高斯投影坐标计算
高斯投影坐标反算公式.ppt
15
说明：⑴ 为 l 的奇函数，而且 l 越大， 越大；
⑵ 有正负，当描写点在中央子午线以东时， 为正， 以西时， 为负；
⑶ 当 l 不变时，则 随纬度增加而增大。
（2）由平面坐标 x，y 计算平面子午线收敛角
(x，y) (l，Bf )
Nf
y tan Bf [1
y2 3N f 3
(1
tan2 Bf
y3
1
120N
5 f
c os B f
5
28t
2 f
24t
4 f
y5
B Bf
tf
2M f N f
y2
t
3 f
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
5、中央子午线收敛角和经度
Nf
y tan Bf [1
y2 3N f 3
(1
tan2
Bf
f 2)]
L L0 l
小结
②计算中央子午线经度
六度带 L0 6n 3 三度带 L0 3n
11 n 24 23 n 49
2、迭代法求取大地纬度 迭代开始时设 B1f X a0
以后每次迭代按下式计算
F
(
B
i f
)
a2 2
sin 2Bif
a4 4
sin 4Bif
a6 6
sin 6Bif
Bif1 (X F(Bif )) a0
计算子午线收敛角的意义： 1、用于大地方位角和高斯平面坐标方位角的转换； 2、高斯正反算检核坐标计算的正确性。。
大地方位角＝坐标方位角－子午线收敛角＋方向改化
1 高斯投影坐标正算公式
1 高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标，求该点在高斯投影平面上的直角坐标，即的坐标变换。
（2）投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为（）及（），式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差：, 点在中央子午线之东, 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为和。
（4）计算公式当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：2 高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标，求该点在椭球面上的大地坐标，即的坐标变换。
（2）投影变换必须满足的条件坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；轴上的长度投影保持不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度，接着按计算（）及经差，最后得到、。
（4）计算公式当要求转换精度至时，可简化为下式：3高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。
因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。
在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。
首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标。
在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线来计算经差，亦即此时。
算例在中央子午线的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标，，现要求计算该点在中央子午线的第Ⅱ带的平面直角坐标。
高斯投影坐标正算公式
高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正反算公式2.2.2. 1高斯投影坐标正算公式： B, x,y高斯投影必须满足以下三个条件：⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。
（2-10）式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。
由第三个条件知：分别对和q求偏导数并代入上式(2-11)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即(2-12)(2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(2-10)式第一式中，当时有：(2-13)顾及(对于中央子午线)得：(2-14,15)(2-16)依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式(2-17)2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式x,y B,投影方程：(2-18)高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
⑴由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与的关系式，仿照式有，由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。
(2-19)是待定系数，它们都是x的函数.由第三条件知：，， (2-20)(2-19)式分别对x和y求偏导数并代入上式上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。
也就是在底点展开为y的幂级数。
由(2-19)1式依次求得其它各系数(2-21)(2-21)1…………将代入(2-19)1式得(2-22)1(2-22)将代入(2-19)2式得(2-23)2式。
高斯投影6度和3度分带计算公式
高斯投影6度和3度分带计算公式高斯投影是一种常用的地理坐标转换方法，它将地球表面上的经纬度坐标转换成平面坐标系，以方便地图绘制和测量。
在中国，高斯投影采用的是带状投影方式，其中6度和3度分带是最常用的两种分带方式。
本文将介绍高斯投影6度和3度分带的计算公式和步骤。
1.高斯投影的基本原理高斯投影是基于椭球体模型的地图投影方法，其基本原理是将地球表面划分为一系列带状区域，每个区域采用不同的投影中央经线。
在相应的中央经线上，经度与平面坐标有直接线性关系，而纬度则需要进行适当的纬度变换。
2.高斯投影6度分带2.1计算公式对于给定的经度λ和纬度φ，可以计算出相应的高斯坐标(x,y)。
(1)计算带号先计算经度λ所在的带号zone：zone = int((λ+3)/6) + 1(2)计算中央经线中央经线投影为：L = zone * 6 - 3(3)计算ΔLΔL=λ-L(4)计算纬度变化量B=φ×π/180(5)计算椭球长半轴(6)计算参数e(7)计算TT = tan(B)T2=T*TC = e * cos^2(B)A = (λ - L) × cos(B)(8)计算MM = a * ((1 - e / 4 - 3e^2/64 - 5e^3/256) * B - (3e/8 + 3e^2/32 + 45e^3/1024) * sin(2 * B)+ (15e^2/256 + 45e^3/1024) * sin(4 * B) - (35e^3/3072) * sin(6 * B))(9)计算yy=M+a*(1-C+(5-T2+9C+4C^2)*A^2/12+(61-58T2+T^4)*A^4/360)(10)计算xx=a*((1-C+(1-T2+C)*A^2/6+(5-18T2+T^4+14C-58TC)*A^4/120)*A)3.高斯投影3度分带高斯投影3度分带是在中国西部和南部地区常用的投影方式，将全球划分为120个带状区域，每个带状区域跨度3度。
高斯投影及计算
x y y 2 - 1= y
C
2dδ
ε 2
2dδ
δ21
dξ
B
dδ dσ
DA
Tδ12
1
y
x B′
y A′
B dδ
A dδ
η
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 二、方向改正计算 • 方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影
到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正δ。 • 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面， 然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进 行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
高斯投影计算内容
归算
解算
椭球面
大地坐标
高斯投影 坐标公式
两
种
地面观测数据
方
高斯直角 平面坐标
法
归算
椭球面
高斯平面
归算
解算平面三角形
平差计算
高斯投影计பைடு நூலகம்内容
Vy 2 项。
项y，4m
西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代 表任意解析函数。
x iy f (q il)
高斯投影坐标计算
• 高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x， y）
• 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B， L）
高斯投影坐标计算
大地经度L是从起始子午面开始起算的 起始子午线作为投影的中央子午线
上式的计算精度为0.1″。
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 三、距离改正计算
• 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投
影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算.
