第六章-1-联立方程模型的提出和概念复习过程
联立方程模型
Econometrics
王维国
东北财经大学
第十讲 联立方程模型
第一节 联立方程模型概述 第二节 联立方程模型的识别问题 第三节 联立方程模型参数的估计问题
东北财经大学数学与数量经济学院
第一节 联立方程模型概述
一、联立方程模型的性质
（一）为什么要建立联立方程模型 单一方程模型是用一个方程描述一个经济变量
一、联立方程模型的性质
（二）联立方程模型的基本概念 1.联立方程模型：由多个方程所组成的模型。 Y1i=β10 + β12Y2i + γ11X1i+ u1i Y2i=β20 + β22Y1i + γ21X1i+ u2i 2.内生变量与外生变量 内生变量是模型中本身决定的变量，也就是 说它的取值是模型系统内决定的。 外生变量不是由模型系统内决定的变量，也 就是说它的取值是由模型系统外部决定的。
Yt=β0 +β1Yt+ut +It Yt=β0 /(1- β1) +1 /(1- β1) It + 1 /(1- β1) ut
E(Yt)=β0 /(1- β1) +1 /(1- β1) It
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三、联立方程偏误：OLS估计量的非一致性（2）
Yt-E(Yt ) = ut/(1- β1) cov(Yt,ut )=E[Yt-E(Yt ) ][ut-E(ut)]
货币市场均衡方程：
Yt= l0+l1M ’+l2rt l0= -a/b l1= -1/b l2= -c/b
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三、联立方程偏误：OLS估计量的非一致性（1）
消费函数：Ct= β0 + β1Yt+ut 收入恒等式：Yt=Ct+It 将(12.4)代入(12.5)中，则
计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
计量经济学知识点整理：联立方程
联立方程模型一、概念：联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。
内生变量：是具有某种概率分布的随机变量，是由模型系统决定的，取值也是由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影响。
一般都是经济变量。
每一个内生变量的值都要利用模型中的全部方程才能决定。
外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。
一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。
外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。
外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。
先决变量：外生变量和滞后内生变量注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。
结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先决变量和随机干扰项的函数形式完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随机扰动项。
例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的函数关系，如税收方程。
恒等式：定义方程式和平衡方程。
简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。
参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。
二、识别方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。
∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。
1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。
注：识别的定义是针对结构方程而言的。
模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。
如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。
反之不识别。
恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。
但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。
第六章联立方程模型单一方程模型只...
第六章 联立方程模型单一方程模型只用一个方程来描述某个经济变量与其影响因素之间的关系，模型中解释变量x 是被解释变量y 的变化原因，y 是x 变化的结果，它们之间的因果关系是单向的。
但是经济现象的错综复杂性，使得经济系统中很可能包含多个经济关系，而且有些经济变量之间并不是简单的单向因果关系，而是相互依存、互为因果关系。
例如，研究消费函数时，一般认为消费是由收入决定的；但从社会再生产的动态过程来看，消费水平的改变又会导致生产规模的变化，进而影响收入，所以消费又决定收入。
利用单方程模型很难完整、准确地反映经济系统内的这种复杂关系，只有将多个方程有机地组合起来才能合理地进行描述。
联立方程模型就是由多个相互联系的单一方程组成的方程组。
由于其包含的变量和描述的经济关系较多，所以能够较为全面地反映经济系统的运行规律。
第一节 联立方程模型概述一、 联立方程模型的特点[例1]宏观经济模型tt t t t t t t tt t G I C Y Y b Y b b I Y a a C ++=+++=++=-21210110εε式中，C 为居民消费总额，Y 为国内生产总值，I 为投资总额，G 为政府消费。
