计算天体的质量----教师版

计算天体的质量【本讲教育信息】一、教学内容计算天体的质量及发现未知天体二. 具体过程：知识点1 计算天体的质量卫星在天文研究中的地位（1）运动模型：行星绕太阳的运动近似为匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供向心力．行星的轨道半径为r ，运行周期为T.（2）基本方程：T /2,mr r /GMm 22π=ωω=（3）太阳质量：).GT /(r 4M 232π=（4）方法推广：通过观测天体卫星的运动而测量该天体质量，是测量天体质量的重要方法之一．例1 若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为R ，周期为T ，万有引力常量为G ，则可求得（ ）A 、该卫星的质量B 、行星的质量C 、该卫星的平均密度D 、行星的平均密度解析：由R T 4m R Mm G 222π==，得232GT R 4M π=，其中M 表示行星的质量． 答案：B误区点拨：卫星运动的向心力由行星对它的万有引力提供，卫星运动的轨道半径和周期可以用天文的方法观测到. 用此种方法可以计算中心天体的质量，不能计算卫星的质量.知识点2 发现未知天体万有引力定律地位的确立（1）发现过程：①由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想；②根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道；③根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置；④进行实地观察验证．（2）海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位．三、重点分析 1、万有引力定律应用图表项目 内容 说明或提示研究天体运动的应用公式 r )n 2(m r T4m r v m r m r Mm G 222222π=π==ω= 研究天体运动时，太阳系中的八大行星及其卫星的运动都可以看做匀速圆周运动，它们做匀速圆周运动的向心力就是它们受到的万有引力 测天体质量M 或天体密度①天体质量232GT r 4M π= ②天体密度把卫星的运动看成匀速圆周运动．通过测出天体的卫星的环绕周期、轨道半径，则可推算出天体的质量及天体的密度．特别是卫星在天体ρ 3233232R GT r 33/R 4GT /r 4V M π=ππ==ρ若卫星在天体表面运行，则r=R ，而有：2GT3π=ρ 表面环绕时，只要测出其环绕周期，就可以测出天体的密度 研究天体表面物体重力的应用公式 2RMm G mg = 例如对月球表面物体的“重力”：mg 月=月月2R m M G ，这里忽略了地球对月球表面物体的万有引力．其余天体上的物体的重力照此类推． ①已知r 月轨=60R 地，可求出： 23s /m 107.2g -⨯=月轨 ②已知,8.3/1R /R ,81/1M /M ==地月地月可求出：2s /m 74.1g =月 可见，地球在月球轨道处产生的重力加速度远小于月球对其表面物体产生的重力加速度．所以在月球上，地球对物体的万有引力可以忽略，而只考虑月球对物体万有引力的作用2、卫星做匀速圆周运动的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律主体方程的等号左边是万有引力的计算式，主体方程的等号右边是向心力的计算式．（1）向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，有F=GMm/r 2．再据F=ma ，必然有：a=GM/r 2．所以有：随着卫星轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的向心力和向心加速度皆减小．（2）线速度v ：依据主体方程有：GMm/r 2=mv 2/r ，所以.r /GM v =所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的线速度减小．即v ∝r /1.（3）角速度ω：依据主体方程有：GMm/r 2=mr ω2，所以3r /GM =ω.所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小．即ω∝.r /13（4）周期T ：依据主体方程有：222T /mr 4r /GMm π=，所以.GM /r 2T 3π=所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的周期增大．即T ∝.r 3由以上分析可知：在进行本类题目的计算和判断时，应特别注意：主体方程的等号左边一定要写成GMm/r 2，等号右边一定注意讨论哪个物理量，讨论哪个物理量就要用哪个物理量所表达的向心力公式，例如讨论线速度就写成mv 2/r ．另外也可以看出，卫星的线速度v 、角速度ω、周期T 、加速度a 等皆与卫星的质量无关，只由r 和M 决定．四、重点小结1、解决天体运动问题的两条思路（1）万有引力提供向心力r v m rMm G 22= （2）重力等于其所受万有引力2RMm G mg =（m 在M 的表面上） （1）万有引力提供天体运动的向心力以及重力等于万有引力是我们研究天体运动的两大依据 （2）式中的r 是轨道半径，R 是天体半径 2、关于天体的估算（1）行星质量的估算：如果行星的质量为M ，行星的半径为R ，近地卫星的质量为m ，因万有引力充当向心力，由向心力公式得：①已知近地卫星的线速度v 时，有.G Rv M ,GT R 4M ,T 4mR R GMm 2232222=π=π=则 ②已知近地卫星的角速度ω时，有.G R M ,mR R GMm 2322ω=ω=则 ③已知近地卫星的周期T 时，有.GT R 4M ,T 4mR R GMm 232222π=π=则 ④已知近地卫星的线速度v 、角速度ω时，依据①中的结论GRv M 2=和.Gv M ,R v 3ω=ω=有 由以上分析可知：如果我们知道近地卫星的轨道半径R ，线速度v ，角速度ω（或半径R 、周期T 、线速度v ，或半径R ，频率f ，线速度v ）中的任意两个物理量就可以对行星的质量进行估算了．