苏州市(高二上学期期末考试数学试卷).doc
江苏省苏州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(Word无答案)
2020~2021学年第二学期江苏省苏州中学高二年级期末考试数学注意事项：1. 本试卷分选择题与非选择题两部分。
2. 答题前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成， 答在本试题卷或草稿纸上无效。
4. 考试结束后， 将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知过抛物线2y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2，则实数a 的值为( ) A. 4B. 2C. 1D. 32.下列选择支中，可以作为曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A ()1,-+∞B. ()()1,00,-+∞ C. ()1,0- D.()2,-+∞3. 某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为( )A. 18B. 36C. 54D. 724. 某社区要为小凯等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6人排成一排，小凯必须与2位老人都相邻，且2位老人不排在两端，则不同的排法种数是( )A. 12B. 24C. 36D. 485. 若在二项式(√x +12√x4)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A. 16B. 14C. 13D. 5126. 已知二项式(2x 2−1x )n 的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是( )A. −84B. −14C. 14D. 84★绝密启用前姓名： 考生号： 座位号：上交考点保存7. 已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8i i 1a =∑＝A ．376B ．382C ．749D ．7668. 在直角坐标系x o y 中，双曲线C :221169x y -=的右支上有一点P ，该点的横坐标为5，1F 、2F 是C 的左､右焦点，则12PF F △的周长为( )A.452B. 18C.814D.352二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学江苏省苏州市高二期末测试数学理科word
苏州市高二期末测试数 学（理科）一． 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“x R ∀∈，cos 1x ≥-”的否定是“ ”． 2．设i 是虚数单位，计算复数()221i i ⨯+= ．3．已知423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则01234a a a a a ++++=__________．4．在空间直角坐标系中，点(4,3,7)P -关于平面xOz 的对称点P 的坐标为____________．5.“0k <<”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的_____________条件．6．已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为___________．7．将3个教师分到6个班级任教，每个教师任教两个班，共有不同的分法种数__________． 8．甲、乙、丙三人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率为14，则“恰好有2人同时译出此密码”的概率是_________．9．函数()ln f x x x =的单调减区间为______________． 10．底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为__________．11．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为 ．12．已知A ，B ，F 分别是椭圆2222by a x +=1（0>>b a ）的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e = ．13．设,n k 都是正整数，1A =，2A =3A =，k A =，若100300A =，则n = ．14．将一块边界为椭圆的铁皮截成一块梯形铁皮，已知该椭圆的长轴为4，短轴长为2，若以椭圆的短轴为梯形的一条底边，则梯形面积的最大值等于___________．二． 解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．已知某射手一次射击命中目标的概率为23，现该射手只有3发子弹，一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：（1）X 的概率分布；（2）均值()E X ．16．如图，已知四边形ABCD 是矩形，AD ⊥平面ABE ，AD AE =，点F 在线段DE 上，且AF ⊥平面BDE ； 求证：（1）BE ⊥平面ADE ；（2）BE ∥平面AFC ；（3）平面AFC ⊥平面ADE 。
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷附答案解析
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ） A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝93．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513) B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513)D ．(−3，−1513)∪(1513，3)4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√35．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32 D ．k ≤−12或k ≥326．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ）A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行 D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√5108．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√10210．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 ． 14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 ． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3． （Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．18．已知梯形BFEC 如图1所示，其中BF ∥EC ，EC ＝3，BF ＝2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，沿AD 将四边形EDAF 折起，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．（1）判断直线l和圆C的位置关系？（2）若直线l和圆C相交，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．如图正三棱柱ABC﹣A'B'C'的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA'、AB、AC、B'C'的中点．（1）求证：B'C'∥面EFG；（2）求三棱锥H﹣EFG的体积；（3）求二面角E﹣FG﹣H的余弦值．22．过椭圆W：x22+y2＝1的左焦点F作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合，过F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求椭圆W的离心率和B点坐标；（Ⅱ）求证：E，G两点关于x轴对称．2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ）A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）解：因为向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3）， 则p →=a →−2b →+3c →，设向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（x ，y ，z ）， 则p →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →=(x +y)a →+(x −y)b →+zc →， 所以{x +y =1x −y =−2z =3，解得x =−12，y =32，z =3，所以向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为(−12，32，3)． 故选：A ．2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝9解：易知圆心C 1与圆心C 关于直线y ＝x 对称，且两圆半径相等， 方程x 2+y 2+6x ＝0可化为：（x +3）2+y 2＝9，故C 1（﹣3，0），半径为3，结合两点关于y ＝x 对称，则它们的横纵坐标互换，可知C （0，﹣3），半径r ＝3， 故圆C 方程为x 2+（y +3）2＝9． 故选：A ．3．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513)B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513) D ．(−3，−1513)∪(1513，3) 解：设A （m ，y 0），则B （m ，﹣y 0），且|m |＜3，则y 02＝4（1−m 29），所以|y 0|=23√9−m 2，A 2（3，0），当∠AA 2B 为钝角时，则∠AA 2O ＞45°， 所以|y 0|＞3﹣m ，即23√9−m 2＞3﹣m ，|m |＜3，整理可得：13m 2﹣54m +45＜0， 解得：1513＜m ＜3，故选：B ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√3解：将正方体中的正△A 1BD 沿A 1D 翻折至与点A 共面，如图所示， 因为AA 1＝AD ，所以当P 为线段A 1D 的中点时，AP +PB 最小值．连接AP ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AP ， 所以直线BP 与平面ADD 1A 1所成角为∠APB ．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1D =√2a ，又点P 为A 1D 的中点，所以AP =12A 1D =√2a2，tan∠APB =ABAP =√2．故选：C ．5．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32D ．k ≤−12或k ≥32解：直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0化为：k （x ﹣1）﹣（y +1）＝0，令{x −1=0y +1=0，解得x ＝1，y＝﹣1，可得直线经过定点：P （1，﹣1）． k PM =−1−11+3=−12，k PN =−1−21−3=32．∵直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交， 则实数k 的取值范围为：k ≥32或k ≤−12． 故选：D ． 6．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，可知P 在椭圆的短轴端点，cos ∠APB ＝2cos 2（12∠APB ）﹣1＝2(b√a 2+b )2−1=−35，解得a ＝2b ， 双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为：x ±2y ＝0．故选：B ．7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ） A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√510解：对于A ，∵P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥P A ， ∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，∴AE ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面P AB ，故A 正确；对于B ，∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ， ∴P A ⊥AD ，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°是直线PD 与平面ABC 所成角，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥AD ∥BC ，EF ⊂平面PEF ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 平行，故C 错误；对于D ，设AB ＝1，则P A ＝2，AE =√12+12−2×1×1×cos120°=√3， PE =√4+3=√7，BE ＝2，PB =√4+1=√5，∵CD ∥BE ，∴∠PBE 是直线CD 与PB 所成的角（或所成角的补角）， ∴直线CD 与PB 所成的角的余弦值为： cos ∠PBE =2×2×√5=√510，故D 正确．