量子力学复习资料
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学复习题附答案
量子力学复习题附答案1. 量子力学的基本假设是什么？答案：量子力学的基本假设包括波函数假设、态叠加原理、测量假设、不确定性原理、薛定谔方程和泡利不相容原理。
2. 描述态叠加原理的内容。
答案：态叠加原理指出，一个量子系统可以处于多个可能状态的线性组合，即叠加态。
系统的态函数可以表示为这些可能状态的叠加。
3. 测量假设在量子力学中扮演什么角色？答案：测量假设指出，当对量子系统进行测量时，系统会从叠加态“坍缩”到一个特定的本征态，其概率由波函数的模方给出。
4. 不确定性原理如何表述？答案：不确定性原理表述为，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，它们的不确定性的乘积总是大于或等于某个常数，即 $\Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$。
5. 薛定谔方程的形式是什么？答案：薛定谔方程的形式为 $i\hbar\frac{\partial}{\partialt}\Psi(r,t) = \hat{H}\Psi(r,t)$，其中 $\Psi(r,t)$ 是波函数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hbar$ 是约化普朗克常数。
6. 泡利不相容原理的内容是什么？答案：泡利不相容原理指出，一个原子中不能有两个或更多的电子处于相同的量子态，即具有相同的一组量子数。
7. 什么是波函数的归一化？答案：波函数的归一化是指波函数的模方在整个空间的积分等于1，即$\int |\psi|^2 d\tau = 1$，其中 $d\tau$ 是体积元素。
8. 描述量子力学中的隧道效应。
答案：隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其动能小于势垒的高度。
这是量子力学中粒子波性质的体现。
9. 什么是自旋？答案：自旋是量子力学中粒子的一种内禀角动量，它与粒子的质量和电荷有关，但与粒子的轨道角动量不同。
10. 什么是能级和能级跃迁？答案：能级是指量子系统中粒子可能的能量状态，能级跃迁是指粒子从一个能级跃迁到另一个能级的过程，通常伴随着能量的吸收或发射。
量子力学复习重点
1 e 2
2 2
x
e
i Px
dx
e
1 2 x2 2
e
i Px
dx
1 2 1 2 1 2
e
1 ip p2 2 ( x 2 )2 2 2 2 2
dx
2 e
4 2 1 ( 3 2a0 a0
0
r 2 r / a0 (2r )e dr a0
2 2 a0 a0 4 2 2 ( 2 ) 4 2 4 4 2a0 2a0
(r , , )d (5) c( p) * p (r )
c( p ) 2
p2 ； 2
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) U
1 1 2 x 2 2 2 2
x 2 e
2
x2
dx
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
1 4
(2) T
4 3 a0
0
r 3 a 2 r / a0 dr
4 3! 3 a0 3 4 2 a0 2 a 0
(2) U (
e2 e2 ) 3 r a0
0 0
2
0
1 2 r / a0 2 e r sin drd d r
e2 3 a0 4e 2 3 a0
解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
量子力学复习题
量子力学复习题
量子力学是20世纪初发展起来的一种物理学理论，它主要描述微观粒子如原子、电子、光子等的行为。
量子力学的核心概念包括波函数、量子态、量子跃迁、测不准原理等。
以下是一些关于量子力学的复习题，可以帮助你更好地理解这一理论。
1. 波函数：描述一个量子系统状态的数学函数是什么？它如何与粒子的物理性质相联系？
2. 薛定谔方程：写出非相对论性量子力学中描述粒子状态随时间演化的基本方程。
3. 量子态：解释什么是量子态，以及如何通过测量来确定一个量子系统的量子态。
4. 量子跃迁：描述量子跃迁的概念，并解释它在原子光谱中的作用。
5. 测不准原理：解释海森堡测不准原理的内容，并说明它对量子力学实验的意义。
6. 量子纠缠：解释什么是量子纠缠，以及它在量子通信和量子计算中的应用。
7. 泡利不相容原理：描述泡利不相容原理，并说明它如何影响多电子原子的电子排布。
8. 量子隧道效应：解释量子隧道效应，并讨论它在扫描隧道显微镜中的应用。
9. 量子退相干：解释量子退相干的概念，并讨论它对量子计算和量子信息的影响。
10. 量子力学的解释：讨论不同的量子力学解释，如哥本哈根解释、多世界解释等，并比较它们之间的异同。
11. 量子力学与经典力学的关系：讨论量子力学与经典力学之间的联系和区别，以及量子力学如何从经典力学中发展而来。
12. 量子力学的应用：列举量子力学在现代科技中的应用实例，如半导体技术、量子点、量子传感器等。
通过解答这些问题，你可以更深入地理解量子力学的基本原理和它在现代物理学中的重要性。
记住，量子力学是一门非常抽象的学科，需要大量的练习和思考才能掌握。
