高中数学 第一单元 基本初等函数(Ⅱ)1.3.1 正弦函数的图象与性质(四)学案 新人教B版必修4

1.3.1 正弦函数的图象与性质(四)学习目标 1.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义知识点二 φ、ω、A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 观察下面图(1)、图(2)中函数y ＝sin(x ＋π3)，y ＝sin(x －π3)的图象，比较它们与函数y ＝sin x 图象的形状和位置，你有什么发现？思考2 观察下面图(3)、图(4)中函数y ＝sin(2x ＋π3)，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象，比较它们与函数y ＝sin(x ＋π3)图象的形状和位置，你又有什么发现？思考3 观察下面图(5)、图(6)中函数y ＝2sin(2x ＋π3)，y ＝12sin(2x ＋π3)的图象，比较它们与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的形状和位置，你又有什么发现？梳理 (1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 图象上所有的点向____(当φ＞0时)或向______(当φ＜0时)平行移动______个单位长度而得到的.(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标______(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标______)而得到的.(3)A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A＞1时)或________(当0＜A＜1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝A sin x的值域为________，最大值为______，最小值为______.知识点三由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤知识点四“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象思考用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图象的步骤第一步：列表ωx＋φ0π2π3π22πx －φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωy 0 A 0－A 0第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的性质名称 性质 定义域 值域周期性 T ＝________对称性 对称中心⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )对称轴____________________ 奇偶性当φ＝k π(k ∈Z )时是____函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是____函数单调性通过整体代换可求出其单调区间类型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换例1 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式.反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可.跟踪训练1 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，x ∈R类型二 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例2 利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的草图.反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点.(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象. 跟踪训练2 已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈[－π2，π2]上的图象.类型三 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式.反思与感悟 若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0. “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2.“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π. “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2.“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3类型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的应用 例4 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为(π3，5).(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围.反思与感悟 有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值.1.函数y ＝－2sin(π4－x2)的周期、振幅、初相分别是( )A.2π，－2，π4B.4π，－2，π4C.2π，2，－π4D.4π，2，－π42.下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )3.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于直线x ＝π4对称C.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D.关于直线x ＝π3对称4.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为____________.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，3π2，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值.3.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.4.在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值答案精析问题导学知识点一A 2πω ω2πωx ＋φ φ 知识点二思考1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位长度而得到的．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度而得到的．思考2 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的． 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．思考3 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的． 梳理 (1)左 右 |φ| (2)缩短 不变(3)伸长 缩短 A [－A ，A ] A －A知识点三|φ| |φω|知识点四思考 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω.知识点五R[－A，A]2πωx＝π2ω＋kπ－φω(k∈Z)奇偶题型探究例1 解y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫12x＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫12x＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3――――――――――→向左平移6π个单位y＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π6＋π3＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2＝3cos x.所以f(x)＝3cos x.跟踪训练1 C例2 解依次令x2－π3＝0，π2，π，3π2，2π，列出下表：x2－π3π2π3π22πx2π35π38π311π314π3y 030－30 描点，连线，如图所示．跟踪训练2 解(1)∵x∈[－π2，π2]，∴2x －π4∈[－54π，34π]． 列表如下：x －π2 －38π －π8 π8 38π π22x －π4 －54π －π －π2 0 π2 34πf (x ) 2 1 1－2 1 1＋2 2(2)描点，连线，如图所示．例3 解 (逐一定参法)由图象知，振幅A ＝3，又T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.跟踪训练3 A例4 解 (1)∵图象最高点的坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )， ∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴函数的增区间为[k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 故所求x 的取值范围是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 跟踪训练4 解 (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2， 令k π2＋π4－φ2＝π8， 得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8 (k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )． 当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1； 当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1. 当堂训练1．D 2.A 3.A 4.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π45．解 (1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16， ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，将点(－2,0)代入得sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .。