第八章 第二节 平面图形上各点的速度
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大学理论力学 平面图形上各点的加速度分析
n BE
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。 动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚 动。 求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ． 时
分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ 先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （ ） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB
式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2
aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。 动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚 动。 求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ． 时
分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ 先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （ ） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB
式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2
aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
平面图形上各点的速度
式中：和——vA和vB与AB的夹角。
上式表明，平面图形上任意两点的速度在这两点的连线上的投影 相等。这关系称为速度投影定理。
目录
刚体的运动\平面图形上各点的速度 这个定理反映了刚体不变形（刚体上任意两点间的距离保持不
变）的特征。因为刚体运动时，若两点的速度在其连线上的投影不 相等，则这两点之间的距离就要改变，这不符合刚体的特征。由此 可知，速度投影定理不仅适用于刚体的平面运动而且适用于刚体的 任何运动。利用速度投影定理求平面图形上任一点速度的方法称为 速度投影法。
在图示的平面图形中取A点为基点分析B点的
运动，由于基点的速度vA与B点绕基点所作圆周 运动的速度vBA不在同一条直线上，显然这两个 速度的矢量和, 即B点的速度不可能等于零。而
在通过A点与速度vA垂直的直线上总能找到一点 C，并满足以下关系：
CA vCA vA
或 CA vA
此时，C点速度便为零。C点称为平面图形的瞬时速度中心，简称速
A vA x'
因A点的速度已知，故取A点为基点，建立以A为坐标原点的平
移的动坐标系，动系上各点的运动都与A点相同。
由速度合成定理，平面图形上B点的绝对速度va等于牵连速度ve 与相对速度vr的矢量和，即va= ve+ vr。
目录
刚体的运动\平面图形上各点的速度
va就是B点的速度vB，ve是动系上与点重合 的那点的速度，等于vA，vr是B点相对动系的速 度，也就是它绕A点相对转动的速度，其大小
由于vDB、vB和vD的大小都相等，所以三个矢量组成等边三角形，可 见vD与vB的夹角为60°。
目录
刚体的运动\平面图形上各点的速度
3）讨论。在本题中，由于B点速度的大小和方向都已知，A点 速度的方向也已知，还可应用速度投影法求A点速度的大小。将vA 和vB投影到AB方向上，得
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
四连杆机构加速度
第八章第二节刚体的平面运动平面图形上各点的速度(例题8-1)
例8-1 在图8-5所示的四连杆机构中，OA=r，AB=b，O
1
B=d，已知曲柄OA以匀角
速度ω绕轴O转动。
试求在图示位置时，杆AB的角速度ω
AB 以及摆杆O
1
B的角
速度ω
1。
【解】
杆OA和O
1
B作定轴转动，杆AB作平面运动。
由OA作定轴转动可知点A的速度
v
A
的大小为，方向垂直于OA，水平向左。
杆AB作平面运动，取点A为基点，由基点法得点B速度的矢量表达式为
式中v A的大小和方向均为已知，点B相对于基点A的速度v BA的方向与AB垂直，点B的速度v B与O1B垂直。
这样上式中四个要素是已知的，在点B作出其速度平行四边形如图8-5所示，作图时应注意使v B位于平行四边形的对角线上。
由几何关系得
于是得到此瞬时杆AB平面运动的角速度为
摆杆O
1B绕轴O
1
转动的角速度为
转向如图8-5所示。
如果本题只需求摆杆O
1B的角速度ω
1
，则可用速度投影定理求v B。
由
得
结果与上面相同。
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
用基点法求平面图形内各点的加速度
第二节 平面图形上各点的速度分析一、基点法由上一节分析可知，平面图形在其自身平面内的运动可分解为两个运动：（1）牵连运动，即随同基点A 的平动；（2）相对运动，即绕基点A 的转动。
于是，平面图形内任一点B 的速度可用速度合成定理来求得，这种方法称为基点法。
因为牵连运动是平动，所以点B 的牵连速度等于基点A 的速度A v ，如图15-7所示。
