《因式分解》复习课导学案
因式分解复习导学案
（3）计算：20062–2×6×2006+36=；
3、利用因式分解计算： ．
延
伸
拓
展
1、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4–y4，因式分解的结果是（x–y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式4x3–xy2，取x=10，y=10时，上述方法产生的密码可以是．
2、已知x+y=1，求 的值
3、已知a为正整数，试说明（2a+1）2-1是8的倍数。
4、计算：（1）32011-32010（2）（﹣2）101+（﹣2）100
当
堂
检
测
1、把下列各式因式分解：
（1）x3y2–4x（2）a3–2a2b+ab2
（3）a3+2a2+a（4）（x–y）2–4（x+y）2
2、填空：
（1）若一个正方形的面积是9x2+12xy+4y2，则这个正方形的边长是；
学习过程
学习内容
学案整理
预
习
导
学
请同学们总结这一章的内容，自备纸张进行列举，然后和同伴交流，看谁列举的全面。
学
习
研
讨
活动一
1、请认真梳理本章知识结构。
2、结合自己列举的本章主要内容，回答课本61页《回顾与思考》中提出的问题。
活动二
1、下列哪些式子的变形是分解因式？哪些不是？说明理由。
复习因式分解的导学案
《因式分解的复习》导学案【学习目标】1、进一步理解因式分解的概念及整式乘法与因式分解的区别 ；2、熟练掌握因式分解的几种方法，会正确把一个多项式进行因式分解；【导学过程】一、独立自学，夯实基础(填空，小组内检查。
)1. 因式分解：就是把一个 化为 的形式； 可以看出因式分解与 是相反方向的变形； 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ；⑵ 。
3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4. 公式法: （1）=-22b a ； （2） =++222b ab a ；=+-222bab a ；（4）()=+++pq x q p x 2 ． 5．因式分解的一般步骤: 一“提”（取公因式）； 二“套”（公式）．若多于四项先组合再分解am+an+bm+bn=[（am+an ）+（bm+bn ）]= = .二、合作互学，集思广益（先独立完成，然后在小组内部展示，由组长负责组员交流订正答案。
）1.若x －y ＝3，则2x －2y ＝ ．2.分解因式：3x 2－27= ．3.若x 2+ax+b=(x+3)（x-4）,则a= ,b= ．4. 简便计算：2200820092008-⨯ ＝ ．5.下列式子中是完全平方式的是（ ） A ．22b ab a ++ B ．222++a a C ．222b b a +- D ．122++a a三、精讲导学，方法引导（独立完成后，由组长确定发言人，组织大家交流讨论，记下疑难点，教师点拨。
） 例1 分解因式：（1）33222axy axy ax y +-=__________________. （2） –a 4 +16=__________________.（3）x 4-9=__________________. 例2 已知5,3a b ab -==，求代数式32232ab a b ab -+的值. 四、展示竟学，比中求进1．简便计算：=2271.229.7－ 2.分解因式2232ab a b a -+= ． 3．分解因式：=-942x ____________________.4．将3214x x x +-分解因式的结果是 ． 5. 分解因式am an bm bn +++=_____ _____；6．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 28. 如图所示，边长为,a b 的矩形，它的周长为14，面积为10，求22ab ab +的值．ba9．计算： （1）299； （2）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a+=+，试判断△ABC 的 形状.五、小结评学，反思提升（由学生自己总结，相互补充。
因式分解法导学案—2025学年人教版数学九年级上册
第21 章一元二次方程（5）——因式分解法一、复习回顾：1、解下列方程x²−7=0x²−2x−3=03x2−2√3x+2=02、因式分解的常见方法有那些?二、新知探究：从小学的知识我们知道：如果a·b=0；那么根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度为10x-4.9x²,根据上述规律，要求物体经过多少秒落回地面? 即高度为0m时，可列方程：10x−4.9x²=0由上可知，解一元二次时也可以不通过开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再得到两个一元一次方程，从而实现降次。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
