房山数学08—09 一模
2008届北京市房山区初三数学二模试卷
房山区二摸2008年中考模拟练习(二) 1．15-的绝对值是 A ．15B ．15-C ．5-D ．52、点P （-2，1） 关于原点对称的点的坐标是A 、（2，1）B 、（－2，1）C 、（2，-1）D 、（-2，-1） 3.下列运算中,正确的是A 、2x+5x=10xB 、(ab 2) 3=a 3b 6 C 、2m(m+1) =2m 2 +1 D 、42=±4．现有2008年奥运会福娃卡片20X ，其中贝贝6X ，京京5X ，欢欢4X ，迎迎3X ，妮妮2X ，每X 卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一X ，抽到欢欢的概率是 A 、 320B 、310 C 、 14D 、155. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是6、如果圆锥的底面半径为3cm ，展开之后所得扇形的半径为4cm ，那么它的侧面积等于 A ． 12πcm 2B ．6πcm 2 C ．12cm 2D ．24πcm 27、如图，在ABCD 中，AC 为对角线，AE BC ⊥于E ，CF AD ⊥于F,则图中全等三角形共有A 、 1对B 、2对C 、 3对D 、4对8、如图，正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．设小正方形EFGH 的面积为y ，AE 为x ，则y 关于x 的函数图象大致是二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）FEBACDO CBA9. 函数y=2-x x 中，自变量x 的取值X 围是．10、下表是某中学九年级（2）班环保小组的7名同学在回收废电池的活动中的统计结果请根据以上数据，回答下列问题：7名学生回收废电池的个数的平均数是；众数是．11．如图，∠ACB ＝60，半径为2的⊙0切BC 于点C ， 若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为 . 12. 如图1是一种边长为60cm 的正方形地砖图案，其图案 设计是：①三等分AD （AB=BC=CD ）②以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交AD 于B 、交AG 于E ；③再分别以B 、E 为 圆心，AB 长为半径画弧，交AD 于C 、交AG 于F 两弧交于H ； ④用同样的方法作出右上角的三段弧．图2是用图1所示的四 块地砖铺在一起拼成的大地砖，则图2中的阴影部分的面积是 ______________cm 2（结果保留π）． 三、解答题（共5个小题，共25分）13．（本小题满分5分）计算:22723tan 30-+-+013π⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（本小题满分5分）解分式方程：1121xx x =--+.15．（本小题满分5分）求不等式22123x x +->的正整数解．16．（本小题满分5分）已知2x －3=0，求代数式2(17)(21)(9)x x x x x +++-+的值．17．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，每人回收废电池的个数 12 13 15 15 10 8 11AMNECE ⊥AN ，垂足为点E .（1）求证：四边形ADCE 为矩形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．四、解答题（共2个小题，共10分）18．（本小题满分5分） 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=5，tanB=43，∠ACB=450， AD=2，求DC 的长.19．（本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，CD 交AB 的延长线于D ，∠DCB ＝∠CAB ．(1) 求证：CD 为⊙O 的切线．(2) 若CD ＝4，BD ＝2，求⊙O 的半径长.五、解答题（本题满分6分）20．(1)和图(2)是他通过采集数据后,绘制的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息,解答以下问题: (1)求该班共有多少名学生? (2)在图（1）中,将表示“步行”的部分补充完整.(3)在扇形统计图中，计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数. (4)如果全年级共500名同学,请你估算全年级步行上学的学生人数.CDAB六、解答题（共2个小题，共9分）21．（本小题满分5分）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系．（1）求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】22．（本小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y ax b a =+≠的图象l 与3y x =-+的图象关于y 轴对称，直线l 又与反比例函数ky x=交于点(1)A ，m ，求m 及k 的值．七、解答题（本题满分7分）23．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA≠PC ，则点P 为四边形ABCD 的准等距点． (1)如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点． (2)如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点 (尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．(3)如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，PA≠PC ，延长BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE ，CE=CF ．求证：点P 是四边形ABCD 的准等距点．yxOAB八、解答题（本题满分7分）24．如图1中的△ABC 是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合条件的矩形可以画出两个，如图2所示．（1）设图2中的矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1和S 2，则S 1S 2（填“＞”，“=”或“＜)”；（2）如图3中的△ABC 是锐角三角形，且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，并在图3中把符合要求的矩形画出来．（3）在图3中所画出的矩形中，它们的面积之间具有怎样的关系？并说明你的理由；（4）猜想图3中所画的矩形的周长之间的大小关系，不必证明．九、解答题（本题满分8分）25．如图，在直角坐标系中，O 为原点．点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，tan ∠OAB=2．二次函数22y x mx =++的图象经过点A 、B ，顶点为D ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转900后，点B 落到点C 的位A C BEF图2CB图1ABC图3置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1，顶点为D1．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．房山区2008年中考模拟练习(二)一、选择题：二、填空题：9、x﹥2 10、12，15 11、12、π4001600+13223tan30--+13π⎛⎫-⎪⎝⎭13143-⨯+54=14、（本题5分）解分式方程：1121xx x=--+1(2)(2)(1)x x x x x+=---+22122x x x x x+=--++21x=12x=经检验，x =12是原方程的根∴原方程的根为x =12．15、（本题5分）解不等式22123x x+->得x<8∴所求不等式的正整数解为: 1，2，3，4，5，6，7 16、（本题5分）解：原式222172189x x x x x x=++-+-+249x=-(23)(23)x x=+-当2x-3=0时,原式=0.17、（本题5分）（1）证明：在△A BC中，AB=AC，AD⊥BC．∴∠BAD=∠DA C．∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴MAE CAE∠=∠．∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=⨯21180°=90°．又∵AD⊥BC，CE ⊥AN，∴ADC CEA∠=∠=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）说明：给出正确条件得1分，证明正确得1分．例如，当AD=12BC时，四边形ADCE是正方形证明：∵AB=AC，AD⊥BC于D．∴DC=12BC．又AD=12BC，∴DC=AD ．由（1）四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．四、解答题（本题共10分）：18、（本题5分）B过点A作AE⊥BC于E，AF∥DC,交BC于F.在Rt△AEB中，∠AEB=90°, tanB=AEBEtanB=43∴AEBE=43设AE=4x, 则BE=3x222AE BE AB+=∴222(4)(3)5x x+=∴x=1∴AE=4,BE=3在Rt △AEC 中, ∠AEC=90°,∠ACE=45°∴∠CAE=45°∴AE=EC=4AF ∥DC ,AD ∥BC∴四边形ADCF 为平行四边形∴AF=CD,CF=AD AD=2∴CF=2∴EF=CE-CF=4-2=2在Rt △AEF 中, ∠AEF=90°,由勾股定理得AF=25∴DC=25.19、（本题5分）证明：（1）∵∠DCB ＝∠CAB, ∠CAB ＝∠ACO,∴∠DCB ＝∠ACO,∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°即∠ACO+∠OCB=90°∴∠DCB+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∴CD 为⊙O 的切线（2）设⊙O 的半径为R,则OD=R+2∵CD ＝4，BD ＝2，∠OCD=90°由勾股定理得R 2+42=（R+2）2解得：R=3 ∴⊙O 的半径长为3.五、解答题（本题6分）：20、（1）全班有40名学生．（2）如图, 步行的同学有8人 （3）3600×30%=1080（4）500×20%=100（人） 六、解答题（本题共9分）：21、（本题5分）22、（4分）依题意,得 一次函数(0)y ax b a =+≠的解析式为3y x =+,因为 点(1)A ，m 在一次函数3y x =+的图象上, 所以m= 4.所以 A(1,4),因为点A(1,4)在反比例函数ky x=的图象上,所以 k= 4.七、解答题（本题7分）：23、 (1)如图2，点P 即为所画点．(答案不唯一．画图正确，无文字说明不扣分；点P 画在AC 中点不给分) (2)如图3，点P 即为所作点．(答案不唯一．作图正确，无文字说明不扣分；无痕迹或痕迹不清晰的酌情扣分)(3)连结DB ，在△DCF 与△BCE 中，∠DCF=∠BCE ， ∠CDF=∠CBE ， CF=CE. ∴△DCF ≌△BCE(AAS)， ∴CD=CB ， ∴∠CDB=∠CBD. ∴∠PDB=∠PBD ， ∴PD=PB ， ∵PA≠PC ∴点P 是四边形ABCD 的准等距点．八、解答题（本题7分）：24、解：（1）=；（2）3，符合要求的矩形如图4所示．（3）图4中画出的矩形BCED 、矩形ABFG 和矩形AHIC 的面积相等．理由：这三个矩形的面积都等于△ABC 面积的2倍．（4）以AB 为边的矩形的周长最短，以BC 为边的矩形的周长最长． 九、解答题（本题8分）：25、（1）由题意，点B 的坐标为()02，， 2OB ∴=，tan 2OAB =∠，即2OBOA=．1OA ∴=．∴点A 的坐标为()10，．又二次函数22y x mx =++的图象过点A ，2012m ∴=++． 解得3m =-， ∴所求二次函数的解析式为232y x x =-+．（2）由题意，可得点C 的坐标为()31，， 所求二次函数解析式为231y x x =-+（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴直线32x=不变，且111BB DD ==．点P 在平移后所得二次函数图象上，设点P 的坐标为()231x x x -+，．在1PBB △和1PDD △中，112PBB PDD S S =△△，∴边1BB 上的高是边1DD 上的高的2倍．当点P 在对称轴的右侧时，322xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得3x =，∴点P 的坐标为()31，；②当点P 在对称轴的左侧，同时在y 轴的右侧时，322x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1x =，∴点P 的坐标为()11-，； ③当点P 在y 轴的左侧时，0x <，又322xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得30x =>（舍去），∴所求点P 的坐标为()31，或()11-，．。
北京市房山区2024届高三上学期入学统练数学试题(含解析)
北京市房山区2024届高三上学期入学统练数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、填空题
三、双空题
五、解答题
17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的单调递增区间．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：(0)2f =-.
