2.2 第2课时 平方根
八年级数学上册2.2平方根第2课时平方根教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.2平方根第2课时平方根教学设计（新版北师大版）一. 教材分析平方根是八年级数学上册第2.2节的内容，主要介绍了平方根的定义、性质和运算方法。
本节内容是学生进一步理解实数体系的重要环节，也为后续学习二次根式打下基础。
教材通过例题和练习，使学生掌握平方根的概念，能够熟练求一个数的平方根，并理解平方根的性质。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数、无理数等概念，对实数体系有了一定的了解。
但是，学生对于平方根的理解可能还存在困难，需要通过具体的例题和实践活动来加深理解。
同时，学生对于数学符号和公式的记忆还不够牢固，需要在教学中加强巩固。
三. 教学目标1.理解平方根的定义，掌握求一个数的平方根的方法。
2.理解平方根的性质，能够运用平方根解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.平方根的定义和求法。
2.平方根的性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，通过案例分析和实践操作，使学生理解和掌握平方根的概念和性质，通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习上节课的内容，引导学生回忆无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）PPT展示平方根的定义和性质，通过讲解和例题，使学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
3.操练（15分钟）学生独立完成练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）学生分享解题心得，教师总结平方根的求法和性质，帮助学生巩固知识点。
5.拓展（5分钟）通过教学视频或案例，让学生了解平方根在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，加深对平方根的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2.2平方根第二课时
根号
a
被开方数 （a是非负数）
想一想
通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？
试一试
1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 0
4 3.25
12
2 5
的平方根是什么？
4. -4有没有平方根？为什么？ 没有，因为一个数的平方不可能是负数
（× ） （× ） （√ ） （√ ）
议一议：如何区别 ( a ) 与
( a )2
2
a2 ？
a2
从运算顺序看 从取值范围看
先开方,后平方 a≥ 0
先平方，后开方 a取任何实数
从运算结果看
a
∣ a∣
课后作业
祝同学们学习 进步天天√心！
归纳总结
平方根与算术平方根的联系与区别： 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术
联系：
平方根是平方根的一种. 2. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别： 一个正数有两个平方根，但只有一个算术 平方根.
求下列各数的平方根：
（ 1 ） 81
2 （2） - 25
（3） 2
1 4
当堂练习
课堂小结
平方根的概念
平方根
平方根的性质
开平方及相关运算
随堂练习 第一题
3
2
9
思考2：根据前面得出的性质填一填，
并说明理由．
2 2 2 2 2 2 0.1 2 = ； 0.1 = ； （ ）= 3 ； 02 =
3
0
.
计算下面各题：
(1) 16
解：(1)
(2) ( 5) 2
2019秋上册8数学北师版第2章实数第2课时平方根习题课件
2．(中考•恩施州)16的平方根是___±__4___．
3．(－3)2的平方根是( C )
A．3 B．－3
C．±3 D.3
返回
4．下列说法错误的是( D ) A．4是16的平方根 B．16的平方根是±4 C．－5是25的平方根 D．25的平方根是5
返回
知识点 2 平方根的性质
5．正数有___两_____个平方根，它们____互__为__相__反__数____； 0的平方根是0；负数____没__有__平__方__根_____．正数a的
D. a2 ＝|a|
返回
15．下列结论正确的是( A )
A．－ －62 ＝－6
2
B．－ 2 ＝4
C. －32 ＝±3
D．－－
4 9
＝
4 9
返回
16．(中考•枣庄)有理数a，b在数轴上对应的点的位置如
图所示，化简|a|＋ a－b2 的结果是( A )
A．－2a＋b
算．
10． 36 的平方根是( D )
A．6
B．±6
C. 6 D． 6
返回
11．(中考•南京)若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且
a＞b，则下列结论中正确的是( C )
A．a是19的算术平方根
B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根
D．b＋5是19的平方根
