一类具有阻尼项的整合分数阶微分方程的新型振动准则
一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性
一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性李伟年【摘要】通过建立分数阶微分不等式,研究了一类具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性,并举例说明了主要结果的应用.【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2016(032)004【总页数】7页(P32-38)【关键词】分数阶偏微分方程;阻尼项;振动性【作者】李伟年【作者单位】滨州学院数学系,山东滨州256603【正文语种】中文【中图分类】O175众所周知，分数阶微分方程在工程、金融、应用数学以及非线性控制等领域都有着非常重要的应用。
近年来，分数阶微分方程理论研究取得了很大的进展，详细情况可参见专著[1-5]。
最近，关于分数阶偏微分方程的研究非常活跃，有关这方面的结果，可参见文献[6-10]及其相应的参考文献。
但是，涉及分数阶偏微分方程解的振动性的研究结果却不多，目前仅有文献[11-17]。
本文考虑以下具有阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性。
其中，Ω是Rn中具有逐片光滑区域∂Ω的有界区域，R+=(0,+∞),α∈(0,1)是一常数，(x,t)是u(x,t)关于t的α阶Liouville分数阶右导数，Δ是Rn上的Laplace变换。
边值条件为或者其中N是∂Ω的单位外法向量，g(x,t)是∂Ω×R+上的非负连续函数。
对于方程(1)，约定下列条件总是成立：(A1) a∈C([0,∞);[0,∞)),p∈C([0,∞);[0,∞));(A2) q(x,t)。
问题(1)～(2)(或者(1)～(3))的解是指函数u(x,t)在上满足方程(1)和边界条件(2)(或者(3))。
问题(1)～(2)(或者(1)～(3))的解u(x,t)称为在上是振动的，如果它既不最终为正也不最终为负。
否则，就称为是非振动的。
定义1[2] 称为函数y(t):R+→R的α阶Liouville分数阶右积分，如果(4)式的右端在R+上是逐点定义的。
这里，α>0为一常数，Γ是通常的Γ函数。
一类偶数阶中立型阻尼偏微分方程解振动准则
淮 阴 １ 学
院
学
报
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ５ １１ ． ０ｃ ． ０ ｔ ２ ０８
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａｙｎ Ｉ ｓｉ ｔ ｆＴ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＨｕ ｉ ｉ ｎ ｔ ｕｅ ｏ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｔ
一
类偶数 阶 中立 型阻 尼偏微 分 方程解 振动 准 则
利用 Ｒｃａ 变换 、 ｉ ｔ ｃｉ 引入一类 ‘ ｔｓ１型 的新 函数 ， ｐ ，，） （ 获得 该类 方 程在 Ｒ ｂｎ Ｄｒ ｈｅ 边值 条件 下振 动 的充 ｏｉ ， ｉｃｌｔ ｉ 分判据 ． 考虑如下 的具有阻 尼项 的偶 数阶 中立 型偏微分方 程 ：
， ｌ
ｈ
，—Ｉ
／ ｉ
Ａｂｓｒ ｔ ｔａｃ ：Ｏｓ ｉｌｔｒ ｒｐ ｒｉｓｏ ｏｕｔ ｎｓｔ ｌｓ ｆｅ ｅ ｒ ｅ ｅ ｔａ ａ ｅ ａ ｔ ｌｄ ｆｅｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔｏ ｓ ｃｌ ｏｙ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｆｓ ｌ ｉ ｏ ａｃ ａ ｓｏ ｖ ｎ ｏ ｄ ｒｎ ｕ ｒｌｄ ｍｐ ｄ ｐ ｒｉ ｉｆｒ ｎ ｉ ｑ ａｉ ｎ ａ ｏ ａ ａ ｗｅ ｅ ｓｕ ｉｄ．Ｓ ｍｅ ｃ ｉ ｒａ ｏ ｕｆｃｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎ ｏ ｈ ｓ ｉ ａｉｎ ｏ ｌ ｓ ｌ ｉ ｎ ｆｔ ｑｕ ｔ ｎ ｒ ｂ ｒ ｔ ｄ ｅ ｏ ｒｔ ｉ ｆｓ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｓ ｆｒｔ ｅ ｏ ｃｌ ｔｏ ｆａｌ ｏｕｔ ｓｏ ｈｅ ｅ ａｉ ｓ ｗｅ ｅ ｏ － ｅ ｉ ｏ ｌ ｏ ｏ
