03第二章单摆资料

2.1.2 单摆方程的数值解
由于之前的讨论都是在小角度的近似结果，如果是任意角度 的摆动，则无法给出解析解，只能求数值解，即曲线上某点 的值
而对于mathematica，解这个问题很容易，有一个函数 NDSolve[ ]是专门求微分方程数值解，使用格式： NDSolve[{微分方程和初始条件}，函数名，{t，t1,t2}]
现在换作数值方法来求最大摆角，只要获得了数值解，就可 以求插值函数的极大值
求解角振幅的关键是使用函数: FindMaximum[θ [t],{t,0.5}] 它是求函数局部极大值的，其 第一项是函数，包括自变量； 第二项指出极大值的近似位置
我们看到，所求得的角振幅0.0521699rad与理论值 0.05217rad几乎完全一致！
具体写法： 1.微分方程的等号，必须改为双等号“==”，中间不能有空 格 2.初始条件也必须用双等号连接 3.各个双等号连接的项需要用逗号分隔 然后用作图函数Plot[ ]把摆角θ (t)随时间变化的图形画出来
格式：Plot[f(t),{t,t1,t2}]
g L Ω V0 ω0 s
表示“重力加速度”，它的值取9.8 表示“摆长” 表示（赝）“角频率”，即 g L 表示“初始速度” 表示“初始角速度” 表示“数值解”
Mathemaica给出的数值结果没 有明显地违背经验常识！
2.2 振幅、周期和相位
2.21 从数值解里求振幅和周期 函数Print[ ],它是在屏幕上输出数据和信息的函数，格式是： Print[项1，项2，…….，项n]
每一项可以是数值型数据，也可以是字符串，字符串要用 （“”）括起来
在给定的初始条件下 Vo=0.2；g=9.8；L=1.5； 用能量守恒求出单摆的角振幅，最大角度θ =0.05217rad
PlotStyle→Thickness[0.004],AxesSt yle→Thickness[0.003]分别表示曲线 的粗细和坐标轴的粗细 θ →InterpolatingFunction[{{0.,10.}}, <>] 函数θ （t）的数值解是一个插值函数 给出的，将个分立点连接起来 摆角随时间是周期性震荡的，像正弦 函数，单摆是在作周期性运动
随着时间的延续，两个震 动的失步越来越明显（即 峰值错位），而且是摆角 大的周期长的周期长，摆 角小的周期小
观察“失步”现象，还可以用动画的形式，Mathematica的 一个重要功能是能够创作动画，一种方式是连续产生一系列 图片，将它们全部选中，按快捷键Ctrl+Y，就能够是这些动 画从头到尾地顺序播放，形成动画；另一种方式是使用动画 函数Animate[ ] 格式： Animate[expr,{t,t1,t2},options] 其中expr是复合表达式 画分立点的函数 ListPlot[ ] 格式： ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…},options] 函数Show[ ]将它们画在同一张图上 格式： Show[{g1,g2,…},options] g1,g2等表示图形或图形元素
第二章 单摆
( Simple Pendulum )
2.1、单摆震动方程与数值解
2.2、振幅、周期和相位
2.3、阻尼摆
2.4、无阻尼单摆周期的准确表达式
单摆概念 ： 从物理意义实体来讲，是一个比较
重的小球，用一根细线或细杆拴着 ，悬挂在某个固定点，组成的物理 系统
支配单摆系统的动力学是牛顿运动理论，其核心 是牛顿第二定律：
当我们连续两次使用 FindMaximum[ ]函数就 可以求得相邻两个极大值 的位置，而它们的时间差 就是周期T 按照惯例，使用周期公式 可得：t=2.45817s 该结果十分接近，不过计 算值与理论值大了许多， 为解此疑问，我们先考察 相位和失步的现象
2.2.2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位与“失步”现象
在振动问题里，“相位”是一个重要的概念，选取“角度 ”和“角速度”，考察它们的关系
在程序里，我们对初位 置相同但初速度不同的 两个摆球求出了它们摆 角的数值解，分别存储 在变量as和bs里，解算 时间都是20s，经过替换 ，这两个解的插值函数 分别用θ 1和θ 2来表示
当我们运行上面的程序，就会看到一个动画如下，两个不同颜色 的圆点带便两个摆球，它们沿着水平轴往复振荡。上不得指示条 代表着时间进度，摆球振荡的速度可以通过中间的两个按钮控制 ，很容易看出两个摆球的“失步”过程
2.2.3 周期与振幅的关系
现在我们要来研究单摆的周期T 和角振幅θ m之间的关系，既然 可以从数值解里得到角振幅和周 期的信息，则只要改变角振幅， 就可以得到不同的周期
单摆周期的确是随着角振幅增大而 增大的，但变化缓慢
我们来分析程序的结构,程序的重点结构式由： Do[…,{V0,0.1,5.4,0.1}]
在Do[ ]循环中，...表示循环体，是一个复合语句，各个 语句之间用分号连接
AppendTo[θ T,{θ m1,T}] 是往一个表里增加新元素的函数每次添加的新元素都排 在表的尾部，θ T最后的形式: {{θ m1，T1},{θ m2,T2},{θ m3,T3},...} Fit[θ T,{1,θ ,θ 2,θ 3,θ 4,θ 5,θ 6},θ ] 是拟合数据的函数，在得到了角振幅与周期的数据以后 使用了θ 的多达6次方的多项式来拟合这些数据
2.1 单摆震动方程与数值解
2.1.1 方程的推导与分析 1.单摆究竟随时间作怎样的运动？ 2.某一刻摆球处在什么位置？ 3.摆球的往复是等周期的吗？ 4.周期是多少？跟什么因素有关？
要用一个最简单运动方程去描述摆角θ (t)随时间变化 的一般规律:
如果要求单摆的运动周期，则根据圆频率与周期的关 系得到：
它们的相位大约差了90°，角 速度相位超前，这与理论预 期一致：因为角速度等于角 度的时间导数，如果角度差 不多按正弦变化，则角速度 将差不多按余弦变化，二者 差了90°
先考察摆球在两个不同初 速度（取0.2和3）情况下 的摆动曲线，将时间拉长 ，设它们初始的位置和运 动方向都相同，即它们在 开始计算的时刻是同步的 ，如果它们因为振幅不同 而周期不用，时间一长， 应该有“失步”现象