故选：C ．8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12解：由题意设|PF 2|＝m （m ＞0），则|PF 1|＝7m ，|F 1F 2|＝4√3m ， ∴2a ＝8m ，a ＝4m ，2c ＝4√3m ，c =2√3m ， ∴b =√a 2−c 2=√16m 2−12m 2=2m ， ∴ab =4m 2m=2．故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√102解：三个数1，a ，9成等比数列，可得a ＝±3， 当a ＝3时，曲线x 23+y 22=1的离心率为：e =ca =√3=√33， 当a ＝﹣3时，曲线y 22−x 23=1的离心率为：e =c a =√5√2=√102． 故选：AD ．10．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3， 所以向量i →+j →+k →的模是√3， 故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面， 所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底， 故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α， 则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33，所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33， 故选项C 正确；对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2， 同理可得|k →−j →|=√2， 则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°， 则向量i →+j →与k →−j →不共线， 故选项D 错误． 故选：BC ．11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 解：设直线l 的方程为y ＝kx ﹣1， 根据点到直线的距离公式d =00√A +B ，若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则√1+k 2=√1+k 2，解得k =79或13，故A正确，B 错误；若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则（﹣3k +4﹣1）•（6k ﹣3﹣1）＜0，解得k ＜23或k ＞1，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，显然D 1D ∥A 1A ，且A 1A 与AF 不垂直，故D 1D 与AF 不垂直，选项A 错误；过点C 作CM ⊥AE ，交AE 的延长线于M ，连接FM ，由二面角的定义可知，∠FMC 即为二面角F ﹣AE ﹣C 的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则CF =1，CM =1×2√2+1=2√55，∴tan∠FMC =FC CM =2√55=√52，选项B 正确； 取B 1C 1中点H ，连接A 1H ，GH ，则GH ∥EF ，故异面直线A 1G 与EF 所成的角即为直线A 1G 与GH 所成角∠A 1GH ，而A 1H =√22+1=√5，A 1G =√22+1=√5，GH =√1+1=√2，故在△A 1C 1G 中，由余弦定理可得cos∠A 1GH =A 1G 2+GH 2−A 1H 22A 1G⋅GH =2×√5×√2=√1010，选项C 正确；连接CG 交EF 于点N ，则点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离之比为GN CN，而△GNF ∽△CNE ，故GN CN=GF CE=2，选项D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 49．解：∵向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2）， ∴cos ＜a →，b →＞=43×3=49， ∴a →，b →夹角的余弦值为49．故答案为：49．14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 2x +y ﹣10＝0 ．解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的圆心C （2，1），半径r =√5，点P （4，2）在圆上， 因为PC 的斜率2−14−2=12且切线与PC 垂直，所求切线的斜率K ＝﹣2，故切线方程y ﹣2＝﹣2（x ﹣4）即2x +y ﹣10＝0 故答案为：2x +y ﹣10＝0．15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 2√33． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的半焦距为c ，由题意可得l ：x ＝c ，F （c ，0），渐近线方程y ＝±b ax ，则A （c ，b 2a），B （c ，bc a），又FB →=2FA →，所以bc a=2b 2a，即c ＝2b ＝2√c 2−a 2，可得2a =√3c ，则双曲线的离心率为e =ca =2√33， 故答案为：2√33． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 3−√33． 解：设直线AP 的倾斜角为：θ，在Rt △P AF 中， 由题意可得tan θ=b 2aa+c=√33，整理可得3b 2=√3（a 2+ac ），即3（a 2﹣c 2）=√3（a 2+ac ），可得3e 2+√3e ﹣3+√3=0，解得e ＝﹣1（舍去），e =3−√33． 故答案为：3−√33．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件： （1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3．（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵PF 2→⋅F 1F 2→=0， ∴PF 2→⊥F 1F 2→，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P （c ，b 2a），∴tan ∠PF 1F 2=b 2a2c =b22ac =√312，∵PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3，∴2c＝2√3，即c=√3，∵a2＝b2+c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的离心率为e=ca=√32，椭圆方程为x24+y2＝1；（Ⅱ）设满足条件的直线为l，其方程为x＝my−√3，两交点坐标为A（x1，y1）B（x2，y2），设线段AB为直径的圆与y相切于点D，由{x=my−√3x24+y2=1，消去x得：（m2+4）y2﹣2√3my﹣1＝0，∴y1+y2=2√3m4+m2，y1y2=−14+m2，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2√3=−8√34+m2，所以AB的中点到y轴的距离d=|x1+x2|2=4√34+m2，所以弦长|AB|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2•√12m2(4+m2)2−4⋅−14+m2=4•1+m2 4+m2=2d=8√34+m2，解得m2＝2√3−1，所以m＝±√2√3−1直线方程为x=√2√3−1y−√3，或x=−√2√3−1y−√3，即x−√2√3−1y+√3=0或x+√2√3−1y+√3=0．18．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．（1）证明：∵平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面EDAF ， 平面EDAF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊥AD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵DE 、BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面AEC ⊥平面BDE …（3分） （2）解：过点F 作FG ⊥AE 于点G ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又FG ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥FG ， 又AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，所以FG ⊥平面ABE ， 所以线段FG 的长即为点F 到平面ABE 的距离，在△AEF 中，AF =1，AE =√5，EF =√2，由等积变换AE •FG ＝AF •AD ， 得FG =√55，即点F 到平面ABE 的距离为√55． （说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面BEF 的法向量n →=(x ，y ，z)，E （0，0，2），F （1，0，1），B （1，1，0）， {EF →⋅n →=0BF →⋅n →=0，{x −z =0y −z =0，令x ＝1，则y ＝z ＝1， 则n →=(1，1，1)，设H （a ，a ，0），EH →=(a ，a ，−2)，则|cos ＜EH →，n →＞|=2a−2√3√2a +4=13解得a =25或a ＝2（舍）…（10分）故H(25，25，0)，∴DH =25√2⋯（12分） 19．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4和直线l ：kx ﹣y ﹣4k +3＝0．（1）判断直线l 和圆C 的位置关系？（2）若直线l 和圆C 相交，求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时的直线方程． 解：（1）证明：由直线l 的方程可得，y ﹣3＝k （x ﹣4），则直线l 恒通过点（4，3），把（4，3）代入圆的C 方程，得（4﹣3）2+（3﹣4）2＝2＜4，所以点（4，3）在圆C 的内部，又因为直线l 恒过点（4，3），所以直线l 与圆C 总相交；（2）设定点为A （4，3），由题可知当直线l 与CA 直线垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，因为k CA =4−33−4=−1，所以直线l 的斜率为k ＝1，所以直线l 的方程为y ﹣3＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣1＝0…（10分）设圆心C （3，4）到直线l 距离为d ，则d =√2=√2，所以直线l 被圆C 截得最短的弦长为2√4−(√2)2=2√2．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为AB →=AP →+PB →，两边平方得|AB →|2=|AP|2+|PB|2+2AP →⋅PB →，而PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，且|AB |＝4，从而16=|AP|2+|PB|2+2(|AP →|⋅|PB →|−8)，即（|AP |+|PB |）2＝32，所以|AP|+|PB|=4√2，由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，从而E 的方程为x 28+y 24=1．（2）设存在点Q （0，m ）满足条件，记C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．由{y =kx −1x 2+2y 2=8消去 y ，得 （1+2k 2）x 2﹣4kx ﹣6＝0． 显然其判别式△＞0， 所以x 1+x 2=4k 1+2k 2，x 1x 2=−61+2k 2， 于是k QC k QD =y 1−m x 1⋅y 2−m x 2=[kx 1−(m+1)]⋅[kx 2−(m+1)]x 1x 2 =k 2x 1x 2−(m+1)k(x 1+x 2)+(m+1)2x 1x 2=[1+23(m +1)−(m+1)23]⋅k 2−(m+1)26． 上式为定值，当且仅当 1+23(m +1)−(m+1)23=0． 解得 m ＝2 或 m ＝﹣2． 此时，k QC k QD =−(m+1)26=−32 或 −16． 从而，存在定点 Q （0，2）或者 Q （0，﹣2）满足条件．21．如图正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，E 、F 、G 、H 分别是棱AA '、AB 、AC 、B 'C '的中点．（1）求证：B 'C '∥面EFG ；（2）求三棱锥H ﹣EFG 的体积；（3）求二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值．（1）证明：因为ABC ﹣A 'B 'C '是三棱柱，所以B 'C '∥BC ，又AF ＝FB ，AG ＝GC ，所以BC ∥FG ，所以B 'C '∥FG ，FG ⊂平面EFG ，B 'C '⊄面EFG ，所以B 'C '∥面EFG ；（2）解：由（1）可得，V H ﹣EFG ＝V B ﹣EFG ＝V G ＝EFB ，所以V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ，其中h 为点G 到平面ABB 'A '的距离，因为正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，所以h =12×√22−12=√32， 故V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ=13×(2×2−1×2−12×1×1)×√32=√34，所以三棱锥H ﹣EFG 的体积为√34； （3）解：设二面角E ﹣FG ﹣A ，H ﹣FG ﹣B ，3﹣FG ﹣H 的平面角分别为α，β，γ， 则γ＝π﹣α﹣β，所以cos γ＝cos （π﹣α﹣β）＝﹣cos （α+β）＝sin αsin β﹣cos αcos β，过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE ＝α，所以sin α=2√7，cos α=√3√7， 同理可得，cos β=√3√19，sin β=4√19， 所以cos γ＝sin αsin β﹣cos αcos β=2√74√19√3√19√3√7=5√133133， 故二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值为5√133133． 22．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合， 因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0）， 设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得 （2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0，因为Δ＝（4k 2）2﹣4（2k 2+1）（2k 2﹣2）＝8k 2+8＞0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以y G +y E =(1−k)(2⋅2k 2−22k 2+1−3⋅4k 22k 2+1+4)3x 1x 2+4x 2=0，所以y G ＝﹣y E ，综上所述：E ，G 两点关于x 轴对称．。
