最优控制理论与应用
最优控制理论及其应用
最优控制理论及其应用最优控制理论是现代控制理论中的一种重要分支，它的主要研究内容是在一定约束条件下，确定一个系统的最优控制策略，使得系统能够在最短时间或最小代价内达到所要求的状态或性能指标。
最优控制理论的发展和应用，在许多领域中都发挥着极为重要的作用，特别是在工业自动化、航空航天、经济管理、生态环保等方面，都有广泛的应用。
最优控制理论的基本思想是，通过建立数学模型，将实际系统抽象为一种数学形式，而后再在此基础上，建立最优控制问题的数学模型，并采用数学方法对问题进行求解。
但是，对于实际系统的复杂性，很难将所有的因素都纳入到数学模型中，同时，由于各种因素的交互作用，数学模型的求解也是一项十分复杂的任务。
因此，在最优控制理论的应用中，还需要依赖于模拟实验、仿真计算以及其他工程手段进行辅助。
最优控制理论的应用之一是自动驾驶车辆技术。
随着人工智能、物联网等技术的发展，自动驾驶车辆已经成为一个备受关注的热点。
而最优控制理论在自动驾驶车辆技术中的应用，主要是通过建立数学模型，优化车辆的控制策略，实现车辆在各种不同路况下的自主行驶。
例如，在车辆在高速公路上行驶时，为了保障安全，必须让车辆保持一定的速度，并在有必要时进行刹车操作。
此时，最优控制理论可以通过建立车辆的数学模型，并考虑各种因素的交互作用，建立车辆的最优控制策略，使车辆能够在最短时间内安全驶入某个车道或进行紧急停车等操作。
另一个应用最优控制理论的领域是空间控制技术。
在空间探索和利用中，最优控制理论起着至关重要的作用。
例如，在卫星控制中，需要通过最优控制技术来调节其轨道、高度、速度等参数，保证卫星能够在指定区域内工作，并实现卫星的长期稳定运行。
此外，在飞行器着陆时，也需要最优控制技术对飞行器的姿态、速度等参数进行调整，以确保飞行器能够安全着陆。
除了上述两个应用领域外，最优控制理论还广泛应用于经济管理、金融领域、天气预报等方面。
例如，在股票投资中，可以利用最优控制理论进行投资组合的优化，最大化收益，并降低投资风险；在天气预报中，也可以通过最优控制技术优化气象模型，提高预测的准确度，为国家农业、水利等领域的决策提供科学依据。
最优控制理论及应用
的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给
定的某一性能指标达到极小值（或极大值）
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最优控制理论与应用
二 最优控制问题 1 例子 飞船软着陆问题 宇宙飞船在月球表面着陆
时速度必须为零，即软着陆，这要靠发动机的推
力变化来完成。问题是如何选择一个推力方案，
使燃料消耗最小。
m 飞船的质量，h 高度，v 垂直速度， g 月球重力加速度常数，M 飞船自身质量 F 燃料的质量
最优控制理论与应用
最优控制理论与应用
第一章 最优控制问题的一般概念 第二章 最优控制的变分方法 第三章 极小值原理及其应用 第四章 线性二次型问题的最优控制 第五章 动态规划
2019年3月10日
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最优控制理论与应用
第一章 最优控制问题的一般概念
一 基本概念
最优控制理论中心问题：
给定一个控制系统（
已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许
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最优控制理论与应用
2.2 欧拉方程
(2)有等式约束泛函极值的必要条件 定理2.4 设有如下泛函极值问题：
min J ( x( )) g( x, x, t )dt
x(t ) t0 tf
s.t.