三、典例分析：例1、解下列方程(1)2x²+3x=0 (2) x(x--2)+x-2=0 (3)5x2−2x−14=x2−2x+34注意：用因式分解法必须保证方程右边；一般当方程比较繁杂时，我们可以先将方程四、巩固练习：解下列方程(1)x²+x=0(2)x2−2√3x=0 (3) 3x(2x+1)=4x+2(4)3x²−6x=−3(5)4x²−121=0(6)x²+x−2=0五、拓展提升：例2、解方程((x−4)²=(5−2x)²(多种方法解)六、知识小结：1、解一元二次方程有哪些方法?2、如何尝试用因式分解法解一元二次方程? (因式分解法的选择)中午作业：1、解方程(1)x²+9x=0(2)x²+9=6x(3)(2+x)²−9=0(4)3x(x−2)=2(2−x) (5)(x−2)(x+3)=−6(6)(x−1)2=(2x−3)2(7)x²−x−6=0(8)x²−5x+6=02、若一个多边形共有20条对角线，求这是个几边形?。
因式分解复习导学案
15.4.4因式分解复习导学案学习目标：了解因式分解的概念及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法、公式法进行因式分解，会利用因式分解解决某些代数式求值问题，体会理解其中的整体代入思想学习过程：一、课前自我复习与讨论1、基础知识复习（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的 ________的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
它与整式乘法是。
（2）因式分解的方法：提公因式法：ma mb mc++=；公因式的确定方法：①系数： .②字母： .③指数： . 运用公式法：①平方差公式：22-= 公式特点：a b②完全平方公式：22±+ = 公式特点：a2ab b（3）通过复习归纳因式分解的一般步骤:_________________________________________________（4）运用公式的技巧：①根据多项式的项数选择公式；②将多项式适当的变形；③公式中的a、b、c 不仅仅表示字母.二、巩固自我复习效果1、下列从左到右的变形，是因式分解的为（）A.m a+mb-c=m(a+b)-cB.(a-b)(a2+a b+b2)=a3-b3C.a2-4a b+4b2-1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1)D.4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y)2、把x2y-4y分解因式，结果正确的是( )A y(x2-4)B y(x+2)(x-2)C y(x+2)2D y(x-2)23、下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )A x2+1B x2+2x+1C x2+x-1D x2+4x+44、因式分解2x2-4x+2的最终结果是( )A 2x(x-2)B 2(x2-2x+1)C 2(x-1)2D (2x-2)2四、因式分解再探例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1)a x-a y； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36a by-12a bx+6a b； (5)3x(a-b)2+2y(b-a)；例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2) 8a2-2(3) m3n-6m2n+9mn (4) 9(x-y)2+12(x-y)+4例3 把下列各式分解因式(1) 6xy2-9x2y-y3（2）（2a-b）2+8ab(3)(p-4)(p+1)+3p （4）a2+b2-2ab-1；五、因式分解的应用例4：若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n=_______.1、已知a-b=1, 则代数式2a-2b-3（）A -1B 1C -5D 52、已知a-b=5, ab=3, 求代数式a3b-2a2b2+ab3的值六、本节课，你又巩固了哪些知识点？1、什么是因式分解，它和整式乘法的区别．2、因式分解的方法及一般步骤3、分解因式时应注意的问题课堂检测：（共10分）1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-yB.x2+2yC.x2+y2D.x2-xy+y22.将下列各式因式分解(1) 3ax2-12ay2 (2) 4xy2-4x2y-y3（3）3x x（4）m(3-a)+2(3-a)283、已知a2+2ab+b2=0, 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值。
因式分解复习导学案
因式分解复习导学案自主学习夯实基础1．因式分解把一个多项式化成几个__ __积的形式，叫做因式分解，因式分解与__ __是互逆运算．2．基本方法(1)提取公因式法：ma＋mb－mc＝__ __．(2)公式法：运用平方差公式：__ ____ __运用完全平方公式：__ ___ ___3．因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．变形技巧当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.提取公因式法分解因式【例1】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a ＋b)＝(a＋b)(m＋n)；(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x －y－1)．