参考答案：
【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力10．B
【分析】取11B C 的中点E ，证明平面//AMN 平面1A EF 【详解】取11B C 的中点E ，
∵点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111//,AA BB AA BB ∴=，1//BB EM 11//,AA EM AA EM ∴=，∴四边形1//A E AM ∴，而在平面11B BCC 中，易证A E ⊄
（II ）解：如图，建立空间直角坐标系，
则C 1（0，0，0），B （0，3，2），
C （0，3，0），A （2，3，0）
D （1，3， (
)10,3,2C B = ，()11,3,0C D = ， 设()111,,n x y z = 是面BDC 1的一个法向量，则
4
【点睛】解答圆锥曲线的定点问题的常用策略：
（1）参数法：参数法解决定点问题的关键思路在于以下两个环节①引进动点的坐标或动直线中的参数（如引入动直线的斜率
标t等等）表示变化量，即确定题目中核心参数；
②利用条件找到参数与过定点的曲线
再研究曲线不受参数影响时的定点坐标。
初一数学 找规律 分类讨论思想
找规律经典模型及例题汇总一、a n n a 与例题：（10西城二模）一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）。
∴第6个整数是67326=+，第n 个整数是32+n （n 为正整数）． 练习：1、（10怀柔二模）按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．答案：1125，122+n n2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________． 答案：12)1(1+-+n n例题：（10通州一模）某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .解：第8年的老芽数是21a ，新芽数是13a ，总芽数是34a ，则比值为3421． 练习：1、（08石景山一模）小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8……，则这列数的第8个数是 ． 答案:212、(09房山二模)填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.5675320531108975答案：7,9,11,176二、（n )1(-与1)1(+-n ）例题：（09通州二模）12. 观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，－6，3，－23，15，－32，……那么第10个数据是 ；第n 个数据是 .∴第10个数据是33 ，第n 个数据是33)1(1--+n n ． 练习：1、（10房山一模）一组按规律排列的式子：2581114916,,,,...(0)a a a a a --≠，其中第8个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．答案：2364a-，1321)1(-+-n n a n2、（10门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）,则第n 个式子是 （n 为正整数）答案：na n n13)1(--3、（09崇文一模）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第n 个数是 （n 为正整数）．答案：8，)1(2)1(11+-++n n例题：（08通州二模）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是 ． ∴第10行倒数第三个数是3601901721=-． 练习：1、（08大兴一模）自然数按一定规律排成下表，那么第200行的第5个数是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… … … … …. …. ….. ………. 答案：199052、如图的数字方阵中，方框所缺的数，按照适宜的规律填上（ ） A 、100 B 、128 C 、129 D 、130 答案：C例题：（11平谷二模）如图，将连续的正整数1,2,3,4……依次标在下列三角形中，那么2011这个数在第 个三角形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）．∴2011这个数在第671个三角形的上顶点处． 故答案为：671，上．练习：1、（08崇文一模）观察下列等式：1312-=，2318-=，33126-=，43180-=，531242-=，…….通过观察，用你所发现的规律确定200831-的个位数字是 . 答案：32、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（用含n 的代数式表示）. 答案：B ，603，6n+3例题：（09平谷一模）已知：,434434,323323,212212+=⨯+=⨯+=⨯……若ba ×10=b a+10（a 、b 都是正整数），则a+b 的最小值是 ．∴a+b 的最小值是19 练习：１.（10密云一模）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ） A ．第10个数 B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数答案：A例题1：（10昌平一模）观察下列图案：第1个图案第2个图案第3个图案照这样它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有个三角形，第n （1n ，且n 为整数）个图案中三角形的个数为 （用含有n 的式子表示）． 解答：解：第5个图案中，有6+4×4=22（个）三角形；第n 个图案中，有6+4（n-1）=4n+2（个）三角形．例题2.（10西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n Dn的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A nB nC nD n 能覆盖的单位格点正方形的个数为（用含有n 的式子表示）. 答案为：4n 2-4n ．练习：．1、（10大兴一模）如图4所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是x第1个第2个第3个…答案：)2(+n n2、（08顺义二模）如图，图①，图②，图③，图④……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是 ．答案：5n+23、（08丰台二模）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：请问第n 个图案中有白色纸片的张数为A ．43n +B ．31n +C ．nD ．22n + 答案：B4、（10丰台一模）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形(图4)…图①图②图③图④答案：80个.例题：（10海淀一模）如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322BDC 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．S 2=S △B3C2A -S △AC2D2=21×4×3 - 21×4×332 即第n 个图形的面积S n =13+n n． 练习：1、（11丰台二模）已知：如图，在Rt ABC △中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥ 于点E 1，联结1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，联结2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点45、D D 、…、n D ，分别记112233△、△、△、BD E BD E BD E …、n n BD E △的面积为123、、、S S S …n S ．设△ABC 的面积是1, 则S 1= ，n S = （用含n 的代数式表示）. 答案：S 1=41,S n = 2)1(1+n S △ABC ．A2、（10平谷一模）如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．则第一个黑色梯形的面积=1S ；观察图中的规律，第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．答案：4, 8n-43、（10延庆二模）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥答案：1)41(2,32---n ππ4、（10门头沟一模）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________（n 为正整数）.1P2P3P......B 1B 2A 1A OB答案:2n-25.（11延庆二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为)0,1(，点D 的坐标为)2,0(． 延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形C C B A 111； 延长11B C 交x 轴于点2A ，作正方形1222C C B A … 按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________； 第n 个正方形的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．答案：5×（23）4，5×（23）2n-2．例题：（10丰台二模）如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．联结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；联结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°，……．按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．第1个菱形 第2个菱形 第3个菱形 …… 第n 个菱形边长 1 3 33()13-n练习：1、09西城二模）如图，在平面直角坐标系中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6)，B 4(0，10)，…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第一个正方（形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第一个正方形A 3B 3C 3B 4，…，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），那么A 1的纵坐标为，用n 表示C 1D 1C 2DC ABD C 2A n 的纵坐标答案：2，()212+n .2、（09延庆二模）如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=；依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是答案：123-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n3、（08昌平一模）如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边 长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中：第一个正方形CM 1P 1N 1的顶点分别放在Rt ABC △的各边上；第二个正方形M 1M 2P 2N 2的顶点分别放在11Rt APM △的各边上,……, 其他正方形依次放入。
2024北京高三一模数学题目(含答案)利用导数研究函数的性质
一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。
北京市房山区九级2024年数学九上开学统考模拟试题【含答案】
北京市房山区九级2024年数学九上开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为()A ．x(x－1)＝90B ．x(x－1)＝2×90C ．x(x－1)＝90÷2D ．x(x＋1)＝902、（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击10次，四人的平均成绩均是9.4环，方差分别是0.43，1.13，0.90，1.68，则在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3、（4分）“古诗•送郎从军：送郎一路雨飞池，十里江亭折柳枝；离人远影疾行去，归来梦醒度相思．”中，如果用纵轴y 表示从军者与送别者行进中离原地的距离，用横轴x 表示送别进行的时间，从军者的图象为O→A→B→C，送别者的图象为O→A→B→D，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）一个多边形的每一个内角都是108 ，这个多边形是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形5、（4分）某市招聘老师的笔试和面试的成绩均按百分制计，并且分别按40%和60%来计算综合成绩．王老师本次招聘考试的笔试成绩为90分，面试成绩为85分，经计算他的综合成绩是（）A ．85分B ．87分C ．87.5分D ．90分6、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果∠A+∠C ＝100°，则∠B 的度数是（）A ．130°B ．80°C ．100°D ．50°7、（4分）点()0,3P 向右平移m 个单位后落在直线21y x =-上，则m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58、（4分）一组数据5，8，8，12，12，12，44的众数是（）A ．5B ．8C ．12D ．44二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一次函数y=kx+b 的图象交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：_____．10、（4分）若分式67x --的值为正数，则x 的取值范围_____．11、（4分）如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝8cm ，AD ＝10cm ，点P 在边BC 上从B 向C 运动，点Q 在边DA 上从D 向A 运动，如果P ，Q 运动的速度都为每秒1cm ，那么当运动时间t ＝_____秒时，四边形ABPQ 是直角梯形．12、（4分）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是．13、（4分）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60°，且M 为BC 的中点，P 是对角线BD 上的一动点，则PM +PC 的最小值为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y ＝1k x ＋b （1k ≠0）的图象与反比例函数2y 2k x 的图象交于A(1，4)，B(2，m)两点．(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB 的面积；(3)当x 的取值范围是时，2k x ＋b>2k x （直接将结果填在横线上）15、（8分）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球其40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）摸到黑球的频率会接近（精确到0.1）；（2）估计袋中黑球的个数为只：（3）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了个黑球．