又因为点B 的相对运动是以点A 为圆心的圆周运动，所以点B 的相对速度就是平面图形绕点A 转动时点B 的速度，用BA v 表示，它垂直于AB 且与图形的转动方向一致，大小为ω⋅=AB v BA ，式中ω是平面图形角速度的绝对值（以下同）。
由速度合成定理可得B 点的速度为BA A B v v v += （15-2）由此可得出结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点相对转动速度的矢量和。
必须注意的是B v 位于速度平行四边形的对角线上。
基点法公式（15-2）中包含三个矢量，共有大小、方向六个要素，其中BA v 总是垂直于AB ，于是，只需知道任何其他三个要素，便可作出速度平行四边形，求出其他两个未知量。
BA v 总是垂直于AB 两点的连线，也就是说它在AB 两点连线上的投影恒等于零，将矢量方程（15-2）向AB 连线上投影可得[][]AB A AB B v v = （15-3）上式称为速度投影定理，即刚体上任意两点的速度在其连线方向上的投影相等。
此定理的几何意义可参考图15-7加以理解，它说明了图形上两点在其连线方向没有相对速度，这反映了刚体上两点距离不变的物理本质。
该定理不仅适用于刚体平面运动，也适用于其它任何形式的刚体运动。
若已知刚体上一点速度的大小和方向，又知道另一点速度的方向，在不知道两点间距离及刚体转动角速度的情况下，应用速度投影定理可方便地求出该点速度的大小。
下面通过实例说明基点法与速度投影定理的应用。
例15-1 曲柄连杆机构如图15-8a 所示，OA=r ，AB=r 3。
《理论力学》第八章 刚体平面运动
平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
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解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
刚体的平面运动
O′, O′
9.1 刚 体 平 面 运 动 的 简 化 及 其 分 解
如图所示，由图可知： 如图所示，由图可知：
∆ϕ = ∆ϕ ′
∆ϕ ∆ϕ ′ ω ′ = lim 而 ω = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
B A
B′′
∆ϕ ∆ϕ ′
B′
A′
A′′
所以
ω = ω′
类似地
α = α′
即：在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角 在任一瞬时， 速度和角加速度都相同。亦即： 速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 运动的角速度和角加速度
第八章 刚体的平面运动
1、刚体平面运动的概述和运动分 、 2、平面图形内各点的速度分析 、 3、平面图形上各点的加速度分析 、
一、刚体平面运动的定义 8.1 刚 体 平 面 运 动 的 概 述 和 运 动 分 解
ω
B
O
O
r vO
O
ω
A
O1
观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程 观察上述刚体的运动发现， 中有一个共同的特征， 当刚体运动时， 中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚体内 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。具备 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动 刚体的平面运动， 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动， 简称平面运动 平面运动。 简称平面运动。
r r r vB = v A + vBA
o
B点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影 坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得
0 = −v A + vBA sin 30
9.1 刚 体 平 面 运 动 的 简 化 及 其 分 解
如图所示，由图可知： 如图所示，由图可知：
∆ϕ = ∆ϕ ′
∆ϕ ∆ϕ ′ ω ′ = lim 而 ω = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
B A
B′′
∆ϕ ∆ϕ ′
B′
A′
A′′
所以
ω = ω′
类似地
α = α′
即：在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角 在任一瞬时， 速度和角加速度都相同。亦即： 速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 运动的角速度和角加速度
第八章 刚体的平面运动
1、刚体平面运动的概述和运动分 、 2、平面图形内各点的速度分析 、 3、平面图形上各点的加速度分析 、
一、刚体平面运动的定义 8.1 刚 体 平 面 运 动 的 概 述 和 运 动 分 解
ω
B
O
O
r vO
O
ω
A
O1
观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程 观察上述刚体的运动发现， 中有一个共同的特征， 当刚体运动时， 中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚体内 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。具备 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动 刚体的平面运动， 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动， 简称平面运动 平面运动。 简称平面运动。