这是一个简单的宏观经济模型，反映了国内生产总值中各项指标之间的关系。
其中，第一个方程为消费函数，第二个方程为投资函数，第三个方程为恒等方程，即假定进出口平衡的情况下，国内生产总值等于消费总额（居民消费和政府消费）与投资总额之和。
模型中共4个经济变量，其中居民消费、投资、国内生产总值之间都是互为因果关系，只有构造多个方程才能将它们作为一个完整的系统进行描述和分析。
[例2]农产品市场局部均衡模型sd s d Q Q R b P b b Q Y a P a a Q =+++=+++=22101210εε式中，s d Q Q ,分别为某农产品的市场需求量和供给量，P 为该农产品的价格，Y 为消费者收入，R 为影响农产品的天气条件指数。
联立方程模型的提出和概念
G
•国内生产总值Y由居民消
费C、投资I和政府消费G
I
Y
构成
•居民消费C和投资I同样
C
取决于国内生产总值Y
2021/4/10
5
上述关系只能采用一组方程描述：
CI tt
0 1Yt 0 1Yt
1t Y 2 t1
2t
Yt Ct I t Gt
X
X1
X2
x11
x21
x12 x22
x1n
x2n
Xk
xk1
xk2
x
kn
1
2
11 21
12 22
1n
2n
g
g1
g2
gn
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26
11 12 1g
11 12
21
22
2
g
21
22
g1
g2
gg
g1 g2
1k
2
k
gk
行为方程 ：描述经济系统中变量之间的行为关系 技术方程 ：描述由技术决定的变量之间的关系 随机方程 制度方程 ：描述由制度决定的变量之间的关系 统计方程 ：描述由数据之间的相关性决定的变量之间的关系 定义方程 ：由经济学或经济统计学的定义决定 恒等方程 平衡方程 ：由变量代表的指标之间的平衡关系决定 经验方程 ：由经验得到的数据之间的确定性关系
顾客 期望
顾客对价 值的感知
顾客 满意度
顾客 抱怨
顾客 忠诚
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二、计量经济学方法中的联立方程问题
• 联立方程模型中的每个方程并不等价于一个单方程计量经济学模型
第六章__联立方程计量经济学模型
二、识别的分类
1、恰好识别：方程式的结构型参数可由其简化型 系数求出，而且仅有唯一解，则该方程式称为恰 好识别。
2、过度识别：方程式的结构型参数可由其简化型 系数求出，但解不唯一，则该方程式称为过度识 别。
3、未能识别：没有解。
三、从定义出发识别模型
例6.2.1 假设供求平衡模型为：
Qd
Q
S
0 0
❖ 这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问 题。
二、 联立方程模型的若干基本概念
◘ 变量 ◘ 结构式模型和简化式模型 ◘ 联立方程偏倚 ◘ 多方程模型的类型
1、变量 ① 内生变量
CI t t
0 0
1Yt 1Yt
1t Y2 t1
2t
Yt Ct It Gt
❖ 内生变量是具有某种概率分布的随机变量，是由 模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。
用ols。
当 1、2、3 相关时，需用Zellner估计法。
§6.2 联立方程计量经济学模型的识别
一、识别的定义 二、识别的分类 三、从定义出发识别模型 四、识别的阶条件 五、识别的秩条件 六、识别小结 七、识别的其他规则 八、实际应用中的经验方法
模型的识别问题实际上是模型的估计或评价问题。 不是就整个方程组，而是对每一个方程逐一识别。
③ 完备的结构式模型
❖ 具有g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程的 模型被称为完备的结构式模型。
❖ 在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等 于内生变量的数目，每个内生变量都分别由一个方 程来描述。
2.简化式模型
❖ 把结构式模型的内生变量表示成先决变量和扰动项 的函数。
❖ 简化式模型中每个方程称为简化式方程，方程的参 数称为简化式参数。
联立方程模型的一些概念
第一节联立方程模型的一些概念联立方程模型的概念及识别问题①联立方程模型的一些概念一、联立方程模型在本章以前，介绍的都是单方程模型，即用一个方程表示解释变量对被解释变量的影响。
但在很多经济系统中，变量之间的影响是相互的，只用单一方程模型不能刻画变量之间的这种相互影响关系，这时就需要用到联立方程模型。
联立方程模型刻画的是变量之间的相互依存、相互影响的双向因果关系。
在联立方程模型中，一些变量的值是这些方程共同确定，例如，对于一个不考虑税收和进出口的简单的宏观经济系统：Ct = α0 + α1Yt + α2Ct-1 + μ1tIt = β0 + β1Yt + β2Yt-1 + μ2tTt = γ0 + γ1Yt + μ3tYt = Ct + It + Gt（12.1.1）该经济系统由消费C、国内生产总值Y、投资I、税收T以及政府支出G构成。
显然，在消费方程中，消费由当期国内生产总值和上一期的消费行为决定；在投资方程中，投资由当期和上一期的国内生产总值决定；在税收方程中，税收由当期的国内生产总值决定；在国内生产总值决定方程中，国内生产总值又由当期的消费、投资以及政府支出决定。
所以，消费、投资和国内生产总值之间相互影响、相互依赖、互为因果关系。
另一个比较常见的联立方程模型的例子是供给-需求模型，如：Qd■= α0 + α1Yt + α2Pt + μ1tQs■= β0 + β1Pt + β2Pt-1 + β3Rt + μ2tQd■ = Qs■（12.1.2）该供给需求系统由产品需求量Qd■、产品供给量Qs■、消费者收入Yt、产品价格Pt以及外在的影响因素Rt共同决定。
产品的需求量取决于消费者的收入以及产品价格；产品的供给量取决于本期和上一期的产品价格以及外在的影响产品产量的因素R（如利率的高低，国家对相关产业的政策变化，农产品的供应量还受到天气的影响等）；供需平衡时的产品产量（需求量）取决于产品价格，而产品价格又受到平衡时的产品产量（需求量）影响。