ｔ ｉｅ ｎ ｅ ｂｎ ａ ｄ Ｄｉｉｈｅ ｏ ｎ ｒ ｃ ｎ ｔ ｎ ｙ ｍａ ｉ ｇ ｕ ｅ ｏ ｃ ａ ｉቤተ መጻሕፍቲ ባይዱａ ｓｏｍａｉｎ ａ ｄ ｉｔｏ ｕ ｉ ｇ ａ ａ ｎ ｄ ｕ ｄ ｒＲｏ ｉ ｎ ｒｃ ｌｔｂ ｕ ｄａｙ ｏ ｄｉｏ ｓｂ ｋ ｎ ｓ ｆＲｉｃ ｔ ｒ ｎ ｆｒ ｔｏ ｎ ｎ ｒ ｄ ｃｎ ｉ
一类高阶非线性泛函微分方程解的振动性
一
类高 阶非线性泛函微分方程解 的振动性
丘冠英
（ 嘉应学院 数学 系， 广东 梅州 ５４１） １０ ５
摘 ： 一 高 非 性 函 分 程 ￡ （１Ｆｆ（￡， （ｆ）０ 中 奇 ，究 解 要 对 类 阶 线 泛 微 方 （＋ 一） （ｚ （） ＾） ＝， 为 数研 其 的 ） ，ｇ） （） 其
虑情况 ２． ） 因为当 ￡ １ ≥￡ 时 （ ＞Ｏｚ （ ＞０ 所以 ￡ ） ， ） ， 存在 了 ｔ 和一个正常数 ｄ 和 ｄ 使得 ≥ ｚ
（ （） ≥ ｄ ｇ ￡） ｌ ｄ （ ≥ ｈ ￡ ）
叫）［ ＋ 丽
）（ （
中的 １证 明相似． ）
］ ‘ ×
（ ￡ ￡ ＾（） ） × ＾ （）（ 一 ￡）
Ｉ ｂ １＾￡ 。 （ｚｒ （（） ｛ （（ ） ｈ ￡ （２＾ ） ） ） ，’
ｔ Ｔ ≥ １
Ｉ ） （ ） ㈤ 一 （ ０
县 振 动 的 ， 日微 分 不 等 式 并
因此
， 一『 （ Ｌ ￡ Ｉ ）
振动性 ， 得到 ３ 个新 的解 的振动性准则 ， 得结果推广和 改进 一些文献 中的若干结论． 所
关键 词 ：高阶；非线性；泛 函微分方程 ；振动性
中图分类号 ：Ｏ１５ ７ 文献标识码 ： Ａ
Ｏｓ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｈ ｇ ｅ － ｒ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒ ｆ ｎ ｔｏ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｃｌ ｔｏ ｆａ ｃａ ｓｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ｕｎｙｎ Ｕ ａ －ｉｇ
第４ 期
丘冠英 ： 高阶非线性泛 函微分方程解 的振动性 一类
・１７ ・ ６
砌∽ ≥ ）
因此式 （） ９变为
一类中立型阻尼泛函微分方程的振动性
面也 有着重 要意义 ． 近年来 ， 对于 中立 型泛 函微分 方 程 振动性 问题 的研 究 已有 大量 结果 引， 本 文将 讨 论如下 的一类二 阶非线性 中立 型阻尼泛 函微分方程
注 １ 当ｂ （ ￡ ）＝ ０时 ， 方程（ １ ） 就是 文献 ［ ５ ］ 所 研究 的方 程 ， 因 而本 文 的 结论 推广 和包 含 了文 献
。 （ ｉ Ｅ ， ｍ
嚣
（ ｔ ２ 。 唧 籍ｄ ｖ ）
ｔ ≥ｔ ０ （ １ ）
［ ５ ］ 的结果． 引理 １ 假 设 （ ｔ ） 是方程（ １ ） 的最 终 正 解 ， 并
且 令
Ｙ （ ｔ ）＝ （ ￡ ）＋Ｐ （ ｔ ） ｘ （ ￡ ～７ ＿ ） ，
证明
（ ２ ）
则最终 有 Ｙ （ ￡ ）＞ ０ ， Ｙ （ ｔ ）＞ ０ ， ［ 口 （ ｔ ） ｙ （ ｔ ） ］ ≤０ ．
（ １ ） 式及 （ Ｈ ： ） 得
唧（ 一
＝ ＋ ∞ ’ｐ （ － ；
（ ｅ ｘ ｐ （ 一ｂ － （ － Ｌ ） － ｄ ｓ ） ） ｙ ） ） ＜ ０ ，
（ Ｈ ２ ）Ｆ （ ， “ ， ２ ， …， ）∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ） ， 且 存
