第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度(解析版)
新人教版高中物理必修二 《万有引力的应用之——计算天体质量与密度》课件共9张PPT
m r⇒ M＝ ，已知卫星的 T v GT Mm 2π rv r 4π Gm ＝ m ⇒ M ＝ ，已知卫星的 r和 r ⇒ M ＝ ，已知卫星的 r v r G T 2 GT Mm Mm r v G m ( M＝ ) r T G ＝ m ⇒ ，已知卫星的 r 和 v r Mm T r ω v v r r mω r⇒ r G ，已知卫星的 r G ＝ m ⇒ M＝M＝ ，已知卫星的 r 和 r r G G
万有引力定律的应用之——计算天体质量和密度
复习巩固
将卫星绕地球运动看成匀速圆周运动，所需要的 向心力由万有引力提供，即：
Mm v2 2 2 2 G 2 m mr mr ( ) mra(2 f )2 r r T
一.计算天体质量（以计算地球质量为例） 1.已知卫星的轨道半径r和周期T，求地球质量M
4 GT 2
C.
GT 2 4
D.
3 GT 2
4.为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体作匀速圆周运动
的另一星球（或卫星）的条件是 : ， A.质量和运行周期 B.运转周期和轨道半径 C.轨道半径和环绕速度 D.环绕速度和运转周期
BCD
2.用引力提供向心力的方法计算地球的质量需不需 要知道卫星的质量？为什么？
3.用引力提供向心力的方法能不能计算太阳的质量？ 需要测出哪些物理量？ 4.用引力提供向心力计算出的是环绕天体还是被绕中 心天体的质量？ 总结推广：在用万有引力等于向心力列式求天体的 质量时，只能求出中心天体的质量，这种方法不仅 适用于地球，也适用于其他天体质量的计算．
)
2.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为R，周期为T， 万有引力常量为G，则可求得： A.该行星的质量 C.该行星的密度 B.太阳的质量 D.太阳的平均密度
2020高考备考物理重难点《天体运动与人造航天器》(附答案解析版)
重难点05 天体运动与人造航天器【知识梳理】考点一 天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R MmG mg =（g 表示天体表面的重力加速度）．（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm Gmg =，所以2R MG g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2)(h R MG g +=' 2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于2R Mm G mg =，故天体质量GgR M 2=天体密度：GRgV M πρ43==（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即r T m rMm G 22)2(π=，得出中心天体质量2324GT r M π=；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度3233RGT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GTV M πρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式（1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2. 估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． （2）注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． （3）注意密度公式23GTπρ=的理解和应用． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律r GM v =；3r GM =ω；GMr T 32π=；2r GM a = （1）卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．（2）卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 【重点归纳】1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 （1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R MmGmg = （g 为星体表面处的重2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫====减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM v ωπω2332 考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的两种求法：（1）r mv r Mm G 212=，所以r GMv =1 （2）rmv mg 21=，所以gR v =1.3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．4.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，r mv rMm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时减小．（2）当卫星的速度突然减小时，r mv rMm G 22>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．2.卫星变轨问题的判断：（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
万有引力定律(解析版)-高一物理同步精品讲义(人教版)
在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g′，则mg′＝G 。
即距地面高度为h处的重力加速度
g′＝ ＝ g。
3.万有引力的两点注意
(1)引力常量极小，一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。
(2)任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力都可以用F＝G 进行计算，质点间或能看成质点的物体间的引力可以应用公式F＝G 计算其大小。
D．太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
答案D
【变式训练1】(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝ ，行星对太阳的引力F′∝ ，其中m太、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是()
A．由F′∝ 和F∝ ，得F∶F′＝m∶m太
(3)太阳对行星的引力效果是向心力，使行星绕太阳做匀速圆周运动。
3．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝ 。
4．太阳与行星间的引力
由于F∝、F′∝ ，且F＝F′，则有F∝ ，写成等式F＝G ，式中G为比例系数。
二、万有引力定律
（一）月—地检验
【学习目标】
1．了解万有引力定律得出的思路和过程。
2．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律，记住引力常量G并理解其内涵。
3．知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。
【学习重点】
1．万有引力定律的推导。
2．万有引力定律的内容及表达公式。
【学习难点】
1．对万有引力定律的理解。
2．使学生能把地面上的物体所受的重力与其他星球与地球之间存在的引力是同性质的力联系起来。
2024高考物理一轮复习--天体运动专题--开普勒定律、万有引力定律、天体的质量密度求解
