矩阵多项式与可逆矩阵的确定
矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形
D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).
矩阵可逆的条件
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矩阵秩的计算方法
• 矩阵秩的计算可以通过高斯消元法、初等变换等方法进 行 • 计算矩阵秩时，可以先将矩阵A化简为行阶梯形式或行最 简形式
矩阵秩的应用
• 矩阵秩在解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等方面具有 重要作用 • 矩阵秩还可以用于判断矩阵的性质，如线性无关性、秩 相等性等
05
线性方程组的解与矩阵可逆性
矩阵可逆条件的探讨
CREATE TOGETHER
DOCS
01
矩阵的基本概念及性质
矩阵的定义与类型
矩阵的定义
• 矩阵是一个线性方程组的系数和常数项组成的数组 • 矩阵中的每个元素都是一个数
矩阵的类型
• 数值矩阵：矩阵中的元素都是数值 • 符号矩阵：矩阵中的元素都是符号 • 对角矩阵：矩阵中对角线上的元素相等，其余元素都为零 • 单位矩阵：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵 • 零矩阵：所有元素都为0的方阵
矩阵的基本性质
矩阵的加法
• 交换律：A+B=B+A • 结合律： (A+B)+C=A+(B+C) • 数乘律： k(A+B)=kA+kB
矩阵的减法
• 交换律：A-B=B-A • 结合律：(A-B)-C=A(B+C) • 数乘律：k(A-B)=kA-kB
矩阵的乘法
• 不满足交换律：AB≠BA • 结合律：(AB)C=A(BC) • 数乘律：k(AB)=kA(B)
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
• 矩阵A可逆时，线性方程组有唯一解 • 矩阵A不可逆时，线性方程组无解或无穷多解
线性方程组解的计算与矩阵可逆性的判断
矩阵的特征多项式的求解
矩阵的特征多项式的求解矩阵的特征多项式是线性代数中比较基础的概念。
它的求解不仅在学术领域有着重要的应用价值，而在工程领域也有广泛应用。
本文将解释什么是矩阵的特征多项式，以及如何求解它。
什么是特征多项式？在矩阵中，我们定义一个特征向量，表示一个向量经过矩阵作用后，与原向量仅相差一个标量倍数的向量。
也就是说，矩阵A与其所对应的特征向量v，我们可以表示为A * v = λ * v，其中λ为一个标量。
我们可以将这个方程变形为(A - λI) * v = 0，其中I为单位矩阵，即由对角线元素都为1的矩阵。
因为v非0，所以我们必须要找到一个λ，使得矩阵(A - λI)不可逆。
如果我们把(A - λI)的行列式记为|A - λI|，那么这个行列式的零点就是矩阵A的特征值(lambda)。
利用特征向量和特征值的概念，我们可以定义矩阵的特征多项式。
矩阵的特征多项式是一个以矩阵A的特征值为变量的多项式。
如何求解特征多项式？下面我们将介绍如何求解特征多项式。
1.利用定义求解从上面的推导过程可以看出，矩阵A的特征多项式可以表示为|A - λI|。
因此我们可以按照定义，求解此行列式的解。
通过对行列式的展开，我们可以得到多项式的系数。
但是这种方法的计算量很大，不太适用于大型的矩阵。
2.运用矩阵的特征多项式的性质求解我们可以利用矩阵特征多项式的一些性质，来尽量简化计算。
首先，对于一个矩阵A，其特征多项式的次数与A的阶数相同。
其次，对于矩阵A中的元素aij，我们可以将a的行列式表示为一个特征多项式的项。
例如，当矩阵为三阶矩阵时，行列式为：| a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |我们可以将其表示为：(a11 - λ)(a22 -λ)(a33 -λ) + (a11 - λ)(a23)(a32) + (a12)(a21 - λ)(a33- λ) +(a13)(a21 - λ)(a32)这样我们只需要求出矩阵A中的每一个元素，然后将它们替换到以上公式中，即可得到特征多项式。
矩阵可逆的条件以及特征值,特征向量与可对角化条件
矩阵可逆的条件：
1 秩等于行数
2 行列式不为0，即|A|≠0
3 行向量(或列向量)是线性无关组
4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 齐次线性方程组AX=0 仅有零解
6 非齐次线性方程组AX=b 有唯一解
7 可以经过初等行变换化为单位矩阵，即该矩阵等价于n阶单位矩阵
8 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变
特征值、特征向量与可对角化条件：
定义：设A 是数域F 上n 阶矩阵，如果存在可逆阵P ，使P －１AP 为对角阵，那么A 称为可对角化矩阵。
并不是所有的n 阶矩阵都可对角化，例如，A= 就一定不可对角化，所以我们要首先讨论可对角化的条件。
数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件为存在n 个数λ1 , λ2 , ... , λn F 及n 个线性无关的向量p1,p2,...，pn,
使APi = λiPi i=1,2, ...,n. 。
数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
特征值与特征向量的性质：
（1 ）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式。
（2 ）如果λ是矩阵A 的一个特征值，是一个多项式，那么是矩阵多项式的一个特征值 .