联立方程组模型的基本概念
22
在供给函数中再引入一个变量，如Pt1 。
Qt 1 2Pt 3Pt1 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
它的简约式为：
Qt Π11 Π12Yt Π13Pt1 u1t Pt Π21 Π22Yt Π23Pt1 u2t
Qt 1 2 Pt 3 Pt1 1t Qt 1 2 Pt 3Yt 2t
6
变形后可以得到：
Qt 1 2 Pt 3 Pt1 1t Pt 1 2Qt 3Yt 2t
其中 1 1 2 , 2 1 2 , 3 3 2 , 2t 2t 2 简单起见仍写成：
Y2t Y 21 1t 2gYgt 21 X1t 2K X Kt 2t
Ygt Y g1 1t gg1Yg1t g1 X1t gK X Kt gt
10
变形后可得
Y1t Y12 2t Y 1g gt 11X1t 1K X Kt 1t
0
0
1 0 0 1
N 4 g 1 4 1 3 rankS 2 g 1 3
16
模型的简约式
为：
Qt
1 21 1t 2 2t 122 122
11 u1t
Pt
1 12 122
2 1t 2t 122
21 u2t
1 21 122
11
1 12 122
关系式
1 21 122
11,
1
23 2
2
12
1 12 122
联立方程模型 make system
联立方程模型是一种数学方法，通过联立多个方程来描述和解决复杂的问题。
这种模型在经济学、物理学、工程学等领域中得到了广泛的应用，能够帮助研究人员理解和预测各种变量之间的关系。
本文将介绍联立方程模型的基本概念和应用，以及如何构建和求解联立方程模型。
一、联立方程模型的基本概念联立方程模型是一种描述多个变量之间关系的数学模型。
我们可以用一组方程组来表示这些变量之间的相互影响。
一般来说，联立方程模型可以写成如下形式：1. 假设我们有n个变量和m个方程，我们可以用矩阵和向量的形式来表示联立方程模型：其中，Y是一个n维向量，代表因变量；X是一个n×k维矩阵，代表自变量；β是一个k维向量，代表自变量的系数；ε是一个n维向量，代表误差项。
2. 联立方程模型的基本假设包括：（1）线性关系假设：假设因变量和自变量之间的关系是线性的；（2）随机抽样：样本必须是随机抽样的，以保证估计结果的一致性；（3）独立同分布假设：误差项之间是相互独立的，并且服从相同的分布；（4）方差齐性假设：误差项的方差是相同的。
二、构建联立方程模型构建联立方程模型的基本步骤包括：1. 确定研究的目标和问题：首先需要明确研究的目的，确定需要研究的变量和它们之间的关系。
2. 收集数据：根据研究目标，需要收集相关的数据样本。
3. 设定模型：选择合适的自变量和因变量，并设计出联立方程模型的形式。
4. 估计参数：通过最小二乘法或其他方法，估计模型的参数。
5. 检验模型：对模型的拟合度和估计结果进行检验，检验模型是否符合现实情况。
6. 修正模型：根据检验结果对模型进行修正，直至得到较为合理的模型。
三、求解联立方程模型求解联立方程模型的常用方法有：1. 最小二乘法：通过最小化因变量的观测值和模型估计值之间的差异来估计参数。
2. 极大似然估计：通过最大化样本数据出现的概率来估计参数。
3. 广义最小二乘法：当误差项不满足方差齐性和独立同分布假设时，可以使用广义最小二乘法进行参数估计。
计量经济学联立方程模型evlr
需求函数 Pt 1 2Qt 2t
模型的简化式：
Qt
1 21 1t 2 2t 122 122
11 u1t
Pt
1 12 122
21t 2t 122
21 u2t
1 21 122
11
1 12 122
21
供求模型都不可识别。
在需求函数中引入收入变量 Yt来说明
变其量中。，Y如1，果，模Y型m 中为有m个常内数生项变，量X1；可X1视,为,始X k终为取k个值前为定1
的外生变量。
引入向量和矩阵记法
11 12 1m
R 21
22
2m
,
m1
m2
mm
Y1t
Y
Y2t
,
Ymt
11 12 1K
β
21
22
2K
,
m1
Yt Ct It Gt
变形为： Ct 0 1Yt 2Tt 1t , It 0 1Yt1 2rt 2t , Tt 0 1Yt 3t ,
Yt Ct It Gt 0
恒等方程无识别问题，因为无未知参数。
讨论第一个方程的识别性。根据阶条件的两个等价条 件，可知第一个方程是过度识别的。
（二）简单的例子
简单的两方程宏观经济模型
Ct Yt t
Yt Ct It
其简化式模型：
Ct
1
It
1
1
t
Π1It
ut
Yt11It11t
Π2It
ut
第一个方程的最小二乘估计为
Ct It
Πˆ 1 t
I
2 t
t
根据：
ˆ 1 ˆ
Πˆ 1
t
Ct It
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X1 X2 …… Xn
Y
Y i01 X 1 L k X ki
• 经济系统：涉及多个因素之间的相互依存、互为因果的关系，而不是 单个经济活动中的单向因果关系，必须采用一组方程才能描述清楚
•“系统”的相对性：国民经济系统、商品购买决策系统
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0
这意味着什么？
内生变量一般都是经济变量
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⒉ 外生变量 (Exogenous Variables)
定义：外生变量是指只影响系统，而本身不受系统的影响的变量 从变量之间的相互影响关系来看：外生变量只会去影响模型系统中的
其他变量，而本身不受模型中的其他变量的影响。 从变量在模型中的角色来看：外生变量只能在模型中充当解释变量。 从变量性质来看：外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率
分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。 一般情况下，外生变量与随机项不相关。 外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。