f ( x, x, t ) 0
其中， f=0为系统运动的微分方程，g(x,x,t)及x(t)在[t 0 ,t f ] 上连续可微，t 0 及t f 给定。 x，x，f R n 已知x(t 0 ) x 0 , x(t f ) x f , x(t) n , 则极值轨线x * (t) 满足如下欧拉方程
控制约束
0 u(t ) umax
任务：满足控制约束条件下，求发动机推力的 最优变化律，使登月舱由初始出发点到达目标处 （末态），并使性能指标达到极值（燃耗量最小）
工程学中的最优控制问题及其应用
工程学中的最优控制问题及其应用随着科学技术的发展，人们对于控制系统的要求越来越高。
在控制系统中，最优控制是一个重要的概念，其指的是在给定系统限制的情况下，使系统的运行达到最优状态的控制方法。
最优控制问题是控制理论的重要研究方向之一，广泛应用于电力、水利、交通、工业等多个领域。
本文将介绍最优控制问题的基本概念和应用。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题是指在给定的系统条件下，在所有可能的控制方法中选择一个最优控制方法，使系统的性能指标达到最优的控制问题。
最优控制方法的基本要求是控制系统具有最优性能，即在满足系统性能要求的前提下，系统的性能指标达到最小值或最大值。
最优控制的主要目的是使系统满足稳态和动态要求，包括响应时间、稳态误差、控制精度和系统稳定性等指标。
最优控制的基本方法可以分为两种：随机最优控制和确定性最优控制。
1. 随机最优控制随机最优控制是在随机环境下找到最优控制方法，即最小化或最大化某种性能指标。
其中，随机环境指的是随机噪声、随机干扰、随机变化等。
最优控制的关键问题是如何确定性能指标，其中包括性能指标的形式、选择和最优化方法等。
随机最优控制的主要方法有强化学习、动态规划、马尔可夫决策过程等。
2. 确定性最优控制确定性最优控制是在确定性环境下寻找最优控制方法，即最小化或最大化某种性能指标。
其中，确定性环境指的是已知的系统状态变量、控制输入和系统模型。
在确定性最优控制中，可以通过数学方法求解问题的最优解。
常见的方法有变分法、最优控制理论、优化方法等。
二、最优控制在工程中的应用1. 电力系统中的最优控制电力系统是一个大型复杂的控制系统，其最优控制问题主要在两个方面应用：发电机调度和电网优化控制。
发电机调度是指通过调度发电机的输出，使电网上的负荷得到最优分配，从而降低电网运行成本。
其中，最优控制的要求是保证电网的稳态和动态特性，例如频率稳定、电压稳定、无功平衡等。
电网优化控制是指通过调度各个电厂之间的电力输送，使得电网的运行达到最优。
最优控制理论在飞行器姿态控制中的应用
最优控制理论在飞行器姿态控制中的应用随着现代化科技的不断革新和飞行技术的进步，人们对飞行安全性和精准性的要求也越来越高。
而飞行器的姿态控制是其中至关重要的一环。
在飞行器姿态控制中，最优控制理论被广泛应用，大大提高了飞行器操控的效率和安全性。
一、最优控制理论的基本原理最优控制理论是控制理论研究的一个重要分支，它通过寻找最优的控制策略，以达到某种性能指标最优。
最优控制理论在实践中主要使用数学方法来解析和设计最优控制策略。
其核心思想是通过对控制系统进行数学建模，定义目标函数和系统动态方程，从而得到优化控制器，使得系统优化目标函数达到最小或最大。
最优控制理论有两种基本的方法：动态规划和最优控制。
动态规划是一种通过逐步构建最优解决方案的方法。
最优控制则是通过寻找最优控制策略的方法来实现优化目标函数达到最小或最大。
二、最优控制理论在飞行器姿态控制中的应用飞行器姿态控制是指通过调节飞行器的姿态，使其保持平稳飞行和满足特定任务需求。
姿态控制器是通过调整飞行器各个部件的工作状态，以保持飞行器姿态的一种控制方法。
利用最优控制理论的方法，可以设计出更加精确和高效的姿态控制系统，进而可以提高飞行器的安全性和操纵性。
最常用的最优控制方法包括增益调整法、自适应控制法、模型参考控制法和经验模型控制法。
其中，最优控制方法可根据控制需要灵活选用。
例如，在自适应控制法中，无人机姿态控制系统会根据传感器的反馈信号，实时调整控制参数，以达到最优控制状态。
模型参考控制法则是通过比较实际输出信号和理想输出信号之间的差异，从而实现最优控制。
最优控制理论还可以根据多种因素来优化飞行器的姿态控制，比如目标轨迹、飞行环境、飞行器质量等等。
通过分析这些因素，可以更加精确地控制飞行器的姿态，保证飞行器达到最优飞行状态，同时减少不必要的能量消耗和操控难度。
三、结论现代飞行器姿态控制越来越需要更加高效、安全、可靠的控制方法。
而最优控制理论的应用正好能够为飞行器姿态控制提供一种全新的优化控制方法。
最优控制原理及应用
最优控制原理及应用最优控制原理是指在给定系统的状态和约束条件下，通过选择最优的控制策略，使系统的性能指标达到最优。
最优控制理论是现代控制论的重要分支之一，广泛应用于工业制造、航天航空、交通运输、能源管理等领域。
最优控制理论的核心概念是最优控制问题。
最优控制问题是指在给定系统的动力学模型、性能指标以及约束条件下，寻找最优的控制策略，使系统的性能指标达到最优。
最优控制问题可以分为两类：静态最优控制问题和动态最优控制问题。
静态最优控制问题是指在给定系统的当前状态下，寻找最优的控制策略；动态最优控制问题是指在给定系统的初始状态下，寻找最优的控制策略使系统在一段时间内的性能指标达到最优。
最优控制原理的核心思想是通过优化算法来寻找最优的控制策略。