返回
12．若有理数x，y满足y＝ x－2 ＋ 2－x ＋1，则
平方根表示为______a__．
返回
6．下列说法正确的是( C ) A．任何数都有平方根 B．一个正数的平方根有两个，它们互为倒数 C．只有非负数才有平方根 D．不是正数就没有平方根
返回
2.2平方根-平方根、算术平方根(教案)
3.增强学生的数学建模和数学应用意识：将平方根和算术平方根与现实生活中的问题相结合，让学生在实际情境中运用所学知识解决问题，提高数学建模和数学应用能力。
这些核心素养目标将有助于学生更好地理解和掌握平方根与算术平方根的概念，为后续数学学习打下坚实基础。
-算术平方根的单一性：学生可能会混淆算术平方根和平方根的概念，认为每个正数有两个算术平方根。
-负数没有平方根：学生需要理解为什么负数没有平方根，这涉及到实数范围的拓展。
-实际问题的应用：将平方根和算术平方根应用于实际问题，如何从问题中抽象出数学模型，是学生可能遇到的难点。
举例：针对平方根的双重性，可以让学生通过具体的例子（如4的平方根是2和-2）进行操作和讨论，以加深理解。对于算术平方根的单一性，可以通过强调“非负”一词来帮助学生区分。至于负数没有平方根，可以通过图像（如抛物线y=x²）来展示，说明在实数范围内没有平方后得到负数的点。在实际问题应用方面，可以设计一些与生活相关的题目，如计算正方形边长，让学生学会将实际问题转化为数学模型。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平方根的定义：平方根是解决乘法问题的逆运算，是本节课的核心内容。学生需要理解平方根表示的意义，掌握求一个数的平方根的方法。
-算术平方根的定义：算术平方根是平方根的特殊情况，学生需要明确算术平方根的概念，学会计算一个正数的算术平方根。
-平方根和算术平方根的性质：包括正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；正数的算术平方根只有一个，为非负数等。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方根-平方根、算术平方根》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况？”（如求解一个正方形场地的面积）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方根的奥秘。
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计2
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计2一. 教材分析《平方根》是北师大版八年级数学上册第二章第二节的内容。
本节主要让学生掌握平方根的概念，了解平方根的性质，会求一个数的平方根。
教材通过引入问题情境，让学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学应用意识。
同时，平方根的学习也为后续学习立方根、算术平方根等概念打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和性质有一定的了解。
但平方根的概念与有理数的乘方有所不同，需要学生能够较好地理解和掌握。
此外，学生可能对实数的概念不是很清晰，需要在教学中引导学生正确理解实数与平方根的关系。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握平方根的性质。
2.能够求一个正数的平方根。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平方根的概念和性质。
2.难点：求一个数的平方根，特别是非正数的平方根。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生活情境，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：引导学生思考，发现规律，培养学生的数学思维能力。
3.练习法：通过大量的练习，让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作平方根的概念、性质和求平方根的课件。
2.练习题：准备一些有关平方根的练习题，包括正数、负数和零的平方根。
3.教学视频：准备一个有关平方根的数学故事视频，用于导入新课。
七. 教学过程1.导入（5分钟）播放教学视频，让学生了解平方根的由来。
然后提问：什么是平方根？引导学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）讲解平方根的概念，用PPT展示平方根的性质。
让学生观察并总结平方根的性质。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组找一个数的平方根，并解释如何找到这个平方根。
然后让学生上台展示并讲解。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，检验学生对平方根的理解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平方根有哪些应用？让学生举例说明，培养学生的数学应用意识。
2.2算术平方根(教案)
2.教学难点