r r r vB = v A + vBA
o
B点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影 坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得
0 = −v A + vBA sin 30
综合法求速度基点法求加速度
aBnA
BA
vA 2m / s
B块、A块作直线运动，vA水平向右， vB斜导槽直线运动，故B点为速度瞬心
vB 0
AB =
vA l
=
2=1 2
rad/s
（）
A
（2）确定AB的加速度瞬心，求 AB
vA 2m / s ，且水平向右，故 aA 0
aA沿水平滑道，B点加速度矢量图如图（加速度瞬心法）
aBA AB
3 2
3
AB杆在图示位 置作瞬时平移， 其角速度等于零， 但其角加速度并 不等于零
（2）研究B轮， B轮绕C瞬时转动，轮心B点距瞬心r远
B
aB 3 2
第r16页/共322页
Theoretical Mechanics
§8.4 平面图形内各点的加速度
讨论：
例题
已知各杆尺寸、角度、OA杆的角速度和角 加速度。求AB的角加速度，B的加速度。
速度合成定理求平面图形内
任一点的加速度: 将从平面
x’
运动刚体所选的基点与平动
坐标系x’O’y’原点O’固结
y’
aa ae arn ar
aM
aO aMO
aO
aMO
an MO
平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与
ae aO
aMO OM
an MO
OM
2
绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 第9页/共22页
(2)速度分析
A、B两点速度方向已知 , vA rO
方法三：基点法
(3)找瞬心：从A、B两点分别作vA、vB的垂线，其交点O即为AB杆在
该瞬时的瞬心
AB
=
vA r
=
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100
小结速度分析的瞬心法解题步骤 总结平面运动速度分析三种方法(P182): (1)基点法: 基本方法。 可以求解图形上一点的速度或图形的角速度 (2)速度投影定理: 比较简单， 但只能求速度，不能求平面运动刚体的角速度 (3)瞬心法: 既简单直观(比基点法)， 又全面(比速度投影定理)
二、速度瞬心法(取速度瞬心为基点的速度分析方法) ［速度］瞬心(瞬时速度中心): 某一瞬时，刚体上速度等于零的一点vI =0 1．定理:一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在 一个速度瞬心。 ［证明］ 见P177 2．平面图形内各点的速度及其分布
基点:速度瞬心 I vM = vI + vMI = vMI 任一瞬时，平面图形上任一点的速度 等于该点随图形绕瞬心转动的速度。 vM =MIw 方向垂直于MI
vA R r w wO r r v B BIw 2rw 2 ( R r )wO
vC CIw 2rw 2( R r )wO
v D DIw 2rw 2 ( R r )wO
wO
O I
I
A
w
B
例(P180例8-6) 曲柄滑块机构，曲柄OA的w=常量，杆长OA=r， AB=l，试求j=0、j=90°以及任一瞬时t时，连杆AB的角速度 和滑块B的速度。 wAB I j wt v A rw IA l cosy / cos j IB l cosy r cos j tanj vA A
速度合成定理:平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点 随图形绕基点转动速度的矢量和。
2. 速度投影定理(速度合成定理的推论) 定理:同一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。 vB [证明] vB = vA + vBA vBA vA 投影到AB连线上 (vB )AB = (vA )AB + (vBA)AB (vB )AB = (vA )AB
例(P175例8-2) 曲柄滑块机构，OA=r，AB= 试求j=60o时vB、wAB 。 vA
3 r， w=常量。
A
w
O
j
wAB
vB
vA
30o
vB
vA 2 3rw cos 30 3 3 rw 3
解 (1)运动分析 (2)速度分析 (机构连接点A、B) vA = rw (3)平面运动刚体(杆AB)， 基点法 B (以A为基点分析B点)， vB = vA + vBA vBA 作速度平行四边形
(3)平面运动刚体(杆AB)， 基点法(以A为基点分析B点)， vB = vA + vBA 作速度平行四边形 vBA = vA tan 30º
3 rw 3
O
30° O1
w1
w AB
v BA v BA 3rw AB b 3b
vA 2 3rw vB cos 30 3
vB 2 3rw w1 O1 B 3d
3．确定速度瞬心位置的方法 (l)平面图形沿固定表面作纯滚动，图形与固定面的接触点I (2) 垂线法(已知图形内任意两点的速度方向，但不平行 ——速度瞬心I 的位置在两点速度的垂线上。)
w
I w
vB
B
I A
vA
(3)比例法(已知两点的速度相互平行，且速度的方向垂直于 两点的连线AB——速度瞬心I 必定在连线AB与速度矢vA和vB 端点连线的交点上。)