教务处量子力学复习提纲
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
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能级分布是不均匀旳，能级越高， 能级之间旳间距就越大
22n2
E n 8ma2
41
两组波函数
n
=
Asin n x
2a
0
N为正偶数，|x|<a |x|≥a
n
=
B cos n x
2a
0
N为正奇数，|x|<a |x|≥a
（1） （2）
42
第三步：波函数归一化
43
2
再由波函数旳归一化条件 n (x) dx 1
绪论
黑体辐射、光电效应和康普顿散射 揭示了光旳波粒二象性
三个试验现象经典物理旳理论无法解释
黑体辐射
光电效应 氢原子光谱
从而诞生了量子力学
1
Bohr原子轨道量子化
1、玻尔旳量子论
1923年，Bohr把Planck—Einstein旳概念利用来处理原子 构造和光谱旳问题，提出了原子旳量子论，其中极为主要旳两个 概念（假定）：定态假设与量子跃迁
6
§2.1 波函数旳统计解释
7
§2.1 波函数旳统计解释
波函数是描述微观粒子旳状态
因为微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同步拟定， 当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值， 这些可能值各自以一定旳概率出现，这些概率能够由一种 函数得出——波函数 只要系统旳波函数已知，系统旳其他性质也能够懂得：
1
2
y C sin qx C cos qx
1
2
y C sin(qx ) 1
三个方程是等价旳
38
第二步：利用波函数旳原则条件（单值、有限、连续） 定未知数
39
根据波函数旳连续性 ( ) 0 代入到下面旳方程
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学总复习
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第七章 1 表象的定义 2 态和力学量算符的矩阵表示 幺正变换 3 s方程 平均值 本征方程的矩阵表示 4 Dirac符号 完备性关系 第九章 1 粒子数算符，产生，湮灭算符的定义 和相关性质 2 产生，湮灭算符对粒子数本征态的作用 3 角动量的本征值和本征态的一般形式，各种量子数 的取值方式 ， 上升，下降算符的作用
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第十章 1 微扰论的主要思想，适用条件 2 非简并态微扰理论 能级一级，二级修正公式 波函 数的一级修正 3 简并态微扰理论 能级的一级修正 零级波函数的选 取 4 变分法 变分原理（了解）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 考试说明
1 闭卷 120分钟 A B C卷随机抽取 2 填空题 3分一题 7题 共21分 简答题 10分一题 2题 共20分 证明题 10分一题 2题 共20分 计算题 13分一题 3题 共39分 3 没讲的肯定不考 讲了的也不一定会考,课堂上讲过 的习题应该要掌握 4 卷面成绩60%
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第四章 1 守恒量的概念，证明，守恒量和定态的区别 2 海森堡方程 3 全同粒子波函数应满足的性质 全同性原理 泡利不 相容原理 两个全同粒子波函数的构造（玻色子， 费米子） 第五章 1 中心力场中角动量守恒的证明 2 氢原子的能级公式，能级简并度，本征态下标的含 义
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第一章 1 普朗克能量量子化 爱因斯坦的光电效应解释 玻 尔的原子结构理论 德布罗意的波粒二象性 2 玻恩的波函数统计解释 波函数的标准化条件 常见 的力学量算符（动量，动能） 3 s方程应满足的基本条件 s方程的最基本形式 定 态s方程（即能量本征方程） 定态的概念和性质 定 域几率守恒的证明 4 量子态叠加原理
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《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
11、德布罗意波假设的基本内容：（1）任何微观粒子都具有波粒二象性。
与实物粒子相联系的波叫德布罗意波，也叫物质波。
（2）德布罗意波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来，即kn h p h E===λν ，【例题1】在K 0附近，钠的价电子动能为eV 3，求其德布罗意波长。