江苏省苏州市高二第一学期期末数学考试(修订版).doc
学习必备欢迎下载2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学（正题卷）2015.1注意事项：1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题—第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的体积公式：43V R （其中R 是球的半径）3一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分，请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．．上．1．命题“x 0, ， 2 x x ”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，准线方程为x 1的抛物线的标准方程是▲．3．若直线l 经过点A(2,1) ，且与直线3x y 1 0 垂直，则直线l 的方程为▲．4．函数1y 2ln xx的单调递减区间为_____▲______.5．记函数f( x)＝2 1xx的导函数为 f (x)，则 f (1)的值为▲．6．棱长为 2 的正方体的各顶点均在球O的表面上，则球O的体积等于▲．7．“m 2 ”是“方程2 2x y表示焦点在y 轴上的椭圆”的▲条件．（“充分不必要”、“必要不充2 1m 2 m分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）8．已知函数cos sin f 处的切线方程是f x f x x，则函数y f x 的图象在点,2 2 2_______▲_____.9．如图，棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，三棱锥C1 D1BC 的体积等于_____▲___.10．过点P 0,1 的直线l 与圆 2 2C : x y 2x 3 0 交于A, B 两点，则当ABC 的面积最大时，直线l 的方程是_______▲_____.11．若l, m,n 是三条互不相同的空间直线，, 是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是▲学习必备欢迎下载(填所有正确答案的序号)．①若// , l , n , 则l // n；②若,l , 则l ；③若l n,m n, 则l // m ；④若l ,l // , 则．12．已知点M 0,2 ，N 2,0 ，直线l : kx y 2k 2 0 （k 为常数），对于l 上任意一点P ，恒有MPN ，则实数k 的取值范围是_______▲________．213．已知 A 是曲线C1：y＝ax－22＋y2＝5 的一个公共点．若C1 在A 处的切线与C2在A ( a＞0)与曲线C2：x处的切线互相垂直，则实数 a 的值是▲．14．直角坐标平面上，已知点 A 1, 0,B 1, 0，直线l : x 1，点P 是平面上一动点，直线PA 的斜率为k，直线PB 的斜率为k2 ，且k1 k2 1，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，则三角形APQ 的面积的最大1值等于______▲_____.二、解答题：本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(本小题满分14 分)2 ax 4≥0，已知命题p：任意x∈0, ，x命题q：方程2x－a＋252ya＝1 表示双曲线．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（Ⅱ）若“p 且q”为真命题，求实数 a 的取值范围．16．(本小题满分14 分)已知圆 2 2C : x y Dx Ey 3 0关于直线x y 1 0 对称，半径为 2 ，且圆心C 在第二象限．学习必备欢迎下载C 的方程；（Ⅰ）求圆（Ⅱ）不过原点的直线l 在x轴、y 轴上的截距相等，且与圆 C 相切，求直线l 的方程．17．（本小题满分14 分）如图，直三棱柱A BC A B C 中，点D 是B C上一点.1 1 1D 是B C 的中点，求证A1C // 平面 A B1D ；（Ⅰ）若点（Ⅱ）平面A B D 平面BCC1B1 ，求证AD BC .118．(本小题满分16 分)现有一张长80 厘米、宽60 厘米的长方形ABCD 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中间，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图(2)，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值．19．(本小题满分16 分)设F , F2 分别是椭圆1y2x2C : 1 a b 0a b2 2的左，右焦点，M 是C 上一点，MF2 与x 轴垂直，且M 位于x 轴上方，直线MF1 与椭圆C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34 ，求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 交y轴于点P 0,m ，m 是正常数，且M N 5F N ，求椭圆 C 的方程.（用含m 的方程1表示）yMPN F1 O F2 x220．（本小题满分16 分）已知函数 f (x) ax bx, g (x) ln x ．（Ⅰ）当a 0时，①若f ( x) 的图象与g (x) 的图象相切于点P(x , y ) ，求x0 及b的值；0 0②若关于x的方程 f (x) g (x) 在[1, m] 上有解，求b 的范围；（Ⅱ）当b 1时，若f (x) g(x) 在1[ ,n]e上恒成立（n 为正常数），求a 的取值范围．附加题部分（本部分满分40 分，考试时间30 分钟）【必做题】第21 题、第22 题、第23 题、第24 题，每题10 分，共40 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.（本小题满分10 分）在直角坐标系xOy 中，已知A（0，1），点P 是抛物线 2y 2x 1上的动点，点M 是线段AP 的中点，求点M 的轨迹方程．22.（本小题满分10 分）kxf x xe k 0 在区间1, 1上是增函数, 求k 的取值范围.已知函数23.（本小题满分10 分）三棱柱A BC A B C 在如图所示的空间直角坐标系中，已知1 1 1AB 2, AC 4, AA 3，D 是BC 的中点。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2020-2021学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”的否定为（）A.∀x∈R，x2-x+1≤0B.∀x∈R，x2-x+1＜0C.∃x∈R，x2-x+1≤0D.∃x∈R，x2-x+1＜02.（单选题，5分）已知复数z=-i（1+2i）（i为虚数单位），则复数z的实部为（）A.-2B.-1C.1D.23.（单选题，5分）不等式（x+5）（3-2x）≥6的解集是（）A.{x|x≤-1或x≥ 92}B.{x|-1≤x≤ 92}C.{x|x≤- 92或x≥1}D.{x|- 92≤x≤1}4.（单选题，5分）若0＜b＜1，则“a＞√b”是“a＞b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d= mk，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k = 1k1+ 1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（）A. 14cmB. 12cmC.1cmD.2cm6.（单选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=2px（p＞0）上的点M与焦点F 的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（）A.1B.2C.4D.87.（单选题，5分）若正整数m，n满足n+4n+2＜√m＜n+3n+1，则所有满足条件的n的和为（）A.6B.4C.3D.18.（单选题，5分）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如25=13+115，729=16+1 24+158+187+1232，…，现已知2101可以表示成4个单分数的和，记2101=1606+1x+1y+1z，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y+z的值为（）A.505B.404C.303D.2029.（多选题，5分）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n次方程有n个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程z3-1=0的根的是（）A. 12+√32iB. −12+√32iC. −12−√32iD.110.（多选题，5分）已知a＞b＞0＞c＞d，则（）A.a-c＞b-dB.ad＞bcC. ba ＜b−ca−cD. c2a ＜d2b11.（多选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y24=1与直线y=kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共点，则动点P（k，m）与定点Q（0，2）的距离可能为（）A.2B. √6C. 2√2D.312.（多选题，5分）已知等比数列{a n}满足a1=1，其前n项和S n=pa n+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A.数列{a n}的公比为pB.数列{a n}为递增数列C.r=-p-1D.当p- 14r取最小值时，a n=3n-113.（填空题，5分）已知复数z满足（1+2i）z=3+4i（i为虚数单位），则复数z的模为___ ．14.（填空题，5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab+ 1a + 2b的最小值为___ ．15.（填空题，5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R0=3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到___ 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第___ 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）16.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4√6，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交AB于点D，点D 的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为___ ．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于√22，求e1和e2的取值范围．18.（问答题，12分）已知不等式ax2+（3-a）x-3b＜0（a，b∈R）的解集为A={x|-3＜x＜1}．（1）求实数a，b的值；（2）设f(x)=ax 2+bx−2x−2（x∈A），当x为何值时f（x）取得最大值，并求出其最大值．19.（问答题，12分）在① 2S n=2n2+a n，② a3+a5=16且S3+S5=42，③ S nS2n =n+14n+2且S7=56这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，___．数列{b n}为等比数列，b1=a1，b2=a3，求数列{1S n+b n}的前n项和T n．20.（问答题，12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2=2py（p＞0）和C2：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|=1，|AF1|= 53（如图2）．（1）求C1和C2的方程；（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|=λ|DE|，求实数λ的取值范围．