第三章 几何造型技术-参数曲线
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几何造型技术的名词解释
几何造型技术的名词解释几何造型技术是一种应用数学几何学原理和方法，用于描述和呈现物体形状和结构的技术。
在现代科技领域，几何造型技术被广泛应用于计算机图形学、工程设计、建筑设计、汽车设计、航空航天等领域。
1. CAD（计算机辅助设计）CAD是几何造型技术的重要应用之一。
它使用计算机软件辅助进行图形设计和模型构建。
通过CAD软件，设计师可以轻松创建三维模型，并进行模拟和分析。
CAD技术大大提高了设计效率和精确度，并广泛应用于工业制造、建筑设计等领域。
2. 曲线和曲面造型曲线和曲面造型是几何造型技术中常用的方法。
曲线可以用来描述二维图形的形状，曲面则用于描述三维物体的形状。
常见的曲线造型方法包括贝塞尔曲线、B样条曲线等，而曲面造型方法则有贝塞尔曲面、B样条曲面等。
这些方法能够准确描述复杂物体的形状，并为后续的分析和加工提供基础。
3. 多边形网格多边形网格是一种常用的离散化表示方法，用于描述三维物体的表面。
它将物体的表面划分成由三角形或四边形组成的网格结构，每个网格点都有自己的坐标和法线向量。
多边形网格可以通过各种技术生成，如手动建模、扫描、造型软件生成等。
它广泛应用于计算机图形学、三维建模等领域。
4. 网格编辑和细分网格编辑和细分是几何造型技术中常用的操作。
在网格编辑过程中，设计师可以对多边形网格进行修改，包括添加、删除或移动网格点等操作，从而调整物体的形状。
而网格细分则是通过对网格进行逐步细化，使其更加平滑和精细。
这些操作可以帮助设计师创建更加复杂和精美的几何模型。
5. 参数化造型参数化造型是一种通过调整参数值来自动生成不同形状的技术。
设计师可以通过改变一些参数值，如长度、角度、比例等，从而快速生成不同形态的模型。
参数化造型技术在计算机辅助设计中经常使用，它提供了一种高效、灵活的方式来生成各种形状。
6. 隐式曲面隐式曲面是一种通过数学方程来描述几何形状的技术。
它可以通过一个或多个方程来表示曲面的形状，而不需要用户指定具体的曲面边界。
计算机图形学10_曲线曲面参数表示的基础知识PPT课件
.
假如我们采用矢量表达式 来表示参数化的二次曲线，那 么可以把抛物线的表达式写成 如下的一般形式为：
P2
P1 P3
图 过三点的二次曲线
P（t）= A1 + A2t + A3t2 （0 ≤t≤1）
(6-1)
抛物线是一条二次曲线，所以表达式中参数t的最高次 数为2，同时让参数t在0—l之间取值。
这就是说，只要确定了式(6–1)中的三个系数：A1,A2 和A3，那么就确定了抛物线的表达式，随之抛物线的曲线 图形也就可以确定。所以，我们的工作是要通过设定一些
Si(ti)=(2ti2–3ti+1)Pi+(4ti–4ti2)Pi+1+(2ti2–ti)Pi+2 (0≤ti≤1) (6-7)
同理，第i+1条抛物线段为经Pi+1，Pi+2和Pi+3三点，所以它的 表达式为：
.
▪ 二阶参数连续性，记作C2，指相邻 两个曲线段在交点处具有相同的一阶 和二阶导数。如图所示。
.
目录
▪ 曲线曲面概述 ▪ 参数曲线基础 ▪ 曲线构造方法 ▪ 二次插值样条曲线 ▪ 三次样条参数曲线(Hermite，Cardinal样条
曲线) ▪ Beizer曲线 ▪ B样条曲线
.
二次插值样条曲线
曲线构造方法
▪ 插值法
➢ 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用线形函数 y=ax+b，近似代替f(x)， 称为的线性插值函数。
.