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
式中：
2 e 2 cos2 B
t 2 tan2 B l （L L0） X为B对应子午线弧长 N为卯酉圈曲率半径 20626 5
昆明冶金高等专科学校测绘学院
2
高斯投影坐标反算公式
（1）高斯投影反算：
已知某点 x, y ，求该点 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件
昆明冶金高等专科学校测绘学院
二、高斯投影坐标正反算得实用公式及算例
1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算： 已知某点的 L, B ，求该点的 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为 ( L1 , B1 )或（l1 , B1）及 （L2 , B2）或(l2 , B2 ) 式中 l 为椭球面上点的经 度与中央子午线 ( L0 ) 的经度差：l L L0 ,点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) 。
高斯投影坐标计算
l 4
4
)
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y ) 函数式： l 2 ( x, y ) 同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。
B ) cos
B
N b2 b3 b 4 b5
N
f
y cos B f cos
2
( 0 . 5 0 . 00336975
B f ) sin B f cos B f 0 . 001123 cos
2 2 2 2
0 . 333333 ( 0 . 1666667
高斯投影的特点分析
(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值 减小；无论B值为正或负，y值不变。这就是说， 椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后， 均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还 对称于中央子午线和赤道。 (2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都 增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投 影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影 曲线互相垂直凹向两极。
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
B f ) cos
2
2
高斯投影正反算公式
高斯投影坐标正反算一、基本思想：高斯投影正算公式就是由大地坐标（L ，B ）求解高斯平面坐标（x ，y ），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x ，y ）求解大地坐标（L ，B ）。
二、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第一偏心率：e a= 椭球第二偏心率：e b'=高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ其中：角度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央子午线经度； N 为子午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为子午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ⎡⎤=--++-+⎢⎥⎣⎦02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ⎧=++++⎪⎪⎪=+++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎪⎩02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；高斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央子午线经度。
第四章 7高斯投影坐标正反算
——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释
提前在黑板上写出四个m2
上一讲应掌握的内容
1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 x F1 ( L, B) 坐标投影公式： y F2 ( L, B) 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 ）
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m
xX N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B(5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
N sin B cos 5 B(61 - 58t 2 t 4 )l 6 720
dl tan Adq
2 2 2 2 E ( dq ) 2 F tan A ( dq ) G tan A ( dq ) m2 2 2 2 r2 ( dq ) tan A ( dq )
E 2 F tan A G tan 2 A = r 2 sec 2 A E cos 2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A = r2
解释高斯投影坐标正算
解释高斯投影坐标正算
高斯投影坐标正算是指通过数学方法，将地球表面上的点转移到平面上，并使这些点在平面上的坐标符合高斯投影公式。
在高斯投影中，地球表面上的点通常用地理坐标 (经度和纬度) 表示，而平面上的点的位置是用直角坐标 (X 和 Y) 表示的。
具体来说，高斯投影坐标正算涉及以下步骤:
1. 确定基准面：高斯投影的基准面通常是椭球面，而不是平面。
因此，在正算过程中，需要先将点转移到椭球面上，然后再转移到平面上。
2. 计算投影参数：高斯投影需要确定两个参数:椭球面上的经纬度和平面上的坐标。
这些参数需要通过计算来确定。
通常，需要使用投影公式来计算这些参数。
3. 计算平面坐标：在高斯投影中，平面坐标系是与椭球面相切的。
因此，计算出的平面坐标应该是与椭球面相交的点的位置。
通过计算椭球面上的点到平面上的投影距离，可以得到平面坐标。
4. 正算坐标：通过以上步骤，可以得到高斯投影坐标的正算结果。
这些结果通常包括点的 X 和 Y 坐标。
这些坐标应该与地图上的点的位置相对应。
高斯投影坐标正算是地图投影中非常重要的一步。
通过正算，可以得到准确的平面坐标，以便在地图上表示点的位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
720 M l N 120 N
f
f
N
5 f
y 61 90 t y 6N
3 f 3
45 t
dX dq
d q
2 2
N cos B
c V
cos B
dq dX
1 N cos B
1 r
dX
1 dr r dx
2
sin B r
2
t N cos B
2
依次求导，还可得：
d q
3 3
dX
1 (1 N cos B
3
2
2t
2
)
2
d q
4
4
dX
1 (5 N cos B
4
2
6t
写成反函数的形式，即：
q il F ( x iy )
将函数 f ( z ) 在
f (z)
z
0
点附近展开成泰勒级数
：
2
f ( z 0)
df ( z ) dz
( z z )
0
1 2!
