数学：2.3《函数的单调性》课件(北师大版必修1)

∵0≤x1<x2，∴x 1－x2<0， x1＋ x2>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x 1)<f(x2). 由定义，知 f(x)＝ x在［0，＋∞)上为增函数.
根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行： (1)取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形.即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方 法，使其转化为易于判断正负的式子； (3)定号.即确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)判断.即根据定义得出结论.其中第二步是关键，在变形中一般尽量化
【思路点拨】 观察图象可知，函数y＝f(x)在区间［－5,5)上不具有单调 性，但在区间［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)上具有单调性. 【解析】 函数y＝f(x)的单调区间有［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］， ［3,5)， 其中y＝f(x)在区间［－5，－2］，［1,3］上是减函数，在区间［－2,1］，
＝a(x2－x1)＞0，∴f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数.
【答案】 A
2.已知函数y＝f(x)定义在［－2,1］上，且有f(－1)＞f(0)，则下列判断正确 的是 ( )
A.f(x)必为［－2,1］上的单调增函数 B.f(x)必为［－2,1］上的单调减函数
C.f(x)不是［－2,1］上的单调减函数
D.f(x)不是［－2,1］上的单调增函数 【解析】 不能根据某两个点处的函数值的大小确定函数的单调性.
，
∵x1<x2<0， ∴x1－x2<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 故 f ( x)
1 1 在区间(－∞，0)上是单调增函数. x
求函数的单调区间
如图所示的是定义在半开半闭区间［－5,5)上的函数y＝f(x)的图 象，根据图象写出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是 增函数还是减函数.
1.解读函数单调性的定义 (1)定义中的关键词： ①“定义域I内某个区间D”，即函数的单调区间是其定义域的子集.单调 性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同区间可以有不同的单调性；
②“对于„”，“任意„”，“都有„”，“对于”即两个自变量x1，x2
，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要x1 ＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2).
1
.
已知 f(x)是定义在［－1,1］上的增函数，且 f(x－2)＜f(1－x)，求 x 的 取值范围. 【错解】 3 解得 x＜ . 2 又－1＜x＜1， 3 故所求 x 的范围为(－∞， )∩(－1,1)＝(－1,1). 2 ∵f(x)是定义在［－1,1］上的增函数且 f(x－2)＜f(1－x)， 所以 x－2＜1－x，
x (2)由(1)可知 f(x)＝ 在区间［2,5］上是递减的， x－1 故任意的 x∈［2,5］均有 f(5)≤f(x)≤f(2)， 2 ∴f(x) max＝f(2)＝ ＝2. 2－1 5 5 f(x) min＝f(5)＝ ＝ . 5－1 4
(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方 法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法. (2)函数的最值与单调性的关系
1 如函数y＝ ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能笼统地说，函 x
有f(－1)>f(1)，而事实上f(－1)<f(1).
(3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集.
2.求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝－x2＋3x－2；
(2)f(x)＝3|x|.
【解析】 3 1 (1)f(x)＝－(x－ )2＋ . 2 4
解得 1≤x≤2 且 f(x－2)＜f(1－x)，
又 f(x)在［－1,1］上是增函数， 3 ∴x－2＜1－x，即 x＜ 2
②
3 由①、②可知，所求自变量 x 的取值范围为{x|1≤x＜ }. 2
1.函数y＝－x2的单调增区间为 ( A.(－∞，0］ B.［0，＋∞)
)
C.(0，＋∞) D.(－∞，＋∞)
①若函数在闭区间［a，b］上是减函数，则f(x)在［a，b］上的最大值为
f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间［a，b］上是增函数，则f(x)在［a，b］上的最大值为 f(b)，最小值为f(a).