插值法
抛物线插值(二次插值): 已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造
函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
假如我们采用矢量表达式 来表示参数化的二次曲线，那 么可以把抛物线的表达式写成 如下的一般形式为：
P2
P1 P3
图 过三点的二次曲线
P（t）= A1 + A2t + A3t2 （0 ≤t≤1）
(6-1)
抛物线是一条二次曲线，所以表达式中参数t的最高次 数为2，同时让参数t在0—l之间取值。
这就是说，只要确定了式(6–1)中的三个系数：A1,A2 和A3，那么就确定了抛物线的表达式，随之抛物线的曲线 图形也就可以确定。所以，我们的工作是要通过设定一些
Si(ti)=(2ti2–3ti+1)Pi+(4ti–4ti2)Pi+1+(2ti2–ti)Pi+2 (0≤ti≤1) (6-7)
同理，第i+1条抛物线段为经Pi+1，Pi+2和Pi+3三点，所以它的 表达式为：
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▪ 二阶参数连续性，记作C2，指相邻 两个曲线段在交点处具有相同的一阶 和二阶导数。如图所示。
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目录
▪ 曲线曲面概述 ▪ 参数曲线基础 ▪ 曲线构造方法 ▪ 二次插值样条曲线 ▪ 三次样条参数曲线(Hermite，Cardinal样条
曲线) ▪ Beizer曲线 ▪ B样条曲线
.
二次插值样条曲线
曲线构造方法
▪ 插值法
➢ 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用线形函数 y=ax+b，近似代替f(x)， 称为的线性插值函数。
.
插值法
抛物线插值(二次插值): 已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造
函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
第3部分三维几何造型技术
21
线框、表面与实体模型的比较
模型表示
应用范围
局限性
二维线框
画二维线框图（工程 图）
三维线框 画二、三维线框图
表面模型
艺术图形、形体表面 的显示、数控加工
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性
不能表示实体
实体模型
物性计算、有限元分析 用集合运算构造形体
只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
表面模型在计算机中的存储与线框模型相比多了一个面表， 记录了边、面间的拓扑关系。
14
2、优缺点
优点： (1) 能实现消隐、着色、表面积计算、二曲面求
交、数控刀具轨迹生成、有限元网格划分等。 (2) 擅长构造复杂的曲面物体，如模具、汽车、
飞机等表面。
缺点： (1) 缺乏面间的拓扑关系，依然不能构成实体，
的物理特性计算；如计算体积、面积、重心、惯性矩 等。能检查装配中的干涉。能作运动机构的模拟等等。
(2) 图形 产生二维工程图，包括零件图，装配图 等。
(3) 制造 能利用生成的三维几何模型进行数控自 动编程及刀具轨迹的仿真。此外还能进行工艺规程设 计等。
(4) 装配 在机器人及柔性制造中利用三维几何模
Geometry）是用简单实体通过集合运算交、并、差构造复杂 实体的方法。是目前最常用的、最重要的一种三维实体表示方 法。严格来说CSG法是由简单的正则集合经过正则集合运算构
成复杂实体的方法。 用CSG法构造的实体模型在计算机中是通过用CSG树的形
式加以表达的，通常采用二叉树的形式加以描述。
23
例如：
有时产生对物体二义性理解。 (2) 操作比较复杂，要求操作者具备曲面建模的 数学知识，因此要对操作者进行一定的培训。
线框、表面与实体模型的比较
模型表示
应用范围
局限性
二维线框
画二维线框图（工程 图）
三维线框 画二、三维线框图
表面模型
艺术图形、形体表面 的显示、数控加工
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性
不能表示实体
实体模型
物性计算、有限元分析 用集合运算构造形体
只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
表面模型在计算机中的存储与线框模型相比多了一个面表， 记录了边、面间的拓扑关系。
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2、优缺点
优点： (1) 能实现消隐、着色、表面积计算、二曲面求
交、数控刀具轨迹生成、有限元网格划分等。 (2) 擅长构造复杂的曲面物体，如模具、汽车、
飞机等表面。
缺点： (1) 缺乏面间的拓扑关系，依然不能构成实体，
的物理特性计算；如计算体积、面积、重心、惯性矩 等。能检查装配中的干涉。能作运动机构的模拟等等。
(2) 图形 产生二维工程图，包括零件图，装配图 等。
(3) 制造 能利用生成的三维几何模型进行数控自 动编程及刀具轨迹的仿真。此外还能进行工艺规程设 计等。
(4) 装配 在机器人及柔性制造中利用三维几何模
Geometry）是用简单实体通过集合运算交、并、差构造复杂 实体的方法。是目前最常用的、最重要的一种三维实体表示方 法。严格来说CSG法是由简单的正则集合经过正则集合运算构
成复杂实体的方法。 用CSG法构造的实体模型在计算机中是通过用CSG树的形
式加以表达的，通常采用二叉树的形式加以描述。
23
例如：
有时产生对物体二义性理解。 (2) 操作比较复杂，要求操作者具备曲面建模的 数学知识，因此要对操作者进行一定的培训。
(补充)几何造型设计及参数化设计