（3 ）如果A 是一个可逆阵，λ是A 的一个特征值，那么， 1 /λ 是A -1 的一个特征值 .
（4 ）属于不同特征值的特征向量线性无关。
（5 ）对矩阵A 的每个特征值，它的几何重数一定不超过代数重数。
（6 ）如果A 是一个是对称矩阵，那么它的每个特征值的几何重数与代数重数相等，从而它有个线性无关的特征向量，他一定可以对角化。
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
逆矩阵的特征多项式求法
逆矩阵的特征多项式求法在数学的奇妙世界里，逆矩阵和特征多项式就像两个神秘的宝藏。
今天咱就来唠唠怎么用特征多项式求逆矩阵。
先来说说啥是特征多项式。
想象一下，矩阵就像一个独特的小王国，里面住着各种各样的向量子民。
特征多项式呢，就像是这个小王国的一种特殊密码。
对于一个n阶方阵A，它的特征多项式就是那个看起来有点复杂的式子：f(λ)=|λI - A|，这里的λ就像是一个神奇的变量，I呢是单位矩阵。
这个式子展开之后就是一个关于λ的n次多项式。
那这个特征多项式和逆矩阵有啥关系呢？咱举个简单的例子。
假如有个2阶方阵A = [[a,b],[c,d]]，那它的特征多项式f(λ)=|λI - A| = (λ - a)(λ - d)-bc = λ²-(a + d)λ+(ad - bc)。
这时候，如果矩阵A可逆，就意味着它的行列式det(A)不等于0。
在这个2阶的例子里，det(A)=ad - bc。
咱再深入一点。
对于一个可逆矩阵A，它的逆矩阵A⁻¹和特征多项式之间有个挺有趣的联系。
已知A的特征多项式f(λ)=λⁿ + a₁λⁿ⁻¹+...+aₙ₋₁λ+ aₙ。
这里面的系数和矩阵的一些性质相关联。
要是我们知道了特征多项式，就可以利用一些小技巧来求逆矩阵。
比如说，有个定理告诉我们，如果矩阵A的特征多项式是f(λ)，那么A⁻¹可以表示成一个关于A的多项式。
具体咋做呢？我们可以利用一种叫Cayley - Hamilton定理的东西。
这个定理就像一个魔法规则，它说矩阵A满足它自己的特征方程，也就是f(A)=0。
从这个定理出发，我们可以对f(λ)进行一些变形，然后找到A⁻¹和A的多项式关系。
再打个比方，就好像我们要在一个迷宫里找到出口。
特征多项式是我们手上的地图，虽然这个地图看起来有点复杂，上面全是一些关于λ和矩阵元素的关系。
但是只要我们仔细研究这个地图，按照一定的规则走，就能找到通往逆矩阵这个出口的路。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
矩阵多项式
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如，
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
；
0
8
A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如，
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
逆矩阵
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),
多项式矩阵等价的充要条件
多项式矩阵等价的充要条件在矩阵理论中，我们经常会遇到多项式矩阵的问题。
多项式矩阵是指矩阵的元素是多项式的情况。
那么，如何判断两个多项式矩阵是否等价呢？下面我们将介绍多项式矩阵等价的充要条件。
我们需要明确多项式矩阵的定义。
一个多项式矩阵是一个矩阵，其每个元素都是一个多项式。
多项式是由常数和变量的乘积以及加法运算组成的表达式。
在多项式矩阵中，我们可以使用多项式的系数构成一个矩阵，从而得到一个多项式矩阵。
接下来，我们来介绍多项式矩阵等价的充要条件。
对于两个多项式矩阵A和B，它们是等价的充要条件是存在一个可逆矩阵P，使得PA = BP。
换句话说，如果可以通过对A进行一系列的行变换和列变换，得到矩阵B，那么A和B就是等价的。
那么，具体如何判断两个多项式矩阵是否等价呢？我们可以通过以下步骤来完成：1. 首先，我们需要将矩阵A和矩阵B写成增广矩阵的形式，即[A|B]。