-无理数算术平方根的理解：解释无理数算术平方根的存在，如√2、√3等，并理解它们不能表示为两个整数的比。
-估算无理数算术平方根的精确度：如何通过近似计算得到一个无理数算术平方根的近似值，并理解误差的概念。
1.讨论主题：学生将围绕“算术平方根在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
首先，算术平方根的定义对于一些学生来说可能还是有点抽象。虽然通过正方形边长的例子帮助他们理解了算术平方根的实际意义，但在抽象出数学概念的过程中，部分学生仍然感到困惑。在今后的教学中，我需要更多地借助直观模型和实际例子，让学生更好地理解算术平方根的定义。
其次，无理数算术平方根这一部分是学生们的一个明显难点。他们对无理数的概念本身就感到陌生，更不用说理解无理数算术平方根了。在讲解这一部分时，我意识到需要更耐心地引导学生们去感受无理数的无限不循环小数特性，以及如何估算无理数算术平方根的精确度。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了算术平方根的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对算术平方根的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对算术平方根的概念和计算方法掌握得还不错，但确实存在一些难点需要我们去关注和解决。
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计一. 教材分析《平方根》是北师大版八年级数学上册第2章第2节的内容。
本节主要让学生了解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根的性质。
通过学习本节内容，为学生进一步学习立方根、四次方根等概念打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和运算法则有一定的了解。
但是，平方根的概念和求法对学生来说是一个新的内容，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对平方根的性质有一定的困惑，需要通过大量的练习和讲解来加深理解。
三. 教学目标1.了解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.理解平方根的性质，能够运用平方根的概念和性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
四. 教学重难点1.平方根的概念和求法。
2.平方根的性质和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探索和发现来学习平方根的概念和性质。
2.使用实例和练习，让学生通过动手操作和思考来掌握求一个数的平方根的方法。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，让学生在小组内共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“你们知道什么是乘方吗？乘方和平方有什么关系？”引导学生回顾乘方的概念，为新课的学习做好铺垫。
呈现（15分钟）1.教师通过PPT展示平方根的定义，解释平方根的概念。
2.教师用实例来讲解如何求一个数的平方根，如求9的平方根。
操练（10分钟）1.学生独立完成练习题，求出指定数的平方根。
2.教师选取部分学生的作业进行点评和讲解。
巩固（10分钟）1.学生分组讨论，总结平方根的性质。
2.各小组汇报讨论结果，教师进行点评和讲解。
拓展（10分钟）1.教师提出一些实际问题，让学生运用平方根的概念和性质来解决。
2.学生独立思考和解决问题，教师进行指导。
小结（5分钟）教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结平方根的概念和性质。
北师大数学八年级上册第二章2.2平方根讲义
2.2平方根（解析）知识点定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．表示若2x a=，则x就叫做a的平方根，例：25=25±（），25的平方根就是5±．一个非负数a的平方根可用符号表示为“a±”.特征1．正数有两个平方根，且互为相反数，和为0；2．0的平方根只有一个，是它本身；3．负数没有平方根．概念如果一个非负数x的平方等于a，即2x a=，那么非负数x是a的算术平方根．表示a的算术平方根用a表示．a叫做被开方数（0a≥）．例：9=3，9叫做被开方数，3是9的算术平方根.性质双重非负性，在x a=中有0x≥，0a≥．概念求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．意义开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．性质1．当被开方数扩大(或缩小)2n倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n≥）．例：1扩大100倍为100，它的平方根相应的变为10. 2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若0a≥，则2()a a=；不管a为何值，总有2(0)||(0)a aa aa a≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．