深度理解阻尼振微分方程
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2 4Fra bibliotek 2 22 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
阻尼振动
2
0
i t
2
2
通解：x
e
t
( c1 e
t
i t
c2e
)
i
1
可写成 x Ae
cos( t )
A 与 由初始条件确定。
A
5
x0
2Hale Waihona Puke (v0 x 0 )2
0
2
tg
(v0 x 0 )
0
2
x Ae
t
x
欠阻尼 过阻尼 临界阻尼
t
临界阻尼达到平衡位置的时 间最短，但仍不能超过平衡 o 位置。 临界阻尼情况是振动系统刚 刚不能作准周期振动，而很 快回到平衡位置的情况，应 三种阻尼振动比较 用在天平调衡中。
8
二、受迫振动 共振
1.受迫振动 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期 的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行 的振动叫受迫振动。 1.受迫振动方程 以弹簧一维振动为例 阻尼力 F阻 v 弹簧受弹性力 F 弹 kx
2
2
时A最大。 当阻尼很小，策动力频 率等于固有频率时振幅 最大------共振。
H m
2
dx dt
0 x h cos p t
受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程 通解 x A 0 e t cos( t ) A cos( p t )
受迫振动可以看成是两个振动合成的。
10
通解： x A 0 e
t
cos( t ) A cos( p t )
2
1.阻尼振动方程（低速） 以弹簧一维振动为例 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， v 与其方向相反。
阻尼对振动的影响
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
A F
2 2
, B F
2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解：
y {et C1cosrt C2 sinrt} +{Asin θt +Bcos θt }
2f 4.48 1s
(3)阻尼特性
1 ln 2 0.0355, 2 1.6
r
12
1
(0.999) 2
(4)6周后的振幅
y0 y1
e t0 e (t0 T )
eT
y0 y6
e t0 e (t0 6T )
e6T
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、FD较小，动荷主
要由FS平衡，FS与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷 载处理。
•当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，FS、FD相对
说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
y yP sin(t ), FS ky kyP sin(t ), FI my m 2 yP sin(t ), FD cy c yP cos(t )
ξ ＞1
大阻尼
ξ =1
临界阻尼
ξ＜1
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 1 2
λi=-ωξ ± iωr
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
设
弹簧阻尼系统微分方程知乎
弹簧阻尼系统微分方程知乎弹簧阻尼系统微分方程是描述弹簧和阻尼器相互作用下系统运动规律的数学方程。
在弹簧阻尼系统中，弹簧负责恢复系统的位移，阻尼器则负责消耗系统的动能，使系统停止运动。
弹簧阻尼系统微分方程的推导和解析是研究力学系统动力学的重要内容，也是工程领域中设计和优化系统的基础。
弹簧阻尼系统的微分方程一般可以写为：\[m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=F(t)\]其中，\(m\)是系统的质量，\(c\)是阻尼系数，\(k\)是弹簧的劲度系数，\(x\)是系统的位移，\(F(t)\)是外力函数。
上述微分方程描述了弹簧阻尼系统在外力作用下的运动规律。
当系统受到外力作用时，弹簧和阻尼器将产生相应的位移和速度响应，微分方程描述了系统的加速度与外力的关系。
通过求解这个微分方程，可以得到系统的位移随时间的变化规律，进而分析系统的稳定性、共振现象等重要性质。
对于弹簧阻尼系统微分方程的解析，一般可以分为两种情况：自由振动和受迫振动。
自由振动是指系统在没有外力作用下的振动，此时\(F(t)=0\)，系统只受弹簧和阻尼器的作用。
受迫振动是指系统在外力作用下的振动，此时\(F(t)\neq0\)，系统的振动受到外力的影响。
对于自由振动的弹簧阻尼系统，可以通过解微分方程得到系统的固有频率和阻尼比，从而分析系统的振动特性。
而对于受迫振动的系统，可以通过傅立叶变换等方法，分析系统的频率响应和稳定性，进一步优化系统的设计参数，提高系统的性能。
总的来说，弹簧阻尼系统微分方程是描述系统动力学的重要工具，通过对系统的运动规律进行建模和分析，可以帮助工程师和科研人员更好地理解系统的行为，优化系统的设计，提高系统的性能和稳定性。
深入研究弹簧阻尼系统微分方程的推导和解析，对于工程领域的发展具有重要的意义，也为工程实践提供了理论支持。
阻尼振动的探究
阻尼振动的探究摘要：以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。
同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。
关键词：阻尼振动阻尼系数衰减Research on damped vibrationHuangyihangAbstract:This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration. At the same time, this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples.Keyword:damped vibration damping coefficient attenuation简谐运动又叫做无阻尼自由振动。
但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的，这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。
在阻尼系统中，振动系统要不断地克服阻力做功，所以它的能量将不断地减少。
一定时间后回到平衡位置。
弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。
分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。
取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。
忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。
即由牛顿第二定律，可得此微分方程的通解为给定初始值，弹簧在t=0时，x=，,则此微分方程的解为弹簧振子在初始时刻，被拉离坐标原点距离，即弹簧被拉长(。
而后，弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。
如方程所描述弹簧作简谐振动。
如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？由实验，可知运动物体的速度不太大时，介质对物体的阻力与速度成正比。
又阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系：为正比例常数。
结构力学-阻尼对振动的影响
r
T
1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r
2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
声学基础1.2质点的阻尼振动
所经过的时间.