16、（8分）甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A 地到相距80千米的B 地，行驶过程中的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题：（1）谁先出发早多长时间谁先到达B 地早多长时间？（2）两人在途中的速度分别是多少？（3）分别求出表示甲、乙在行驶过程中的路程与时间之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．17、（10分）已知：如图，直线y ＝﹣x +6与坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 是线段AB 上的一个动点，连接OC ，以OC 为边在它的左侧作正方形OCDE 连接BE 、CE ．（1）当点C 横坐标为4时，求点E 的坐标；（2）若点C 横坐标为t ，△BCE 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数解析式；（3）当点C 在线段AB 上运动时，点E 相应随之运动，请求出点E 所在的函数解析式．18、（10分）某商场购进A 、B 两种服装共100件，已知购进这100件服装的费用不得超过7500元，且其中A 种服装不少于65件，它们的进价和售价如表．服装进价（元/件）售价（元/件）A 80120B 6090其中购进A 种服装为x 件，如果购进的A 、B 两种服装全部销售完，根据表中信息，解答下列问题．（1）求获取总利润y 元与购进A 种服装x 件的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）该商场对A 种服装以每件优惠a （0＜a ＜20）元的售价进行优惠促销活动，B 种服装售价不变，那么该商场应如何调整A 、B 服装的进货量，才能使总利润y 最大？B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知a+b＝0目a≠0，则20202019a ba+＝_____．20、（4分）如果顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的新四边形EFGH是菱形，则AC 与BD的数量关系是___．21、（4分）分解因式：2a3﹣8a=________．22、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是________．23、（4分）如图，已知ABC∆中，10AB=，8AC=，6BC=，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则=CD___二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：(画出图形，把截去的部分打上阴影)①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180．()2将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520，求原多边形的边数．25、（10分）计算(2﹣1)﹣(1﹣226、（12分）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，-2）及点B（0，4）．(1)求此一次函数的解析式;(2)当y=-5时求x的值;(3)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】如果设数学兴趣小组人数为x 人，每名学生送了（x ﹣1）张，共有x 人，则一共送了x （x ﹣1）张，再根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x （x ﹣1）＝1．【详解】设数学兴趣小组人数为x 人，每名学生送了（x ﹣1）张，共有x 人，根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x （x ﹣1）＝1．故选A ．本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意，找准数量关系，列出方程．2、A 【解析】比较方差的大小，即可判定方差最小的较为稳定，即成绩最稳的是甲同学.【详解】∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是0.43，1.13，0.90，1.68，∴2222S S S S 甲乙丁丙＜＜＜，∴成绩最稳定的同学是甲．故选A ．此题主要考查利用方差，判定稳定性，熟练掌握，即可解题.3、C【解析】由题意得送郎一路雨飞池，说明十从军者和送别者的函数图象在一开始的时候一样，再根据十里江亭折柳枝，说明从军者与送者离原地的距离不变，最后根据离人远影疾行去，说明从军者离原地的距离越来越远，送别者离原地的距离越来越近即可得出答案．【详解】∵送郎一路雨飞池，∵十里江亭折柳枝，∴从军者与送者离原地的距离不变，∵离人远影疾行去，∴从军者离原地的距离越来越远，送别者离原地的距离越来越近．故选：C．考查了函数的图象，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．4、B【解析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，解得n＝5，所以，这个多边形是五边形．故选B．本题考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．5、B【解析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．【详解】解：王老师的综合成绩为：90×40%+85×60%=87（分），故选：B．此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．6、A【解析】根据平行四边形的性质即可解答.解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，故∠A=∠C=50°，且AD∥BC，故∠B=180°-50°=130°.故答案选A.本题考查平行四边形性质，对边平行，熟悉掌握是解题关键.7、A【解析】根据向右平移横坐标相加，纵坐标不变得出点P平移后的坐标，再将点P平移后的坐标代入y=1x-1，即可求出m的值．【详解】解：∵将点P(0，3)向右平移m个单位，∴点P平移后的坐标为(m，3)，∵点(m，3)在直线y=1x-1上，∴1m-1=3，解得m=1．故选A．本题考查了点的平移和一次函数图象上点的坐标特征，求出点P平移后的坐标是解题的关键．8、C【解析】根据题目中的数据可以得到这组数据的众数，从而可以解答本题．【详解】解：∵一组数据5，8，8，12，12，12，44，∴这组数据的众数是12，故选C．本题考查众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1y x =-+【解析】试题解析：∵一次函数y=kx+b 的图象交y 轴于正半轴，∴b ＞0，∵y 随x 的增大而减小，∴k ＜0，例如y=-x+1（答案不唯一，k ＜0且b ＞0即可）．考点：一次函数图象与系数的关系．10、x>1【解析】试题解析：由题意得：67x --＞0，∵-6＜0，∴1-x ＜0，∴x ＞1．11、1【解析】过点A 作AE ⊥BC 于E ，因为AD ∥BC ，所以当AE ∥QP 时，则四边形ABPQ 是直角梯形，利用已知条件和路程与速度的关系式即可求出时间t 的值【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，过点A 作AE ⊥BC 于E ，∴当AE ∥QP 时，则四边形ABPQ 是直角梯形，∵∠B ＝60°，AB ＝8cm ，∴BE ＝4cm ，∵P ，Q 运动的速度都为每秒1cm ，∴AQ ＝10﹣t ，AP ＝t ，∵BE ＝4，∴EP ＝t ﹣4，∵AE ⊥BC ，AQ ∥EP ，AE ∥QP ，∴QP ⊥BC ，AQ ⊥AD ，∴四边形AEPQ 是矩形，∴AQ ＝EP ，即10﹣t ＝t ﹣4，解得t ＝1，故答案为：1．此题考查直角梯形，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线12、10%．【解析】设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的售价是原来的()1x -，那么第二次降价后的售价是原来的()21x -，根据题意列方程解答即可.【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得，()2100181x ⨯-=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不符合题意，舍去），答：这个百分率是10%.故答案为10%.本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=.13、【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝4，A 、C 关于BD 对称，∴连AM 交BD 于P ，则PM+PC=PM+AP=AM ，根据两点之间线段最短，AM 的长即为PM+PC 的最小值．∵∠ABC=60°，AB=BC ，∴△ABC 为等边三角形，又∵BM=CM ，∴AM ⊥BC ，∴==故答案为：.本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称中的最短路径问题，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）4y x =，26y x =-+；（1）3；（3）x<0或12x <<【解析】（1）把（1，4）代入y=2k x ，易求k 1，从而可求反比例函数解析式，再把B 点坐标代入反比例函数解析式，易求m，然后把A、B 两点坐标代入一次函数解析式，易得关于k 1、b 的二元一次方程，解可求k 1、b，从而可求一次函数解析式；（1）设直线AB 与x 轴交于点C，再根据一次函数解析式，可求C 点坐标，再根据分割法可求△AOB 的面积；（3）观察可知当x＜0或1＜x＜3时，k 1x+b＞2k x ．【详解】解：（1）把（1，4）代入y=2k x ，得k 1=4，∴反比例函数的解析式是y=4x ，当x=1时，y=42，∴m=1，把（1，4）、（1，1）代入y 1=k 1x+b 中，得11422k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得126k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是y=-1x+6；（1）设直线AB 与x 轴交于点C，当y=0时，x=3，故C 点坐标是（3，0），∴S △AOB =S △AOC -S △BOC =12×3×4-12×3×1=6-3=3；（3）在第一象限，当1＜x＜1时，k 1x+b＞2k x ；还可观察可知，当x＜0时，k 1x+b＞2k x ．∴x＜0或1＜x＜1．本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是先求出反比例函数，进而求B 点坐标，然后求出一次函数的解析式．15、（1）0.5；（2）20；（3）10【解析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案；（2）根据（1）的值求得答案即可；（3）设向袋子中放入了黑个红球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．【详解】解：（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近，故摸到黑球的频率会接近0.5，故答案为：0.5；（2）∵摸到黑球的频率会接近0.5，∴黑球数应为球的总数的一半，∴估计袋中黑球的个数为20只，故答案为：20；（3）设放入黑球x 个，根据题意得：＝0.6，解得x ＝10，经检验：x ＝10是原方程的根，故答案为：10；本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．16、（1）甲先出发，早了3小时；乙先到达B 地，早了3小时；（2）甲速为10千米/小时，乙速为40千米/小时；（3）y 甲＝10x ，y 乙＝40x ﹣1．【解析】（1）结合图象，依据点的坐标代表的意思，即可得出结论；（2）由速度=路程÷时间，即可得出结论；（3）根据待定系数法，可求出乙的函数表达式，结合甲的速度依据甲的图象过原点，可得出甲的函数表达式．【详解】解：（1）结合图象可知，甲先出发，早了3小时；乙先到达B 地，早了3小时；（2）甲的速度：80÷8=10km/h ，乙的速度：80÷（5-3）=40km/h ．（3）设y 甲＝kx ，由图知：8k ＝80，k ＝10∴y 甲＝10x ；设y 乙＝mx+n ，由图知：30580m n m n +=⎧⎨+=⎩解得40120m n =⎧⎨=-⎩∴y 乙＝40x ﹣1答：甲、乙在行驶过程中的路程与时间之间的函数关系式分别为：y 甲＝10x ，y 乙＝40x ﹣1．本题考查了一次函数中的相遇问题、用待定系数法求函数表达式，解题的关键是：（1）明白坐标系里点的坐标代表的意义；（2）知道速度=路程÷时间；（3）会用待定系数法求函数表达式．本题难度不大，属于基础题，做此类问题是，结合函数图象，找出点的坐标才能做对题．17、（1）（﹣2，4）；（2）S ＝﹣t 2+1t ；（3）y ＝x +1【解析】(1)作CF ⊥OA 于F ，EG ⊥x 轴于G ．只要证明△CFO ≌△OGE 即可解决问题；(2)只要证明△EOB ≌△COA ，可得BE ＝AC ，∠OBE ＝∠OAC ＝45°，推出∠EBC ＝90°，即EB ⊥AB ，由C (t ，﹣t +1)，可得BC t ，AC ＝BE (1﹣t )，根据S ＝12•BC •EB ，计算即可；(3)由(1)可知E (t ﹣1，t )，设x ＝1﹣t ，y ＝t ，可得y ＝x +1．【详解】解：(1)作CF ⊥OA 于F ，EG ⊥x 轴于G ．∴∠CFO ＝∠EGO ＝90°，令x ＝4，y ＝﹣4+1＝2，∴C (4，2)，∴CF ＝2，OF ＝4，∵四边形OCDE 是正方形，∴OC ＝OE ，OC ⊥OE ，∵OC ⊥OE ，∴∠COF +∠EOG ＝90°，∠COF +∠OCF ＝90°，∴∠EOG ＝∠OCF ，∴△CFO ≌△OGE ，∴OG ＝OF ＝4，OG ＝CF ＝2，∴G (﹣2，4)．（2）∵直线y ＝﹣x +1交y 轴于B ，∴令x ＝0得到y ＝1，∴B (0，1)，令y ＝0，得到x ＝1，∴A (1，0)，∴OA ＝OB ＝1，∠OAB ＝∠OBA ＝45°，∵∠AOB ＝∠EOC ＝90°，∴∠EOB ＝∠COA ，∵OE ＝OC ，∴△EOB ≌△COA ，∴BE ＝AC ，∠OBE ＝∠OAC ＝45°，∴∠EBC ＝90°，即EB ⊥AB ，∵C (t ，﹣t +1)，∴BC t ，AC ＝BE (1﹣t )，∴S ＝12•BC •EB ＝12t (1﹣t )＝﹣t 2+1t ．(3)当点C 在线段AB 上运动时，由(1)可知E （t ﹣1，t ），设x ＝1﹣t ，y ＝t ，∴t ＝x +1，∴y ＝x +1．故答案为(1)(﹣2，4)；(2)S＝﹣t2+1t；(3)y＝x+1.本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．18、（1）y＝10x+3000（65≤x≤75）；（2）方案1：当0＜a＜10时，购进A种服装75件，B 种服装25件；方案2：当a＝10时，按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a＜20时，购进A种服装65件，B种服装35件．【解析】（1）根据题意可知购进A种服装为x件，则购进B种服装为（100-x），A、B两种服装每件的利润分别为40元、30元，据此列出函数关系式，然后再根据A种服装不少于65件且购进这100件服装的费用不得超过7500元，求出x的取值范围即可；（2）根据题意列出含有a的一次函数解析式，再根据一次函数的性质求解即可.