21.（问答题，12分）已知数列{a n}满足a1=1，2a n+1=(1+1n)a n（n∈N*）．（1）求证：数列{a nn}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令b n=M n+m n2，称数列{b n}是数列{a n}的“中程数数列”．① 求“中程数数列”{b n}的前n项和S n；② 若b m=a k（m，k∈N*且m＞k），求所有满足条件的实数对（m，k）．22.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，过原点O的直线交该椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），点E（4，0）．当直线AB垂直于x轴时，|AE|=2√5．（1）求a，b的值；（2）设直线AE与椭圆的另一交点为C，直线BE与椭圆的另一交点为D．① 若OC || BE，求△ABE的面积；② 是否存在x轴上的一定点T，使得直线CD恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）命题“∀x∈R，x2-x+1＞0”的否定为（）A.∀x∈R，x2-x+1≤0B.∀x∈R，x2-x+1＜0C.∃x∈R，x2-x+1≤0D.∃x∈R，x2-x+1＜0【正确答案】：C【解析】：欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：① ：“∀”；② ：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】：解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x∈R，x2-x+1≤0，故选：C．【点评】：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2.（单选题，5分）已知复数z=-i（1+2i）（i为虚数单位），则复数z的实部为（）A.-2B.-1C.1D.2【正确答案】：D【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的实部概念得答案．【解答】：解：z=-i（1+2i）=-i-2i2=-i+2，则z的实部为2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 3.（单选题，5分）不等式（x+5）（3-2x ）≥6的解集是（ ） A.{x|x≤-1或x≥ 92} B.{x|-1≤x≤ 92 } C.{x|x≤- 92 或x≥1} D.{x|- 92 ≤x≤1} 【正确答案】：D【解析】：把不等式的右边移项到左边，去括号合并化简，分解因式得到（2x+9）（x-1）小于0，分情况2x+9与x-1异号或都等于0讨论得到两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】：解：因为不等式（x+5）（3-2x ）≥6可化为2x 2+7x-9≤0， 分解因式得（2x+9）（x-1）≤0，可化为 {2x +9≥0x −1≤0 或 {2x +9≤0x −1≥0，解得- 92 ≤x≤1，所以不等式（x+5）•（3-2x ）≥6的解集是{x|- 92 ≤x≤1}． 故选：D ．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题． 4.（单选题，5分）若0＜b ＜1，则“a ＞ √b ”是“a ＞b”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：A【解析】：说明命题成立只需证明即可，说明命题不成立可进行列举即可，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】：解：若a ＞ √b ，在0＜b ＜1时，b （1-b ）=b-b 2＞0即 √b ＞b ，故可得a ＞b ， 若a ＞b ，可取 b =19 ， a =29 ，此时 a ＜√b ，所以若0＜b ＜1，则“a ＞ √b ”是“a ＞b”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查了代数式的大小比较，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生的推理能力．5.（单选题，5分）在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d= mk，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k = 1k1+ 1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（）A. 14cmB. 12cmC.1cmD.2cm【正确答案】：A【解析】：由已知可得k1k2k1+k2=20，利用基本不等式求解k1+k2的最小值，即可求得并联时弹簧拉伸的最大距离．【解答】：解：根据题意可得，当两个弹簧串联时，弹簧的系数k= md =201=20，由1k = 1k1+ 1k2= k1+k2k1k2，得k= k1k2k1+k2，则串联时，有k1k2k1+k2=20；并联时，弹簧系数k′满足k′=k1+k2，d′= mk′，要使d′最大，则k′最小，即k1+k2最小，由k1k2k1+k2=20，得20（k1+k2）=k1k2≤(k1+k22)2，得80（k1+k2）≤ (k1+k2)2，解得k1+k2≤0（舍去），或k1+k2≥80，当且仅当k1=k2=40时上式等号成立，此时d′= mk′=2080=14（cm）．故选：A．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用，考查不等式的性质，考查运算求解能力，是中档题．6.（单选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=2px（p＞0）上的点M与焦点F 的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】：C【解析】：由题中的条件可以将点M的坐标用p表示出来，由点M坐标满足抛物线方程，可以直接解决．【解答】：解：设点M（x，y），由题意可知，{x+p2=10 |y|=2p，所以M（10- p2，±2p），又因为M点在抛物线上，所以，4p2=2p（10- p2），∴p=4．故选：C．【点评】：本题考查了抛物线的定义，属于基础题．7.（单选题，5分）若正整数m，n满足n+4n+2＜√m＜n+3n+1，则所有满足条件的n的和为（）A.6B.4C.3D.1【正确答案】：B【解析】：根据题中给出的条件，先得到n+4n+2和n+3n+1的范围，确定m=2或3，分别解对应的分式不等式，求出对应的n即可．【解答】：解：因为m，n均为正整数，所以1＜n+4n+2 = 1+2n+2≤1+21+2=1+23，1＜n+3n+1= 1+2n+1≤2，所以1＜√m＜2，所以m=2或3，若m=2时，则n+4n+2＜√2＜n+3n+1，所以2n+2＜√2−1＜2n+1，解得2√2＜n＜2√2+1，则n=3，若m=3时，则n+4n+2＜√3＜n+3n+1，所以2n+2＜√3−1＜2n+1，解得 √3−1＜n ＜√3 ， 则n=1， 所以n=3+1=4． 故选：B ．【点评】：本题考查了不等式知识的理解和应用，涉及了分式不等式的解法、分离常数法的应用，解题的关键是先确定出m 的取值为2或3．8.（单选题，5分）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如 25=13+115 ， 729=16+124+158+187+1232 ，…，现已知 2101可以表示成4个单分数的和，记2101=1606+1x+1y +1z，其中x ，y ，z 是以101为首项的等差数列，则y+z 的值为（ ） A.505 B.404 C.303 D.202【正确答案】：A 【解析】：根据已知将 2101写出四个单分数的和，从而可求得x ，y ，z 的值，即可得解．【解答】：解： 2101 = 1101 + 1101= 1101 + 2202 =1101 + 1202 + 1202 = 1101 + 1202 + 3606 = 1101 + 1202 + 2606 + 1606 = 1101 + 1202 + 1303 + 1606所以x=101，y=202，z=303满足题目x ，y ，z 是以101为首项的等差数列， 所以y+z=505． 故选：A ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质，属于中档题．9.（多选题，5分）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n次方程有n个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程z3-1=0的根的是（）A. 12+√32iB. −12+√32iC. −12−√32iD.1【正确答案】：BCD【解析】：对应各个选项逐个已知即可求解．【解答】：解：选项A：当z= 12+√32i时，z 3−1=(12+√32i)3−1 =（12+√32i）2•(12+√32i)-1=- 14−34−1 =-2，故A错误，选项B：当z=- 12+√32i时，z3-1=（- 12+√32i）3-1=（- 12+√32i）2•(−12+√32i)−1 = 14+34−1=0，故B正确，选项C：当z=- 12−√32i时，z 3−1=(−12−√32i)3−1 =（- 12−√32i）2•(−12−√32i) -1= 14+34−1=0，故C正确，选项D：显然当z=1时满足z3-1=0，故D正确，故选：BCD．【点评】：本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a＞b＞0＞c＞d，则（）A.a-c＞b-dB.ad＞bcC. ba ＜b−ca−cD. c2a ＜d2b【正确答案】：CD【解析】：由a＞b＞0＞c＞d，取a=2，b=1，c=-1，d=-2，即可判断AB；由不等式的基本性质，即可判断CD．【解答】：解：由a＞b＞0＞c＞d，取a=2，b=1，c=-1，d=-2，则AB不成立；若ba ＜b−ca−c，只需b（a-c）＜a（b-c），即bc＞ac，显然bc-ac=c（b-a）＞0，故C正确；若c 2a ＜d2b，只需bc2＜ad2，又c2＜d2，0＜b＜a，显然bc2＜ad2成立，故D正确．故选：CD．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．11.（多选题，5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y24=1与直线y=kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共点，则动点P（k，m）与定点Q（0，2）的距离可能为（）A.2B. √6C. 2√2D.3【正确答案】：BCD【解析】：将直线与双曲线联立，由判别式Δ=0，可推出m2-k2+4=0，再结合两点间距离公式和配方法，即可得解．【解答】：解：联立{y=kx+mx2−y24=1，得（4-k2）x2-2kmx-m2-4=0，因为直线与双曲线有唯一公共点，所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4）=16（m2-k2+4）=0，所以m2-k2+4=0，|PQ|2=k2+（m-2）2=m2+4+m2-4m+4=2m2-4m+8=2（m-1）2+6≥6，所以|PQ|≥ √6，所以选项BCD均符合题意，故选：BCD．【点评】：本题考查直线与双曲线的交点个数问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.（多选题，5分）已知等比数列{a n}满足a1=1，其前n项和S n=pa n+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A.数列{a n}的公比为pB.数列{a n}为递增数列C.r=-p-1D.当p- 14r取最小值时，a n=3n-1【正确答案】：BD【解析】：利用S n和a n的关系得到以a n+1a n =p+1p，然后通过数列{a n}为等比数列进行分析求解，依次判断四个选项即可．【解答】：解：因为S n=pa n+1+r，所以S n-1=pa n+r（n≥2），所以a n=S n-S n-1=pa n+1-pa n，则pa n+1=（p+1）a n（n≥2），所以a n+1a n =p+1p（n≥2），当n=1时，a1=S1=pa2+r，所以a2=1−rp，因为{a n}为等比数列，又q=p+1p =1+1p＞1，所以数列{a n}为递增数列，故选项A错误，选项B正确；所以q=p+1p =1−rp，解得r=-p，故选项C错误；p- 14r = p+14p≥2√p•14p=1，当且仅当p=14p ，即p= 12时取等号，此时数列{a n}的公比为q=p+1p=3，所以a n=3n-1，故选项D正确．故选：BD．【点评】：本题考查了等比数列的应用，涉及了等比数列前n项和与第n项之间关系的应用，解题的关键是求出a n+1a n =p+1p（n≥2），属于中档题．13.（填空题，5分）已知复数z满足（1+2i）z=3+4i（i为虚数单位），则复数z的模为___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：根据复数的基本运算法则进行化简，然后结合复数的模长公式即可求解．【解答】：解：因为（1+2i）z=3+4i，所以z= 3+4i1+2i = (3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)= 11−2i5，故|z|= √5．故答案为：√5．【点评】：本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．14.（填空题，5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab+ 1a + 2b的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据2a+b=4及a＞0，b＞0即可得出ab+1a +2b=ab+4ab≥4，这样即可得出ab+1a +2b的最小值．