在 “ １ ， ｕ ２ ， …， ）∈Ｃ（ Ｒ ， Ｒ） ， 且当 ｕ １ ， Ｍ ２ ， …， 具 有 相 同符 号 时 ， ｆ（ ｕ ， ， ｕ ， …， ／ Ｚ ） 与 ， ， …， ｕ 同号 ｜ 厂 （ “ ｌ ， ２ ， …， “ ） 关于 Ｍ １ ， ／ ２ ， ２ ， …， Ｍ 非增 ， 且 存
Ｃ（ Ｒ， Ｒ） ， （ ） ≤ 非减且
足条件 （ Ｈ ３ ） ， 存在 ｔ １ ≥ｔ ｏ ， 当ｔ ≥ｔ １ 时， 有 （ ￡ ）＞０ ． （ ｔ 一丁 ）＞ ０ ， ［ ｇ （ ￡ ， ） ］＞ ０ ， ｉ ∈， ｍ ． 于是 ， Ｙ （ ｔ ）＞ ０ ， （ ｇ １ （ ￡ ） ） ， ｘ （ ｇ ２ （ ￡ ） ） ， …， （ ｇ （ ｔ ） ） ）＞０ ， ｔ ≥￡ 由
一类n阶微分方程的振动性判别准则
（） ２
［（） （（）＋ （）（ — ） ’ （（） ｐ ｔ （ — ） ’ ｑｔ ｘｃ ｔ］ ｒ￡ Ｉ ｘ ｔ ｐ ｔ ｔ ） Ｉ ｘｔ ＋ （ ｘ ｔ ）‘ ］ ｘ ） ＋ （ ［ （） ）＝０ ｔ ｔ （） ｒ ， ｏ ３ ， 给出了方程（ ） ３ 振动的充分条件 ， 本文推广和改进了文献 ［ ，］ ３５ 的主要结果 ， 在文章的最后给出了一个例子
Ｊ ｔ Ｏ ‘
（ ） 存在 函数 ｇ ｔ ∈Ｃ ［ ， ， ） 使得 Ｆ ｔ ）ｇ ＞ｑ ｔ ＩＩ， ≠０ （） （ ｔ ∞） ｏ ， （， ｓｎ ｘ （）ｘ ， 若存在 ｔ 使得 （） Ｃ １（ ， ， ） 并且 。 ， ｔ ∈ Ｉ ［ ∞） ，
ｏ ；
（ Ａ ）日 在 Ｄ 。上连 续 ， 且 满足 并
０ 则 日∈ｙ ． ．
・ 收 稿 日期 ：０ １ ３２ ２ １ － －９ ０
基金项 目： 国家高等学校博士点科研基金（ ０ ０ ７５ １０ ３ ２ １３０ １００ ）和山东省 自然科学基金 （ Ｒ ０ ９ Ｍ １ ） Ｚ ２０Ａ ０ １ ． 作者简介 ： 田亚州 ， ， ９ ３ ， 男 １８ 一 硕士 ， 助教 ； 主要研究方 向： 应用微分方程．Ｅｍ ｉ ｔｎ ａ ｏ３ ９ ６ ．ｏ ． — ａ ：ａｙｚ ｕ ６ ＠１３ ｔｍ ｌｉ ｈ 盂 凡伟 ， ，９３ ， 男 １６ 一 教授 ， 博士生导师 ； 主要研究方 向： 微分方程． － ａ ： ｍ ｎ ＠ｍ ｉ ｑ ｕ ｅ ｕ ｃ Ｅｍ ｉ ｆ ｅｇ ａ ．ｆ ．ｄ ．ａ ｌｗ ｌ ｎ
０， ｔｚ （） （）＞ ０和 ｚ ｔｚ （ 曼０ ｔ ｔ （ ） ｔ） ， １ ．
第３ ７卷 第 ３期 ２ １ 年 ７月 ０１
曲 阜 师 范 大 学 Ｊｕ ａ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏ ｒ ｌ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ ｎ
带阻尼项的二阶强迫非线性微分方程解的振动性
本 文提 出 了一类 新 的带 阻尼项 的二 阶 强迫非 线
”ｔ （）＋ｑ ｔ ｔ ０ （） ）＝ （
性 微分 方程
（ （ ） （ （ ） ｋ Ｙ（ ） ） Ｐ ｔｋ Ｙ （ ） ｒｔ Ｙ ｔ ） （ ｔ ） ＋ （ ） （ ｔ ）＋
是 振动 的．之后 很 多学 者研 究 了形 式更 为 复杂 的 微 分 方程 的振 动性 质．
关 键 词 ：二 阶 微 分 方 程 ；振 动 性 ；变 分 法
中 图分 类 号 ：０ ７ ． １５ １
文献 标志 码 ： Ａ
Ｏｓ ｉ ａ ｉ ｎ Ｔｈ ｏ ｅ ｓ ｆ ｒ Ｓ ｃ ｎｄ． ｒ ｒ Ｎｏ ｌｎ ａ ｒ ｕｒ ｄ ｃｌ ｔｏ ｅ ｒ ｍ ｏ ｅ ｏ ｌ Ｏ ｄｅ ｎ ｉ ｅ ｒ Ｐｅ ｔ ｂｅ
Ｗ ａ ｇｌ ｎ
．
பைடு நூலகம்
是振 动 的 ， 则称 方程 为振 动 的．
Ｐ ｉｓ 于 １８ ｈｌ … ｏ ９ ９年 得 出 当 ：
ｌ ｉ ｍ
…
ｓｐ ｕ
，
㈤
一
近年 来 ， 多 学者 再 次 把 注 意力 投 向了对 非 线 很
÷ ，】 ∞ ｔ ｓ ）
Ｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌＥｑ ｔｏ ｓ ｗｉｈ Ｄａ ｐｉ ｇ ｆ ｅ ｅ ｔａ ｕａ ｉ ｎ ｔ ｍ ｎ
