天体质量的计算方法(万有引力理论的成就)

万有引力理论的成就之天体的计算方法
一、计算天体的质量基本思路
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的
万有引力，即mg ＝GMm R 2，则M ＝gR 2G ，由于g 、R 已经测出，因此可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引
力充当向心力，即G Mm r 2＝m ω2r ，而ω＝2πT ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨
道半径，得到太阳质量M ＝4π2r 3
GT 2.
3．其他行星质量的计算
利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．
二、计算天体的质量具体方法
1．“称量”地球的质量
如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力．
由万有引力定律mg ＝GMm R 2
得M ＝gR 2G ，其中g 为地球表面的重力加速度，R 为地球半径，G 为万有引力常量． 从而得到地球质量M ＝5.96×1024 kg .
通过上面的过程我们可以计算地球的质量，通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量．
2．天体质量计算的几种方法
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即GM 地·m 月r 2＝m 月r ⎝⎛⎭⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运动的线速度v ，由于地球对月球
的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .
解得地球的质量为M 地＝rv 2/G.
(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G M 地·m 月r 2＝m 月·v ·2πT .
G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .
以上两式消去r ，解得
M 地＝v 3T/(2πG)．
(4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg ＝G M 地·m R 2，
解得地球质量为M 地＝R 2g G .
由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法
是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g ＝G M R 2，则M ＝gR 2G ，另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：
G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ＝m ω2r 来求得质量M ＝4π2r 3GT 2＝v 2r G ＝ω2r 3G
用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．
3．天体密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
由mg ＝GMm R 2和M ＝ρ·43πR 3，
得ρ＝3g 4πGR .
其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：
G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，M ＝ρ·43πR 3，
得ρ＝M
43πR 3＝4π2r 3/GT 243πR 3＝3πr 3
GT 2R 3.
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为：
ρ＝3πGT 2.
名师点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力，重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解．
名师点拨：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．。