例(P180例8-6) 曲柄滑块机构，曲柄OA的w=常量，杆长OA=r， AB=l，试求j=0、j=90°以及任一瞬时t时，连杆AB的角速度 和滑块B的速度。 vA wAB j=0时
wAB
I
w
O
vA A
vB 0
r
A
w AB
l vB
v A rw B IA l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(I)
j=90°时
l
w r
O
j
vA vB
A B
vA
A I B vB
w
w
I
(4)瞬时平动 某一瞬时，图形上A，B两点的速度 vA=vB vA vB
A B
vA vB
A B
瞬时平动(图形的速度瞬心在无限远处) 注意: (1)w=0，图形上各点的速度大小相等，方向相同， vA=vB 速度分布与平动时相似。 (2)瞬时平动与平动区别 平 动: 任一瞬时w=0，a=0， aA=aB 瞬时平动: 某一瞬时w=0 ，但a ≠ 0， aA ≠ aB
r sinj l siny
2 2 2 cosy 1 sin2 y l r sin j / l
w r
O
j
l
y
vB B
w AB
解 (1)运动分析 (2)速度分析(机构连接点) (3)作速度瞬心
rw cos j vA l cosy IA rw sinj ( l cosy r cos j ) v B IBw AB l cosy
一、速度基点法和速度投影定理 1．速度基点法
vB vBA ve = vA
第二节 平面图形上各点的速度
(牵连运动为平动)
大小: vBA =ABw
vr = vBA
w
A
B
vA
vA
va = ve + vr vB = vA + vBA ——基点法(速度合成法) 注意: ①A、B两点在同一刚体上。 ②如取点B为基点，则vA = vB + vAB
解 (1)运动分析 (2)速度分析 (机构连接点A、B、C) v B lw 2 v A 3 lw 1
(3)杆AC
vCx v A 3lw1
B 30° A vA C
O2 vB w2 vCx
q
w1
O1
vCy
vC
杆BC vCy cos 30 vCx sin30 v B cos 30
vBA = vA tan 30º
w AB
v BA w AB 3
例 (P175例8-3) 火车以速度vO沿水平直线轨道行驶，设车轮的 半径为r，在轨道上滚动而无滑动。试求轮缘上A、B两点的速 度。 vA 解 先求车轮的角速度 vO A vBO vC=0 车轮纯滚 vAO vB 基点:轮心O，分析C点 vC = vO+ vCO B vO vO vC= vO - vCO = vO - rw =0 w O q w = vO / r vCO
w
A
B vA
注意: 1. 物理意义:反映了刚体上任意两点间的距离保持不变的特性。 因此:定理适用于刚体作任何运动(具有普遍性)。 2. 不能求平面运动的w 3. 投影轴必须是两点连线。
例(P174例8-1)四连杆机构，OA=r，AB=b，O1B=d，w=常量。 vB 试求图示位置wAB、w1。 vBA 解 (1)运动分析 vA A B (2)速度分析 vA wAB (机构连接点A、B) vA = r w w
M
v
M
I
w
图形上各点的速度分布如图所示 强调指出: ① 某一瞬时，刚体有且仅有一个速度瞬心 (唯一性和存在性) ② 瞬心可在刚体内，也可在刚体外 (刚体的延伸部分) ③ 不同的瞬时有不同的速度瞬心 (瞬心的位置随时间而改变) aI ≠ 0
M vM
I
w
平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。 (速度在某瞬时的分布情况，与定轴转动时相类似)
例(P179例8-5) 行星轮系，大齿轮Ⅰ固定不动，半径为R；行星 齿轮Ⅱ在轮I上作无滑动的滚动，半径为r；系杆OA的角速度为 wO 。试求轮Ⅱ的角速度以及其上B、C、D三点的速度。 vC 解 (1)运动分析 vD D (2)速度分析(机构连接点) vA II C vB v A OAwO ( R r )wO (3)行星轮Ⅱ纯滚， 速度瞬心为I。 v A AIw rw
y
vB B
vA
A r l vB
v B v A rw
O 解 (1)运动分析 (2)速度分析(机构连接点) (3)作速度瞬心
w
w AB 0
B
例8-7 平面连杆滑块机构中，O2C=100mm；图示瞬时，A、B、 O2和O1、C分别在两水平线上，此时，vA=80mm/s。试求该瞬 时杆O1B及杆O2C的角速度。 vC (4)确定杆BC速度瞬心 C 160 vB O1 w BC BI 115.5 wO1B wO2C 1.39rad/s A vA 45° 30° O2 vC CIw BC 157.7 1.39 B 219mm/s vB vC 解 (1)运动分析 wBC I 2.19rad/s w O2 C (2)速度分析(机构连接点) O2 C (3)确定杆AB速度瞬心 v 80 vA w O1 B B w AB 0.8rad/s 0.8rad/s w AB O1 B O1 A 100 100 v B O1 Bw AB 0.8 160mm/s sin 30
vCy v B vCx tan 30 l (w1 w 2 )
2 2 2 vC vCx vCy l 4w12 2w1w 2 w 2
w1 w 2 q arctan 3w1
小结速度分析的基点法解题步骤: (l)分析各物体的运动； (2)速度分析(机构连接点)； (3)对平面运动刚体，选定基点A，分析另一点B， 应用基点法vB = vA + vBA ，作速度平行四边形； (4)利用几何关系，求解未知量。 (5)如果需要再研究另一个作平面运动的物体， 可按上述步骤继续进行。
C
vO
基点:轮心O，分析A点 vA = vO + vAO vA= vO+ vAO = 2vO
基点:轮心O，分析B点 vB = vO + vBO
vB＝ 2vOsin(q/2)