Ｚｈ ｎ ｅ ｇ， Ｚｈ ｎ ｐ ｎ ａ ｇＭ ｎ ａ ｇ Ｌｉ ｉ ｇ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ， Ｕ Ｅ Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｓ ｉｎ ｅ Ｂ Ｃ Ａ，Ｂ ｉｎ ０ ０ ４） ｅｊ ｇ １ ０ ４ ｉ
Ｌ 和 Ｒ ｇ ｖｈ ｎ ｏ 研 究 了非 线 性 方 程 ： ｏｏｃ ｅ ｋ （（ ） （ ） ＋ （ ）（ ｔ ）＝ ｒｔ ｔ ） ｑ ｔ＿ （） ０ 厂 的振 动理 论．
有阻尼强迫振动微分方程及其解
解为：
q Asin(nt )
8
设 t = 0 时，q q0 , q q0 则可求得：
A
q02
q02
2 n
,
arctg
n q0
q0
或：
q C1cosn t C2 sinn t
C1，C2由初始条件决定为 C1 q0 , C2 q0 /n
q
q0
cos nt
q0
n
sin
nt
9
三、自由振动的特点：
令
n2
k m
,
n
c 2m
则 x2nxn2 x0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
24
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 (n n) c 2 mk
x Ae nt sin(d t )
d n2 n2 —有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0 nx0 )
的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 31
(1) =0时
b0
h
2 n
H k
(2) n 时，振幅b随 增大而增大；当 n 时，b
(3) n 时，振动相位与激振力相位反相，相差 rad 。
b h
n2 2
b 随 增大而减小； 2n时 , bb0; 时b0
— 振幅比或称动力系数
20
Tm
ax
1 2
M
(
xm
ax)
2
1 2
M
2
(
x m a x R
)
2
1 2
m(
R R
r
xm
磁流变阻尼器减振系统的分数阶微分方程研究
为 了更精 确 的描 述磁流 变 阻尼 器的 动力 学特 性， 许多 学者对 Ｂｎｈｍ 模 型进行 了改进 和修 正 ， ｉｇａ 例 如修正 的 Ｂｉｇａ 模 型 【、Ｂｎｈｌ 黏弹 塑性 ｎ ｈｍ ５ ｉｇａ ｌ 】 ｒ
模型 非线性双黏性模型【、 ｏｃＷｅ 模型【 ７ Ｂ ｕ． ｎ 】 ８ Ｊ 、
变液表现为牛顿流体 ，应力一应变成线性关系； 在 外加 磁场 的作 用 下 ，其 流变 性发 生剧 烈变 化 ， 表观黏度随磁场强度增加 ，应力一应变关系成明 显 非线 性 ；当外 加磁 场撤 去 ，磁流 变液 又恢 复为 牛顿流 体 ，这 种现 象 称为 磁流 变 效应 。利 用磁 】 流变液的这种磁流变效应性开发研制的磁流变阻 尼 器 、离合 器和 制动 器等 ，极 大地 简 化 了机 械传
（） ｏｃＷｅ 型 ｄ Ｂ ｕ— ｎ模
（）现 象模型 ｅ
图 ２磁流变 阻尼器 的几种力学模型
图 ３ 磁 流 变 阻 尼器 的分 数 阶 Ｂ ｎ ｈｍ 模 型 ｉｇ ａ
非线 性黏 弹 性单元 与 线性弹 性 单元 、黏 性单 元 的关 系如 图 ４所 示 ，如 果用式 （） １表示 非线 性黏 弹 性单 元 的应力一 应 变关 系 ，可 以看 出 ，线 性弹 性 单元 和黏性 单元 都是 式（） １的特例 ，线性弹 性单 元 为微分 阶数 为 ０时 的特例 ，而黏 性单 元则 是微 分 阶数 为 １时的特 例［。 ４ ］ ＝ｑ ：ｃ １ ， ０ （） １ １
磁流 变液 体（ ｇ ｅ ｈ ｏｏ ｉ ｌＦｕｄ是一 Ｍａｎ ｔ Ｒ ｅ ｌｇｃ ｌｉ） ｏ ａ
器运 动速 度低 、剪 切速 率 小 的时候 ，其 拟合 的精
度就 明显 不尽 如人 意 。
种 新型 的智 能软 物质 ， 由磁 性 粒子 构成 的分 散相 和 流体介 质 构成 的连 续相 组成 ，磁 流变 效应 和非 线 性是 其最 显著 的特 性 。在 无 外加 磁场 时 ，磁流
具正负系数和阻尼项的高阶微分方程的振动定理