【详解】解：（1）∵80x+60（100﹣x）≤7500，解得：x≤75，∴y＝40x+30（100﹣x）=10x+3000（65≤x≤75）；（2）∵y＝（40﹣a）x+30（100﹣x）＝（10﹣a）x+3000，方案1：当0＜a＜10时，10﹣a＞0，y随x的增大而增大，所以当x＝75时，y有最大值，则购进A种服装75件，B种服装25件；方案2：当a＝10时，无论怎么购进，获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a＜20时，10﹣a＜0，y随x的增大而减小，所以当x＝65时，y有最大值，则购进A种服装65件，B种服装35件．一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出一次函数解析式并熟练掌握其性质是解题的关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】先将分式变形，然后将0a b +=代入即可．【详解】解：20202019a b a +20192019a b b b ++=020192019b b +=20192019b b =1=，故答案为1本题考查了分式，熟练将式子进行变形是解题的关键．20、AC BD =【解析】先证明EFGH 是平行四边形，再根据菱形的性质求解即可.【详解】如图1所示，连接AC ，∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边的中点，∴HE ∥AC ，HE=12AC ，GF ∥AC ，GF=12AC ，∴HE=GF 且HE ∥GF ；∴四边形EFGH 是平行四边形．连接BD ，如图2所示：若四边形EFGH成为菱形，则EF=HE，由（1）得：HE=12AC，同理：EF=12BD，∴AC=BD；故答案为：AC=BD．本题考查了平行四边形的判定、中点四边形、菱形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．21、2a（a+2）（a﹣2）【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，()()()222a8a2a a4=2a a+2a2-=--．22、12 5【解析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF ，AP 的交点就是M 点，∵当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当AP ⊥BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．∵12AP×BC=12AB×AC ，∴AP×BC=AB×AC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得=10，∵AB=6，AC=8，∴10AP=6×8，∴AP=245∴AM=125，故答案为：125．考点：(1)、矩形的性质的运用；(2)、勾股定理的运用；(3)、三角形的面积公式23、5【解析】由DE 是AC 的垂直平分线可得AD=CD ，可得∠CAD=∠ACD ，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°由等角的余角相等可得：∠DCB=∠B ，可得CD=BD ，可知CD=BD=AD=152AB =【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线∴AD=CD ∴∠CAD=∠ACD∵10AB =，8AC =，6BC =又∵2226+8=10∴222AC BC AB +=∴∠ACB=90°∵∠ACD+∠DCB=90°,∠CAB+∠B=90°∴∠DCB=∠B ∴CD=BD ∴CD=BD=AD=152AB =故答案为5本题考查了线段垂直平分线、勾股定理逆定理以及等腰三角形的性质，掌握勾股定理逆定理及利用等腰三角形求线段是解题的关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）作图见解析；（2）15，16或1．【解析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．【详解】()1如图所示：()2设新多边形的边数为n ，则()21802520n -⋅=，解得16n =，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为1，故原多边形的边数可以为15，16或1．本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．25、－2.【解析】直接利用乘法公式以及二次根式的性质分别计算得出答案．【详解】解：原式＝12－1－(1－＋12)＝2此题主要考查了二次根式结合平方差公式和完全平方公式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．26、(1)y=2x+4;(2)9-2;（3）4.【解析】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标代入y kx b =+列方程组求得k b 、的值即可求得一次函数的解析式；（2）把5y =-代入（1）中所求得的解析式中，解方程可求得对应的x 的值；（3）由解析式求得直线与x 轴的交点坐标，结合点B 和原点就可求得直线与坐标轴围成的三角形的面积.试题解析：（1）将A （-3，-2），B （0，4）分别代入y =kx+b 得324k b b -+=-⎧⎨=⎩，解得：24k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为：y =2x +4.（2）在y =2x +4中，当y =-5时，2x +4=-5，解得x =-4.5；（3）设直线和x 轴交于点C ，∵在y =2x +4中，当y =0时，2x +4=0，解得x =-2，∴点C （-2，0），∴OC=2，又∵OB=4，∴S △OBC =12OB ⋅OC=14242⨯⨯=.点睛：一次函数图象与坐标轴围成的三角形就是以图象与两坐标轴的交点和原点为顶点的直角三角形，因此只需由解析式求出图象与两坐标轴的交点坐标即可求此三角形的面积.。
北京市房山区中考数学一模试卷(含解析)
2017年北京市房山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示,在这四个数中，绝对值最小的数是（）A．a B．b C．c D．d2．下列图案是轴对称图形的是( ）A．B．C．D．3．北京地铁燕房线，是北京地铁房山线的西延线，现正在紧张施工，通车后将是中国大陆第二条全自动无人驾驶线路,预测初期客流量日均132300人次，将132300用科学记数法表示为( ）A．1。
323×105B．1。
323×104C．1.3×105 D．1.323×1064．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上,两直角边与直线a相交，如果∠1=55°,那么∠2等于（）A．65°B．55°C．45°D．35°5．如图，A，B，C,D是四位同学画出的一个空心圆柱的主视图和俯视图,正确的一组是（）A．A B．B C．C D．D6．一个不透明的盒子中装有2个白球,5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为( ）A．B．C．D．7．雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣﹣距离和角度，目标的表示方法为（γ，α）,其中，γ表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B,C处有目标出现,其中，目标A的位置表示为A （5,30°)，目标B的位置表示为F(4，150°）．用这种方法表示目标C的位置，正确的是( ）A．(﹣3，300°）B．(3，60°)C．（3，300°）D．（﹣3,60°）8．2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市,某校开设了冰球选修课,12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位:cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲组176177175176177175乙组178175170174183176设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为S甲2，S乙2，下列关系中正确的是（）A．甲=乙，S甲2＜S乙2B．甲=乙,S甲2＞S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙29．在同一平面直角坐标系中，正确表示函数y=kx+k(k≠0）与y=(k≠0）的图象的是（）A．B．C．D．10．如图1，已知点E，F,G，H是矩形ABCD各边的中点,AB=6，BC=8,动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程x，点M到矩形的某一个顶点的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的（)A．点A B．点B C．点C D．点D二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）11．二次根式有意义，则x的取值范围是．12．分解因式：2m2﹣18= ．13．如图中的四边形均为矩形,根据图形，利用图中的字母,写出一个正确的等式: ．14．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章，记载了一道“折竹抵地"问题，叙述为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何?”翻译成数学问题是：在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，可列出的方程为．15．中国国家邮政局公布的数据显示,2016年中国快递业务量突破313.5亿件，同比增长51。
2024北京房山区初三一模数学试题及答案
2024北京房山初三一模数 学学校 班级 姓名本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟。
考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）圆锥 （B ）圆柱 （C ）三棱柱 （D ）球2. 据中国国家铁路集团有限公司消息：在2024年为期40天的春运期间，全国铁路累计发送旅客4.84亿人次，日均发送12089000人次.将12089000用科学记数法表示应为 （A ）612.08910⨯ （B ）61.208910⨯ （C ）71.208910⨯ （D ）80.1208910⨯ 3.下面四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 4. 如图，a ∥b ，点A ，C 在直线a 上，点B 在直线b 上，AB BC ⊥，若135∠=︒，则2∠的度数是（A ）25︒ （B ）35︒ （C ）45︒ （D ）55︒5. 若关于x 的一元二次方程20x x m +−=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 （A ）4− （B ）14− （C ）14 （D ）46. 不透明的袋子中装有1个红球，1个白球，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到 红球的概率是 （A ）19（B ）16 （C ）14 （D ）497. 若0a b <<，则下列结论正确的是（A ）a b a b −<−<< （B ）b a a b −<−<<ab21CB A（C ）a b b a <<−<− （D ）a b a b <<−<−8. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，△ABE ≌△ECD . 给出下面三个结论： ①AE DE ⊥；②AB CD AE +>EF AD CF ⋅=⋅.上述结论中，所有正确结论的序号是 （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式23x −有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：24x y y −= ． 11．方程4135x x=+的解为 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若点1(1)A y −，，2(3)B y −，在反比例函数3y x=的图象上， 则1y 2y （填“>”，“=”或“<”）．13．某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从600名学生家长中随机抽取150名进行问卷调查，获得了他们对课后服务的评分数据（评分记为x ），数据整理如下： 家长评分 6070x <≤7080x <≤ 8090x <≤ 90100x ≤≤人数15 45 60 30根据以上数据，估计这600名学生家长评分不低于80分的有 名. 14．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 的中点， 则MNAC的值为 ．第14题图 第15题图15. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD AB ⊥，垂足为点D ，若4AB =，22.5A ∠=︒，则BD 的长为 ．16. 在一次综合实践活动中，某小组用I 号、II 号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个成品的总零件个数及所需的I 号、II 号零件个数如下：CDM NB A BA选用两种零件总数不超过25个，每款成品最多组装一个．（1）如果I 号零件个数不少于11个，且不多于13个，写出一种满足条件的组装方案 （写出要组装成品的编号）；（2）如果I 号零件个数不少于11个，且不多于13个，同时所需的II 号零件最多，写出满足条件的组装方案 （写出要组装成品的编号）．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：116sin 45()32−︒++−18. 解不等式组： 47135.2x x x x −>−⎧⎪⎨−<⎪⎩，19. 已知30x y −−=，求代数式22222x xy y x y−+−的值.20. 在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动.计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长10米，宽4.5米，矩形菜园的长与宽的比为6:1，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？21. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，ABD CBD ∠=∠，过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于点E . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若OB =，60ABC ∠=︒，求DE 的长.22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数2y x =的图象平移得到，且经过点(23)，. （1）求该函数的解析式；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的OEDCBA 菜园菜园值，直接写出m 的取值范围.23. 2024年1月3日北京市生态环境局召开了“2023年北京市空气质量”新闻发布会，通报了2023年北京市空气质量状况：北京2023年PM2.5年均浓度为32微克/立方米，PM2.5最长连续优良天数为192天，“北京蓝”已成为常态.下面对2023年北京市九个区PM2.5月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息： a .2023年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的折线图：b . 