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⒊ 先决变量（Predetermined Variables）
滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables) ：内生变量的滞后 项，如C是内生变量，则Ct-1是滞后内生变量
一个其他变量的影响，同时内生变量本身可以去影响模型中的其他变 量。 从变量在模型中的角色来看：在联立方程模型中，内生变量至少是一 个被解释变量（即：有一个方程描述内生变量），同时又可以在不同 的方程中作为解释变量。 从变量性质来看：内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参 数是联立方程系统估计的元素。
G
内生变量的特点：
I
Y
至少有一个箭头指向自身(可能有指向外
C
部的箭头)
外生变量的特点：
仅有指向外部的rincebf,2008-2009,YNUFE
如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失不同方程之 间相关性信息。
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§6.2 联立方程模型中的若干基本概念
一、变量 二、结构式模型 三、简化式模型 四、参数体系
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⒈ 随机解释变量问题
Ct 0 1Yt 1t It 0 1Yt 2Yt1 2t
Yt Ct It Gt
解释变量中出现随机变量，而且与误差项相关。 为什么？
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⒉ 损失变量信息问题
C Itt
0 1Yt 0 1Yt
1t 2Yt1
2t
Yt Ct It Gt
一、变量
• 对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变 量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大类。
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⒈ 内生变量 （Endogenous Variables）
定义：内生变量是指其取值由模型系统决定的变量 从变量之间的相互影响关系来看：内生变量至少会受到模型系统中某
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一般情况下，内生变量与随机项相关，即
C o v ( Y i ,i ) E ( ( Y i E ( Y i ) ) ( i E ( i ) ) )
E ((Yi E (Yi )) i ) E (Yi i ) E (Yi )E( i ) E (Yi i )
＃ 一个简单的宏观经济系统
由国内生产总值Y、居民消费总额C、投资总额I和政府消费额G等变 量构成简单的宏观经济系统。
假定政府消费额G由系统外部给定，则有：
G
•国内生产总值Y由居民消
费C、投资I和政府消费G
I
Y
构成
•居民消费C和投资I同样
C
取决于国内生产总值Y
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如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失变量信息。 为什么？
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⒊ 损失方程之间的相关性信息问题
CItt
0 0
1Yt 1Yt
1t Y 2 t1
2t
Yt Ct It Gt
联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性， 表现于不同方程随机误差项之间。
上述关系只能采用一组方程描述：
C Itt
0 1Yt 0 1Yt
1t 2Yt1
2t
Yt Ct It Gt
◎在消费方程和投资方程中，国内生产总值决定居民消费总额和投 资总额；
◎在国内生产总值方程中，它又由居民消费总额和投资总额所决定。
这是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型（假定进出口平衡）
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第六章-1-联立方程模型的提出 和概念2010
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§6.1 联立方程模型的提出
一、实际应用的角度 二、理论方法的角度
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一、经济研究中的联立方程计量经济学问题
单一经济现象：仅涉及某一经济变量与其影响因素之间的单向因果 关系，采用单方程模型描述。
＃ 顾客满意度指数(Customer Satisfaction Index)模型
顾客对质 量的感知
顾客 期望
顾客对价 值的感知
顾客 满意度
顾客 抱怨
顾客 忠诚
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二、计量经济学方法中的联立方程问题
• 联立方程模型中的每个方程并不等价于一个单方程计量经济学模型
◦ 滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重要的不可缺少的一部分变 量，用以反映经济系统的动态性与连续性。
外生变量与滞后内生变量统称为先决变量。 先决变量只能作为解释变量。
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内生变量与外生变量的图示
根据模型方程画出变量影响关系示意图