开普勒定律、万有引力定律、天体的质量密度求解一、开普勒行星运动定律定 律内 容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在 的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等k Ta 23,k 是一个与行星无关的常量注意：（1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．（2）由开普勒第二定律可得12Δl 1r 1＝12Δl 2r 2，12v 1·Δt ·r 1＝12v 2·Δt ·r 2，解得v 1v 2＝r 2r 1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． （3）开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值二、万有引力定律的理解1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．(1)在赤道上：G Mm R 2＝mg 1＋mω2R . (2)在两极上：G MmR 2＝mg 0.(3)在一般位置：万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmM （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2.所以g g ′＝（R ＋h ）2R 2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ①地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．(2)两个推论： ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.①推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G M ′m r2.三、天体质量和密度的计算类型方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的 计 算利用运行天体r 、TG m 中m r 2＝m 4π2T 2r m 中＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量r 、vG m 中mr 2＝m v 2rm 中＝rv 2Gv 、T G m 中m r 2＝m v 2r ，G m 中mr2＝m 4π2T 2r m 中＝v 3T 2πG利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝Gm 中m R2m 中＝gR 2G—密 度 的 计 算利用运行天体r 、T 、RG m 中m r 2＝m 4π2T 2r m 中＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R 3 当r ＝R 时，ρ＝3πGT2 利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝Gm 中m R 2，m 中＝ρ·43πR 3ρ＝3g4πGR—四、针对练习1、（多选）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功2、中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。
高考物理复习---《天体质量和密度的计算》考点归纳PPT课件
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝G3Tπ2，故只要 测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度．
高考物理复习---《天体质量和密度的计算》考点归纳PPT 课件
应用万有引力定律估算天体的质量、密度 (1)利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G
Mm R2
＝mg，得天体质量M＝.gGR2
②天体密度. ρ＝MV＝43πMR3＝4π3GgR
(2)利用运行天体 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
答案 C 解析 脉冲星自转，边缘物体 m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有 GMr2m＝mr4Tπ22， 又知 M＝ρ·43πr3 整理得密度 ρ＝G3Tπ2＝6.67×10－311××3.51.419×10－32 kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
GMR1火2 m＝m(2Tπ)2R1 结合两个公式可解得：M 火＝4gπR2R221T3M2 ，故 A 对．
(2020·广东广雅中学模拟)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释 放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为 h 处下落，经时间 t 落到月球表面．已知 引力常量为 G，月球的半径为 R.求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小 g 月； (2)月球的质量 M； (3)月球的密度 ρ.
星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量 为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为( )
2020-2021粤教版物理第二册教师用书：第3章 第3节万有引力定律的应用含解析
2020-2021学年新教材粤教版物理必修第二册教师用书：第3章第3节万有引力定律的应用含解析第三节万有引力定律的应用学习目标：1。
[科学态度与责任]了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2。
［科学思维］会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量"的基本思路. 3.[科学思维]掌握解决天体运动问题的基本思路。
一、预测未知天体1．海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒威耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。
1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，终于，一颗新的行星——海王星被发现了。
2．英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言了哈雷彗星的“按时回归”，确立了万有引力定律的地位,显示了科学理论对实践的巨大指导作用。
二、估算天体的质量方法一:月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供。
即错误!＝m月错误!错误!r由此可得地球质量M地＝4π2r3 GT2。
方法二:地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有m物g＝G错误!,由此可得M地＝错误!。
1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×"）(1）利用万有引力等于向心力，可以求出中心天体的质量，也能求出卫星的质量。
（×)(2)利用地球半径、表面重力加速度和万有引力常量能求出地球的质量。
(√)(3)知道行星的轨道半径及运行周期，可计算出中心天体的质量。
（√）(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。
(√) 2．下列说法正确的是(）A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星D[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。