2. 然后，我们对增广矩阵进行一系列的行变换，直到得到一个上三角矩阵。
3. 接下来，我们再对上三角矩阵进行一系列的列变换，直到得到一个对角矩阵。
4. 最后，我们判断对角矩阵中的每个元素是否相等。
如果相等，则矩阵A和矩阵B是等价的；如果不相等，则矩阵A和矩阵B不等价。
通过以上步骤，我们可以判断两个多项式矩阵是否等价。
这个方法可以确保我们得到的结果是准确无误的。
多项式矩阵等价的充要条件是存在一个可逆矩阵P，使得PA = BP。
判断两个多项式矩阵是否等价，我们可以通过对增广矩阵进行一系列的行变换和列变换，最终得到一个对角矩阵，然后判断对角矩阵中的每个元素是否相等。
这个方法可以确保我们得到的结果是准确无误的。
多项式矩阵等价的概念在矩阵理论中有着重要的应用，对于深入理解矩阵的性质和结构具有重要意义。
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Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ：Ｓ ｔ ａ ｒ ｔ ｅ ｄ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ｏ ｓ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈｉ ｐ ｓ ｂｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｖ ｅ ｔｉ ｒ ｂ ｌ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ，ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐｅ ｒ ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ａ ｋ ｉ ｎ ｄ ｏ ｆ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｔ ｉ ｂ ｌ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｂ ｙ ａ ｐ ｐｌ ｙ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ
中图分类号 ： ０ １ ５ １ ． ２ １ 文 献标 志 码 ： Ａ
Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ Ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｄｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｔ ｉ ｂ ｌ ｅ Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ
矩 阵 的一 种 有效 方法．
定理 １ 设 Ａ ∈ｒ 的化零多项式 由式 （ １ ） 和（ ２ ） 所确定 ， 为常数 如果＿ 厂 （ ｋ ）≠ ０ ， 则Ａ 一 Ｅ可逆且
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ ． １ １ ． １ ７
基金项 目： ２ ０ ０ ８年福建省高校 服务海西建设重点项 目（ ２ ０ ０ ８ Ｈ Ｘ ０ ３ ） ； 福建省教育厅科 研基金项 目（ Ｊ Ａ ０ ８ １ ９ ６ ， Ｊ Ａ １ ２ ２ ８ ６ ） ； 莆 田学院教学研
ＣＨＥＮ Ｍｅ ｉ — ｘ ｉ ａ ｎ ｇ， ＹＡＮＧ Ｚ ｈ ｏ ｎ ｇ — ｐ ｅ ｎ ｇ， ＬＩ Ｎ Ｚｈ ｉ — ｘ ｉ ｎ ｇ， ＹＡＮ Ｙｕ — ｍｉ ｎ， ＣＨＥＮ Ｚｈ ｉ — ｘ ｉ ｏ ｎ ｇ， Ｗ ＡＮＧ Ｈａ ｉ — ｍｉ ｎ ｇ
（ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆＰ ｕ ｔ ｉ ａ ｎ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｐ ｕ ｔ ｉ ａ ｎ ３ ５ １ １ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