A(t)
A0 e
A0e
e1 e 1 1 2m Rm
③ 品质因素Qm
也是描述振幅衰减快慢的物理量.其数值等于震 幅衰减到初始值的 1 e 倍时所经过的周期数.
A(t)
A0 e
A0e t
e et t t 2m Rm
e e ( ti1 ti )
(i 1)T
i (e T )i1
1-2-2 阻尼振动的能量
阻尼振动的能量等于动能与势能之和
E
Ek
Ep
1 2
mv2 (t)
1 2
Dx2 (t)
考虑到振动的位移及速度表达式
x(t) A (t) cos( t 0 )
上式表示一个振幅随时间衰减的振动.
讨论： x A(t) cos(t 0 )
其中
A(t ) A0e t
A0
a12 a22 ,
0
arctan
a2 a1
A(t)是只与时间有关的函数,相当于振幅.它随时间
的增加而衰减.当t=0时,振幅A(t)=A0,经过t时间后, 下降为A(t).
Qm
t T0
,T0
2 0
Qm
m0
Rm
可见,阻尼愈大,Qm愈小,衰减所用周期数愈少.
④ 阻尼振动衰减曲线
A(t) A0et
T0
2
T0
x(t) A(t) cos(t 0 )
⑤ 阻尼振动振幅衰减比i
有时我们用相隔一个（或若干个）周期振动的振 幅之比描述振动（振幅）衰减的快慢程度.
阻尼波动方程
阻尼波动方程
（原创版）
目录
1.阻尼波动方程的定义与概述
2.阻尼波动方程的求解方法
3.阻尼波动方程的应用领域
正文
阻尼波动方程是物理学中描述阻尼振动系统的偏微分方程。
阻尼振动系统通常由一个振动质点与一个弹性元件以及一个阻尼元件组成。
阻尼波动方程可以用来研究许多实际问题，如弹簧振动、声波传播等。
求解阻尼波动方程的方法有很多，其中最常见的方法是利用拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换可以将时域上的阻尼波动方程转化为频域上的方程，从而更容易求解。
傅里叶变换则可以将阻尼波动方程从一般坐标变换到特定的坐标系，如傅里叶坐标系，以便于求解。
阻尼波动方程在许多领域都有广泛的应用。
例如，在机械工程中，阻尼波动方程可以用来研究弹簧振动系统的稳定性和振动幅度；在声学中，阻尼波动方程可以用来研究声波在空气中的传播特性；在地球物理学中，阻尼波动方程可以用来研究地震波在地球内部的传播规律。
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阻尼振动
阻尼振动吴劲秋 0804010421 土木四班不论是弹簧振子还是单摆由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。
这种振幅越来越小的振动叫做阻尼振动。
系统能量的消耗通常有以下两种途径：一是由于外界或系统内部的摩擦阻力使振动能量转换为热能；二是由于振动向外传播，以波的形式向外辐射能量，这两种情况分别称为摩擦阻尼和辐射阻尼。
一般机械振动中能量的损耗原因主要是摩擦阻尼。
按牛顿第二定律，物体的运动方程：dt dx kx dt xd m γ--=22。
进一步化简：022022=++x dt dx dt xd ωβ。
其中ω0是无阻尼振动时振子的固有频率，它由振动系统的性质决定，β称为阻尼系数（damping coefficient ）。
根据租你的大小的不同，可解出三种可能的运动情况：β<ω0，微分方程的解为：（1）在阻尼较小时，即)cos(00ϕωβ+=-t eA x t 其中 220βωω-=显然阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期运动。
但在小阻尼的情况下，我们把t e A β-0看作随时间变化的振幅，这样阻尼振动就可以看做振幅按指数规律衰减的准周期振动，振动的周期T 为振动物体相继两次通过极大（或极小）位置所经过的时间：22022βωπωπ-==T上式表明了，阻尼振动的周期比系统的固有周期要长。
且阻尼系数β越大，振幅衰减得越快。
ω时物体不能完成一个周期运动，将缓慢回到平衡位置，（2）若阻尼过大，即β>0再就不运动了，这种情况称为过阻尼。
ω，对应的是振子刚好从准周期振动转变为非周期运动的临界（3）若阻尼系数β=0点。
这是阻尼称为临界阻尼，与前两种情况相比，在临界阻尼的情况下，物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短。
通过对阻尼的研究和不断深入的了解，人们应用阻尼发明了很多有利于生产生活得装置。
阻尼器是安置在结构系统上的“特殊”构件可以提供运动的阻力，耗减运动能量的装置。
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的有阻尼受迫振动