2020年高考物理专题复习：天体质量和密度的估算精讲
考点精讲一、万有引力定律及其应用1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。
2. 表达式：F ＝221rm Gm ，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2。
3. 适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
二、天体质量和密度的计算1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G 2rMm ＝ma n ＝m r v 2＝mω2r ＝m 224T r π； （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G 2RMm＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。
2. 天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。
由于G 2RMm＝mg ，故天体质量M ＝G gR 2，天体密度ρ＝334R MV M π=＝GR g π43。
（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。
①由万有引力等于向心力，即G 2r Mm＝m 224Tπr ，得出中心天体质量M ＝2324GT r π； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝334R M V M π=＝323R GT r 3π； ③若天体的卫星在天体表面附近做环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝23GTπ。
可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。
典例精析例题1 英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。
若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2。
高中物理第六章万有引力与航天第23节太阳与行星间的引力万有引力定律讲义含解析新人教版必修22019041128
第2、3节太阳与行星间的引力__万有引力定律一、 太阳与行星间的引力二、万有引力定律 1．月—地检验1．推导太阳与行星之间的引力公式时用到的物理规律 有：开普勒行星运动定律、牛顿第二定律和牛顿第 三定律。
2．牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星 间的引力使得行星绕太阳运动。
3．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在 它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2 的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为F ＝G m 1m 2r2。
4．引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，是英国物理学家 卡文迪许利用扭秤实验测出的。
5．万有引力定律仅适用于两个质点间万有引力的计算， 对于不能看成质点的物体间仍存在万有引力，但万有 引力公式不能直接使用。
(1)目的：验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，从而将太阳与行星间的引力规律推广到宇宙中的一切物体之间。
(2)原理：计算月球绕地球运动的向心加速度a n ，将a n 与物体在地球附近下落的加速度——自由落体加速度g 比较，看是否满足a n ＝1602g 。
(3)结论：数据表明，a n 与1602g 相等，这说明地面物体受地球的引力、月球受地球的引力，以及太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。
2．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。
(2)公式：F ＝Gm 1m 2r 2。
(3)引力常量：上式中G 叫引力常量，大小为6.67×10－11N·m 2/kg 2，它是由英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。
1．自主思考——判一判(1)公式F ＝G Mm r2中G 是比例系数，与太阳行星都没关系。
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第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。
应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
已知引力常量G ＝6.67×10﹣11N •m 2/kg 2，地面上的重力加速度g ＝9.8m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kgC ．6×1022 kgD ．6×1024 kg【解答】解：根据公式GMm R 2=mg 可得M =gR 2G =9.8×(6.4×106)26.67×10−11kg ＝6×1024kg ，故ABC 错误，D 正确。
故选：D 。
2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。
科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。
这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。
若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ）A ．4×104MB ．4×106MC ．4×108MD ．4×1010M【解答】解：设地球的质量为m ，地球到太阳的距离为r ＝1AU ，地球的公转周期为T ＝1年；由万有引力提供向心力可得：GMm r 2=mr4π2T 2，解得：M =4π2r 3GT 2； 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R ＝1000AU ， 根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期T′2=（2002﹣1994）年＝8年，则周期为T ′＝16年，根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M 黑=4π2R 3GT′2，其中R 为S 2的轨迹半长轴， 因此有：M 黑=R 3T 2r 3T′2M ，代入数据解得：M黑≈4×106M ，故B 正确，ACD 错误。
故选：B 。
一.知识回顾1．万有引力定律F ＝G m 1m 2r 2，式中G 为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力。
引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。
测定G 值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。
（1）．万有引力的特点 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用在以下三种情况下可以直接使用公式F ＝G m 1m 2r2计算：①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r 表示两质点间的距离。
②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的r 为两个球心间的距离。
③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r 指质点到球心的距离。
(3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F ＝G m 1m 2r2得出r →0时F →∞的结论，违背公式的物理含义。