• 1985年美国的Pratt Wison提出了基于特征 的造型技术。这种技术是将特征作为产品描述的 基本单元，并将产品描述成特征的集合。 • 特征——属性——子属性——基元 • 体——面——线——点
特征的定义
• 特征是具有属性,与设计、制造活动有关， 并含有工程意义和基本几何实体或信息的 集合。
• 约束可以解释为若干个对象之间所希望的关系，也 就是限制一个或多个对象满足一定的关系（见图）。 • 参数化模型的尺寸用对应的关系表示，而不需要确 定的数值，变化参数值将会自动改变与其相对应的 尺寸，也即：采用参数化模型，通过调整参数来修 改和控制几何形状，从而可以实现参数化设计，自 动生成产品的精确模型。
• 边界表示模型（Boundary representation） B-rep 是以形体表面的细节，即以顶点、边、 面等几何元素及其相互间的连接关系来表示形 体。有利于以点、边、面为基础的各种几何运 算与操作。例如：形体线框的绘制、有限元网 格的划分、数控加工中刀具轨迹的计算。 缺点：数据结构复杂，需要大量存储空间； 对形体的整体修改较难实现。
• 拓扑信息：是指物体的拓扑元素（顶点、 边、表面）的个数、类型以及他们之间的 相互关系的信息。
传统三维形体的表示方法
1. 线框造型
• 模型由一系列空间直线、圆弧和 点等基本元素组合而成，用来描 述产品的轮廓外形，在计算机内 生成相应的三维映象，可以自动 实现视图变换和空间尺寸协调。 线框造型的数据结构采用表结构
参数化设计方法
参数化设计的过程可以认为是改变参 数值后,对约束进行求解的过程。 参数化设计大致分为以下两种方法： • 变动几何法 • 参数驱动法
变动几何法
将几何约束转变为一系列以特征点 坐标为变量的非线形方程组，通过数值 解法求解非线形方程组确定几何细节。
特征的定义
• 特征是具有属性,与设计、制造活动有关， 并含有工程意义和基本几何实体或信息的 集合。
• 约束可以解释为若干个对象之间所希望的关系，也 就是限制一个或多个对象满足一定的关系（见图）。 • 参数化模型的尺寸用对应的关系表示，而不需要确 定的数值，变化参数值将会自动改变与其相对应的 尺寸，也即：采用参数化模型，通过调整参数来修 改和控制几何形状，从而可以实现参数化设计，自 动生成产品的精确模型。
• 边界表示模型（Boundary representation） B-rep 是以形体表面的细节，即以顶点、边、 面等几何元素及其相互间的连接关系来表示形 体。有利于以点、边、面为基础的各种几何运 算与操作。例如：形体线框的绘制、有限元网 格的划分、数控加工中刀具轨迹的计算。 缺点：数据结构复杂，需要大量存储空间； 对形体的整体修改较难实现。
• 拓扑信息：是指物体的拓扑元素（顶点、 边、表面）的个数、类型以及他们之间的 相互关系的信息。
传统三维形体的表示方法
1. 线框造型
• 模型由一系列空间直线、圆弧和 点等基本元素组合而成，用来描 述产品的轮廓外形，在计算机内 生成相应的三维映象，可以自动 实现视图变换和空间尺寸协调。 线框造型的数据结构采用表结构
参数化设计方法
参数化设计的过程可以认为是改变参 数值后,对约束进行求解的过程。 参数化设计大致分为以下两种方法： • 变动几何法 • 参数驱动法
变动几何法
将几何约束转变为一系列以特征点 坐标为变量的非线形方程组，通过数值 解法求解非线形方程组确定几何细节。
3-2 CAD技术基础__第三章产品造型_参数曲线与曲面
当t=0时， 当t=1时，
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1） 个相邻点有关，与更远点无关。
28
(2) 对称性
由控制顶点
构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反
29
(3) 凸包性 由于 ，且 ， 这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值， P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子依次 是 。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的 凸包之中，如图所示。
20
3.2.3 Bezier曲线
贝赛尔（1910-2000）23岁进巴黎郊区的雷诺汽车厂工作， 从事刀具设计，零件生产线和数控钻床、铣床的组装调试。他 在50岁时开始研究几何化的曲面构造方法，独自开拓了一条全 新的道路，用多边形的顶点来定义自由曲线（1962）。就像 有些画家在素描人像时先用折线勾画脸部和身材的大致轮廓， 再逐渐修正线条，贝赛尔完全用折线来精确定义一条曲线。
3
1963年：美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森 （Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次 Hermite插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量 函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、 两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此 曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形 式。
13
14
法矢量 法平面 主法矢
扰率
15
4. 插值、逼近、拟合及光顺
插值与插值函数
给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过 这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插 值曲线。
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1） 个相邻点有关，与更远点无关。