（2）行星密度的估算：题设与（1）中的相同，如果再设行星的密度为ρ．据V M ρ=，必有3R 4M 3ρπ=，则： ①已知近地卫星的线速度v 时，有22223GR4v 3,R mv R 3Gm R 4π=ρ=ρπ则. ②已知近地卫星的角速度ω时，有.G 43,mR R3Gm R 42223πω=ρω=ρπ则 ③已知近地卫星的周期T 时，有：.GT3,,T 4mR R 3Gm R 422223π=ρπ=ρπ则 以上分析可知：如果知道行星近地卫星的周期或角速度就能对此行星的密度进行估算；知道行星的近地卫星的轨道半径和线速度也能对此行星的密度进行估算．【典型例题】例1 两个行星质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，求：（1）它们与太阳间的万有引力之比．（2）它们的公转周期之比．解析：（1）设太阳质量为M ，由万有引力定律得两行星与太阳间的万有引力之比为21222122221121r m r m r Mm G r Mm G F F == （2）将两行星绕太阳的运动看做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有.r T 2m r Mm G 22⎪⎭⎫ ⎝⎛π= 所以，行星绕太阳运动的周期为GM r 2T 3π=，则两行星的公转周期之比为.r r T T 323121= 答案：（1）212221r m r m （2）3231r r 点拨：解决天体问题，应理解万有引力定律公式中各量的物理意义。

例2 试用万有引力定律证明：（1）对某行星的所有卫星来说，R 3/T 2是一个常量．R 为轨道半径，T 为卫星的周期．（2）若行星的密度为ρ，靠近行星表面的卫星的周期为T ，则2T ρ是一个常量．证明：根据牛顿第二定律和万有引力定律得（1）223222n 4GM T R ,R T 4m R Mm G F π=π==解得，与卫星无关． （2）3R 4M ,R T4m R Mm G F 3222n ρπ=π==，联立解得.G 3T 2π=ρ 可见与行星、卫星均无关，是一个常量．方法点拨：（1）卫星做圆周运动所需要的向心力由行星对它的万有引力来提供，向心加速度用周期和半径来表示．（2）注意近地卫星的轨道半径近似等于行星半径，结合球体的体积公式和密度的定义式即可解决问题．点拨：（1）在本章中，求天体质量有两种方法：一种是根据重力加速度求天体的质量，即G gR M ,RM G g 22==，另一种方法是根据天体的运动，即天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，列方程2322222GTr 4M ,T 4mr mr r Mm G π=π=ω=得，用第二种方法只能求圆心处天体的质量.（2）在这类估算问题中，地面处的重力加速度、公转周期等物理量常作为常识，而不再给出，再就是忽略星球的自转带来的影响.例3 据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的八大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年．若把它和地球绕太阳公转的轨道都看做圆，问它与太阳间距离约是地球与太阳间距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）解析：新行星和地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力．设太阳质量为M ，地球质量为m 0，地球绕太阳运行的公转周期为T 0，与太阳的距离为R 0，由万有引力提供向心力得2000200T 2R m R Mm G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π= ① 对新行星（m '、T '、R '），同理可得22T 2R m R M m G ⎪⎭⎫ ⎝⎛'π''='' ② 由①②两式得3200T T R R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 由于1T ,288T 0=='年年，则得)288(44R R 320或=' 答案：44或32288 点拨：本题为典型的万有引力与圆周运动相结合的综合题，关键是由牛顿第二定律列出关系式。

借题发挥3：宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起．（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比．（2）设二者的质量分别为m 1和m 2，二者相距L ，试写出它们角速度的表达式．答案：（1）略 （2）321L )m m (G +=ω例4 （物理与科技）一物体在地球表面重16N ，它在以5m/s 2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N ，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的（g 取10m/s 2）（ ）A 、2倍B 、3倍C 、4倍D 、一半思维分析：万有引力定律在发射火箭和人造地球卫星中，也可通过计算来研究一些问题．本题是利用火箭中物体的视重来计算火箭升空的高度，注意牛顿第二定律的应用．解析：设此时火箭上升高度为h ，火箭上物体的视重大小等于物体受到的支持力F N ，物体受到的重力为g m '，g '是h 高处的重力加速度．