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，且2a+b=4，∴ ab+1a +2b=ab+2a+bab=ab+4ab≥2√ab•4ab=4，当且仅当ab=4ab，即a=1，b=2时等号成立，∴ ab+1a +2b的最小值为：4．故答案为：4．【点评】：本题考查了基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R0=3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到___ 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第___ 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）【正确答案】：[1]64; [2]6【解析】：由题意依次求出经过三轮传染后感染的总人数，则答案可求；分析可知，每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，求解不等式得答案．【解答】：解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为1+R0=4人，经过二轮传染后，感染人数为4+4R0=16人，经过三轮传染后，感染人数为16+16R0=64人；则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，到第n轮传染后，感染人数为a n=4×4n−1=4n，由4n≤1000，得n≤ lg1000lg4=32lg2≈30.6=5．∴若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第6轮传染开始前采取紧急防控措施．故答案为：64；6．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用，考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．16.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4√6，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交AB于点D，点D 的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为___ ．【正确答案】：[1] x 230+y26=1【解析】：由已知求出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积，再利用OA与OB以及a，b，c的关系即可求解．【解答】：解：由已知可得k AB•k OD=-1，所以k AB=−1k OD =−112=−2，则直线BA的方程为：y-1=-2（x-2），即y=-2x+5，代入椭圆方程消去y整理可得：（b2+4a2）x2-20a2x+25a2-a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），B（x2，y2），则x 1+x2=20a2b2+4a2，x1x2=25a2−a2b2b2+4a2，又由已知可得：2c=4 √6，所以c=2 √6，则a2=b2+24，所以x 1+x2=20a25a2−24，x1x2=49a2−a45a2−24，所以y1y2=（-2x1+5）（-2x2+5）=4x1x2-10（x1+x2）+25= 121a2−4a4−6005a2−24，又由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，所以49a 2−a4+121a2−4a4−6005a2−24=0，即a4-34a2+120=0，解得a2=30或4（舍去），所以a2=30，b2=6，所以椭圆的方程为x 230+y26=1，故答案为：x 230+y26=1．【点评】：本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于√22，求e1和e2的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆和双曲线中a、b、c的关系以及离心率的定义，即可得解；（2）易知0＜ba ＜√22，再由e1= √1−(ba)2，e2= √1+(ba)2，得解．【解答】：解：（1）由题意知，e12= a2−b2a2，e22= a2+b2a2，∴e12+e22= a2−b2a2 + a2+b2a2=1- b2a2+1+ b2a2=2．（2）双曲线C的渐近线方程为y=± bax，∵双曲线渐近线的斜率小于√22，∴0＜ba ＜√22，∴e1= √1−(ba )2∈（√22，1），e2= √1+(ba )2∈（1，√62），故e1的取值范围为（√22，1），e2的取值范围为（1，√62）．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的几何性质，主要包含渐近线方程和离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知不等式ax 2+（3-a ）x-3b ＜0（a ，b∈R ）的解集为A={x|-3＜x ＜1}． （1）求实数a ，b 的值； （2）设 f (x )=ax 2+bx−2x−2（x∈A ），当x 为何值时f （x ）取得最大值，并求出其最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据不等式的解集得出对应方程的两实数根，代入方程得列方程组，再求出a ，b 的值；（2）根据条件设x-2=t ，利用基本不等式，求出函数y 的最大值的值和x 的值即可．【解答】：解：（1）不等式ax 2+（3-a ）x-3b ＜0的解集为A={x|-3＜x ＜1}， 所以-3和1是对应方程ax 2+（3-a ）x-3b=0的两根， 所以 {9a −3(3−a )−3b =0a +(3−a )−3b =0 ，解得a=1，b=1；（2）由 f (x )=ax 2+bx−2x−2= x 2+x−2x−2 ，x∈（-3，1）， 设x-2=t ，则x=t+2，且t∈（-5，-1）， 令y=f （x ），则y=(t+2)2+tt=t+ 4t +5≤5-2 √(−t )•4−t=1， 当且仅当-t= 4−t ，即t=-2时取等号，此时x=0； 所以当x=0时f （x ）取得最大值，且最大值为1．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求最值，是中档题．19.（问答题，12分）在 ① 2S n =2n 2+a n ， ② a 3+a 5=16且S 3+S 5=42， ③ S n S 2n=n+14n+2且S 7=56这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，___．数列{b n }为等比数列，b 1=a 1，b 2=a 3，求数列 {1S n+b n } 的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：本题三个条件均根据等差数列的通项公式及前n 项和公式代入进行计算，列出关于首项a 1与公差d 的方程，解出a 1与d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式，进一步即可计算出 1S n的表达式，以及通过等比数列的通项公式计算出数列{b n }的通项公式，即可计算出数列{1S n+b n } 的通项公式，然后运用分组求和法即可计算出前n 项和T n ．【解答】：解：方案一：选条件 ①依题意，当n=1时，2a 1=2S 1=2×12+a 1，解得a 1=2， 当n≥2时，由数列{a n }为等差数列，可知S n = n (a 1+a n )2 = n (2+a n )2， 则2S n =2×n (2+a n )2=2×n 2+a n ， 化简整理，可得a n =2n ， 当n=1时，a 1=2也满足上式， ∴a n =2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2 =n （n+1）， ∴ 1S n=1n (n+1) = 1n - 1n+1， 又∵b 1=a 1=2，b 2=a 3=6，设等比数列{b n }的公比为q ，则q= b 2b 1= 62 =3，故b n =2•3n-1，n∈N*， ∴ 1S n+b n = 1n - 1n+1 +2•3n-1，∴T n = 1S 1+b 1+ 1S 2+b 2+…+ 1S n+b n=（ 1S 1+ 1S 2+…+ 1S n）+（b 1+b 2+…+b n ）=（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ）+（2+2•31+…+2•3n-1）=1- 1n+1 + 2−2•3n1−3=3n - 1n+1 ． 方案二：选条件 ②依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{(a 1+2d )+(a 1+4d )=163a 1+3×22d +5a 1+5×42d =42，化简整理，得 {a 1+3d =88a 1+24d =42，解得 {a 1=2d =2，∴a n =2+2（n-1）=2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2=n （n+1）， ∴ 1S n= 1n (n+1) = 1n - 1n+1 ， 又∵b 1=a 1=2，b 2=a 3=6，设等比数列{b n }的公比为q ，则q= b 2b 1= 62 =3，故b n =2•3n-1，n∈N*， ∴ 1S n+b n = 1n - 1n+1 +2•3n-1，∴T n = 1S 1+b 1+ 1S 2+b 2+…+ 1S n+b n=（ 1S 1 + 1S 2 +…+ 1S n）+（b 1+b 2+…+b n ）=（1- 12 + 12 - 13 +…+ 1n - 1n+1 ）+（2+2•31+…+2•3n-1） =1- 1n+1 +2−2•3n1−3 =3n - 1n+1 ． 方案三：选条件 ③依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+n (n−1)2 d ，S 2n =2na 1+ 2n (2n−1)2d ， ∴ {na 1+n (n−1)2d 2na 1+2n (2n−1)2d=n+14n+27a 1+7×62d =56 ，化简整理，得 {a 1=da 1+3d =8，解得 {a 1=2d =2，∴a n =2+2（n-1）=2n ，n∈N*， S n =n (2+a n )2 = n (2+2n )2=n （n+1），∴ 1 S n = 1n(n+1)= 1n- 1n+1，又∵b1=a1=2，b2=a3=6，设等比数列{b n}的公比为q，则q= b2b1 = 62=3，故b n=2•3n-1，n∈N*，∴ 1 S n +b n= 1n- 1n+1+2•3n-1，∴T n= 1S1 +b1+ 1S2+b2+…+ 1S n+b n=（1S1 + 1S2+…+ 1S n）+（b1+b2+…+b n）=（1- 12 + 12- 13+…+ 1n- 1n+1）+（2+2•31+…+2•3n-1）=1- 1n+1 + 2−2•3n1−3=3n- 1n+1．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及运用分组求和法求前n 项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.（问答题，12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C1的部分和椭圆C2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy中，C1：x2=2py（p＞0）和C2：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，F1是公共焦点，|OF1|=1，|AF1|= 53（如图2）．（1）求C1和C2的方程；（2）过点F1作直线l与“W”形状曲线依次交于C，D，E，F四点，若|CF|=λ|DE|，求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由焦点的坐标求抛物线的方程，及椭圆的焦点坐标，再由|AF 1|的值，求出椭圆的方程；（2）设直线CF 的方程，与抛物线联立求出两根C ，F 的横坐标，与椭圆联立求出两根D ，E 的横坐标，求出|CF|，|DE|的表达式，由题意可得λ的表达式，由k 的范围，求出λ的范围．【解答】：解：（1）因为OF 1=1，所以F 1（0，1），则 p2=1，可得：p=2， 所以抛物线C 1的方程x 2=4y ； 设C 2的焦距为2c ，则c=1，设A （x ，y ）由抛物线的方程可得AF 1=y+1= 53 ，得y= 23 ， x 2=4y= 83 ，{a 2−b 2=149a 2+83b 2=1 ，解得：a 2=4，b 2=3， 所以可得C 2的方程为： y 24 + x 23 =1； （2）设l ：y=kx+1， 当A （- 2√63 ， 23 ）时，k AF 1 = 1−232√63 = 2√6，则k∈（-2√6，2√6{y =kx +1x 2=4y整理可得：x 2-4kx-4=0， 可得x C ，F =2k±2 √1+k 2 ，所以|CF|= √(x C −x F )2+(y C −y F )2 = √1+k 2 |x C -x F |=4（1+k 2）， {y =kx +1y 24+x 23=1整理可得：（4+3k ）2x 2+6kx-9=0，可得x D ，E =−3k±6√1+k 24+3k 2， |DE|= √(x D −x E )2+(y D −y E )2 = √1+k 2 |x D -x E |= 12(1+k 2)4+3k 2，λ= |CF||DE| =k 2+ 43 ，因为k∈（- 2√6 ， 2√6所以k 2∈[0， 124 ），可得λ∈[ 43 ， 118 ）．【点评】：本题考查求抛物线椭圆的方程及直线与圆锥曲线的综合，弦长公式的应用，属于中档题．21.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1， 2a n+1=(1+1n )a n （n∈N *）．（1）求证：数列 {ann } 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令 b n =M n +m n2，称数列{b n }是数列{a n }的“中程数数列”．