2023年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的平均数、中位数、众数：（1）写出表中m ，n 的值；（2）2023年9月北京市九个区PM2.5月均浓度的方差为21S ，2023年10月北京市九个区PM2.5月均浓度的方差为22S ，则21S 22S （填“>”，“=”或“<”）； （3）2013年至2023年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，2013年空气优良达标天数为176天，2023年比2013年增幅达到约54%，2023年达标天数约 为 天.24. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线CD 与AB 的延长线交于点D ，过点B 作BE ∥CD ，BE 与⊙O 交于 点E ，连接AE ，CE . （1）求证：ACE D ∠=∠；（2）若3tan 4ACE ∠=，3AE =，求CE 的长.25. 如图，点P 是半圆O 的直径AB 上一动点，点Q 是半圆O 内部的一定点，作射线PQ 交AB 于点C ，连接BC ．已知10cm AB =，设AP 的长度为cm x ，BC 的长度为1cm y ，PC 的长度为2cm y ．（当点P 与点A 重合时，x 的值为0）．区9月10月5030354045252015105小山根据学习函数的经验，对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 对于点P 在AB 上的不同位置，画图、测量，得到了x ，1y ，2y 的几组值，如下表：（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，小山已画出函数1y 的图象，请你画出函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：① 当AP 的长度为6.5cm 时，则BC 的长度约为 cm （结果保留小数点 后一位）．② 当△BCP 为等腰三角形时，则AP 的长度约为 cm （结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，11()A x y ，,22()B x y ，是抛物线2222y x a x a =−+−上任意两点. （1）当1a =时，求抛物线与y 轴的交点坐标及顶点坐标； （2）若对于1102x <<，2112x <<，都有12y y >，求a 的取值范围． 27. 在△ABC 中，AB AC =，2(4590)BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 上的动点(不与点C 重合)，且BD DC >，连接AD ，将射线AD 绕点A 顺时针旋转α得到射线AG ，过点D 作DE AD ⊥交射线AG于点E ,连接BE ，在BD 上取一点H ，使HD CD =， 连接EH .O B（1）依题意补全图形；（2）直接写出ABE ∠的大小，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，将中心为M 的等边三角形记作等边三角形M ，对于等边三角形M 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若等边三角形M 的边上存在点N ，使得直线OP 与以MN 为半径的⊙M 相切于点P ，则称点P 为等边三角形M 的“相关切点”．（1）如图，等边三角形M 的顶点分别为点(00)O ，，(3A，(3B ，．①在点13(2P，23(2P −，，3(22)P ，中，等边三角形M 的“相关切点”是 ；②若直线y x b =+上存在等边三角形M 的“相关切点”，求b 的取值范围；BGEDCA（2）已知点(2)，，等边三角形M的边长为M的M m m−两个“相关切点”E，F，使得△OEF为等边三角形，直接写出m的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9. 3x ≠10. (2)(2)y x x +− 11. 5x = 12. < 13. 360 14. 1215. 216.（1）答案不唯一：ABD ；ACD ；ACE ；ADE ；BE ； （2）ACD .（注：第16题一空1分）三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解：116sin 45()32−︒++−−6232=⨯++− 5=.18．解：原不等式组为47135.2x x x x −>−⎧⎪⎨−<⎪⎩①②，解不等式①，得2x >. 解不等式②，得5x <.∴原不等式组的解集为25x <<.19．解：22222x xy y x y−+−2()2()x y x y −=− 2x y−=. ∵30x y −−=，∴3x y −=. ∴原式322x y −==. 20．解：设矩形菜园的宽为x 米，则矩形菜园的长为6x 米.由题意可得,106 4.5223x x −−=. 解得 1.5x =. ∴1060.52x−=. 答：预留通道的宽度是0.5 1.5米. 21．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC .∴ADB CBD ∠=∠. ∵ABD CBD ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠. ∴AB AD =.∴四边形ABCD 是菱形. （2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，2BD OB =，12DBE ABC ∠=∠. ∵DE ∥AC ，∴90BDE BOC ∠=∠=︒.∵OB =∴2BD OB ==. ∵60ABC ∠=︒， ∴1302DBE ABC ∠=∠=︒. 在Rt △BDE中，tan 3DBE ∠=，BD =.∴tan 3DE DBE BD ∠==. ∴2DE =.22. 解：（1）∵函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数2y x =的图象平移得到， ∴2k =.∴得到函数的解析式为2y x b =+．∵函数2y x b =+的图象过点(23)，， ∴223b ⨯+=.∴1b =−. ∴函数y kx b =+的解析式为21y x =−． （2）1m ≥．23. 解：（1）30m =，26n =；（2）<； （3）271.24.（1）证明：∵AE AE =，∴ACE ABE ∠=∠， 又∵BE ∥CD ，∴ABE D ∠=∠. ∴ACE D ∠=∠.（2）解：连接OC ，交BE 于点F .∵CD 是⊙O 的切线，切点为C ， ∴90OCD ∠=︒. ∵BE ∥CD ，∴90OFB OCD ∠=∠=︒.O EDCBA∴BE ⊥OC . ∴F 为BE 中点. ∵O 为直径AB 中点， ∴OF 为△AEB 的中位线，∴OF =12AE .∵3AE =，∴32OF =.∵AE AE =， ∴ACE ABE ∠=∠.∵3tan 4ACE ∠=，∴3tan 4ABE ∠=. ∵AB 是⊙O 的直径，∴90AEB ∠=︒. 在Rt △AEB 中 ∵3tan 4ABE ∠=， ∴4BE =.由勾股定理得5AB =. ∴52OC =. ∴1CF =. ∵F 为BE 中点, 4BE =， ∴2EF =.在Rt △ECF 中, 由勾股定理得CE ==.25.（1）画出函数2y 的图象,如图.（2）① 9.2；② 2.3，3.1，5.0. 26.解：（1）令0x =，则22y a =−.当1a =时，1y =−.∴抛物线与y 轴的交点坐标为(01)−，； ∵22222()2y x ax a x a =−+−=−−，当1a =时，抛物线的顶点坐标为(12)−，.（2）∵11()A x y ，,22()B x y ，是抛物线2222y x ax a =−+−上任意两点，∴211()2y x a =−−，222()2y x a =−−.∴2212121212()()()(2)y y x a x a x x x x a −=−−−=−+−.∵1102x <<，2112x <<， ∴12x x <，121322x x <+<.∵12x x <，12y y >， ∴1220x x a +−<.即122x x a +<.∴322a ≥. ∴34a ≥.27.（1）依题意补全图形，如图.（2）90ABE ∠=︒.证明：延长ED 至点M ，使DM ED =,连接AM ,CM . 在△EHD 与△MCD 中，HD CD EDH MDC ED DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，. ∴△EHD ≌△MCD (SAS). ∴EHD MCD ∠=∠. ∵AD EM ⊥,ED DM =, ∴AE AM =.∴22EAM EAD α∠=∠=. ∵2BAC α∠=, ∴BAE CAM ∠=∠. ∵AB AC =,∴△ABE ≌△ACM (SAS). ∴ABE ACM ∠=∠. ∵EB EH =, ∴EBH EHB ∠=∠.设ABC x ∠=，ACM y ∠=.∴EHD MCD x y ∠=∠=+,ABE ACM y ∠=∠=.BHGEDCAy+xy-x y-xx yxMBHGE DCA∴EHB EBH y x ∠=∠=−.∵180EHB EHD y x x y ∠+∠=−++=︒. ∴90y =︒.∴90ABE ∠=︒.28.（1）①1P ，2P ；②解:依题意可知，点(20)M ，，点N 为等边三角形边上的点，则12MN ≤≤.∵OP 与以MN 为半径的⊙M 相切于点P ， ∴OP MP ⊥，MP MN =. ∴90OPM ∠=︒.∴点P 在以OM 为直径的⊙Q 上， 且12MN ≤≤，其中点(10)Q ，. ∴符合条件的点P 组成的图形为COD（点O 除外），其中点3(2C，3(22D −，， 如图，当直线y x b =+与⊙Q 为G ，与x 轴交点为H ，则QG 与直线y x b =+垂直时,45GHQ ∠=︒. 由1QG =,可得QH =.∴(10)H .当直线y x b =+过(10)H −时， 代入y x b =+中，可得1b =.当直线y x b =+过点3(22D −，时，代入y x b =+中,可得32b =−. ∵直线y x b =+上存在“相关切点”，∴b 的取值范围是3122b −−≤.（2）21m +≤≤或10m ≤.。
房山区2008一模答案
C房山区2008年中考模拟练习(一) 数学试卷参考答案和评分标准二、填空题：9、14.8 10、-2 11、3，4（或4，3） 1233三、解答题： 1311sin 60(2008)2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭122=+-------------------------------------------------------------------------4分12=+-----------------------------------------------------------------------------------5分14、2288a b ab b -+22(44)b a a =-+---------------------------------------------------------------------2分22(2)b a =----------------------------------------------------------------------------5分15、解不等式33,2x x -+≥得x ≤3；--------------------------------------------------2 分解不等式 1-3 (x-1) < 8-x ，得x ＞-2．------------------------------------------4 分 所以，原不等式组的解集是-2 < x ≤3．--------------------------------------- 5 分 16、（本小题满分5分） ∵∠DAB=∠EAC∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE即∠DAE=∠BAC--------------------------------------------------------------------------2分 在△ABC 与△ADE 中A B C =A D E ,A B A D ∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩∠B A C ＝∠D A E∴△ABC ≌△ADE ---------------------------------------------------------------4分 ∴BC ＝DE ．-----------------------------------------------------------------------5分17、原式＝2(3)11(1)31a a a a a a ++⨯-+++------------------------------------------------2分＝111a a a -++------------------------------------------------------------3分＝11a a -+---------------------------------------------------------------------4分当2a =时，原式＝211213-=+---------------------------------------------------------------5分四、解答题：18、过点C 作CD ⊥AB 于D ．---------1分 设CD=x ，在Rt △BCD 中,∠CBD=45度∴BD=CD=x.--------------------------2分 在Rt △ACD 中,∠DAC=31 , AD=AB+BD=20+x ，CD=x ∵tan C D D A C A D∠=∴3520x x=+-------------------------------------------------------------------------4分∴30x =答：这条河的宽度约为30米．-------------------------------------------------5分19、解：（1）连接O D ．---------------------------------------------------------1分 ∵30B E D∠=，60A O D ∴∠=，∵1sin2A =∴∠A=30 ∴∠A+∠AOD=90 ∴∠ADO=90∴ AD 是⊙O 的切线．--------------------------------------------------------------2分（2）D C E △是等边三角形．理由如下： B C 为O 的直径且A C D E ⊥．C E CD ∴=．C E CD ∴=．-----------------------------------------------------------------------------3分 B C是O 的直径，90B E C ∴∠=， 30B E D ∠=， 60D E C ∴∠=，D C E∴△是等边三角形．-------------------------------------------------------------4分（3） O 的半径2R =． ∴直径4B C =∵△DCE 是等边三角形， ∴∠EDC=60 ∴∠EBC=60 在R t B E C △中，sin C E E B C B C∠=，sin 60C E B C ∴=42=⨯=---------------------------------------------------5分五、解答题 20、（1）40÷40%=100(人)------1分 （2）如图:----------------------2分（3）九年级有学生：36040400+=（人） -----------------------3分 答：该校九年级有学生400人． 2403604001000++= （人）201001000200100⨯⨯=％ （人）------------------------5分答：估计全校学生中最喜欢足球活动的人数约为200人． 六、解答题21、设佩带红色微笑圈的有x 人，佩带蓝色微笑圈的有y 人，---------1分 依题意，得24,23x y x y+=⎧⎨-=⎩----------------------------------------------------------------3分解得9,15x y =⎧⎨=⎩-------------------------------------------------------------------------4分答：佩带红色微笑圈的有9人，佩带蓝色微笑圈的有15人．