四．易错点：1．只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2．正数的平方根有两个，且互为相反数；3．0的平方根和算术平方根都是0；4．计算.例如，求164，应该是2；5．求一个带分数的平方根时，必须把带分数化为假分数.重点、难点一．考点：算术平方根、平方根．二．重难点：算术平方根的双重非负性，常见平方数．三．易错点：只有非负数才有平方根；正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根和算术平方根都是0．平方根例题1、16________．【答案】±2【解析】16±2．例题2、若|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x－y等于（）A.1或－1B.5或－5C.1或5D.－1或－5【答案】B【解析】因为|x|＝2，y2＝9，所以x＝±2，y＝±3，因为xy＜0，所以x＝2，y＝－3，所以x－y＝2＋3＝5；所以x＝－2，y＝3，所以x－y＝－2－3＝－5．例题3、一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，则a的值为（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】B【解析】由题意得：2a－1－a＋2＝0，解得：a＝－1．随练1、5x-与（y＋4）2互为相反数，则x＋y的平方根为________．【答案】±1【解析】5x-与（y＋4）2互为相反数，25(4)0x y-+=，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得x＝5，y＝－4，∴x＋y＝5＋（－4）＝1，∴x＋y的平方根为±1．随练2、()28-的平方根为（）A.8-B.8C.8±D.8±【答案】D【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．一个正数有两个平方根．()288-=，8的平方根有两个，8．所以本题的答案是D．算术平方根例题1、4的算术平方根是（）A.2B.±22 D.2【答案】C【解析】4，而2242，例题2、一个自然数的平方根为a，则它的相邻的下一个自然数的算术平方根是（）1a+ B.a+1 C.a2+121a+【答案】D【解析】设这个自然数为x，∵x 平方根为a ，∴x=a 2，∴与之相邻的下一个自然数为a 2+121a +例题3、 下列各组数，互为相反数的是（ ）A.－238-B.|2-2C.－2与2(2)D.22(2)-【答案】 C【解析】 －2与2(2)-互为相反数．例题4、 下列各式计算正确的是（ ） A.282-- B.2(2)4-= 2(3)3-- 164= 【答案】 D【解析】 A 、28-B 、2(2)2=，故此选项不合题意；C 2(3)3-=，故此选项不合题意；D 164=，正确，符合题意．随练1、 我们可以利用计算器求一个正数a 的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：．小明按键输入显示结果为4，则他按键输入显示结果应为________． 【答案】 40【解析】 164， 16001610040⨯=．随练2、 8 ）A.8 826= 822± D.8最接近的整数是3 【答案】 D【解析】 A 8B 826≠，故选项错误；C 822=D 8最接近的整数是3，故选项正确．开平方例题1、 4x =，则x ＝________．【答案】 16【解析】 两边平方，得：x ＝16．例题2、 7【答案】 2和3之间【解析】 479，即273<<例题3、 1.718721 1.311，17.197609 4.147，那么0.0001718721-， 1719760900．【答案】 0.01311-，41470【解析】 被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．随练1、 16________．【答案】 ±2【解析】 16±2．随练2、 已知x 10y 101(10)x y -的平方根为________．【答案】 ±3【解析】 由题意可得：3910=∴x ＝3，103y =， 则12(10)39x y --==，而9的平方根为±3．课后习题1、 下列说法正确的是（ ）A.1的立方根是±1 4C.0.09的平方根是±0.3D.0没有平方根【答案】 C【解析】 A ．1的立方根是1，故A 错误；B 4=2，故B 错误，C ．0.09的平方根是±0.3，故C 正确．D ．0的平方根是0，故D 错误．2、 54.037.35=，则0.005403的算术平方根是（ ）A. 0.735B. 0.0735C. 0.000735D. 0.0000735【答案】 B【解析】 0.0735．3、 已知21a -的平方根是3±，4是31a b +-的算术平方根，求2a b +的值.【答案】 9【解析】 该题考查的是平方根的定义及代数式求值．∵21a -的平方根是3±，∴2213a -=，∴5a =，∵4是31a b +-的算术平方根，∴2314a b +-=，将5a =代入等式中，得，23514b ⨯+-=，∴2b =，∴25229a b +=+⨯=．4、 10 ）A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 10 3.16， 103．5、 已知a ，b 21(1)0a b +-=，求a 2015－b 2016＝________．【答案】 －2【解析】 21(1)0a b +-=，∴1＋a ＝0、1－b ＝0，解得：a ＝－1、b ＝1，则原式＝（－1）2015－12016＝－1－1＝－2．6、 2的平方根是________25的绝对值是________．【答案】 252【解析】 2的平方根是：2±25的绝对值是：52-．7、在下列各式中正确的是（）A.2= B.3=2=8=±【答案】A【解析】A2，正确；B、3=±，故本选项错误；C4=，故本选项错误；D2=，故本选项错误．。