由牛顿第二定律得：ma g m F N ='-① 其中m=G/g ，代入①式得：N 1N 510169a g G F g m N =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=' 在距地面为h 处，物体的重力为1N ，物体的重力等于万有引力． 在地球表面2R Mm G mg 地= ② 在距地面h 高处2)h R (Mm G g m +='地 ③ ②式与③式相除可得：22R )h R (g m mg 地地+=', 所以：R 地+h= 地地地R 4R 116R g m mg =⋅=⋅' 所以h=3R 地，故选B 、答案：B五、知识拓展黑洞黑洞概念的提出已经有200多年了．1783年，英国人约翰·米歇尔（Job Michel ）第一个提出存在质量足够大并足够紧密的恒星——它的引力是如此强大，以致连光线都不能逃逸．几年后，法国科学家皮埃尔—西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace ）也在他的《世界系统》一书中提出了和米歇尔类似的观点，但非常有趣的是，此书的第三版和以后的版本中再也不提此事了，或许他觉得这个想法过于荒诞了．在一个多世纪以后，德国的天文学家卡尔·施瓦西（Karl Schwarzs-child ）于1916年求解出了爱因斯坦广义相对论方程的第一个严格解．这个解预示可能存在一类巨大天体，这就是60年代后人们所称的“黑洞”．第一次“看到”黑洞是在1971年，那时通过1970年12月12日美国发射的小型天文卫星“自由号”（Uhuru ），发现了一个来自天鹅座区域的很强的X 射线脉冲源，它被命名为天鹅座X —l ，这是第一个被具体确认的黑洞．从那以后，黑洞变成了天体物理学的热门课题．今天，我们对黑洞的形成过程已有了很多的了解，简单地说，黑洞是质量巨大的恒星在超新星爆发后坍缩（即自身极强烈的收缩）而成的．我们可以把黑洞想象成一个巨大的“磨碎机”，它把吸进的物质磨碎．它的中心被称为“磨碎点”，也就是所谓的“奇点”．在此“奇点”，科学定律和我们预测未来的能力都失效了．黑洞的边界被称为“视界”，这是一个有去无回的界面，只要跨过这一界面就落入了黑洞的内部．不过假设有人不幸掉进去的话，他首先看到的是被黑洞捕获的光线，而且这些光线呈螺旋状进入引力旋涡．一颗恒星在经历了平稳的青年、中年时期后，就将进入老年，最终走向死亡．这颗质量至少比太阳大10倍的恒星，在老年期会发生膨胀，变成一颗红巨星，而后发生爆炸——超新星爆发．其外层物质抛向太空，中心核则在引力的作用下发生猛烈而突然的坍缩，形成黑洞．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1、一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要（ ）A 、测定飞船的运行周期B 、测定飞船的环绕半径C 、测定行星的体积D 、测定飞船的运动速度2、设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T 的平方与其运动轨道半径R 的三次方之比为常量，即k TR 23，那么k 的大小（ ） A 、只与行星质量有关B 、只与恒星质量有关C 、与行星及恒星的质量都有关D 、与恒星质量及行星的速度都有关3、宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）A 、3年B 、9年C 、27年D 、81年4、太阳由于辐射，质量在不断减少．地球由于接受太阳辐射和吸收宇宙中的尘埃，其质量在不断增加．假定地球增加的质量等于太阳减少的质量，且地球的轨道半径不变，则（ ）A 、太阳对地球的引力增大B 、太阳对地球的引力变小C 、地球运行的周期变长D 、地球运行的周期变短5、有两个行星A 、B ，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运动的周期相等，则下列说法正确的是（ ）A 、A 、B 两行星表面的重力加速度之比等于它们的半径之比B 、两卫星的线速度一定相等C 、行星A 、B 的质量和半径一定相等D 、行星A 、B 的密度一定相等6、我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为（ ）A 、2122GT )r r (r 4-π B 、2312GT r 4π C 、232GT r 4π D 、2122GT r r 4π 7、已知某行星半径为R ，表面的重力加速度为g 0，它的表面附近一颗卫星环绕它做匀速圆周运动，（认为其轨道半径为R ）则它的环绕速度及运行周期分别为0g R 2T R g v π==及，试推导这两个结论． 8、某次实验中测得从地面射向月球的激光束，经放置在月球上的反射器反射后返回地面接收站，往返共需时间t=2.56s ，由天文观察可知，月球绕地球一周的平均时间T=27.3d ，试估算地球的质量．9、宇航员站在一星球表面上的某高处沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 3．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量G ，求该星球的质量M ．10、土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心距离分别为r A =8.0×104km 和r B =1.2×105km 忽略所有岩石颗粒间的相互作用．（结果可用根式表示）（1）求岩石颗粒A 和B 的线速度之比．（2）求岩石颗粒A 和B 的周期之比．（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为l0N ，推算出它在距土星中心3.2×105km 处受到土星的引力为0.38N 。