----------5分22、设直线l 的解析式为2y x b =-+,依题意, 直线l 过点(2,0), 所以0=-4+b 所以 b=4所以直线l 的解析式为 24y x =-+------------------------------------2分因为A （a ，8）在直线24y x =-+上则a ＝-2即 A （-2，8）---------------------------------------------------------------3分 又因为A （-2，8）在y k x=的图象上可求得 k ＝-16所以 反比例函数的解析式为16y x=--------------------------------5分七、解答题23、 （1）BE =AD ．----------------------------------------1分∵△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE =∠ACD =30°．∵△ABC 与△C ′DE 是等边三角形，∴CA =CB ，CE =CD ．∴△BCE ≌△ACD ．∴BE =AD ．-----------------------------------------------2分（2）BE =AD ．------------------------------------------------3分∵△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转的角度为，∴∠BCE =∠ACD =．∵△ABC 与△C ′DE 是等边三角形，∴CA =CB ，CE =CD ．∴△BCE ≌△ACD ．∴BE =AD ．-----------------------------------------------4分 （3）当为180°时，线段AD 的长度最大，等于a +b ；----------6分 当为0°（或360°）时，线段AD 的长度最小，等于a -b ．-----7分 八、解答题 24、(1)∵∠AOB=90 ，AO=BO=1∴由△AOC ≌△BCP 知AO=BC=1， ∴1∴1t=（2）OC=CP ．过点C 作x 轴的平行线，交直线BP 于点F ,则∠OEC=∠CFP=90 且∵∠EAC=45 ∴AE=EC ∴OE=CF ∵∠OCP=90 ∴∠ECO+∠FCP=90 又∵∠AOC+∠ECO=90 ∴∠AOC=∠FCP ∴△OEC ≌△CFP∴OC=CP--------------------------3分 (3)∵AC=t, ∠AEC=90 ，∠EAC=45 ∴2∴OE=BF=12-PF=2当b>0时, P 在x 轴上方，BF = OE∴122b t +=-∴1(0bt =+<<当b<0时，P 在x 轴下方，由△OEC ≌△CFP ,得EC=FP=2∴OE=12t-2-(-b)∴122b-=+∴1(0bt =+<<∴b 关于t 的函数关系式为1(0b t =+<<.--------------------------7分九、解答题： 25、（1）根据题意,得：⎩⎨⎧-=+--=+--52401c b c b 解得：⎩⎨⎧==32c b∴所求抛物线的解析式为223y x x =-++．-----------------------------------2分（2）①若所求直线与y 轴相交，设其解析式为y=kx+m(k ≠0)∵直线过A （-1，0）∴m=k ∴y=kx+k∵直线y=kx+k 与抛物线223y x x =-++只有一个交点∴方程223kx k x x +=-++有两个相等的实数根即方程3)2(2=-+-+k x k x有两个相等的实数根∴△=01682=+-k k∴421==k k∴直线的解析式为y=4x+4---------------------------------------------------------------------------------3分②若所求直线与y 轴平行，所求直线为x=-1------------------------4分 综上所述，所求直线的解析式为y=4x+4或x=-1 （3）抛物线223yx x =-++的顶点坐标为D(1,4)，与y 轴交点C （0，3）．把点D(1,4)向下平移3个单位，得到D ’(1,1),连结BD ’交x 轴于点F,过点F 作FE ⊥直线l 于E ，则E 、F 两点为所求. 设直线BD ’的解析式为：y=ax+n(a ≠0) 则⎩⎨⎧=+-=+-152n a n a 解得：⎩⎨⎧-==12n a∴直线BD ’的解析式为：y=2x-1 ∴直线BD ’与x 轴的交点F （)0,21-----------------------------------5分∵EF ⊥x 轴，EF=3 ∴E （3,21）----------------------------------------------------------------6分∴DE+EF+BF 的最小值是533+.------------------------------------8分。
北京2013届房山区高三数学一模文科试题及答案
房山区2013年高考第一次模拟试卷 数 学 （文科） 2013.04本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集U =R ，集合{|(3)0}M x x x =->，则C M R A. [0,3] B. (0,3) C. (,3]-∞ D. (,0)(3,-∞ 2.已知{}na 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19a a +=A. 55 B. 81 C. 90 D. 1003.执行如图所示的程序框图．若输出15S =， ① 处可以填入A. 4n >B. 8n >C. 16n >D. 16n <4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5甲 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数 C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差5. “2m ≤”是“函数2()2f x x x m =++存在零点”的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在正三角形ABC 中，3AB =，D 是BC 上一点，且3BC BD =，则B A AD ⋅=A. 152B. 92 C. 9 D. 67.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥 的四个面的面积中，最大的是 A. B. 8 C. D.8.设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以0为聚点的有： ①{|}1n n n ∈+N ； ②{|,0}x x x ∈≠R ； ③*2{|}n n∈N ； ④Z A.②③ B. ②④ C. ①③ D. ①③④二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 复数21ii=- . 10.在△ABC 中，角A B C ,,所对的边分别为,,a b c，24A a c π===,,则角C 的大小为 . 11.直线20x y --=与圆2221x y x +-=相交于AB ,两点，则线段AB 的长等于 .12.若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范是 .13.某商品在最近100天内的单价()f t 与时间t 的函数关系是22(040,)4()52(40100,)2tt t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N日销售量()g t 与时间t 的函数关系是109()(0100,)33t g t t t =-+≤≤∈N .则这种商品的日销售额的最大值为 .14.已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤， 则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个 条件：①(0)0f =； ②1()()52x f f x =； ③(1)1()f x f x -=-.则4()5f = ，1()12f =. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值．16. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，12BC CD AD ==，PA PD =，E F ,为AD PC , 的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ； （Ⅱ）求证：AD PB ⊥．17. （本小题满分13分）PABCEFDPM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．(Ⅰ) 若从这6天的数据中随机抽出2天，求至多有一天空气质量超标的概率；(Ⅱ)根据这6天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？18. (本小题满分13分)已知函数211()ln (,0)22f x x a x a a =--∈≠R . （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知椭圆22:143x y C +=和点(4,0)P ，垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A B ,两点，连结PB 交椭圆C 于另一点E .（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）证明直线AE 与x 轴相交于定点.20.（本小题满分13分）对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示．例如811.20.2 1.20.877=-==,,.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件： 1a a =，11000n n nn a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,,其中123n = ,,,. （Ⅰ）若311a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当12a >时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ；（Ⅲ）设2013pa = （p 是正整数，p 与2013互质），对于大于2013的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．房山区高三年级第一次模拟考试参考答案数 学 （文科） 2013.04一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1、A2、D3、B4、C5、B6、A7、C8、A 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 1i -+ ； 10.6π或30︒ ， 11.12. (1,0)-；13. 808.5 ； 14. 11,24；三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15、（本小题满分13分）（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f x x 2sin 32cos += …………… 4分)2s i n 232c o s 21(2x x += )62s i n (2π+=x ………… 6分 周期为2.2T ππ== ………………………7分 （Ⅱ） 20π≤≤x ∴67626πππ≤+≤x ………………………………9分∴当262ππ=+x 时，1)62sin(=+πx 此时2)(max =x f …………………………11分 ∴当6762ππ=+x 时，21)62sin(-=+πx 此时min ()1f x =- …………13分 16、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ,FOBC //AD ,AD BC 21=, E 为AD 中点∴ AE //BC ,且AE=BC ∴ 四边形ABCE 为平行四边形 ………1分 ∴ O 为AC 中点 ………………………………...2分又 F 为AD 中点 ∴OF // PA …………......….4分BEF PA BEF OF 平面平面⊄⊂, ..……..……..5分 ∴ PA //BEF 平面 ………………………………………..……..……..7分（Ⅱ）连接PE,PA PD E AD AD PE =∴⊥ 为中点 ……….…………….8分1// AD,BC AD,E AD BCDE 2BC =∴ 为中点为平行四边形CD BE// ∴ AD CD AD BE⊥∴⊥………………..………..9分 E BE PE =⋂ PBE AD 平面⊥∴ ………………………….…….....12 分PB PBE AD PB⊂∴⊥ 平面…………………………………………………………….14 分17、（本小题满分13分）解：由茎叶图可知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标………2分OPABCEFD记未超标的4天为1234,,,w w w w ，超标的两天为12,c c ，则从6天抽取2天的所有情况为：121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,w w w w w w w c w c w w w w w c w c w w w c w c w c w c c c ，基本事件总数为15 ……………………………………………………4分 （Ⅰ）记“至多有一天空气质量超标”为事件A ，则“两天都超标”为事件A ，易得1()15P A =，所以114()1()11515P A P A =-=-= ………………9分 （Ⅱ）6天中空气质量达到一级或二级的频率为4263= ……………11分2136524333⨯=，所以估计一年中平均有12433天的空气质量达到一级或二级. ………… 13分（说明：答243天，244天不扣分） 18、（本小题满分13分） （Ⅰ）2a =时，211()2ln ,(1)022f x x x f =--= ………………1分2'(),'(1)1f x x f x=-=-………………………………………………2分曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-= ………………3分（Ⅱ）2'()(0)a x af x x x x x-=-=>…………………………………………………4分①当0a <时， 2'()0x af x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,+∞ ………………………………………………………………6分②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为…………………………………………………………………8分（Ⅲ）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在∞[1,+)上是增函数， 所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--=所以0a <满足题意； …………………………………………………………………9分 ②当01a <≤时，01<，()f x 在∞[1,+)上是增函数，所以只需(1)0f ≥而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；…………………………………………………………………10分③当1a >1>，()f x在上是减函数，∞)上是增函数，所以只需0f ≥即可而(1)0f f <=从而1a >不满足题意； …………………………………………………………………12分 综合①②③实数a 的取值范围为(,0)(0,1]-∞ ．