矩 阵 的重 要性 质 （ 方 阵 Ａ， 是 可 逆 的且 互 为逆 矩 阵 曰 ＝Ｅ 来解 决． 这样 的方 法应 当说是 很有 用 的． 但 矩 阵等式 恒 等变形 能 力并 不是 每个 初学 者都 能掌 握好 的 ， 因此 不少 人 遇到此 类 问题感 到 很棘手 ．
本 文从 这样 的问 题给 定 的矩 阵等式 与矩 阵 多项 式 的密切 关 系 出发 ， 应用 多 项 式 的解 析 性 质得 到 求逆
究项 目（ Ｊ Ｇ ２ ０ １ ２ ０ ２ １ ） ． 作者简介 ： 陈梅香 （ １ ９ ８ ２一） ，女 ， 讲师， 主要从 事矩 阵代数及其应用研究 ．
陈梅 香 ， 杨 忠鹏 ， 林 志兴 ， 晏 瑜敏 ， 陈智 雄 ， 王 海 明
（ 莆 田学院数学 系 ， 福建 莆 田 ３ ５ １ １ ０ ０ ）
摘要 ： 从 给定 的矩 阵等式求相应矩阵的逆与矩 阵多项 式的关 系出发 ， 应用多项 式的解 析性质得 到求逆 矩 阵的一
种方法．
关键词 ： 矩 阵多项 式 ； 可逆矩 阵； 逆矩阵
ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｐ ｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ １ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ：ｍ ａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ； ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｔ ｉ ｂ ｌ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ； ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ
设
， Ｆ［ Ｘ ］分别 是数 域 Ｆ上 的 ｎ×ｎ阶矩 阵 ， 一元 多项 式 的集合 ． 为矩 阵 Ａ ∈Ｆ 的转 置 阵． 用
ｆ （ ）＝ ａ ｍ ｘ ｍ＋ａ ｍ － １ ｍ 一 ＋… ＋ａ ｘ＋ａ ０∈Ｆ［ ］ ， ａ ｍ∈ Ｆ， ａ ｍ≠ ０ ， ， （ Ａ） ＝ａ ｍ Ａ ＋ａ ｍ － １ Ａ ＋… ＋ｎ １ Ａ ＋口 ｏ Ｅ， Ａ ∈Ｆ ， （ １ ） （ ２ ）
Ｅ表 示ｎ×ｎ阶单位 矩 阵。 设
称厂 （ Ａ）为 Ａ 的多项 式 。 ． 如果存 在 ｇ （ ）∈ Ｆ［ ］使得 ｇ （ Ａ） ＝０ ， 称ｇ （ ）为 Ａ 的化零 多项 式．
矩 阵可逆 性 的判定 及 逆矩 阵 的求 法 是一 个常 见 的问题 ． 除了具 体数 字矩 阵求 逆 ， 有 相 当一部 分 问题是 以包 含着 矩 阵方幂 及其 线性 运算 的等式 出现 的． 已有 文献基 本 上是将 给定 的矩 阵等式 恒等 变形 ， 应 用可逆
第 １ ４卷 第 ２期
２ ０ １ ３年 ４月 来自北华大学 学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｂ Ｅ Ｉ Ｈ Ｕ Ａ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ １ ．１ ４ Ｎｏ ． ２ Ａｐｒ ． ２ ０１ ３
文章 编号 ： １ ０ ０ ９ － ４ ８ ２ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ － ０ １ ５ ３ － ０ ３
Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． １ １ ７ １ ３ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ９ － ４ ８ ２ ２ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ ０ ７
矩 阵 多项 式 与 可 逆 矩 阵 的确 定