单因素方差分析 前提
生物统计学第九章单因素方差分析
E(MSA )
=
σ2 +
n a1
a i=1
a
2 i
=
σ2 +
n a1
a i=1
(μi -μ)2
即 MSA 除了代表随机误了σ2 外， 还，还有效应，
也就是说MS
是代表了各处理间的差异．
A
4. 统计量
当零假设 H0 : α1 = α2 = = αa成=立0 时，处理效
应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1， 2，…，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方 一样，也是误差方差2的估计值。
❖ 在计算处理间平方和时，各处理均数要受
a
(xi -x)2 0 这一条件的约束，故处理间自由度
i 1
为处理数减1，即a-1。 处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。
在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束， n
即 (xij -x，i )i=01,2,...a。故处理内自由度为资料中观 j 1
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j
ห้องสมุดไป่ตู้xχ11j xχ22j xχ33j
n
xχ11n x 2χ2n x3χ3n
合计 μ1 μ2 μ3
平均数 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
x aχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析
单因素方差分析定义：单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动.例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。
前提:1总体正态分布。
当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。
2变异的相互独立性。
3各实验处理内的方差要一致。
进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定,为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。
一、单因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”是否对观察变量“成绩"有显著性影响，而控制变量只有一个，即“组别”，所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。
2在“组别”，3正态检验（P>0。
05,服从正态分布）正态检验操作过程:“分析"→“描述统计”→“探索"，出现“探索”窗口，将因变量“成绩"放入“因变量列表”，将自变量“组别"放入“因子列表”,将“人名”放入“标注个案”;点击“绘制”,出现“探索:图"窗口，选中“直方图"和“带检验的正态图”，点击“继续”; 点击“探索”窗口的“确定"，输出结果.因变量是用户所研究的目标变量。
因子变量是影响因变量的因素,例如分组变量。
标注个案是区分每个观测量的变量。
带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q—Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图.正态检验结果分析:p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布)。
即p值≥0。
05,数据服从正态分布。
4单因素方差分析操作过程“分析”→“比较均值”→“单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子”列表;点击“选项”选择“方差同质性检验"和“描述性”，点击“继续”，回到主对话框；点击“两两比较”选择“LSD”和“S—N-K” 、“Dunnett’s C",点击“继续”，回到主对话框；点击“对比”，选择“多项式" ,点击“继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定",输出结果。
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
第9.1节 单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)
ES A ( s 1) 2 n j 2 j
j 1
s
由此得
Se 2 E , ns
1 s SA 2 2 E n j j s 1 s 1 j 1
在 H0 为真时, 即 1 2 s 0 时, 有
S A ( s 1) 将 从而在 H0 不真时, 比值 S ( n s ) 有偏大的趋势, 其 e
S A ( s 1) . 记为 F, 即 F Se (n s )
则 F 可以作为检验 H0 的统
计量. 将 Se 写成如下分项相加的形式
Se ( xi1 x1 ) 2 ( xi 2 x2 ) 2 ( xis xs ) 2
的 影响.
种子品种代 号 (水平) 重复试验序号及作物实测产量
1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系
s nj
从而有
Se ( ij j ) ,
2 j 1 i 1
s
nj
S A n j ( j j ) 2
j 1
s
由此知, Se 反映了误差的波动, 称其为误差的偏差 平方和(或称为组内平方和), 它集中反映了试验中与因 素及其水平无关的全部随机误差. 在 H0 为真时, SA 反 映误差的波动, 在 H0 不真时, SA 反映因子A 的不同水
研究生 试验设计与数据处理 第四章
PDF created with pdfFactory Pro trial version
举 例
1. 判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也
就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是 否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 § 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
PDF created with pdfFactory Pro trial version
1. 随机误差
2.