………………………………13分19、（本小题满分14分） （Ⅰ）由题意知：22=4,=3,a b 所以222==1c a b -所以，焦点坐标为(1,0)±； 离心率1==2c e a …………………………4分 （Ⅱ）由题意知：直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为=(4)y k x -………………………………5分11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -，由22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(3+4)3264120k x k x k -+-= 则22121222326412+=,x =3+43+4k k x x x k k - (1) ………………………………8分直线AE 的方程为212221+=()y y y y x x x x ---，令=0y ，得221212()=+y x x x x y y -- (2) ……10分又11=(4)y k x - ，22=(4)y k x - 代入(2)式，得1212122x x 4(+)=+8x x x x x -- (3)把(1)代入(3)式，整理得=1x ，所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0). …………………14分 20、（本小题满分13分）（Ⅰ）1331111a == ，21111233a a === ，3213122a a ===，43120a a ===， 所以 123321,,,0(4)1132n a a a a n ====≥ ……………………………………4分 （Ⅱ）1a a a == ，12a > 则112a << ，从而112a<<则 211111a a a a a===-= 所以210a a +-=解得：a =（1,12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，舍去） ……………….6分 所以集合 A ={a =}. ………………………………………7分（Ⅲ）结论成立. ……………………………………………8分 易知a 是有理数，所以对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 设nn np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且,n n p q 互质）由1112013p pa q ==，可得102013p ≤<； …………………………………9分 若0≠n p ，设n n q p αβ=+（n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 11n n n n nq a a p p β+===，故β=+1n p ，n n p q =+1，可得n n p p <≤+10 ………11分 若0=n p 则01=+n p ，若1232013,,,,a a a a ⋅⋅⋅均不为0，则这2013个正整数(1,2,3,,2013)n p n = 互不相同且都小于2013，但小于2013的正整数共有2012个，矛盾.故1232013,,,,a a a a ⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在(12013)m m ≤≤，使得0=m a .从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对于大于2013的自然数n ，都有0=n a …………13分。
2013年房山区高三数学文科一模试题(附答案)
2013年房山区高三数学文科一模试题（附答案）鎴垮北鍖?013?鏁?瀛?锛堟枃绉戯級2013.04 4椤碉紝150鍒嗐€傝€冭瘯鏃堕棿闀?20鍒嗛挓銆傝€冪敓鍔″繀灏嗙瓟妗堢瓟鍦ㄧ瓟棰樺崱涓婏紝鍦ㄨ瘯鍗蜂笂浣滅瓟鏃犳晥銆傝€冭瘯缁撴潫鍚庯紝灏嗙瓟棰樺崱浜ゅ洖銆?8灏忛,姣忓皬棰?鍒?鍏?0鍒??閫夊嚭绗﹀悎棰樼洰瑕佹眰鐨勪竴椤? 1.宸茬煡鍏ㄩ泦锛岄泦鍚?锛屽垯2.宸茬煡涓哄叾鍓?椤瑰拰.鑻?锛屽垯3.鎵ц锛?鈶?澶勫彲浠ュ～鍏?4.鐢层€佷箼涓や汉鍦ㄤ竴娆″皠鍑绘瘮璧涗腑鍚勫皠闈?娆★紝涓や汉鎴愮哗鐨勭粺璁¤〃濡備笅琛ㄦ墍绀猴紝鍒? 4 5 6 7 8 5 6 9 棰戞暟 1 1 1 1 1 棰戞暟3 1 1 鐢?涔?A.鐢叉垚缁╃殑骞冲潎鏁板皬浜庝箼鎴愮哗鐨勫钩鍧囨暟B. C.鐢叉垚缁╃殑鏂瑰樊灏忎簬涔欐垚缁╃殑鏂瑰樊 D. 鐢叉垚缁╃殑鏋佸樊灏忎簬涔欐垚缁╃殑鏋佸樊5. 鈥?鈥濇槸鈥滃嚱鏁?瀛樺湪闆剁偣鈥濈殑A. B. C.欢D. 6.?锛?鏄?涓婁竴鐐癸紝涓?锛屽垯A. B.C. D.7.х殑鏄?A. B. C. D.8.璁鹃泦鍚?鏄?鐨勫瓙闆嗭紝濡傛灉鐐?婊¤冻锛?锛岀О涓?闆嗗悎鐨勮仛鐐?鍒欎笅鍒楅泦鍚堜腑浠?涓鸿仛鐐圭殑鏈夛細鈶?锛?鈶?锛?鈶?锛?鈶?A.鈶♀憿B. 鈶♀懀C. 鈶犫憿D. 鈶犫憿鈶?:6,姣忓皬棰?鍒?鍏?0鍒? 9. 澶嶆暟. 10.鍦ㄢ柍ABC?鎵€瀵圭殑锛?鐨勫ぇ灏?涓?. 11.鐩寸嚎涓庡渾鐩镐氦浜?涓ょ偣锛鐨勯暱绛変簬. 12.鑻ヤ笉绛夊紡缁?琛ㄧず鐨勫钩闈㈠尯鍩熸槸涓鐨勫彇鍊艰寖鏄?. 13.鏌愬晢鍝佸湪鏈€杩?澶╁唴鐨勫崟浠?涓庢椂闂?鐨勫嚱鏁板叧绯绘槸涓庢椂闂?鐨勫嚱鏁板叧绯绘槸.鍒欒繖绉嶅晢鍝?у€间负. 14.宸茬煡鍑芥暟鐨勫畾涔夊煙鏄疍锛岃嫢瀵逛簬浠绘剰锛屽綋鏃讹紝閮芥湁锛?鍒欑О鍑芥暟鍦―涓婁负闈炲噺鍑芥暟.璁惧嚱鏁?鍦?涓婁负闈炲噺鍑芥暟锛屼笖婊¤冻浠ヤ笅涓変釜鏉′欢锛氣憼锛?鈶?锛?鈶?.鍒?锛?.涓夈€佽В: 6,鍏?0鍒?鏄? ? 15.(?3鍒? 宸茬煡鍑芥暟锛?锛堚厾锛夋眰鍑芥暟?锛堚叀锛夋眰鍑芥暟鍦ㄥ尯闂?涓婄殑鏈€灏忓€煎拰鏈€澶у€硷紟16. 14鍒嗭級鍦ㄥ洓妫遍敟// 锛?锛?锛?锛?涓?鐨勪腑鐐癸紟锛堚厾锛夋眰璇侊細PA//骞抽潰BEF 锛?锛堚叀锛夋眰璇侊細锛?17. 13鍒嗭級鏃ュ潎鍊?/绔嬫柟绫?3 34 8 1 7 9 3 9 7 ф?鏍囧噯閲囩敤涓栧崼缁勭粐璁惧畾鐨勬渶瀹介檺鍊硷紝鍗?鏃ュ潎鍊煎湪/绔嬫柟绫充互涓嬬┖姘旇川閲忎负涓€绾э紱鍦?/绔嬫柟绫?/绔嬫柟绫充箣闂寸┖姘旇川閲忎负浜岀骇锛涘湪/绔嬫柟绫充互涓婄┖姘旇川閲忎负瓒呮爣锛?鏌愬煄甯?骞村叏骞存瘡澶╃殑鎶藉彇綅涓鸿寧锛屼釜浣嶄负鍙讹級锛?(鈪? 鑻ヤ粠杩??澶╋紝姹傝嚦澶氭湁涓€澶╃┖姘旇川閲忚秴鏍囩殑姒傜巼锛?(鈪?鏍规嵁杩?澶╃殑鎸?ф垨浜岀骇锛?18. (?3鍒? 宸茬煡鍑芥暟. 锛堚厾锛夊綋鏃讹紝姹傛洸绾?鍦ㄧ偣澶勭殑鍒囩嚎鏂圭▼锛?锛堚叀锛夋眰鍑芥暟鐨勫崟璋冨尯闂达紱锛堚參锛夎嫢瀵逛换鎰忕殑锛岄兘鏈?鎴愮珛锛屾眰a鐨勫彇鍊艰寖鍥?19. (?4鍒? 鍜岀偣锛屽瀭鐩翠簬杞寸殑鐩寸嚎涓庢き鍦?浜や簬涓ょ偣锛岃繛缁?浜ゆき鍦?浜庡彟涓€鐐?. 锛堚厾锛夋眰妞鐨勭劍鐐瑰潗鏍囧拰绂诲績鐜囷紱锛堚叀锛夎瘉鏄庣洿绾?涓?杞寸浉浜や簬瀹氱偣.20.13鍒嗭級瀵逛簬瀹炴暟锛屽皢婊¤冻鈥?涓?涓烘暣鏁扳€濈殑瀹炴暟绉颁负瀹炴暟?琛ㄧず锛庝緥濡?瀵逛簬瀹炴暟锛屾棤绌锋暟鍒?婊¤冻濡備笅鏉′欢锛?锛?鍏朵腑锛堚厾锛夎嫢锛屾眰鏁板垪?锛堚叀锛夊綋鏃讹紝瀵逛换鎰忕殑锛岄兘鏈?锛屾眰绗﹀悎瑕佹眰鐨勫疄鏁?鏋勬垚鐨勯泦鍚?锛?锛??涓?浜掕川锛夛紝瀵逛簬澶т簬锛屾槸鍚﹂兘鏈?鎴愮珛锛岃瘉鏄庝綘鐨勭粨璁猴紟鎴垮北鍖洪珮涓夊勾绾х?鏁?瀛?锛堟枃绉戯級2013.048,姣忓皬棰?鍒?鍏?0鍒? 1A 2D 3B 4C 5B 6A 7C 8A :6,姣忓皬棰?鍒?鍏?0鍒?9. 10. 鎴?11. 12. 13. 14. 涓夈€佽В: 6,鍏?0鍒? 1513鍒嗭級锛堚叀锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?褰?鏃讹紝姝ゆ椂鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?褰?鏃讹紝姝ゆ椂鈥︹€︹€︹€?3鍒?1614鍒嗭級锛堚厾锛夎瘉鏄庯細杩炴帴AC E浜嶰锛屽苟杩炴帴EC,FO // , , 涓?AE//BC,涓擜E=BC BCE涓哄钩琛屽洓杈瑰舰鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?O涓篈C鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?..2鍒?鍙?F涓篈D// 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?.....鈥?4鍒?..鈥︹€?.鈥︹€?.5鍒?// 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?.鈥︹€?.鈥︹€?.7鍒? 1713鍒嗭級?澶╂湁4澶╃┖姘旇川閲忔湭瓒呮爣锛屾湁2澶╃┖姘旇川閲忚秴鏍団€︹€︹€?鍒?璁版湭瓒呮爣鐨?澶╀负锛岃秴鏍囩殑涓ゅぉ涓?锛屽垯浠?澶╂娊鍙?澶╃殑鎵€鏈夋儏鍐典负锛?锛?鍩烘湰浜嬩欢鎬绘暟涓?5 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?嚦澶氭湁涓€澶╃┖姘旇川閲忚秴鏍団€濅负浜嬩欢锛屽垯鈥滀袱澶╅兘瓒呮爣鈥濅负浜嬩欢锛?鏄撳緱锛?鎵€浠?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛堚叀锛?澶╀腑绌烘皵璐ㄩ噺杈惧埌涓€绾ф垨浜岀骇鐨勯鈥︹€︹€︹€︹€?1鍒?锛?鎵€浠ヤ及璁′竴骞翠腑骞冲潎鏈?澶╃殑绌烘皵璐ㄩ噺杈惧埌涓€绾ф垨浜岀骇. 鈥︹€︹€︹€?13鍒?庯細绛?43澶╋紝244澶╀笉鎵ｅ垎锛?1813鍒嗭級锛堚厾锛?鏃讹紝鈥︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鏇茬嚎鍦ㄧ偣澶勭殑鍒囩嚎鏂圭▼鈥︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛堚叀锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈶犲綋鏃讹紝鎭掓垚绔嬶紝鍑芥暟?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈶″綋鏃讹紝浠?锛岃В寰?鎴?x ( 0, ) ( ,1)f鈥?x) - + f(x) 鍑?澧?鎵€浠ュ嚱鏁??锛岄€掑噺鍖洪棿涓?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒??锛屼娇鎴愮珛锛屽彧闇€浠绘剰鐨?锛?鈶犲綋鏃讹紝鍦?涓婃槸澧炲嚱鏁帮紝鎵€浠ュ彧闇€鑰?鎵€浠?婊¤冻棰樻剰锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈶″綋鏃讹紝锛?鍦?涓婃槸澧炲嚱鏁帮紝鎵€浠ュ彧闇€鑰?鎵€浠?婊¤冻棰樻剰锛涒€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?鈶㈠綋鏃讹紝锛?鍦?涓婃槸鍑忓嚱鏁帮紝涓婃槸澧炲嚱鏁帮紝鎵€浠ュ彧闇€鍗冲彲鑰?浠庤€?涓嶆鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?缁煎悎鈶犫憽鈶㈠疄鏁?鐨勫彇鍊艰寖鍥翠负锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?3鍒?1914鍒嗭級锛堚厾锛夌敱棰樻剰鐭ワ細鎵€浠?鎵€浠ワ紝鐒︾偣鍧愭爣涓?锛?绂诲績鐜?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛堚叀锛夌敱棰樻剰鐭ワ細鐩寸嚎PB B鐨勬柟绋嬩负鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛?锛屽垯锛?鐢?寰?鍒?(1) 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鐩寸嚎AE鐨勬柟绋嬩负锛?浠?锛屽緱(2) 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?鍙?锛?浠ｅ叆(2)寮忥紝寰?(3) 鎶?1)浠ｅ叆(3)寮忥紝鏁寸悊寰?鎵€浠ョ洿绾緼E涓?杞寸浉浜や簬瀹氱偣. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?2013鍒嗭級锛堚厾锛?锛?锛?锛?鎵€浠?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛堚叀锛?锛?鍒?锛屼粠鑰?鍒?鎵€浠?瑙ｅ緱锛?锛?锛岃垗鍘伙級鈥︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?鎵€浠ラ泦鍚?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛堚參锛夌粨璁烘垚绔? 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鏄撶煡锛?涓?璁?锛?潪璐熸暣鏁帮紝浜掕川锛?鐢?锛屽彲寰?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鑻?锛?锛?熸暣鏁帮級鍒?锛岃€岀敱寰?锛屾晠锛?锛屽彲寰?鈥︹€︹€?1鍒?鑻?鍒?锛?鑻?鍧囦笉涓?锛屽垯杩?浜掍笉鐩稿悓涓旈兘灏忎簬锛屼絾灏忎簬. 鏁?0锛屽嵆瀛樺湪锛屼娇寰?. 浠庤€屾暟鍒?涓?浠ュ強瀹冧箣鍚庣殑椤瑰潎涓?锛?鎵?鐨勮嚜鐒舵暟锛岄兘鏈?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?3鍒?。
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A房山区2008年中考模拟练习(一)数 学 试 卷考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷密封线内认真填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号．3．考试结束，请将本试卷和机读答题卡一并交回．第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）考生须知：1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题．2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．4的相反数是A 、－4B 、 4C 、14D 、142． 2008年3月24日北京奥运会火炬在古奥林匹亚遗址内点燃，北京奥运会火炬接力传递距离约为137000千米，是历届奥运会火炬传递距离最长的一届．将137000用科学记数法表示为A. 13.7×410B. 137×103C. 1.37×105 D 0.137×1063、如图所示，直线DE ∥AB ，CB 交DE 于点G ，若∠ABC=60 ∠DEC=26 ，则∠C 等于A 、26B 、34C 、60D 、864、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点， 若∠AEF=90°，则一定有A 、ΔADE ∽ΔAEFB 、 ΔECF ∽ΔAEFC 、ΔAEF ∽ΔABFD 、 ΔADE ∽ΔECF5、2008年3月份，某市市区一周空气质量报告中二氧化氮指数的数据是：31 35 31 34 30 32 31，这组数据的中位数、平均数分别是A.32，31B. 31，31C. 31，32D.32，356、书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是 A 、61 B 、 31 C 、 21 D 、 327、某中学团支部组织团员进行登山活动．他们开始以每小时a 千米的速度登山，行进一段时间后队伍开始休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以每小时b 千米（0＜b ＜a ）的速度继续前进，直达山顶．在下列图象中，可以近似地刻画登山路程s （千米）随时间 t （时）变化的是A 、B 、C 、D 、t/时t/时t/时千米s/t/时8、将右图所示的硬纸片围成正方体纸盒(接缝粘贴部分忽略不计),则围成的正方体纸盒是C房山区2008年中考模拟练习(一)数 学 试 卷第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）考生须知：1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点， AB=4，AC=6，DE=2.4,则△ABC 的周长是 .1021()03n +=，则3mn 的值为 .11、如果一个正方形的面积是10，那么它的边长的取值范围在整数 和 之间．