2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论单自由度系统的受迫振动理论（1）振动微分方程kOx②恢复力F e , 方向指向平衡位置O ，大小与偏离平衡位置的距离成正比。
kxF -=e ③黏性阻尼力F d , 方向与速度方向相反，大小与速度大小成正比。
d dd x xF cv ct=-=-物块的运动微分方程为：22d d sin()d d x x m kx c H t t tw =--+方程两边同除以m ，并令：(ω0, 固有角频率) , (δ, 阻尼系数),得到：mk =20w 2c md =2202d d 2sin()d d x x x h t t td w w ++=——有阻尼受迫振动微分方程的标准形式①激振力F , 简谐激振力。
sin()F H t w =H h m =解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
欠阻尼的情况下( δ<ω0)，齐次方程的通解可写为：1e )t x A d q -=+特解可写为：)sin(2e w -=t b x ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论将x 2 代入微分方程，得到:220sin()2cos()sin()sin()b t b t b t h t w w e d w w e w w e w --+-+-=将等式右边的h sin(ωt )做一个变换，得到:sin()sin[()]h t h t w w e e =-+cos sin()sin cos()h t h t e w e e w e =-+-代入微分方程，整理得到:)cos(]sin 2[)sin(]cos )([220=--+---e w e w d e w e w w t h b t h b 对任意瞬时t ，上式都必须是恒等式，所以有：cos )(220=--e w w h b 0sin 2=-e w d h b 2222204)(wd w w +-=hb 2202tan w w dwe -=于是，微分方程的通解为：e)sin()tx A b t d q w e -=++-式中，A 和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。
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深度理解阻尼振微分方程
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
深度理解阻尼振动微分方程
牛顿第二定律：ma F =
物体受力为：
弹性力：kx F -=
阻力：Cv F r -=
022=++kx dt
dx C dt x d m 令20ω=m k ，δ2=m
C ，则有： 022022=++x dt
dx dt x d ωδ 该等式为二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程02202=++ωδr r 解为2022022
442ωδδωδδ-±-=-±-=r
（1）小阻尼情况
0ωδ<，则有：
i r 220δωδ-±-=，一对共轭复根，令220δωω-=。
微分方程通解为：
)sin cos (21t c t c e x t ωωδ+=-
初始条件01x c =，ω
δ0
02x v c += 特解为t x v t x x ωω
δωsin cos 000++= ]sin cos [20020020020020020t x v x v t x v x x x v x x ωωδωωωδωδ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=
若令200200cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ωδϕx v x x ，200200
sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωδωϕx v x v ，2
0020⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ωδx v x A 则有
]sin sin cos [cos t t Ae x t ωϕωϕδ⋅-⋅=-
()ϕωδ+=-t Ae x t cos
（2）大阻尼情况
0ωδ>，则有：
202ωδδ-±-=r ，两个不相等的实根。
微分方程通解为：
t t e c e c x )(2)(1202202ωδδωδδ-+----+=
（3）临界阻尼情况
0ωδ=，则有：
δ-=r ，两个相等的实根。
微分方程通解为：
)(21t c c e x t +=-δ
可见，阻尼振动其实就是解一个二阶常系数齐次线性微分方程！！。