2.2平方根(教案)
5.培养学生的合作交流能力：通过小组讨论、合作完成练习，使学生学会倾听、表达、沟通，提高合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）平方根的定义：理解正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
突破方法：设计贴近生活的实际问题，引导学生运用平方根知识解决问题。
（4）平方根的估算：如何快速准确地估算平方根的值，是学生需要掌握的难点。
突破方法：介绍牛顿迭代法等估算方法，让学生通过实际操作，学会估算平方根。
（5）平方根与算术平方根的区别：学生容易混淆平方根和算术平方根的概念。
突破方法：明确平方根是针对所有实数的，而算术平方根只针对非负实数。通过对比练习，加深学生对两者区别的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根的基本概念。平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。它是解决几何、物理等学科问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了平方根在计算面积、体积等实际问题中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方根的定义和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.2平方根（教案）
一、教学内容
本节课选自教材七年级下册第二章《数的开方》中的2.2节“平方根”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.理解平方根的定义：引导学生通过实际操作，探索一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
2.掌握平方根的性质与运算：使学生掌握平方根的性质，如平方根的乘法、除法法则，以及平方根的分配律等。并能运用这些性质解决实际问题，如计算平方根的近似值等。同时，通过例题和练习，让学生熟练运用平方根进行简单的数学运算。
2024年北师大版八年级上册教学设计第二章2.2 平方根
第1课时算术平方根课时目标1.理解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.会求非负数的算术平方根,并初步了解算术平方根具有双重非负性.3.经历学习算术平方根概念的过程,理解概念的本质,体会求非负数的算术平方根的运算与平方运算的互逆性.4.通过对实际生活中问题的解决,感受数学与实际生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣.学习重点理解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.学习难点会求非负数的算术平方根,了解算术平方根具有双重非负性.课时活动设计回顾引入1.将下列各数分类.,18,3.141 59,π.0.351,1.414 213 56…,-17,18,3.141 59;有理数:0.351,-17无理数: 1.414 213 56…,π.无理数:无限不循环小数称为无理数.判断一个数是不是无理数,关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.2.(1)根据图填空:x2=2,y2=x2+1=3,z2=y2+1=4,w2=z2+1=5.(2)x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数?你能表示它们吗?上节课我们学习了无理数,了解到了无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数,比如在a2=2中,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们就一起来研究这个问题.设计意图:回顾无理数的定义以及如何判断一个数是否为有理数,为本节课的学习打下基础.从平方入手,为学生下面学习算术平方根找到突破口,让他们对算术平方根的求法与平方的计算这种互逆的关系形成初步认识.探究算术平方根的概念教师提出问题,学生先思考,最后教师给出答案.我们知道,如果x2=a,那么a叫做x的平方,那么x叫做a的什么呢?如何用符号表示x呢?总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a 的算术平方根,记作√a,读作“根号a”.例如,32=9,则3是9的算术平方根;x2=3(x>0),则x是3的算术平方根.现在你能说出教学活动1中x,y,z,w中哪些是有理数,哪些是无理数吗?