12、设正△ABC 的边长为a ，将△ABC 绕它的中心（正△ABC 外接圆的圆心）旋转60º得到对应的△A ´B ´C ´，则A ，B ´两点间的距离等于______________．三、解答题（共5个小题，共25分） 13．（本小题满分5分）101sin 60(2008)2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭14．（本小题满分5分）分解因式：2288a b ab b -+ 15．（本小题满分5分）解不等式组： 33213(1)8x x x x-⎧+≥⎪⎨⎪--<-⎩C 东北16．（本小题满分5分）已知：如图，∠ABC=∠ADE ，∠DAB=∠EAC ，AB=AD ．求证：BC=DE ．17．（本小题满分5分）化简求值：223312111a a a a a a a ++÷-++++，其中2a =．四、解答题（共2个小题，共10分） 18、（本小题满分5分）在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条河的宽．如图所示，一学生在点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在北偏东59 的方向上，沿河岸向东前行20米到达B 处，测得C 在北偏东45 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：531tan 59,tan 31,sin 31352≈≈≈ ）19．（本小题满分5分）如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，连结AD 、BE ，若1sin 2A =，∠BED=30°．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由； （3）若O 的半径2R =，试求CE 的长．C图2五、解答题（本题满分5分）20．为响应国家要求中小学生每天锻练1小时的号召，某校准备开展“阳光体育运动”的活动．校学生会围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．绘制如下的统计图表：(1) 该校对多少名学生进行了抽样调查；（2）请在图1中将“乒乓球”部分的图形补充完整；（3）该校九年级学生比八年级学生多40人，请你计算该校九年级有学生多少人？并估计全校学生中最喜欢足球活动的人数约为多少？六、解答题（共2个小题，共10分） 21．（本小题满分5分） 列方程或方程组解应用题：某中学正在开展“微笑成长日记”佩带五色微笑圈的活动．小明调查了九年级（1）班佩带红色和蓝色微笑圈的人数情况，调查结果如下：（1） 佩带红色和蓝色微笑圈的共有24人；（2） 佩带蓝色微笑圈的人数比佩带红色微笑圈的人数的2倍少3人． 请你根据以上情况帮助小明计算出该班佩带红色和蓝色微笑圈的各有多少人？ 22．（本小题满分5分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =－2x 沿x 轴向右平移两个单位得到直线l ，直线l 与反比例函数xky 的图象的一个交点为A （a ，8），试确定反比例函数的解析式．七、解答题（本题满分7分）23．图1是边长分别为a 和b （a ＞b ）的两个等边三角形纸片ABC 和C ′DE 叠放在一起（C 与C ′重合）的图形．（1）操作：固定△ABC ，将△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连结AD ，BE ，如图2；在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． （2）操作：若将图1中的△C ′DE 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD ，BE ，如图3；在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD 的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD 的长度最小？是多少？（不要求证明）图1 图2 图3八、解答题（本题满分7分）24、如图，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且OA ＝OB ＝1，经过原点O 的直线l 交线段AB 于点C ，过C 作OC 的垂线，与直线x ＝1相交于点P ，现将直线l 绕O 点旋转，使交点C 从A 向B 运动，但C 点必须在第一象限内，设AC 的长为t ．（1）当△AOC 和△BCP 全等时，求出t 的值．（2）通过动手测量线段OC 和CP 的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论．（3）设点P 的坐标为（1，b ），试写出b 关于t 的函数关系式和变量t 的取值范围．九、解答题（本题满分8分）25、已知：抛物线c-=2过点A（-1，0）、B(-2,-5),与y轴交于点C，顶点+bxxy+为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)某直线过点A（-1，0），且与抛物线只有一个交点，求此直线的解析式；(3)直线l过点C,且l∥x轴,E为l上一个动点，EF⊥x轴于F．求使DE+EF+BF的和为最小值的E、F两点的坐标，并直接写出DE+EF+BF的最小值.房山区2008年中考模拟练习(一) 数学试卷参考答案和评分标准二、填空题：9、14.8 10、-211、3，4（或4，3）12三、解答题：1311sin60(2008)2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭12=-+-------------------------------------------------------------------------4分1=分14、2288a b ab b-+22(44)b a a=-+---------------------------------------------------------------------2分22(2)b a=----------------------------------------------------------------------------5分15、解不等式33,2xx-+≥得x≤3；--------------------------------------------------2 分解不等式1-3 (x-1) < 8-x，得x＞-2．------------------------------------------4 分所以，原不等式组的解集是-2 < x≤3．--------------------------------------- 5 分16、（本小题满分5分）∵∠DAB=∠EAC∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE即∠DAE=∠BAC--------------------------------------------------------------------------2分在△ABC与△ADE中A B C=A D E,A B A D∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩∠BAC＝∠DAEC∴△ABC ≌△ADE ---------------------------------------------------------------4分 ∴BC ＝DE ．-----------------------------------------------------------------------5分17、原式＝2(3)11(1)31a a a a a a ++⨯-+++------------------------------------------------2分 ＝111a a a -++------------------------------------------------------------3分 ＝11a a -+---------------------------------------------------------------------4分当 2a =时，原式＝211213-=+---------------------------------------------------------------5分四、解答题： 18、过点C 作CD ⊥AB 于D ．---------1分 设CD=x ，在Rt △BCD 中,∠CBD=45 , ∴BD=CD=x.--------------------------2分 在Rt △ACD 中,∠DAC=31 ,AD=AB+BD=20+x ，CD=x∵tan CDDAC AD∠=∴3520x x =+-------------------------------------------------------------------------4分 ∴30x =答：这条河的宽度约为30米．-------------------------------------------------5分19、解：（1）连接OD ．---------------------------------------------------------1分 ∵30BED ∠= ，60AOD ∴∠= ，∵1sin 2A =∴∠A=30 ∴∠A+∠AOD=90 ∴∠ADO=90∴ AD 是⊙O 的切线．--------------------------------------------------------------2分（2）DCE △是等边三角形．理由如下： BC 为O 的直径且AC DE ⊥．CECD ∴=． CE CD ∴=．-----------------------------------------------------------------------------3分 BC 是O 的直径，90BEC ∴∠= ， 30BED ∠= ， 60DEC ∴∠= ，DCE ∴△是等边三角形．-------------------------------------------------------------4分 （3） O 的半径2R =． ∴直径4BC =∵△DCE 是等边三角形，∴∠EDC=60 ∴∠EBC=60 在Rt BEC △中，sin CEEBC BC∠=，sin 60CE BC ∴= 42=⨯=分五、解答题 20、（1）40÷40%=100(人)------1分 （2）如图:----------------------2分（3）九年级有学生：36040400+=（人） -----------------------3分 答：该校九年级有学生400人． 2403604001000++= （人） 201001000200100⨯⨯=％ （人） ------------------------5分答：估计全校学生中最喜欢足球活动的人数约为200人． 六、解答题21、设佩带红色微笑圈的有x 人，佩带蓝色微笑圈的有y 人，---------1分 依题意，得24,23x y x y+=⎧⎨-=⎩----------------------------------------------------------------3分 解得 9,15x y =⎧⎨=⎩-------------------------------------------------------------------------4分答：佩带红色微笑圈的有9人，佩带蓝色微笑圈的有15人．----------5分 22、设直线l 的解析式为 2y x b =-+,依题意, 直线l 过点(2,0), 所以0=-4+b 所以 b=4所以直线l 的解析式为 24y x =-+------------------------------------2分 因为A （a ，8）在直线24y x =-+上 则a ＝-2即 A （-2，8）---------------------------------------------------------------3分 又因为A （-2，8）在y kx=的图象上 可求得 k ＝-16所以 反比例函数的解析式为 16y x=--------------------------------5分七、解答题23、 （1）BE =AD ．----------------------------------------1分∵△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE =∠ACD =30°．∵△ABC 与△C ′DE 是等边三角形，∴CA =CB ，CE =CD ．∴△BCE ≌△ACD ．∴BE =AD ．-----------------------------------------------2分（2）BE =AD ．------------------------------------------------3分∵△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转的角度为，∴∠BCE =∠ACD =．∵△ABC 与△C ′DE 是等边三角形，∴CA =CB ，CE =CD ．∴△BCE ≌△ACD ．∴BE =AD ．-----------------------------------------------4分 （3）当为180°时，线段AD 的长度最大，等于a +b ；----------6分 当为0°（或360°）时，线段AD 的长度最小，等于a -b ．-----7分 八、解答题 24、(1)∵∠AOB=90 ，AO=BO=1∴由△AOC≌△BCP 知AO=BC=1， ∴1∴1t =（2）OC=CP ．过点C 作x 轴的平行线，交直线BP 于点F ,则∠OEC=∠CFP=90 且∵∠EAC=45 ∴AE=EC ∴OE=CF ∵∠OCP=90 ∴∠ECO+∠FCP=90 又∵∠AOC+∠ECO=90 ∴∠AOC=∠FCP ∴△OEC ≌△CFP∴OC=CP--------------------------3分 (3)∵AC=t, ∠AEC=90 ，∠EAC=45 ∴AE=EC=2∴OE=BF=12-PF=2当b>0时, P 在x 轴上方，BF = OE∴122b +=- ∴1(0b t =+<<当b<0时，P 在x 轴下方，由△OEC ≌△CFP ,得∴OE=1-(-b)∴122b -=+∴1(0b t =+<<∴b 关于t 的函数关系式为1(0b t =+<.--------------------------7分九、解答题： 25、（1）根据题意,得：⎩⎨⎧-=+--=+--52401c b c b 解得：⎩⎨⎧==32c b∴所求抛物线的解析式为223y x x =-++．-----------------------------------2分（2）①若所求直线与y 轴相交，设其解析式为y=kx+m(k ≠0)∵直线过A （-1，0）∴m=k ∴y=kx+k∵直线y=kx+k 与抛物线223y x x =-++只有一个交点∴方程223kx k x x +=-++有两个相等的实数根即方程03)2(2=-+-+k x k x 有两个相等的实数根∴△=01682=+-k k ∴421==k k∴直线的解析式为y=4x+4---------------------------------------------------------------------------------3分②若所求直线与y 轴平行，所求直线为x=-1------------------------4分 综上所述，所求直线的解析式为y=4x+4或x=-1 （3）抛物线223y x x =-++的顶点坐标为D(1,4)，与y 轴交点C （0，3）． 把点D(1,4)向下平移3个单位，得到D ’(1,1),连结BD ’交x 轴于点F,过点F 作FE ⊥直线l 于E ，则E 、F 两点为所求. 设直线BD ’的解析式为：y=ax+n(a ≠0)则⎩⎨⎧=+-=+-152n a n a 解得：⎩⎨⎧-==12n a∴直线BD ’的解析式为：y=2x-1∴直线BD ’与x 轴的交点F （)0,21-----------------------------------5分∵EF ⊥x 轴，EF=3∴E （3,21）----------------------------------------------------------------6分∴DE+EF+BF 的最小值是533+.------------------------------------8分。