28
(2) 对称性
由控制顶点
构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反
29
(3) 凸包性 由于 ，且 ， 这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值， P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子依次 是 。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的 凸包之中，如图所示。
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3.2.3 Bezier曲线
贝赛尔（1910-2000）23岁进巴黎郊区的雷诺汽车厂工作， 从事刀具设计，零件生产线和数控钻床、铣床的组装调试。他 在50岁时开始研究几何化的曲面构造方法，独自开拓了一条全 新的道路，用多边形的顶点来定义自由曲线（1962）。就像 有些画家在素描人像时先用折线勾画脸部和身材的大致轮廓， 再逐渐修正线条，贝赛尔完全用折线来精确定义一条曲线。
3
1963年：美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森 （Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次 Hermite插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量 函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、 两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此 曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形 式。
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法矢量 法平面 主法矢
扰率
15
4. 插值、逼近、拟合及光顺
插值与插值函数
给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过 这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插 值曲线。
参数曲线曲面
P k H 0 ( u ) P k 1 H 1 ( u ) D P k H 2 ( u ) D P k 1 H 3 ( u )
4个调合函数
1.3.2 Bèzier曲线
法国雷诺汽车公司的P.E.Bèzier提出的一种以逼近 为基础的参数曲线 Bèzier曲线的定义
用用一一组组折折线线或或称称做做控特制征多多边边形形定
Co义nt的ro，l P曲ol线yg和on特定征义多的边，形曲的线起和点 控与制终多点边的形位的置起重点合与，终多点边的形位第置一 重条合边，和多最边后形一第条一边条表边示和了最曲后线一起 条点边和表终示点了的曲切线矢起量点方和向终点的切 矢量方向
1.3.2 Bèzier曲线
n次Bèzier曲线上各点的插值公式为
前言
上讲内容回顾
三维建模方法 三维观察与剪裁
三维几何变换（平移、旋转、缩放、错切、复合变换） 三维观察变换（指定观察坐标系、投影变换、定义观察体）
OpenGL中的观察转换
定义视点gluLookAt() 定义视景体glFrustum()、 gluPerspective()、 glOrtho() 定义视口glViewport() 切割视景体
(1) 列出一组在样条边界上的边界条件； (2) 列出描述样条特征的矩阵； (3) 列出一组调合函数（或基函数）。
Hermit三次样条曲线 三次参数曲线方程的一般矢量形式是
P (u)au3bu2cud
P'(u)3au22buc
Hermit三次样条曲线
设有n+1个形值点 P k (x k ,y k ,z k )k 0 ,1 ,2 ,...,n 两相邻型值点Pk和Pk+1之间Hermit曲线的边界条件是：
前言
曲线和曲面造型基础
习 题
2.3 NURBS曲线与曲面
NURBS曲面方程：
2.3 NURBS曲线与曲面
拟合：
2.4 曲线与曲面造型方法
曲线与曲面造型中的常用术语
2.4 曲线与曲面造型方法
光顺：
2.4 曲线与曲面造型方法
几何连续性：
2.4 曲线与曲面造型方法
参数连续性：
2.4 曲线与曲面造型方法
几何连续性：
副法矢：
切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。
2.1 微分几何基础
曲率半径： 定义为密切圆的半径，即
2.1 微分几何基础
例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。
2.1 微分几何基础
空间曲线的挠率：
空间曲线Serret-Frenet公式 ：
2.1 微分几何基础
3、曲面几何 曲面表示的分类：
隐式曲面：
凸包示意图
2.3 NURBS曲线与曲面
端点性质 几何不变性 对称性 凸包性 变差减小性 保凸性
☆ Bézier曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。
2.3 NURBS曲线与曲面
端点性质 几何不变性 对称性 凸包性 变差减小性 保凸性
☆ 是变差减小性的推论。
单位切矢： 不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。 单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。
弧长 ：
单位切矢：
链式法则：
2.1 微分几何基础
曲率：
曲率的定义 ：
链式法则后：
二维显式曲线 y = y(x) 的曲率：