d
2
f (z) dz
( z z )
0
2
x
y
c B
0
F
X
(B )
F
X
( B ,l )a l1Fra bibliotekF
y
( B ,l )
四. 高斯投影坐标反算的迭代计算 公式
由上式可得到高斯投影 坐标反算迭代公式：
i
B
i
x
F
x
(B
i 1
)
c
i
F
0
x
(B
i 1
,l
i 1
)
i
a
1
a cos B 1 e
2 2
sin
i
B
)
i
l
y
F
f 2 f
cos B
f
d B 2 dq
2
sin B
f
f
cos B f (1 4
2 f
3 f )
4
d B 3 dq
3
cos
f
3
B f (1 t
2 f
5
2 f
13 f t
2
2 f
7
4 f
27 f t f )
y
f
2
24 N
t
4 f
f
5
f
6t
2 f
2 f
4
4 f
y y
4
cos B t
f
cos B
2 f
720 N
6 f
cos B
61
f
180 t
120 t
4 f
46
2 f
48
2 f
t
2 f
6
按泰勒级数展开
求式中导数的公式为：
dB dq V
6
N 2
2
t cos B l
2
N 24
2 4 4
t cos
3
B ( 5 t 9
2
2
4 ) l
4
4
t cos
5
B ( 61 58 t t ) l
6
y
N
N
cos B l
N 6
3
cos
3
B (1 t 14
2 2
2
a l
6
) l ]l
2
2
N
} sin B cos B
y N cos B [1 ( a 3
a l
5
) l ]l
四. 高斯投影坐标反算的迭代计算 公式
设：
a
a
2
3
1 2
N sin B cos B
3
1 N cos B ( 1 6
3
2
t )
2
a
4
1 24 1
N sin B cos B ( 5
x
I
f
e B ， O 求y
d (B, L)
已知
平行圈
x
X
O
y
一 高斯投影坐标正算公式计算
x X l
2
d X dq
2
2
l
4
d X
4
4
l
6
d X dq
5
6
6
2
24 dq
3 3
720
5
就是高斯投影 坐标正算的 基本公式
y
l
dX dq
d X 6 dq
l
3
l 120
d X dq
3
M
d q dX
6
6
)
f
....
将实部和虚部分开，得
2
q
q
f
y d q ( ) 2 2 dX
3
2
4
f
y 24
(
d q dX
4
6
) 4
f
y 720
(
5
d q dX
6
) 6
f
....
l
y(
dq dX
)
f
y 6
(
d q dX
3
3
5
)
f
y 120
(
d q dX
5
)
f
....
一 高斯投影坐标正算公式计算
N 6
3
cos
3
B (1 t 14
2
2
) l
3
120
5
cos
5
B ( 5 18 t
2
t
4
2
58 t
2
2
) l
5
式中，B为d的大地纬度；X为赤道至纬度B的子午线弧长；l为d点与中央子午线间的经差
二、高斯投影坐标反算公式
定义： 由高斯平面坐标（x，y），求该点在椭球面上相应的 大地坐标（B，L）。 将正形投影的一般公式 ： x iy f ( q il )
2
) l
2 2
3
120
5
cos
5
B ( 5 18 t
2
t
4
2
58 t ) l
2
5
三.高斯投影坐标正算的数值公式
若令 m l cos B
180
, 则上式可写为：
x X Nt （ {[ 1 720 ( 61 58 t
1 24
2
(5 t
高斯投影坐标计算
-坐标正算和反算
高斯投影坐标计算
一．
高斯投影坐标正算公式计算
高斯投影坐标反算公式计算 高斯投影坐标正算的数值公式
二．
三．
四. 高斯投影坐标反算的迭代计算公式
一 高斯投影坐标正算公式计算
定义： 高斯投影坐标正算：由大地坐标（L，B）推算高斯平面坐标 （x，y）。 在高斯投影分带中，各投影带均以纬度为 L 的子午线作为中 央子午线，此时有：
则高斯投影坐标正算公式可改写为：
x
y
X
2
a l
2