具正负系数和阻尼项的高阶微分方程的振动定理杨甲山【摘要】The oscillation for a class of higher order nonlinear variable delay functional differential equation with positive and negative coefficients and damping term is discussed. By introducing parameter function and the generalized Riccati transformation, some criteria for the oscillation of the equation are proposed. These criteria improve the restriction of the conditions for the equation. And these results improve and generalize some corresponding known results. Some examples are given to illustrate the main results.%研究了一类同时具有正负系数和阻尼项的高阶非线性变时滞泛函微分方程的振动性,通过引入参数函数和Riccati变换,获得了该类方程振动的判别准则,这些准则改善了对方程的条件限制,所得结论推广并改进了现有文献中的一系列结果,并给出了具体例子用以说明主要结论.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(051)001【总页数】5页(P30-34)【关键词】正负系数;泛函微分方程;变时滞;阻尼项;Riccati变换;振动性【作者】杨甲山【作者单位】邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004【正文语种】中文【中图分类】O175.7关于中立型时滞泛函微分方程定性理论的研究，在理论上和实际应用中均有非常重要的意义。
分数阶Duffing振子的组合共振
分数阶Duffing振子的组合共振作者：顾晓辉杨绍普申永军刘进志来源：《振动工程学报》2017年第01期摘要：研究了2个谐波激励作用下含分数阶微分项的Duffing振子的一类组合共振，利用多尺度法得到了2ω1+ω2型组合共振的一次近似解析解，分析了定常解的稳定性。
应用奇异性理论研究了幅频响应分岔方程，得到了开折参数平面的转迁集和所有区间上分岔曲线的拓扑结构。
最后通过数值仿真分析了系统参数对组合共振幅频响应的影响。
研究表明：分数阶微分项即具有阻尼特性又具有刚度特性，选择合理的分数阶微分项参数可以有效改善系统的响应特性。
关键词：Duffing振子；分数阶微分；组合共振；多尺度法；奇异性理论中图分类号：0322；0313文献标志码：A文章编号：1004-4523（2017）01-0028-05DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2017.01.004引言分数阶微积分发展至今已有超过300年的历史，近些年来，基于众多学者在其定义、性质、计算方法等方面的不懈努力，分数阶微积分正逐步由抽象的数学概念走向工程应用，尤其在描述黏弹性材料本构关系方面和控制工程领域深受关注。
在动力学方面，目前主要集中于含分数阶微积分项的动力系统振动特性的研究，wahi应用平均法研究了含分数阶阻尼项的非线性时滞系统的响应特征，发现了一些分数阶系统的特有现象。
shen提出了等效线性阻尼和等效线性刚度的概念，分析了含分数阶微分项的线性、非线性振子的动力学响应。
Rossikhin基于R-L定义，应用多尺度法推导了Duffing振子的二阶近似解，并指出了一些学者的错误观点。
Du研究了一类分数阶微分方程的初值问题及其求解方法。
GUO提出一种改进的谐波平衡法得到了分数阶Van der Pol振子的近似解析解。
杨建华应用谐波平衡法分析了一类分数阶线性系统在周期信号激励下系统响应的近似解。
chen、孙春燕研究了随机激励作用下分数阶Duffing振子的幅频特性。