2.1 微分几何基础
法矢：
主法矢的定义 ：
在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标—点的坐标变换。
解析几何中的曲线与曲面参数化求解
解析几何中的曲线与曲面参数化求解在解析几何中，曲线和曲面是两个重要的概念，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
曲线和曲面的参数化求解是解析几何中的一项重要技巧，可以帮助我们更好地理解和描述几何图形的性质和特点。
本文将详细介绍曲线和曲面的参数化求解方法及其应用。
一、曲线的参数化求解1. 曲线的定义和性质曲线是平面上点的有序集合，它可以用数学方程或者参数方程来表示。
在解析几何中，我们通常使用参数方程来描述曲线。
一个曲线的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过给定参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的一系列点。
2. 参数化求解的步骤要进行曲线的参数化求解，通常需要以下几个步骤：（1）确定参数范围：首先需要确定参数t的取值范围，这取决于曲线的形状和需要研究的区域。
（2）选择参数方程：根据曲线的性质，选择合适的参数方程，使得方程能够准确地描述曲线。
（3）确定参数方程中的函数：根据曲线在坐标系中的位置和形状，确定参数方程中的函数。
（4）解参数方程：将参数方程代入原始方程中，解出参数t的值，并进行相应的计算和处理。
（5）绘制曲线：根据求解得到的参数值，绘制曲线在坐标系中的图形。
3. 曲线的参数化求解实例以圆为例，我们可以通过参数化求解的方法来表示圆上的点。
圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围通常为0到2π。
通过求解参数方程，我们可以得到圆上一系列点的坐标，然后将这些点连成一条平滑的曲线，即可绘制出圆形。
二、曲面的参数化求解1. 曲面的定义和性质曲面是三维空间中点的有序集合，可以用方程或者参数方程来表示。
在解析几何中，我们通常使用参数方程来描述曲面。
一个曲面的参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别是曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
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计算机图形学
第三章 几何造型技术
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3.1 绘制曲线的基本方法
在设计和绘图中，不可能没有曲线。这些曲线一般分为两 类：一类是标准曲线，可以用标准的数学方程来描述，如圆、
椭圆、抛物线等；另一类是拟合曲线，它们不能用标准的数学
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 20
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计算机图形学
由于 dT/ds 与 N 平行，若令 T kN ，则：
k T lim T q T q lim lim s 0 s s 0 q s s 0 s
其中，q 为相邻两切线的夹角。称 k 为曲线的曲率，其几何意
再令 B(s) N (s) ， 称为挠率。因为
B dB B lim lim lim ds s 0 s s 0 s s 0 s
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 19
方程来描述，只有先给出一些数据点，然后用相应的数学方法 来拟合这些数据点生成曲线。例如有实验曲线、等值线等等， 它们都是通过做实验得到一些实验数据、或经测量得到一系列 离散数据点。依据这些实际数据，我们希望能构造出一条曲线，
使其完全通过或者比较贴近这些数据点。 所以， 拟合曲线
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 2
计算机图形学
将 T kN 代入上式，并注意到 B(s)· N(s) = 0，得到：
B(s) N (s) 0
因为[B(s)]2 = 1，所以两边对 s 求导，得到 B(s) B(s) 0，可见 B(s) 既垂直于 T(s)，有垂直于 B(s)，故：
B(s) // N (s)
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计算机图形学
问题就是讨论由离散的数据点如何构成曲线的方法。
在计算机图形学这个领域里谈起的曲线，一般都是指的后
一种曲线。我们要讨论的问题是：已知一组数据点(也称型值 点)，选用哪种数学方法来加以拟合，相应的数学表达方式以及 如何绘制曲线。 为了说清这些问题，还须先从标准曲线开始。
计算机图形学
3.2 参数曲线和曲面
曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。由于参数表示 的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中常用参
数形式描述曲线、曲面。本节讨论有关参数曲线、曲面表示的
基础知识。
3.2.1 曲线曲面的表示
曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非 参数表示又分为显式表示和隐式表示。 平面曲线的显式表示一般形式为：
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 7
Northwest University y = f(x)
计算机图形学
显式表示的缺点：
不能表示封闭或多值曲线； 与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。