① 求“中程数数列”{b n }的前n 项和S n ；② 若b m =a k （m ，k∈N *且m ＞k ），求所有满足条件的实数对（m ，k ）．【正确答案】：【解析】：（1）由已知等式可得 a n+1n+1 = 12 • ann ，由等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2） ① 判断数列{a n }的单调性，计算a n+1-a n ，求得最大项和最小项，可得b n = n+12n−1 - n+22n + 12，再由数列的分组求和和裂项相消求和，计算可得所求和；② 由b m =a k ，结合数列{a n }的单调性，求得k=1，2，3，分别讨论k=1，k=2，k=3，求得m ，即可得到所求．【解答】：解：（1）证明：因为 2a n+1=(1+1n )a n =n+1na n ， 所以 a n+1n+1 = 12 • an n ，又 a 11 =1，所以数列 {a n n } 是首项为1，公比为 12 的等比数列，则 a n n=（ 12）n-1，即a n =n 2n−1；（2） ① a n+1-a n = n+12n - n2n−1 = 1−n2n ， n=1时，a n+1-a n =0，n≥2时，a n+1-a n ＜0， 所以a 1=a 2＞a 3＞a 4＞…＞a n ， 所以M n =a 1=1，m n =a n = n2n−1 ，所以b n = 1+n2n−12 = n 2n + 12 = n+12n−1 - n+22n + 12，所以S n = 220 - 321 + 321 - 422 +…+ n+12n−1 - n+22n + 12 n=2- n+22n + 12n ； ② b m =m 2m + 12 =a k = k2k−1 ，m ＞k ，m ，k∈N*， 显然a k ＞ 12 ，由 ① 可知a 1=a 2=1＞a 3= 34 ＞a 4= 12 ＞a 5＞…＞a n ，故k=1，2，3； k=1时， m2m + 12 =1，即 m2m−1 =1，即a m =1，则m=1，2，又m ＞k ，故m=2； k=2时， m2m + 12 =1，即 m2m−1 =1，即a m =1，则m=1，2，又m ＞k ，故m 无解； k=3时， m2m + 12 = 34 ，即 m2m−1 = 12 ，即a m = 12 ，则m=4． 综上可得，所有满足条件的实数对有（2，1），（4，3）．【点评】：本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和、新定义“中程数数列”的理解和运用，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 22.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的离心率为 √22 ，过原点O 的直线交该椭圆于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点E （4，0）．当直线AB 垂直于x 轴时， |AE |=2√5 ． （1）求a ，b 的值；（2）设直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ． ① 若OC || BE ，求△ABE 的面积；② 是否存在x 轴上的一定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设椭圆的焦距为2c ，依题可得关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到a ，b 的值；（2） ① 设A （x 0，y 0），y 0＞0，则B （-x 0，-y 0），由题意列式求得A ，B 的坐标，则三角形ABE 的面积可求；② 联立方程组求得C ，D 的坐标，分CD 与x 轴垂直与不垂直可得直线CD 恒过点T ．【解答】：解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则 {c a=√22b 2=a 2−c 2√b 2+16=2√5 ，解得 {a =2√2b =2；（2） ① 设A （x 0，y 0），y 0＞0，则B （-x 0，-y 0）， ∵O 为AB 的中点，OC || BE ，∴C 是AE 的中点，则C （ x 0+42 ， y02 ），可得 {x 02+2y 02=8(x 0+4)24+y 022=8y 0＞0，解得 {x 0=1y 0=√72，∴ S △ABE =12×4×2y 0=4y 0=2√14 ；② 由 {x 02+2y 02=8y =y 0x 0−4(x −4)x 2+2y 2=8，解得 {x =x 0y =y 0 或 {x =3x 0−8x 0−3y =(1−x 0)y 0(x 0−3)(x 0−4)， 则C （ 3x 0−8x 0−3，−y 0x0−3），同理，D （ 3x 0+8x 0+3 ， −y 0x 0+3 ）， 当 3x 0−8x 0−3=3x 0+8x 0+3，即x 0=0时，CD ：x= 83 ，与x 轴的交点为（ 83 ，0），若存在T 符合题意，则T （ 83，0）； 当x 0≠0时， k CT =−y 0x 0−33x 0−8x 0−3−83=−3y0x 0， k DT=−y 0x 0+33x 0+8x 0+3−83=−3y 0x 0， k CT =k DT ，故CD 过点T （ 83 ，0）．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】D 【解析】试题分析：A 中当0c 时不成立；B 中若0,1a b ==-不成立；C 中2,1a b =-=-不成立，所以D 正确 考点：不等式性质2.不等式()43x x -<的解集为（ ） A. {|1x x <或}3x > B. {0x x <或}4x > C. {}13x x << D. {}04x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化成2430x x -+>即可求解.【详解】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >. 故选：A【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.3.双曲线221916y x -=离心率为（ ）A.53B.54C.3D.4【答案】A 【解析】 【分析】由题：3,4,5a b c ===，即可求得离心率.【详解】在双曲线221916y x -=中，3,4,5a b c ===所以离心率53c e a ==. 故选：A【点睛】此题考查根据双曲线方程求离心率，关键在于准确辨析基本量,,a b c 的取值. 4.椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A. 22136100x y +=B. 22110036x y +=C. 221400336x y +=D. 2212012x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b ，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F 1（-8，0），F 2（8，0）， 可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a ，b ，c 的关系解得b=22a c -=6∴椭圆方程是22110036x y +=,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8C. 15D. 16【答案】C 【解析】 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为（ ） A.12B.13C.223【答案】B 【解析】 【分析】直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角，根据定义找出线面角即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1B BC //平面1A AD ，所以直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角， 连接11,A E A D ，CD ⊥与平面1A AD ，所以1EA D ∠就是直线1A E 与平面1A AD 所成角， 在1Rt EA D ∆中，11tan 22DE EA D A D ∠== 所以11sin 3EA D ∠=. 故选：B【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.7.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B 【解析】 用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．8.关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3443,,2332⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B. 3443,,2332⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 3443,,2332⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 3443,,2332⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围. 【详解】由题：()221ax x -<()2210ax x --<()()()()11110a x a x +---<恰有2个整数解，所以()()110a a +->，即1a >或1a <-，当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-，因为110,12a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2， 所以1231a <<-，22133a a -<≤-，解得：4332a ≤<；当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-，因为11,012a ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2--，所以1321a -≤<-+，()()21131a a -+<≤-+，解得：3423a -<≤-， 综上所述：4332a ≤<或3423a -<≤-. 故选：B【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.下列判断中正确的是（ ）A. 在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C. 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定：“0x ∀≤，都有210x x ++≥”D. 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 【答案】AB 【解析】 【分析】在ABC ∆中，A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒，所以A 选项正确；2320x x -+=的解为1x =或2x =，所以B 选项正确；C 选项中p 的否定应该是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项错误；D 选项中，若这个定点在这条定直线上，则动点的轨迹是一条直线，所以该选项错误. 【详解】A 选项：在ABC ∆中， “A ，B ，C 成等差数列”即2,3B AC B π=+=，等价于“60B =︒”，所以它们互为充要条件，该选项正确；B 选项：“2320x x -+=”即“1x =或2x =”，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，该选项正确；C 选项： 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项说法错误；D 选项：若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，当这个定点在定直线上时，该动点的轨迹是一条直线，所以该选项说法错误. 故选：AB【点睛】此题考查命题真假性的判断，涉及充分条件与必要条件和含有一个量词的命题的否定，关键在于准确判断其说法的正误.10.已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =-，()1,5,3c =--， 下列等式中正确的是（ ）A. ()a b c b c ⋅=⋅ B. ()()a b c a b c +⋅=⋅+C. ()2222a b ca b c ++=++ D. a b c a b c ++=--【答案】BCD 【解析】 【分析】根据坐标求出3030a b a c b c ⋅=⋅=⋅=-++=，根据向量的运算法则即可判定. 【详解】由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确； ()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n S a a =-（其中a 为常数），则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 一定是等比数列 B. 数列{}n a 可能是等差数列 C. 数列{}n S 可能是等比数列 D. 数列{}n S 可能是等差数列【答案】BD 【解析】 【分析】根据()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥分析出12n n a a -=，对常数a 分类讨论进行辨析.