解：根据德布罗意公式，得 λνhp h E ==, ①已知钠的价电子动能为eV c eV E e k 621051.03⨯=<<=μ所以考虑粒子为非相对论性的电子，则有ep E μ22= ②根据①②式，得nmm mE c hc E h p h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--μμλ其中m eV hc ⋅⨯=-61024.1*【例题2】钾的光电效应红限为m 70102.6-⨯=λ，求：（1）电子的脱出功；（2）在m -7010.3⨯=λ的紫外线照射下，截止电压为多少？ （3）电子的初速度为多少？解：（1）设脱出功为W ，根据题意，得J hch W 19783401021.3102.6100.31063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯===λν （2）根据能量守恒定律，得W mv h m +=221ν ① eU mv m =221 ② V eWe hc e W h U 14.2=-=-=⇒λν（3）设初速度为0v ，由（2），得s m s m m eU v /1067.8/101.914.2106.122531190⨯=⨯⨯⨯⨯==-- 第二章 波函数和薛定谔方程1、基本假设：波函数假设、态叠加原理和薛定谔方程。
2、★★★（末考选择）玻恩提出波函数假设：波函数的统计解释是，微观粒子的状态用波函数描述，波函数在空间中某点的强度和在该点找到粒子的概率成比例。
（波函数是一个复数）3、★★★态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加),(212211是复数c c c c ψ+ψ=ψ也是这个体系的一种可能状态。
推广：设⋅⋅⋅ψ⋅⋅⋅ψψ,,21n ，，，是体系的可能状态，则这些态的线性叠加 ∑ψ=⋅⋅⋅+ψ+⋅⋅⋅+ψ+ψ=ψnn n n n c c c c 2211.（⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n c c c 为复数）也是这个体系的一种可能状态。
说明：态叠加原理指的是波函数（概率幅）的叠加，而不是概率的叠加。
4、薛定谔方程：★★★（1）自由粒子的薛定谔方程：ψ∇-=∂ψ∂222mt i （2）非自由粒子的薛定谔方程：ψ+ψ∇-=∂ψ∂)(222r U mt i（含时薛定谔方程） （3）多粒子体系的薛定谔方程：ψ+ψ∇-=∂ψ∂∑=U m t i i N i i2122【注】①是量子力学的基本假设；②是线性方程；③是微观粒子的基本方程，相当于牛顿运动定律；④是非相对论的方程。
5、归一化条件：⎰∞=ψ1|),,,(|2τd t z y x6、归一化常数：⎰∞ψ=τd C 2||1⇒★★★ 归一化因子：⎰∞ψ=τd C 2||17、几率密度：2),(),(t r C t r ψω= 8、拉普拉斯算符：zk y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇9、概率流密度：)(2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**mi J J 的物理意义：它在S 面上的法向分量表示单位时间内流过S 面上单位面积的概率。
*10、概率守恒定律（微分形式）：0=⋅∇+∂∂J t w*积分形式：⎰⎰⋅-=∂∂s V S d J d t τω*11、质量流密度：)(2ψ∇ψ-ψ∇ψ==** i J m J m *12、质量守恒定律：0=⋅∇+∂∂m mJ tω13、★★★波函数的标准化条件：单值性、有限性、连续性。
（末考填空） 14、★★★定态问题：势能函数)(r U与时间无关。
*15、定态的性质：一切力学量的平均值和粒子的分布几率不随时间变化，只与位置有关。
16、★★★定态薛定谔方程：①ψψψ)(222r U m E +∇-= ②ψ=ψE H ˆ（本征方程） 17、★★★定态：能量具有确定值的状态：（末考选择）tiEe r t r -=ψ)(),(ψ（定态波函数）18、★★★束缚态：（末考填空）在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。
束缚态所处的能级是分立的。
19、一维无限深方势阱：★★★ 能量是量子化的，但动量是连续变化的！！！（1）若势阱宽度为a 2，如⎩⎨⎧∞<<-=其他，，0)(a x a x U ，则①体系的能级：⋯⋯==,3,2,1,82222n man E n π②波函数：⎪⎩⎪⎨⎧<<-⋯⋯=+=其他 ,0 ,3,2,1),(2sin 1a x a n a x a n an πψ（2）若势阱宽度为a ，如⎩⎨⎧∞<<=其他 ,0, 0)(a x x U ，则①体系的能级：⋯⋯==,3,2,1,22222n ma n E n π②波函数：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋯⋯==其他 ,00 ,3,2,1,sin 2a x n axn a n πψ 20、重要公式：①节点1-=n ②概率密度最大值的个数n = 21、★★★线性谐振子的能级：⋯⋯=+=,3,2,1,0 ),21(n n E n ω22、线性谐振子的势能：2221)(x m x U ω=【注1】线性谐振子是一个束缚态。