平面曲线的隐式表示一般形式为：
平面曲线的参数表示。假定用 t 表示参数，则平面曲线上任
一点 P 可表示为：
P(t) = [x(t), y(t)]
空间曲线上任一点 P 可表示为： P(t) = [x(t), y(t), z(t)] 在曲线、曲面的表示上，参数表示比显式、隐式表示有更
2013-7-31 信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 9
2T (s) T (s) 0
可见，dT/ds 是一与 T 垂直的向量。与 dT/ds 平行的法矢量称为 曲线在该点的主法矢，主法矢的单位矢量称为主法矢量，记为 N。矢量积 B = T×N 是第三个单位矢量，它垂直于 T 和 N 。平
行于矢量 B 的法矢称为曲线的副法矢，B 则叫做单位副法矢。
F(x, y) = 0
隐式表示的优点：
可表示封闭或多值曲线； 便于点和曲线的位置判断。
信息科学与技术学院 康宝生 bskang@ 8
2013-7-31
Northwest University 隐式表示的缺点：
计算机图形学
求值困难；
与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。
Northwest University 圆的参数方程表示为：
计算机图形学
x = r· cos(t)，y = r· sin(t)
这两种表示方法，在绘图的时候是存有明显的差别的。
标准方程 取等量的变量但得不到均匀曲线
2013-7-31
参数方程 取等量的变量得到均匀曲线
5
信息科学与技术学院 康宝生 bskang@
T（切矢）， N（主法矢）和 B（副法矢）构成了曲线上的 活动标架。 N 和 B 构成的平面称为法平面； N 和 T 构成的平面 称为密切平面； B 和 T 构成的平面称为从切平面（见图）。
2013-7-31
信息科学与技术学院 康宝生 bskang@
17
Northwest University 4.曲率和挠率
Northwest University 1.位置矢量
计算机图形学
曲线上任一点的位置矢量可表示为：
P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
其一阶、二阶和 k 阶导数矢量（如果存在的话）分别表示为：
dP d 2P dkP k P(t ) , P(t ) 2 , P (t ) k dt dt dt
计算机图形学
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲
线、曲面上的每个型值点进行几何变换，而对参数表示的曲线、 曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分
离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲
义是曲线的单位切矢对弧长的转动率，与主法矢同向。曲率的 倒数 r = 1/k 称为曲率半径。
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Northwest University 又 B(s) · = 0，两边对 s 求导，得： T(s)
B(s) T (s) B(s) T (s) 0
线、曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得可以用数
学公式处理几何分量。
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Northwest University
计算机图形学
（6）规格化的参数变量 t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有
界的，而不必用另外的参数去定义边界。
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计算机图形学
所以，挠率的绝对值的概念与副法线方向（或密切平面）对于
弧长的转动率。 挠率大于 0、等于 0 和小于 0 分别表示曲线为
右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 同样，对 N(s) = B(s) ×T(s) 两边求导，可以得到：
N (s) kT (s) B(s)
Northwest University 散成直线画出的（见图）。
计算机图形学
另一个问题是参数法表示，这对于多值曲线尤为重要。例 如看一个圆，它的标准方程是：x2 + y2 = r2。可写成：
y r 2 x2
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在手工操作绘制曲线时，除了圆弧类曲线可以直接借助于
工具（圆规）来画出外，其他的曲线一般都是先确定几个点， 然后借用曲线板分段绘出。其实这也是用计算机来绘制曲线的 基本原理。由于计算机图形输出设备的工作特点, 曲线一般是离
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2.切矢量 曲线上任一点的切矢量，如果存在的话则为：
T
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P (t ) P (t )
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如果选择弧长 s 作为参数，那么根据弧长微分公式，有： (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 引入参数 t ，上式可改写为：
2 ds dx dy dz P (t ) dt dt dt dt 2 2 2 2
为了方便，t 增加的方向数学上一般取为 s 增加的方向。考 虑到矢量的模非负，所以有：