(4)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.2．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向． 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。
在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。
(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg 0.(3)在一般位置：万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm R2＝mg .（3）重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg ＝G m 地m R 2。
若距离地面的高度为h ，则mg ′＝Gm 地mR ＋h 2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度)，可得g ′＝Gm 地R ＋h 2＝R 2R ＋h2g ，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
.所以gg ′＝R ＋h 2R 2.3.天体质量、密度的计算使用方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量 r 、vG Mm r 2＝m v 2r M ＝rv 2Gv 、TG Mm r 2＝m v 2r G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG利用天体表面重力加速度 g 、Rmg ＝GMm R 2M ＝gR 2G密度的计算利用运行天体 r 、T 、RG Mmr 2＝mr 4π2T 2 M ＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R 3 当r ＝R 时ρ＝3πGT 2 利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、Rmg ＝GMm R2ρ＝3g 4πGRM ＝ρ·43πR 34. 估算天体质量、密度时的注意事项与易错点：(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近运动的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径。
(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有GMmR 2＝mg 。
二.例题精析例（多选）1．2020年7月23日，中国火星探测器“天问一号”在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，目前它已经进入环绕火星的轨道。
假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星自转的影响，万有引力常量为G ，仅利用以上数据，可以计算出（ ） A ．火星的质量B ．火星的密度C ．火星对“天问一号”探测器的引力D ．火星绕太阳运动的公转周期【解答】解：ABC ．设火星的质量为M ，半径为R ，“天问一号”质量为m ，则根据万有引力提供向心力可得： GMm (R+ℎ1)2=m4π2T 12(R +ℎ1) G Mm(R+ℎ2)2=m 4π2T 22(R +ℎ2) 通过联立两个方程可以求得两个未知量M 和R ，根据密度的计算公式可以求得火星的密度；因为天问一号的质量未知，无法求火星对“天问一号”探测器的引力，故AB 正确，C 错误；D ．火星到太阳的距离未知，太阳的质量未知，故无法求火星绕太阳运动的公转周期，故D 错误。
故选：AB 。
例2．我国首个探月探测器“嫦娥四号”，于2019年1月3日成功降落在月球背面的艾特肯盆地内的冯一卡门撞击坑内，震惊了世界。
着陆前，探测器先在很接近月面、距月面高度仅为h 处悬停，之后关闭推进器，经过时间t 自由下落到月球表面。
已知万有引力常量为G 和月球半径为R 。
则下列说法正确的是（ ） A ．探测器落地时的速度大小为ℎtB ．月球表面重力加速度大小为ℎ2t 2C ．月球的质量为ℎR 22Gt 2D ．月球的平均密度为3ℎ2πGRt 2【解答】解：B ．根据ℎ=12g 月t 2可得月球表面的重力加速度为：g 月=2ℎt 2，故B 错误； A ．根据v ＝g 月t 解得探测器落地时的速度大小为：v =g 月t =2ℎt ，故A 错误；C ．根据月球表面的重力等于万有引力可得：G Mm R2=mg 月，解得月球质量为：M =2ℎR 2Gt 2，故C 错误； D 、根据ρ=M V ，其中V =43πR 3，可得月球的平均密度：ρ=M 43πR 3=3ℎ2πGRt 2，故D 正确。
故选：D 。
例3．2021年6月17日上午9点22分我国“神舟”十二号载人飞船发射圆满成功，不久前我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量G ，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ） A ．核心舱的质量和绕地半径B ．核心舱的质量和绕地周期C ．核心舱的绕地角速度和绕地周期D ．核心舱的绕地线速度和绕地半径【解答】解：根据万有引力提供向心力，则有：GMm r 2=mr4π2T 2，解得M =4π2r 3GT 2。
A 、不知道核心舱的绕地周期，根据M =4π2r 3GT 2可知，无法计算地球质量，故A 错误；B 、不知道核心舱的绕地半径，根据M =4π2r 3GT2可知，无法计算地球质量，故B 错误； C 、已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，无法计算核心舱的轨道半径，根据M =4π2r 3GT 2可知，无法计算地球质量，故C 错误；D 、已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，由万有引力提供向心力有：GMm r 2=mv 2r，解得：M =rv 2G，故D 正确。
故选：D 。
例4．北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。
火星可以看成半径为R ，质量分布均匀，不断自转的球体。
“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T 。
“祝融号”与着陆器总质量为m ，假如登陆后运动到火星赤道，静止时对水平地面压力大小为F ，引力常量为G ，下列说法正确的是（ ）A ．火星自转角速度大小为2πTB ．火星自转角速度大小为√4π2T 2−FmR C ．火星的质量为FR 2GmD ．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于火星赤道上物体随火星自转的加速度【解答】解：AB 、“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T ，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的角速度大小为2πT；则“祝融号”与着陆器在火星表面的万有引力为：F 万＝mR 4π2T 2，在火星赤道上静止时对水平地面压力大小为F ，则向心力为：F 向＝F 万﹣F ； 根据牛顿第二定律可得：F 向＝mR ω2 联立解得火星自转角速度大小为：ω=√4π2T2−FmR ，故A 错误、B 正确； C 、根据万有引力和重力的关系可得：GMm R 2=F+F 向，解得：M =(F 向+F)R 2Gm，故C 错误；D 、根据牛顿第二定律可得F 万=GMmR 2=ma ，解得“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度a =GMR 2； 火星赤道上物体随火星自转的加速度为：a 向=F向m =GM R2−Fm ；所以“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度大于火星赤道上物体随火星自转的加速度，故D 错误。