【注2】 能量是量子化的，但动量是连续变化的！！！*23、线性谐振子的能量本征方程：ψψωψE x m dx d m =+-22222212 24、★★★两相邻能级间的间距：ω =-+n n E E 125、★★★基态的能量（也叫零点能）：ω 210=E（在绝对零度的条件下） *26、厄米波函数：)()(22ξξψξn n n H e N -= 三部分： ⎪⎩⎪⎨⎧渐进因子厄米多项式归一化因子)(::ξn nH N*【注】归一化因子表示为：2121!2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n N n n πα27、★★隧道效应：粒子在能量E 小于势垒高度是仍然能够贯穿势垒的现象。
应用：基于量子隧道效应的扫描隧穿显微镜。
【例题1】★★★ 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数.解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态薛定谔方程为)()()()(2222x E x x U x dxd m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为：1）当0<x 时： )()()()(2 111222x E x x U x dx d m ψψψ=+-① 2）当a x ≤≤0时： )()(222222x E x dx d m ψψ=- ② 3）当a x >时： )()()()(2 333222x E x x U x dx d m ψψψ=+-③ 在①③方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须满足：0)(1=x ψ 0)(3=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程②可变为0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψ令222mE k =，则 0)()(22222=+x k dx x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥ ⎩⎨⎧==⇒0sin 0ka A B),3 ,2 ,1( 0sin 0 ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2= ⑦ 由归一化条件 1)(2=⎰∞dx x ψ，得1s i n22=⎰ax d x a n Aπ⑧ 由mn aba xdx a n x a m δππ⎰=*2sin sin⑨x an a x aA πψsin 2)(22=∴=⇒又 222mEk =⑩ ),3,2,1( 22222 ==⇒n n maE n π可见能量是量子化的。
故对应于n E 的归一化的定态波函数为： ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=a x x a x axn a x n ,0 , 0 0 ,sin 2)(πψ 【例题2】★★★（末考计算压轴题）一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内)(a x a <<-为零，而在此区域外势能为无限大，即∞→⎪⎩⎪⎨⎧≥<=00 0)(U ax U ax x U ，求其能级和对应的波函数. 解：（1）在阱内()0)(=<x U a x ，有体系所满足的薛定谔方程为ψψE dx d m =-222 ① 令 mE 2=α，则0222=+ψαψdxd ② 其通解为x B x A ααψcos sin += ③ （2）在阱外)(a x ≥，有0)(U x U =体系所满足的薛定谔方程为ψψψE U dx d m =+-02222 式中∞→0U ④ 根据波函数的连续性和有限性，得0=ψ ⑤⇒边界条件为()()0==-a a ψψ ⑥将⑥代入③，得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-0cos 0si n 0cos si n 0cos si n a B a A a B a A a B a A αααααα ⑦ B A 和不能同时为零 所以有两种结果sin 0 )(0cos 0 )(=⇒==⇒=a B ii a A i αα ⑧，，，，3212==∴n an πα ⑨ 如果0=α，即0=n ，则B Ax +=⇒=''⇒=+''ψψψαψ002不能满足边界条件0=ψ 故应舍去 （i ）当0cos ,0==a A α时，),5,3,1(2 ==n an πα有.2cos )( ,82222axn B x ma n E n πψπ==⇒（ii ）当0sin ,0==a B α时，有),6,4,2(,2 ==n an πα.2sin )( ,82222axn A x ma n E n πψπ==⇒综上所述，得体系的能级为⋯⋯==,3,2,1 82222n ma n E n π体系的波函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<⋅⋅⋅=+'=a x a x n a x a n A x n 0 ,3,2,1 )(2sin )(πψ由归一化条件，得12=⎰∞∞-dx ψ，得aA aA dx a x an A aa 1)(sin 1222='∴'=+'=⎰-π第三章 量子力学中的力学量1、★★★算符假设：量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符，它们的本征函数组成完全系。