试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝__________ ．1．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是__ _．(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )A．m＋1B．2m C．2D．m＋2(3)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)．解：运用公式法分解因式【例2】(1)①(2015)3x2y－27y＝__ __；②(2014)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是__ ．(2)分解因式：①(2014·黄冈)(2a＋1)2－a2＝__ _；②(2014·淄博)8(a2＋1)－16a＝__ __．2．分解因式：(1)9x2－1；(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；(3)(2014)a－6ab＋9ab2；(4)(2014)mx2－my2.综合运用多种方法分解因式【例3】 给出三个多项式：12x 2＋x －1，12x 2＋3x ＋1，12x 2－x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．解：3．(1)(2014·武汉)分解因式：a 3－a ＝ ；(2)(2014·)分解因式：x 3－5x 2＋6x ＝____ ____；(3)分解因式：(x ＋2)(x ＋4)＋x 2－4；解(4)在实数范围内分解因式：m 4－9.解因式分解的应用【例4】 (2014·河北)计算：852－152＝( )A ．70B ．700C ．4900D ．70004．(1)(2014·徐州)若ab ＝2，a －b ＝－1，则代数式a 2b －ab 2的值等于__ _．(2)(2014·北京)已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．解：达标测试分解因式：(1)20m3n－15m2n2＋5m2n；(2)4x2－16y2；(3)m(a－b)＋n(b－a)；(4)－3x2＋18x－27.课外拓展。
最新《因式分解》复习课导学案
《因式分解》复习课导学案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx《因式分解》复习课导学案一、教学目标:１、知识与技能:回顾因式分解的概念,复习用提公因式法、公式法以及十字相乘法和分组分解法分解因式，并能应用因式分解解决一些简单的数学问题,提高运算能力。
2、过程与方法:通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义3、情感态度价值观：体会转换的作用，理解相反事物辩证的关系二、重点难点分析:1、重点:用提公因式法、公式法进行因式分解2、用十字相乘法和分组分解法进行因式分解三、教学过程（一）学习自己复习本章内容,回顾知识点。
教师出示本章知识结构框架图,并出示问题，引导学生自己复习２ 分组分解法：（多于三项的多项式，分组后能提公因式、运用公式或十字相乘）ｍa-m ｂ+na —ｎb=（a-b ）(ｍ+n ）1、什么叫因式分解?2、因式分解有哪几种方法?每种方法适合于分解什么形式的多项式?每种方法的基本步骤是什么？(二）检查提问,检测学生自己复习结果，1、提问:什么是因式分解？(把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解．)出示练习题: 多项式的因式分解(1)下列从左到右是因式分解的是(C)Ａ． x（a-b）=aｘ-ｂx B. x2-1+y2＝(x-1)（ｘ＋1）+y2Ｃ. x2－１=(ｘ+1）(x－１） D。
ax+ｂx+c＝x （a+ｂ)+c ﻩ(2）下列因式分解中，正确的是(C）Ａ．3m2－6m=m(３m-6）B．a2ｂ+ab+a=a（aｂ+b)C.－x２+2xy－ｙ2=-(ｘ－ｙ）2Ｄ．x2+y2=(x+y）２2、复习提取公因式法，提问什么是公因式？(一个多项式每一项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式。
）问题：９x3y2+12x２ｙ２－6ｘy3中各项的公因式是3xｙ2。
因式分解复习课导学案
因式分解复习课导学案
班级姓名
一、知识回顾
1、什么叫做因式分解？
2、怎样确定一个多项式的公因式？什么是提公式因法？
3、因式分解中的平方差公式、完全平方公式是怎样的
二、专项突破之一：对因式分解的理解
1、对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形；
2、方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；
3、目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；
4、最终：把一个多项式分解到不能再分解为止．
5、针对训练：
(1)、判断下列各等式从左至右是因式分解的是：_____________(填序号)
①；②；
③；④．
（2）、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）.
