；若 a2＝m，b2＝5，则 c＝
m－5.由ac＝
510，即
m－5＝ 5
510，
解得 m＝7.
三、走进高考
5．[2019·全国Ⅰ卷]已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的 方程为( )
A.x22＋y2＝1 B.x32＋y22＝1 C.x42＋y32＝1 D.x52＋y42＝1
答案：B
解析：令|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1| ＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x， 所以|AF1|＝2x.在△BF1F2 中，由余弦定 理 得 |BF1|2 ＝ |F2B|2 ＋ |F1F2|2 － 2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即 9x2＝x2＋22 －4xcos∠BF2F1 ①，在△AF1F2 中，由 余 弦 定 理 得 |AF1|2 ＝ |AF2|2 ＋ |F1F2|2 － 2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即 4x2＝4x2＋
答案：A 解析：∵焦点在 x 轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m，∴c2＝a2－b2 ＝m－2－10＋m＝2m－12＝4.∴m＝8.
2．[选修一·P80 T3]过点 A(3，－2)且与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点 的椭圆的方程为( )
A.1x52 ＋1y02 ＝1 B.2x52 ＋2y02 ＝1 C.1x02 ＋1y52 ＝1 D.2x02 ＋1y52 ＝1
高考数学一轮复习 第八章 第5讲 椭圆课件 文
A．x32＋y22＝1
B．x32＋y2＝1
C．1x22 ＋y82＝1
D．1x22 ＋y42＝1
ppt精选
13
[解析] (1)依题意，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，则
有2a22＋2b22＝1 ，由此解得 a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆 a2－b2＝15
方程是2x02 ＋y52＝1．
解析：右焦点为 F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴
上；c＝1．又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1 ＝3，故椭圆的方程为x42＋y32＝1．
ppt精选
5
2．(2015·浙江省名校联考)已知 F1，F2 是椭圆x42＋y32＝1 的 两个焦点，过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A，B 两点，则 △F1AB 的周长为____8____． 解析：由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝8．
＝1(a＞b＞ 0)
ay22＋xb22 ＝1(a＞b＞0)
A1(－a,0),A2(a,0) B1(0,－b),B2(0,b)
A1(0,－a)，A2(0,a) B1(－b,0),B2(b,0)
长__轴__A_1_A2的长为__2_a___短轴B1B2的长为 2b
|F1F2|＝____2_c _____
该椭圆的标准方程为( C )
A．x52＋y2＝1
B．x42＋y52＝1
C．x52＋y2＝1 或x42＋y52＝0，1)，(－2，0)，由题意知当
焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1．
当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1，
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
高三数学一轮复习课件 9.5 椭圆
考点1
考点2
考点3
-19-
解析: (1)因为椭圆方程为4x2+y2=1,所以a=1.
根据椭圆的定义,知△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4.
(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.
则x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,
两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,
所以 AB 的斜率 kAB=������������11--������������22 = 12. 因此,直线 AB 的方程为 y=12(x+2)+1, 代入②得,x2+4x+8-2b2=0.
易知,A
得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-8���1���(+24���������+���21),x1x2=4(2���1���++14)���2���2-4������2.
由|AB|=√10,得 10(������2-2) = √10,解得 b2=3.故椭圆 E 的方程
为������2
12
+
���3���2=1.
-23-
2025届高中数学一轮复习课件《椭圆(一)》ppt
高考一轮总复习•数学
第6页
二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
高考一轮总复习•数学
第7页
范围
－a ≤x≤ a －b ≤y≤ b
－b≤x≤b －a≤y≤a
性 对称性
质
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
(2)my22＋nx22＝1(m≠n)表示焦点在 y 轴上的椭圆．(
)
(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( )
(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)表示的曲线是椭圆．( )
高考一轮总复习•数学
第13页
2．(2024·重庆诊断)已知椭圆 C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为12
B．焦距为
3 4
C．短轴长为14
D．离心率为
3 2
解析：把椭圆方程
16x2＋4y2＝1
化为标准方程可得y12＋
x2 1
＝1，所以
a＝12，b＝14，c＝
4 16
4 3，则长轴长 2a＝1，焦距 2c＝ 2 3，短轴长 2b＝12，离心率 e＝ac＝ 2 3，故选 D.
解析 答案
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材 强基固本
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一 椭圆的概念 1．我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 ．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 ，焦距的一 半称为半焦距． 2．集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数： (1)若 a>c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合 P 为线段； (3)若 a<c ，则集合 P 为空集．
高考数学一轮复习第七章第五讲椭圆课件
D.3x22 ＋1y62 ＝1
解析：如图 7-5-1 所示， ∵M1F 的中点为 B(0，1)， ∴OB是△MF1F2的中位线. 则MF2＝2OB＝2，且MF2⊥F1F2. ∵△MF1F2 的周长为 2a＋2c＝8＋4 2， ∴a＋c＝4＋2 2.
图 7-5-1
∵MF2＝2，∴MF1＝2a－2， ∵(MF1)2－(MF2)2＝4c2，∴(2a－2)2－4＝4c2.
考点二 椭圆的标准方程
[例2] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9， 动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
A.6x42 －4y82 ＝1 C.4x82 －6y42 ＝1
B.4x82 ＋6y42 ＝1 D.6x42 ＋4y82 ＝1
考点一 椭圆的定义及其应用
[例 1](1)(2023 年广州市校级期末)△ABC 的周长是 8，B(－1，
0)，C(1，0)，则顶点 A 的轨迹方程是( )
A.x92＋y82＝1(x≠±3) C.x42＋y32＝1(y≠0)
B.x92＋y82＝1(x≠0) D.x32＋y42＝1(y≠0)
解析：∵△ABC 的两顶点 B(－1，0)，C(1，0)，周长为 8， ∴BC＝2，AB＋AC＝6，
m－2>10－m，
解得 6<m<10.因为焦距为 4，
所以 c2＝m－2－10＋m＝4，解得 m＝8. 答案：A
(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正 方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
5－1 A. 2
B.
3 3
2 C. 2
6 D. 3
解析：设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形 的对称性，可画出满足题意的图形，如图 7-5-2 所示，
椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
2.［链接苏教选必一P88—P89知识］椭圆的右焦点为，椭圆上的两点， 关于原点对称，若，且椭圆的离心率为，则椭圆 的方程为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在 轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在 轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 ；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用 ， ， 表示，利用 ， ， 自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为 的圆柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点， 是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为 的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为 的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或 （舍去）.故选C.
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在 轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在 轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 ；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用 ， ， 表示，利用 ， ， 自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为 的圆柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点， 是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为 的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为 的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或 （舍去）.故选C.