【详解】()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥，两式相减：122n n n a a a -=-，12n n a a -=，2n ≥若0a =，令()111,20n a a ==-，10a =，则0n a =，此时是等差数列，不是等比数列，若0a ≠，令()111,2n a a a ==-，12a a =，则12n n a a -=，2n ≥，此时不是等差数列， 所以数列{}n a 不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A 错B 正确；又()()122,2,n n n n S a a S S a n n N *-=-=--≥∈，得122n n S S a -=+，要使{}n S 为等比数列，必有若0a =，已求得此时令()111,20n a a ==-，10a =， 则0,0n n a S ==，此时{}n S 是一个所有项为0的常数列，所以{}n S 不可能为等比数列，所以C 错误D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查根据数列的前n 项和n S 和通项n a 的关系辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类讨论.12.已知方程22mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n R ∈，0p >），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】 【分析】将直线和曲线方程化简成m p y x n n =--，221x y n m+=，结合每个选项依次对参数的正负分析.【详解】由题：0mn ≠且,m n R ∈，0p >，方程22mx ny mn +=即221x y n m+=，0mx ny p ++=即m p y x n n =--，斜率m n -，y 轴截距p n-， A 选项根据椭圆，0n m >>，直线斜率10m n -<-<，y 轴截距0pn-<，可能； B 选项根据椭圆，0m n >>，直线斜率1m n -<-，但是y 轴截距0pn->不可能，所以B 选项不可能；C 选项根据双曲线，0,0n m ><，直线斜率0m n ->， y 轴截距0pn-<，可能； D 选项根据双曲线，0,0m n ><，直线斜率应该0mn->，与图中不一致，所以该选项不可能. 故选：AC【点睛】此题考查直线与曲线方程以及图象关系的辨析，根据图象逐一分析.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--，若//a b ，则实数t 的值为_______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--， //a b ， 所以存在λ使b a λ=，()()2,,61,4,3t λ--=，即2463t λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：28t λ=-⎧⎨=-⎩.故答案为：8-【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目.14.已知正实数x ，y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为_______．【答案】9 【解析】 【分析】对11x y+乘以4x y +，利用基本不等式求解. 【详解】由题：41,0,0x y x y +=>>，则()11114x x y y y x +=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 414x y xy=+++14≥+ 9=当且仅当4y xx y=时，取得等号， 即224y x =时，取得等号，此时2x y =，41x y += 即11,36x y ==时，取得最小值9. 故答案为：9【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，注意利用基本不等式解题口诀“一正二定三取等”，求得最值要考虑能否取等号.15.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为_______，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为_______．【答案】 (1). 280x y =-（或2180y x =-） (2). 510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】①设桥拱所在抛物线的方程22x py =-，经过()20,5-即可求解；②根据四个溢流孔轮廓线相同，从右往左设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-，根据曲线过点()20,5A -，先求抛物线方程，再求点B 的坐标. 【详解】①设桥拱所抛物线方程22x py =-，由图，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-；②四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-， 由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=， 所以()2236:75C x y -=-， 点B 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2236:75C x y -=-的交点坐标， 设(),,714B x y x <<由()22803675714x yx y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：1054x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点510,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：①280x y =-（或2180y x =-）；②510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解. 16.已知一族双曲线n E ：2221x y n n-=+（n *∈N ，且2020n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，由n A 向n E 的两条渐近线作垂线，垂足分别为n B ，n C ．记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】5052021【解析】 【分析】设出n A 的坐标，依次表示出,n n n n A B B C 的长度，求出n n n A B C ∆的面积，即可求解. 【详解】由题：双曲线渐近线方程为y x =±，即0,0x y x y +=-=，两条渐近线互相垂直， 设()00,n A x y 是双曲线上的点，则220021x y n n-=+ ()00,n A x y 到两条渐近线的距离分别为：n n n n B C A A ==，n n n n A B A C ⊥，所以n n n A B C ∆的面积为()22002111112244n n n n n B C a A A x y n n =⋅==-=⨯+， 即11141n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭所以12320201111111422320202021a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11142021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭5052021=故答案为：5052021【点睛】此题考查根据双曲线上点的坐标关系表示三角形面积，结合数列裂项相消求和，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解下列不等式： （1）24120x x --≤； （2）223x x +<-． 【答案】（1）{}|26x x -≤≤ （2）{|3x x <或}8x > 【解析】 【分析】（1）因式分解成()()620x x -+≤，即可求出解集； （2）不等式变形2203x x +-<-，整理得803x x ->-，等价于解()()830x x -->. 【详解】解：（1）由24120x x --≤，可知()()620x x -+≤， 解得26x -≤≤，所以不等式的解集为{}|26x x -≤≤.（2）由223x x +<-可知2203x x +-<-，整理得803x x -+<-，即803x x ->-， 不等式等价于()()830x x -->，解得3x <或8x >，所以不等式的解集为{|3x x <或}8x >.【点睛】此题考查解二次不等式，关键在于进行因式分解，分式不等式一定转化为与之同解的整式不等式.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且35141350,,,S S a a a +=成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}nnb a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）3nn T n =⋅【解析】【详解】试题分析：（1）由3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列求出等差数列{}n a 的两个基本量1a 及公差0d ≠从而得数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是一个等差数列与一个等比较数列之积，用错位相减法求其和． 解题时注意不要混淆公式． 试题解析：（1）依题得1121113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13{2a d ==，1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+ （2）1113,3(21)3n n n nn n n b b a n a ---==⋅=+⋅ 2135373(21)3n n T n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅②两式相减得：2312323232323(21)3n nn T n --=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅13(13)32(21)31323n nn n n --=+⋅-+⋅-=-⋅ 3n n T n ∴=⋅考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.数列的前项和公式；4.错位相消法19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为()8cm ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为()220000cm ，设该铝合金窗的宽和高分别()a cm ，()b cm ，铝合金的透光部分的面积为()2S cm（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ，b 表示S ；（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？【答案】（1）S 6420512243a b ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ （2）宽为4003cm ，高为150cm 【解析】 【分析】（1）根据题意设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ，则324h b +=，243b h -=，即可表示出透光面积； （2）根据基本不等式642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，等号成立的时刻即为所求.【详解】解：（1）铝合金窗的宽和高分别为()a cm ，()b cm ，0a >，0b >， 由已知20000ab =，①设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ， 则324h b +=，243b h -=，所以透光部分的面积()()()()22424241633b b S a a --=-+-6420512243a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >，0b >，所以642464003a b +≥==， 所以642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当64243a b =时等号成立，此时98b a =， 代入①式得4003a =，从而150b =，即当4003a =，150b =时，S 取得最大值.答：铝合金窗的宽度为4003cm ，高为150cm 时，可使透光部分的面积最大. 【点睛】此题考查函数模型的建立，根据函数关系利用基本不等式或勾型函数单调性求解最值.20.已知抛物线24x y =，过点()4,2P 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ．（1）求k 的取值范围；（2）若OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥，求k 的值．【答案】（1）2k >或2k <（2）12k =- 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680x kx k -+-=，解2420k k -+>即可；（2）结合韦达定理，计算0OM ON ⋅=的坐标表示即可. 【详解】解：（1）由题意，设直线l 方程为()24y k x -=-，联立方程组()2424x yy k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x 得241680x kx k -+-=，要使直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ，则()21641680k k ∆=-->，即2420k k -+>，解得2k >或2k <综上，k 的取值范围为2k >+2k <（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）可知1x ，2x 是241680x kx k -+-=的两个根， 则124x x k +=，12168x x k =-，法一：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()()12124242y y kx k kx k =-+⋅-+()()()2212124242k x x k k x x k =--++-()()()()22221684424242k k k k k k =---+-=-，所以有()2168420k k -+-=， 解得12k =或12k =-， 当12k =时，直线过原点，O ，M ，N 不能够构成三角形， 所以12k =-.