x2－2x＋2 1 3.已知函数 f(x)＝ ，x∈(0， ］ x 4 1 (1)判断该函数在区间(0， ］上的单调性，并给予证明. 4 1 (2)求该函数在区间(0， ］上的最小值. 4
1 2 【解析】 (1)任取 x1，x 2∈(0， ］且 x1＜x2，则 f(x 1)－f(x 2)＝(x1＋ 4 x1 2 －2)－(x2＋ －2) x2 (x1－x2)(x 1x 2－2) ＝ x1x2 1 ∵0＜x1＜x2≤ ，∴x1－x 2＜0 且 x 1x2－2＜0， 4 1 ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x 1)＞f(x 2)，∴函数 f(x)在(0， ］上是减函数. 4 1 (2)由(1)知 f(x)在(0， ］上是减函数， 4 1 1 故任意的 x∈(0， ］均有 f(x)≥f( )， 4 4 1 25 25 ∴f(x) min＝f( )＝ ，即 f(x)的最小值为 . 4 4 4
么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A
2.单调区间、单调性及单调函数 (1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是 增加的 或是 称 减少的 ，那么
A 为单调区间.在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图象是 . 下降的 或是 增加的
；如果函数是减少的，那么它的图象是 上升的 减少的 ，那么就称函数y＝f(x)在这个
(2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是 子集 上具有单调性.
(3)单调函数：如果函数y＝f(x)在 整个定义域 内是增加的或是减少的，
那么分别称这个函数为 增函数 或 减函数 ，统称为单调函数.
能否将增函数(减函数)定义中的“任意两个值x1，x2”，改为“存在两个 值x1，x2”？ 【提示】 不能.如图所示，
【答案】 D
3.如图所示，函数y＝f(x)的单调递增区间有 有 .
，递减区间
【解析】 结合图象可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，－2］，［0,1］上是 减函数，在［－2,0］及［1，＋∞)上是增函数. 【答案】 ［－2,0］，［1，＋∞) (－∞，－2］，［0,1］
4.用增函数定义证明f(x)＝ax＋b(a＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数. 【证明】 设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x2)－f(x1)＝ax2＋b－(ax1＋b)＝ax2－ax1＝a(x2－x1). ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，又a＞0，∴f(x2)－f(x1)
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上 升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而 增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的.
2.判定函数单调性的常见方法 (1)定义法.这是证明或判定函数单调性的常用方法. (2)图象法. 根据函数图象的升、降情况进行判断. (3)直接法. 运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比 例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论： ①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反. ②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝ f ( x ) 与y＝f(x)的单调性相反. ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等
［3,5)上是增函数.
(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要注 意函数的定义域. (2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连 接它们.
数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0， ＋∞)上递减.因为若在(－∞，0)∪(0，＋∞)[JP4]上递减，对－1<1，则
证明：任意取 x1，x2∈［2,5］且 x1＜x 2， x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ . x1－1 x2－1 f(x2)－f(x1)＝ x1－x2 x2 x1 － ＝ . x2－1 x1－1 (x2－1)(x1－1)
∵2≤x1＜x2≤5. ∴x1－x2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x 2)＜f(x 1). x ∴f(x)＝ 在区间［2,5］上是减函数. x－1
虽然f(-1)＜f(2)，但f(x)在［-1,2］上并不递增.
函数单调性的判定或证明
证明函数 f(x)＝ x在［0，＋∞)上是增函数.
【思路点拨】
解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明.
【解析】 设 x1，x2∈［0，＋∞)，且 x1<x 2. 则 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2＝ x1－x2 . x1＋ x2
函数单调性的应用
已知函数 f ( x )
x ，x∈［2,5］. x 1
(1)判断该函数在区间［2,5］上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间［2,5］上的最大值与最小值. 【思路点拨】 解答本题可先利用定义证明f(x)的单调性，在此基础上 利用单调性解答最值.
【解析】
x (1)f(x)＝ 在区间［2,5］上是减函数. x－1
§3 函数的单调性
1.初中学习过一次函数、二次函数.还记得函数f(x)＝x的图象特征吗？自左 向右，图象是 象是 ，即函数值随着x的增大而 .函数f(x)＝x2的图 ，即函数值随x的
，而且其图象在区间(－∞，0］内是
增大而
而 .