在因素的 同一 水平 ( 同一 个总体 ) 下 ，样本的 各观 察值之间的差异 § 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量 是不同的 § 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影 响 ，或者 说是 由 于 抽样的随 机 性 所 造 成 的， 称 为 随机误差 系统误差 § 在因素的不 同 水平 ( 不 同 总体 ) 下 ， 各观 察值之 间 的差异 § 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是 不同的 § 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也 可能 是由 于颜色本 身所造成 的，后者 所形成的 误 差是由系统性因素造成的，称为系统误差
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
① 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 ② 设µ1为无色饮料的平均销售量，µ2粉色饮料的 平均销售量，µ3为橘黄色饮料的平均销售 量， µ 4 为绿色饮料的平均销售量， 也就是检 验下面的假设 ① H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 ② H1: µ1 , µ2 , µ3 , µ4 不全相等 ③ 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
1 2 3 4 5
该饮料在五家超市的销售情况 无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
单因素方差分析
单因素方差分析定义：单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动。
例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。
前提：1总体正态分布。
当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。
2变异的相互独立性。
3各实验处理内的方差要一致。
进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。
一、单因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”是否对观察变量“成绩”有显著性影响，而控制变量只有一个，即“组别”，所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。
2在控制变量为“组别”，3正态检验（P>0.05，服从正态分布）正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子列表”，将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制”，出现“探索：图”窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定”，输出结果。
因变量是用户所研究的目标变量。
因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。
标注个案是区分每个观测量的变量。
带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q-Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。
正态检验结果分析:p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布）。
即p值≥0.05，数据服从正态分布。
4单因素方差分析操作过程“分析”→“比较均值”→“单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子”列表；点击“选项”选择“方差同质性检验”和“描述性”，点击“继续”，回到主对话框；点击“两两比较”选择“LSD”和“S-N-K”、“Dunnett’s C”，点击“继续”，回到主对话框；点击“对比”，选择“多项式”，点击“继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定”，输出结果。
单因素方差分析-SPSS
2
1.2相关概念
（1）影响因素的分类：在所有的影响因素中根据是否可以人为控制可以分 为两类，一类是人为可以控制的因素，称为控制因素或控制变量，如种子 品种的选定，施肥量的多少；另一类因素是认为很难控制的因素，称为随 机因素或随机变量，如气候和地域等影响因素。在很多情况下随机因素指 的是实验过程中的抽样误差。 （2）控制变量的不同水平：控制变量的不同取值或水平，称为控制变量的 不同水平。如甲品种、乙品种；10公斤化肥、20公斤化肥、30公斤化肥等。 （3）观测变量：受控制变量和随机变量影响的变量称为观测变量，如农作 物的产量等。 方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对 观测变量有显著影响的变量以及对观测变量有显著影响的各个控制变量其 不同水平以及各水平的交互搭配是如何影响观测变量的一种分析方法。
i 1
k
SSE ( xij xi ) 2
i 1 j 1
ni
6
各离差平方和的计算-例题
职称 基本工资 职称 基本工资
1 1014 3 848
1 1044 3 827
1 1014 3 938
2 984 3 887
2 859 3 887
2 989 4 824
2 889 4 824
3 866 4 824
先验对比检验 如果发现某些水平与另一些水平的均值差距显著，就可以进一 步比较这两组总的均值是否存在显著差异。在检验中，SPSS根 据用户确定的各均值的系数，再对其线性组合进行检验，来判 断各相似性子集间均值的差异程度。 趋势检验 当控制变量为定序变量时，趋势检验能够分析随着控制变量水 平的变化，观测变量值变化的总体趋势是怎样的。
13
① Option选项
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单因素方差分析前提
单因素方差分析（One-WayAnalysisofVariance,ANOVA）是一种探讨不同条件下总体均值差异的数理统计方法。
它是统计分析中重要的统计技术之一，在数据的统计分析及研究解释中占有重要的地位。
本文将综述单因素方差分析的前提条件，期望提供一定的参考。
首先，单因素方差分析要求有足够的样本数量，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
一般来说，每组样本数量最好超过5个，以保证统计性质满足单因素方差分析的要求。
其次，单因素方差分析要求实验条件必须是完全随机的，不能存在任何指定性因素。
除此之外，单因素方差分析的变量必须是定性的，比如“性别”，“教育程度”等，而不能是定量的，比如“收入”，“体重”等。
另外，两个以上的实验组间要求服从正态分布，方差也要求相等，并且每个实验组里的样本要求具有相同的方差。
最后，单因素方差分析还要求实验结果要能够反映客观性的现象，而不是特定的主观性假设。
总之，正确遵循单因素方差分析的诸多前提条件是很重要的，只有这样，才能保证获得的结果真实可靠，具有科学性。
首先，单因素方差分析要求有足够的样本数量，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
在实验环节上，需要根据实际情况选择对应的样本数量。
如果实验对象量较小，要求在每组样本中至少有5个以上的样本，以保证统计性质满足单因素方差分析的要求。
其次，单因素方差分析要求实验条件必须是完全随机的，不能存在任何指定性因素。
在实验设计环节上，必须保证实验条件的独立，不能受到外部环境特
定的影响。
此外，单因素方差分析的变量必须是定性的，比如“性别”，“教育程度”等，而不能是定量的，比如“收入”，“体重”等。
在实验数据收集环节上，需要精准把控，只选择定性数据，而不是定量数据。
继续来说，两个以上的实验组间要求服从正态分布，方差也要求相等，并且每个实验组里的样本要求具有相同的方差。
首先，在实验数据收集环节，实验组的样本数量应该尽量一致，以保证方差的相等性。
此外，实验组的样本要求服从正态分布，以保证结果的正确性。
同时，每个实验组里的样本要求具有相同的方差，这样才能确保实验结果的一致性。
最后，实验结果要能够反映客观性的现象，而不是特定的主观性假设。
在实验设计环节上，要清晰明确实验目的，不要有过多的主观性操纵，以保证实验结果的真实可靠性。
总之，遵循单因素方差分析的前提是很重要的，只有这样，才能保证获得的结果真实可靠，具有科学性。
在实验环节上，需要精准把控，从而确保实验结果的真实可靠性，避免出现意外的偏差。
同时，也可以通过更加注重实验设计的方式来保证单因素方差分析的精准
性和准确性，从而更好地获得有用的结果。