解:x=√2是无理数,y=√3是无理数,z=√4=2是有理数,w=√5是无理数.设计意图:给出算术平方根的定义并举例说明,通过追问引出算术平方根的符号表示,让学生明白平方和求非负数的算术平方根的运算的互逆关系,为求算术平方根作铺垫.探究算术平方根的性质教师提出问题,学生了讨论交流并总结.问题1:一个正数有几个算术平方根?负数有算术平方根吗?0有算术平方根吗?一个正数的算术平方根只有一个,且一定为正数;负数没有算术平方根,即当√a 有意义时,a 一定表示一个非负数;特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即√0=0.注意:算术平方根等于它本身的数只有0和1.问题2:√a 是什么数?其中a 可以取任何数吗?总结:算术平方根具有双重非负性.也就是说,非负数的“算术平方根”是非负数,负数不存在算术平方根,即当a <0时,√a 无意义.设计意图:再一次深入理解算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.给出问题,激发学生思考,并讨论交流,引导学生从数学现象背后发现数学规律.典例精讲教师提出问题,学生先独立思考,教师指名学生上台板演.例1 求下列各数的算术平方根:(1)900;(2)1;(3)4964;(4)14.解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即√900=30;(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即√1=1;(3)因为(78)2=4964,所以4964的算术平方根为78,即√4964=78;(4)14的算术平方根是√14.例2 如图,自由下落物体下落的距离s (m)与下落时间t (s)的关系为s =4.9t 2.有一铁球从19.6 m 高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间?解:将s =19.6代入公式s =4.9t 2,得t 2=4,解得t =√4=2(s ).即铁球到达地面需要2 s.设计意图:进一步熟悉求一个正数的算术平方根的过程,体会平方和求非负数的算术平方根的运算的互逆关系,明确有的正数的算术平方根开方开得尽,有的正数的算术平方根只能用根号表示.利用算术平方根解决实际问题,感受数学与实际生活的密切关系.巩固训练1.9的算术平方根是( A )A.3B.-3C.81D.-812.√4的算术平方根是( C )A.2B.2C.√2D.±√23.求下列各数的算术平方根.(1)100; (2)2536; (3)0.000 1.解:(1)因为102=100,所以100的算术平方根是10,即√100=10.(2)因为(56)2=2536,所以2536的算术平方根是56,即√2536=56.(3)因为0.012=0.000 1,所以0.000 1的算术平方根是0.01,即√0.0001=0.01.设计意图:通过巩固训练及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯.课堂小结1.本节课我们学习的内容是什么?2.我们学到了哪些呢?设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学的内容,同学们互帮互助,解决困惑;充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.课堂8分钟.1.教材第27页习题2.3第1,2,3,4题.2.七彩作业.教学反思第2课时平方根课时目标1.了解平方根的概念、开平方的概念,进一步明确平方与开方互为逆运算.2.会求一个数的平方根,明确算术平方根与平方根的联系与区别.3.通过学习平方和开方互为逆运算的过程,提高分析问题和解决问题的能力.4.通过学生在学习中互相帮助、相互合作,并能对不同概念进行区分,培养大家的团队精神.学习重点了解平方根和开平方的概念,会求一个数的平方根.学习难点平方根和算术平方根的联系与区别.课时活动设计回顾引入1.算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“√a”,读作“根号a”.2.√a的含义:a的算术平方根.3.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.4.求下列各式的值.36的算术平方根=6;17的算术平方根=√17;√81的算术平方根=3;√4的算术平方根=√2.上节课我们学习了算术平方根的概念、性质,知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a则x叫a的算术平方根,记作x=√a,而且a也是非负数,比如正数22=4,则2叫4的算术平方根,4叫2的平方,但是(-2)2=4,那么-2叫4的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题.设计意图:回顾算术平方根的概念、性质及简单运算,为学习平方根作铺垫;通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根,从而顺其自然引出还有一个负数的平方等于这个正数,为下面学习平方根做了心理准备.探究 平方根的概念教师提出问题,学生思考并解答.1.3的平方等于9,那么9的算术平方根是 3 .2.25的平方等于425,那么425的算术平方根是 25 .3.0.8的平方等于0.64,那么0.64的算术平方根是 0.8 .