ds P(t ) 0 dt
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
3.2.2 曲线基本概念
一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个 带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：
x x(t ) y y (t ), t [0, 1] z z (t )
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即弧长 s 是 t 的单调增函数，故其反函数 t(s) 存在，且一一对应。
由此得：
P(t) = P(t(s))= P(s) 于是
dP dP dt P(t ) ds dt ds P(t )
将 T , N , B 和 T, N, B 的关系写成矩阵形式，为
T 0 N k B 0 0 T 0 N 0 B k
对于一般参数 t，曲率 k 和挠率 的计算公式如下：
a1t 3 a2t 2 a3t a4 , t [0, 1] P (t ) b t 3 b t 2 b t b 2 3 4 1
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第三章 几何造型技术
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计算机图形学
3.1 绘制曲线的基本方法
在设计和绘图中，不可能没有曲线。这些曲线一般分为两 类：一类是标准曲线，可以用标准的数学方程来描述，如圆、
椭圆、抛物线等；另一类是拟合曲线，它们不能用标准的数学
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由于 dT/ds 与 N 平行，若令 T kN ，则：
k T lim T q T q lim lim s 0 s s 0 q s s 0 s
其中，q 为相邻两切线的夹角。称 k 为曲线的曲率，其几何意
再令 B(s) N (s) ， 称为挠率。因为
B dB B lim lim lim ds s 0 s s 0 s s 0 s
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方程来描述，只有先给出一些数据点，然后用相应的数学方法 来拟合这些数据点生成曲线。例如有实验曲线、等值线等等， 它们都是通过做实验得到一些实验数据、或经测量得到一系列 离散数据点。依据这些实际数据，我们希望能构造出一条曲线，
使其完全通过或者比较贴近这些数据点。 所以， 拟合曲线
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将 T kN 代入上式，并注意到 B(s)· N(s) = 0，得到：
B(s) N (s) 0
因为[B(s)]2 = 1，所以两边对 s 求导，得到 B(s) B(s) 0，可见 B(s) 既垂直于 T(s)，有垂直于 B(s)，故：
B(s) // N (s)
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计算机图形学
问题就是讨论由离散的数据点如何构成曲线的方法。
在计算机图形学这个领域里谈起的曲线，一般都是指的后
一种曲线。我们要讨论的问题是：已知一组数据点(也称型值 点)，选用哪种数学方法来加以拟合，相应的数学表达方式以及 如何绘制曲线。 为了说清这些问题，还须先从标准曲线开始。
计算机图形学
3.2 参数曲线和曲面
曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。由于参数表示 的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中常用参
数形式描述曲线、曲面。本节讨论有关参数曲线、曲面表示的
基础知识。
3.2.1 曲线曲面的表示
曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非 参数表示又分为显式表示和隐式表示。 平面曲线的显式表示一般形式为：
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Northwest University y = f(x)
计算机图形学
显式表示的缺点：
不能表示封闭或多值曲线； 与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。
平面曲线的隐式表示一般形式为：
平面曲线的参数表示。假定用 t 表示参数，则平面曲线上任
一点 P 可表示为：
P(t) = [x(t), y(t)]
空间曲线上任一点 P 可表示为： P(t) = [x(t), y(t), z(t)] 在曲线、曲面的表示上，参数表示比显式、隐式表示有更
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2T (s) T (s) 0
可见，dT/ds 是一与 T 垂直的向量。与 dT/ds 平行的法矢量称为 曲线在该点的主法矢，主法矢的单位矢量称为主法矢量，记为 N。矢量积 B = T×N 是第三个单位矢量，它垂直于 T 和 N 。平
行于矢量 B 的法矢称为曲线的副法矢，B 则叫做单位副法矢。
F(x, y) = 0
隐式表示的优点：
可表示封闭或多值曲线； 便于点和曲线的位置判断。
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Northwest University 隐式表示的缺点：
计算机图形学
求值困难；
与坐标系的选取相关； 会出现斜率为无穷大的情形，不便于编程。
Northwest University 圆的参数方程表示为：
计算机图形学
x = r· cos(t)，y = r· sin(t)