法二：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()2221212124416x x x x y y =⋅=，所以()21212016x x x x +=， 因为120x x ≠，所以1216x x =-， 即16816k -=-，解得12k =-， 此时满足（1）中k 的取值范围，所以12k =-. 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求二面角A DF B --的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（32. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，连结AM ，EO ，通过证明OAME 为平行四边形得//AM EO ，或者建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；（3）根据向量的坐标表示，0PF BE ⋅=得()2210t λ--+=恒有解即可求出t 的范围.【详解】解：（1）法一：设ACBD O =，连结AM ，EO ，因为矩形ACEF 中M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点， 所以//EM AO ，EM AO =，所以OAME 为平行四边形， 故//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE ；法二：由题意，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， 因为平面ABCD平面ACEF CA =，EC AC ⊥，所以EC ⊥平面ABCD ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点，则()2,0,0D，()2,2,0A，()0,2,0B ，()0,0,E t ，()2,2,Ft ，22,,22M t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而22,,22AM t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,DE t =-，()2,2,0BD =-，()0,2,DF t =，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220x tz x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =，从而平面BDE 的一个法向量为21,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 计算可知2220AM n ⋅=--+=，又AM ⊄平面BDE ， 所以AM n ⊥，从而//AM 平面BDE .（2）若1t =，则()2,2,0BD =-，()0,2,1DF =，平面ADF 的一个法向量为()1,0,0p =，设平面BDF 的法向量为(),,q x y z =，则由00q DF q BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =-，从而平面BDF 的一个法向量为()1,1,2q =-， 设二面角A DF B --的平面角为θ， 因为θ为锐角，所以11cos cos ,122p q θ===⨯， 所以二面角A DF B --的大小为3π. （3）因为点P 在线段AC 上，而()2,2,0CA =，设CP CA λ=，其中[]0,1λ∈， 则()2,2,0CP λλ=，从而P 点坐标为()2,2,0λλ，于是()22,22,PF t λλ=--，而()0,2,BE t =-，则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2210t λ--+=， 所以()2212t λ=-≤，解得2t ≤，故t 的最大值为2.【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.22.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF S S S ∆∆∆==． ①求椭圆的离心率e ；②求直线1PF 的斜率．（2）若2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，且130F BO ∠≤︒，求直线1PF 的斜率的取值范围．【答案】（1）①13e =；②3k = ；（2k ≤<【解析】【分析】 （1）①根据122PF F PAF S S ∆∆=得122F F F A =，即2a c c -=，可得离心率；②设1PF 的直线方程，由121PF F PBF S S ∆∆=，得111122PF PF =即可求得斜率； （2）根据130F BO ∠≤︒得离心率的范围1152e <≤，根据2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，计算化简得6b k c a=-，平方处理成关于离心率e 的函数关系，利用函数单调性求范围. 【详解】解：（1）①因为122PF F PAF S S ∆∆=，所以122F F F A =，所以2a c c -=，即3a c =，所以13e =. ②设1PF 的直线方程为()y k x c =+，因为121PF F PBF S S ∆∆=，所以111122PF PF =， 所以2b kc kc -=，则2b kc kc -=±，因为P 在第一象限，所以0b k c <<， 所以3b kc =，因3a c =，所以b =，所以3k =. （2）设12PF F S t ∆=，则22PAF a c S t c ∆-=，因为P 在第一象限，所以b k c<，1122PBF PF F S b kc S kc ∆∆-==，所以12PBF b kc S t kc∆-=⋅， 因2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，所以222a c b kc t t t c kc--=+⋅， 所以4kc ak ck b kc =-+-，所以()6k c a b -=，所以6b k c a=-， 所以6b b c a c <-，所以115e <<，又由已知130F BO ∠≤︒，所以11sin 2F BO ∠≤， 因为1sin F BO e ∠=，所以1152e <≤， 因为2222222236123612b a c k c ac a c ac a-==-+-+()2222113612161e e e e e --==-+-， 令61m e =-，所以16m e +=， 22221113526136m k m m m +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭235111363535m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为1152e <≤，所以125m <≤， 所以1152m ≤<，所以232416k ≤<， 因为P 为椭圆上在第一象限内一点，所以0k >，所以4k ≤<【点睛】此题考查根据椭圆基本量的关系求离心率和直线斜率，根据直线与椭圆形成三角形面积关系，求解斜率范围，涉及函数与方程思想，转化与化归思想.。
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数学试卷
2015-2016 学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分，将答案填在答题纸上）
1. 若直线经过两点1,2 ，3,4 ，则的倾斜角为．
2. 抛物线 y 1
x2的焦点到其准线的距离为．2
3. 已知两条直线 l1 : 4x 3y 3 0 ，l2: 8x 6 y 9 0 ，则l1与l2的距离是．
4. 函数 y sin x 的图象在点,0 处的切线方程为．
5. 一质点的运动方程为S t 2 10 （位移单位： m ；时间单位：s），则该质点在t 3 时的瞬时速度为
m / s ．
6. 若函数 f x x33x2 a 在区间1,1 上的最大值是 2 ，则实数a的值
为．
7. 将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为 2 的半圆，则原来圆锥的高
为．
8. 设 C 是等腰三角形， C 120 ，则以，为焦点且过点 C 的双曲线的离心
率是．
9.关于异面直线 a， b ，有下列四个命题：
①过直线 a 有且只有一个平面，使得b//；②过直线a有且只有一个平面，使得b；
③在空间存在平面，使得 a//，b//；④在空间不存在平面，使得a，b．其中，正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都填上）．
10. 在平面直角坐标系x y 中，已知点0,2 ，直线 l : x y 4 0 ．点x, y 是圆C: x2y22x 1 0 上的动点， D l ，l ，垂足分别为 D ，，则线段D的最大值是．
11. 已知三棱锥S C 的各个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心在上，S
底面 C ，C2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是．
12. 如图，在平面直角坐标系x y 中，F1，F2
x2 y 2
1（ a b 0 ）的左、分别是椭圆
b2
a2
右焦点，， C 分别为椭圆的上、下顶点，直线F2与椭圆的另一个交点为 D ，若
tan F1 3
，则直线 CD 的斜率为．4
13.如图，一根长为 2 米的竹竿斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹
竿的下端点从距离墙角点米的地方移动到 3 米的地方，则的中点D经过的路程
为米．
14. 已知函数x ln
f x a x a （0 a 1 ），若对于任意x 1,1 ，不等式 f x e 1
（其中 e 是自然对数的底）恒成立，则实数 a 的取值范围是．
二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤 .）
15.（本题满分 14 分）
已知 C 的顶点5,1 ，边上的中线 C 所在直线的方程为 2x y 5 0，边 C 上的高所在直线的方程为 x 2 y 5 0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线 C 的方程．
16.（本题满分 14 分）
如图，在三棱锥 C 中，D，，F分别是棱C， C ，的中点．已知 C ，6， C 8，DF 5．
（1）求证：直线
//平面D
F ；
（2）求证：平面
D
平面
C ．
17. （本题满分 14 分）
某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额 s （万元）与
改造投入资金
x （万元）之间满足：
s 51 x 2 1 x 3
x
xln ax （ 1 x 60 ）．当
50 100
x 10 时， s 102 ．景点新增毛收入 f x （万元）为门票新增额扣除改造投入资金．
（1）求 y f
x 的解析式；
f x
x （万元）的大小，使得
（2）若将
定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金
x
ln 5
改造资金的收益率最高，并求出最高收益率． （参考数据：
）
1.61
18. （本小题满分 16 分）
如图，圆
: x 2 y 2 8 内有一点
1,2 ，
是过点
且倾斜角为 135 的弦．
（1）求弦
的长；
（2）若圆 C 与圆
内切且与弦 相切于点
，求圆 C 的方程．
19. （本小题满分 16 分） 已知
2,0 ， 2,0 是椭圆 C 的左、右顶点， F 是其右焦点，
是椭圆 C 上异于
，
的动点，且
面积的最大值为 2 3 ．
（1）求椭圆 C 的方程及离心率；
（2）直线
与过点
关于 x 轴的垂直交于点 D ，当直线
绕点 转动时，试判断以
D
为直径的圆与直线
F 的位置关系，并加以证明．
20.（本小题满分 16 分）
已知函数 f x ln x a
， g x f x ax 6ln x ，其中 a R 为常数．x
（1）当a 1 时，试判断 f x 的单调性；
（2）若g x 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；
（3）设函数h x x2 mx 4 ，当 a 2 时，若存在 x1 0,1 ，对任意的 x2 1,2 ，总有 g x1 h x2 成立，求实数m 的取值范围．
苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试
高二数学（附加题）
21.（本小题满分 10 分）
求函数
1 x 的最小值．
f x ln
2x 1
22.（本小题满分 10 分）
求与圆 C : x2y24x 0 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
23.（本小题满分 10 分）
如图，四棱锥CD 的底面为正方形，侧棱底面CD ，且 D 2 ，，F ，分别是线段， D ，的中点．
（1）求直线与平面 F 所成角的大小；
（2）求二面角 F 的大小．
24.（本小题满分 10 分）
已知抛物线y ax2（ a 0）的准线方程为y1．
（1）求抛物线的方程；
（2）设F是抛物线的焦点，直线l :y kx b（k0 ）与抛物线相交于，两点，记 F ，
F 的斜率之和为m ．求常数 m ，使得对于任意的实数k （ k0 ），直线恒过定点，并求
出该定点的坐标．
苏州市 2015-2016 学年第一学期期末考试
高二数学答案
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