问题1:平方等于9,425,0.64的数还有吗?追问1:如果一个数的平方等于9,这个数是多少?学生可能很快回答出这个数可以是3,由于(-3)2=9,那么这个数也可以是-3,教师提示学生注意本题中没有限制所求的数是正数.追问2:3和-3有什么特征?互为相反数,同样的,平方等于425的数有25和-25,平方等于0.64的数有0.8和-0.8,两组数也分别互为相反数.问题2:找出对应的x 的平方的数.解:追问:如果我们把±1、±4、±0.8分别叫做1,16,0.64的平方根,你能类比算术平方根的概念给出平方根的概念吗?总结:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).例如,3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.注意:一个正数有两个平方根,不要丢掉负的平方根.设计意图:让学生感受一个正数的平方根有两个,进而对平方根有一定的认识,为归纳平方根的概念作铺垫;在此基础上,引导学生用文字语言仿照算术平方根的概念得到平方根的概念,使学生的学习形成正迁移.探究新知探究1平方根的个数教师提出问题,学生讨论交流并总结.议一议:(1)一个正数有几个平方根?(2)0有几个平方根?(3)负数呢?解:(1)正数有两个平方根,它们互为相反数.例如:9的平方根是+3和-3.(2)0只有一个平方根,是0本身.(3)负数没有平方根.总结:一个正数有两个平方根;0只有一个平方根;负数没有平方根.探究2平方根与算术平方根的联系与区别正数a的平方根表示为正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根√a,另一个是-√a,它们互为相反数.这两个平方根合起来记作±√a,读作“正、负根号a”.归纳平方根与算术平方根的联系与区别:联系:(1)包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种;(2)只有非负数才有平方根和算术平方根;(3)0的平方根是0,算术平方根也是0.区别:(1)个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根;(2)表示方法不同:平方根表示为±√a,而算术平方根表示为√a.探究3平方与开平方已知一个数,求它的平方的运算,叫做平方运算.反之,已知一个数的平方,求这个数的运算叫什么?找出对应的x的平方的数.总结:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.探究4(√a)2=?√a2=?问题1:(1)(√64)2等于多少?(√49121)2等于多少?(2)(√7.2)2等于多少?(3)对于正数a,(√a)2等于多少?解:(1)64;49121.(2)7.2.(3)a.归纳:(√a)2=a(a≥0).问题2:计算下列各题:(1)√22= 2 ;(2)√(-2)2= 2 ;(3)√a 2= a (a ≥0);(4)√a 2= -a (a <0).归纳:√a 2=|a |(a 为任意实数).设计意图:通过讨论交流,加深学生对平方根的性质,平方根与算术平方根的联系与区别的理解,了解平方与并平方互为逆运算;通过探究,培养学生的归纳概括能力.典例精讲教师提出问题,学生先独立思考,然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程,其余题目可由学生代表板书完成,最终教师展示答题过程.例 求下列各数的平方根:(1)64;(2)49121;(3)0.000 4;(4)(-25)2;(5)11.解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±√64=±8.(2)因为(±711)2=49121,所以49121的平方根是±711,即±√49121=±711.(3)(±0.02)2=0.000 4,所以0.000 4的平方根是±0.02,即±√0.0004=±0.02.(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±√(-25)2=±25.(5)11的平方根是±√11.设计意图:通过例题的讲解,帮助学生正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达,熟练地求出一个数的平方根,强化学生对平方根性质的认识与应用.巩固训练1.关于平方根,下列说法正确的是( B )A.任何一个数都有两个平方根,并且它们互为相反数B.负数没有平方根C.任何一个数只有一个算术平方根D.以上都不对2.求下列各数的算术平方根和平方根.(1)(-11)2;(2)√(-4)2.解:(1)(-11)2=121,它的算术平方根是11,平方根是±11.(2)√(-4)2=4,它的算术平方根是2,平方根是±2.设计意图:通过巩固训练及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.课堂小结1.本节课我们学习的内容是什么?2.我们学到了哪些呢?设计意图:通过小结,使学生梳理本节课的所学内容,同学们互帮互助,解决困惑;充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.课堂8分钟.1.教材第29页习题2.4第1,2,3,4,5,6题.2.七彩作业.教学反思。