这两种表示方法，在绘图的时候是存有明显的差别的。
标准方程 取等量的变量但得不到均匀曲线
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参数方程 取等量的变量得到均匀曲线
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T（切矢）， N（主法矢）和 B（副法矢）构成了曲线上的 活动标架。 N 和 B 构成的平面称为法平面； N 和 T 构成的平面 称为密切平面； B 和 T 构成的平面称为从切平面（见图）。
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Northwest University 4.曲率和挠率
Northwest University 1.位置矢量
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曲线上任一点的位置矢量可表示为：
P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
其一阶、二阶和 k 阶导数矢量（如果存在的话）分别表示为：
dP d 2P dkP k P(t ) , P(t ) 2 , P (t ) k dt dt dt
计算机图形学
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲
线、曲面上的每个型值点进行几何变换，而对参数表示的曲线、 曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分
离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲
义是曲线的单位切矢对弧长的转动率，与主法矢同向。曲率的 倒数 r = 1/k 称为曲率半径。
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Northwest University 又 B(s) · = 0，两边对 s 求导，得： T(s)
B(s) T (s) B(s) T (s) 0
线、曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得可以用数
学公式处理几何分量。
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计算机图形学
（6）规格化的参数变量 t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有
界的，而不必用另外的参数去定义边界。
Northwest University
计算机图形学
所以，挠率的绝对值的概念与副法线方向（或密切平面）对于
弧长的转动率。 挠率大于 0、等于 0 和小于 0 分别表示曲线为
右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 同样，对 N(s) = B(s) ×T(s) 两边求导，可以得到：
N (s) kT (s) B(s)
Northwest University 散成直线画出的（见图）。
计算机图形学
另一个问题是参数法表示，这对于多值曲线尤为重要。例 如看一个圆，它的标准方程是：x2 + y2 = r2。可写成：
y r 2 x2
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在手工操作绘制曲线时，除了圆弧类曲线可以直接借助于
工具（圆规）来画出外，其他的曲线一般都是先确定几个点， 然后借用曲线板分段绘出。其实这也是用计算机来绘制曲线的 基本原理。由于计算机图形输出设备的工作特点, 曲线一般是离
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2.切矢量 曲线上任一点的切矢量，如果存在的话则为：
T
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P (t ) P (t )
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如果选择弧长 s 作为参数，那么根据弧长微分公式，有： (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 引入参数 t ，上式可改写为：
2 ds dx dy dz P (t ) dt dt dt dt 2 2 2 2
为了方便，t 增加的方向数学上一般取为 s 增加的方向。考 虑到矢量的模非负，所以有：
ds P(t ) 0 dt
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
3.2.2 曲线基本概念
一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个 带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：
x x(t ) y y (t ), t [0, 1] z z (t )
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计算机图形学
即弧长 s 是 t 的单调增函数，故其反函数 t(s) 存在，且一一对应。
由此得：
P(t) = P(t(s))= P(s) 于是
dP dP dt P(t ) ds dt ds P(t )
将 T , N , B 和 T, N, B 的关系写成矩阵形式，为
T 0 N k B 0 0 T 0 N 0 B k
对于一般参数 t，曲率 k 和挠率 的计算公式如下：
a1t 3 a2t 2 a3t a4 , t [0, 1] P (t ) b t 3 b t 2 b t b 2 3 4 1