A．a（a－b）＝a2－ab；B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1
C．x2－x＝x（x－1）；D．x2－＝（x＋）（x－）（3）、下列从左到右的变形，是分解因式的为( )
A.x2－x=x(x－1)
B.a(a－b)=a2－ab
C.(a+3)(a－3)=a2－9
D.x－2x+1=x(x－2)+1
三、专项突破之二：提公因式法归类练习
（一）提单项式
（二）提多项式
四、专项突破之三：平方差公式
（一）、基本型练习
（二）、两个数都是单项式
（三）、两个数都是多项式的练习
五、专项突破之四：完全平方公式
（一）、基本型练习
3、若是一个完全平方式，则m的值是；
六、分解因式：
（1）（2）
（3）（4）。
因式分解 复习 导学案
因式分解 复习一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++（二）分组后能直接运用公式例2、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+-命制：陈文斌 校对：童立书 审核：周海芳练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
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《因式分解》复习课导学案
一、教学目标：
1、知识与技能：
回顾因式分解的概念，复习用提公因式法、公式法以及十字相乘法和分组分解法分解因式，并能应用因式分解解决一些简单的数学问题，提高运算能力。
2、过程与方法：
通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义
3、情感态度价值观：
体会转换的作用，理解相反事物辩证的关系
二、重点难点分析：
1、重点：用提公因式法、公式法进行因式分解
2、用十字相乘法和分组分解法进行因式分解
三、教学过程
（一）学习自己复习本章内容，回顾知识点。
教师出示本章知识结构框架图，并出示问题，引导学生自己复习
2 分组分解法：（多于三项的多项式，分组后能提公因式、运用公式或十字相乘）
ma-mb+na-nb=(a-b)(m+n)
1、什么叫因式分解？
2、因式分解有哪几种方法？每种方法适合于分解什么形式的多项式？每种方法的基本步骤是什么？
（二）检查提问，检测学生自己复习结果，
1、提问：什么是因式分解？
（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
）
出示练习题： 多项式的因式分
解
（1）下列从左到右是因式分解的是（C）
A. x(a－b)=ax－bx
B. x2－1+y2=(x－1)(x+1)+y2
C. x2－1=(x+1)(x－1)
D. ax+bx+c=x(a+b)+c
（2）下列因式分解中，正确的是（C）
A．3m2－6m=m(3m－6) B．a2b+ab+a=a(ab+b)
C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2D．x2+y2=(x+y)2
2、复习提取公因式法，提问什么是公因式？
（一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
）
问题：9x3y2+12x2y2-6xy3中各项的公因式是3xy2。
总结找公因式的方法：
（1）系数为各系数的最小公倍数
（2）字母是相同字母；
（3）字母的次数相同字母的最低次数。
练习：①5x2－25x的公因式为5x；
②－2ab2＋4a2b3的公因式为-2ab2，
③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是x-1
总结：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
出示练习题：
（1）把多项式m2(a－2)+m(2－a)分解因式等于（C）
A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m)
C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1)
（2）把下列多项式分解因式
3、复习用公式法分解因式，提问：我们学习过的分解因式的公式有哪几个？
（利用平方差和完全平方公式，将多项式因式分解的方法，叫公式法。
）
二项式：平方差公式a2-b2 =(a+b)(a-b)
三项式：完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
出示练习题：
4、复习用十字相乘法分解因式
一般形式：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
练习，分解因式
（1）x2+x-6= （2）x2-x-6=
（3）x2+5x+6= （4）x2-5x+6=
（教师可适当补充利用十字相乘法分解二次项系数不是1的二次三项式，这样有助于用公式法解一元二次方程）
5、复习用分组分解法分解因式
当多项式的项数大于等于四项时，可考虑先分组再分解。
分组的目的是能继续进行因式分解，分组后能用提公因式法、运用公式法或十字相乘法进行分解。
出示练习题：
(1)x2+2y-xy-2x=
(2)8a3-12a2b-6a2c+9abc=
(3)mnp2-mnq2-m2pq+n2pq=
（三）课堂小结
1、多项式的因式分解总共有多少种方法？
2、因式分解的基本步骤是什么？
（①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；两项的提公因后多用平方差公式，三项的提公因后多用完全平方公式。
②如果没有公因式，可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③若用上述方法不能分解且项数较多，可尝试先分组再分解；
④分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
可以用一句话来概括：
“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要合适。
”）
（四）布置作业
（1）下列各多项式中，可用平方差公式分解因式的是（）A．a2+4 B．a2－2a C．－a2+4 D．－a2－4 （2）分解因式：(x2+y2)2－4x2y2
（3）分解因式：x2(y－1)+(1－y)
（4）分解因式：(a－b)(3a+b)2+(a+3b)2(b－a)
（5）分解因式：x(x+y)(x-y)-x(x-y)2
（6）分解因式：(a+2b)2-2(a+2b)(b-2a)+(2a-b)2。