最优控制问题通常可以转化为一个最优化问题，通过求解最优化问题的解，得到最优的控制策略。
最优控制问题的求解方法主要有两种：动态规划和最优化方法。
动态规划方法将最优控制问题转化为一个递归求解的问题，通过构建一个值函数来描述系统的性能指标，然后通过递归求解值函数得到最优的控制策略。
最优化方法是一种利用优化算法求解最优控制问题的方法，通过定义一个优化目标函数，将最优控制问题转化为一个优化问题，通过求解优化问题的解得到最优的控制策略。
最优控制原理的应用非常广泛。
在工业制造领域，最优控制原理可以应用于生产调度、优化控制、质量控制等方面，实现生产过程的优化和效率的提高。
在航天航空领域，最优控制原理可以应用于航天器的姿态控制、飞行路径规划等方面，实现航天器的稳定和飞行轨迹的优化。
在交通运输领域，最优控制原理可以应用于交通信号控制、交通流优化等方面，实现交通拥堵的缓解和交通效率的提高。
在能源管理领域，最优控制原理可以应用于电网调度、能源供需平衡等方面，实现电力系统的优化和能源的高效利用。
最优控制原理的应用还涉及到许多其他领域，如经济学、环境保护、医学等。
在经济学中，最优控制原理可以应用于经济系统的优化和资源的分配问题，实现经济的高效运行和社会福利的最大化。
最优控制理论在经济学的理论
最优控制理论在经济学的理论
1最优控制理论
最优控制理论是指实现指定结果的最佳控制技术，它具有实现理想状态和控制系统性能的能力。
它有助于经济学家解决了许多经济问题，根据它的原则，决策者可以尽可能地解决经济问题，以利益最大化。
它可以帮助经济学家确定最合理的经济活动，以期获得最大的经济利益。
2最优控制理论的特点
最优控制理论的主要特点是它可以用于有效的设计和管理控制系统。
它利用定量数据，帮助经济学家找出最佳的决策，以达到最有利的预期收益。
它非常有助于改善企业的决策过程，以达到可持续发展的目标。
最优控制理论认为，企业可以有效地控制经济活动的结果，确保经济活动的有效性和可持续性。
3最优控制理论在经济学中的应用
在经济学中，最优控制理论可以帮助经济学家设计有效的决策模型，以期解决价格、财政和金融政策等问题。
它可以用于估计市场状态，分析市场走势，并模拟多种市场变化及其影响。
它还可以用于物流系统、预算分析、计算机网络设计、制造过程控制、财务管理，以及工业系统优化设计等方面的研究。
4结论
从上述内容可以看出，最优控制理论在经济学中发挥着重要作用，可以帮助经济学家解决诸多经济问题，以及优化企业决策过程。
它可以帮助企业管理者实时评估发展状况，以确保经济决策的有效性。
此外，它还可以帮助经济学家正确分析市场状况，从而更加有效地管理市场风险。
因此，最优控制理论在经济学中具有重要意义，可以大大提高经济发展的效率。
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
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本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.5
Optimal Control Theory & its Application
控制系统中的最优控制理论及应用
控制系统中的最优控制理论及应用控制系统是现代工程中不可或缺的一部分，它能够将输入信号转化为相应的输出信号，以实现对系统行为的调整和控制。
而在控制系统中，最优控制是一种关键的理论和方法，它能够在给定的条件下寻找到最优的控制策略，以使系统的性能达到最佳。
最优控制理论的核心是最优化问题，即在给定一组约束条件下，寻找能使某个性能指标达到最优的控制策略。
常见的性能指标有能耗最小、系统响应最快、误差最小等。
为了解决这类问题，最优控制理论通常利用微积分和变分法等数学工具来建立系统的数学模型，并通过求解最优化问题得到最优控制策略。
在最优控制理论中，常用的方法有数学规划、动态规划和最优化方法。
其中，数学规划是在一组约束条件下，通过建立目标函数的数学模型，利用数学优化算法求解最优解。
动态规划是一种递推算法，它通过将复杂的最优控制问题分解为一系列子问题，并利用最优化原理逐步递推求解。
最优化方法则是一类数学求解算法，通过迭代优化搜索来找到目标函数的最优解。
除了理论研究，最优控制理论在实际应用中也具有广泛的价值。
例如，在工程领域中，最优控制可应用于航空航天、自动化控制、能源管理等方面。
在航空航天领域，最优控制可以用于飞行器的轨迹规划和姿态控制，以实现飞行器的安全、高效运行。
在自动化控制领域，最优控制可以用于工业生产中的过程控制和优化，以提高生产效率和降低能源消耗。
在能源管理领域，最优控制可以用于电力系统的调度和优化，以合理分配能源资源和提高能源利用效率。
此外，在生物学、经济学和社会科学等领域中，最优控制理论也有广泛的应用。
在生物学中，最优控制可用于模拟和研究生物系统的行为和进化规律。
在经济学中，最优控制可用于确定最佳的生产方案和资源配置，以实现社会效益的最大化。
在社会科学中，最优控制可用于指导社会政策和管理决策，以实现社会资源的合理分配。
综上所述，最优控制理论是控制系统中的重要组成部分，它通过数学建模和优化算法，为控制系统提供了有效的解决方案。
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毕业后到英国剑桥大学在哲学家和数学家 罗素指导下研究数理逻辑，后又到德国格丁根大学在著名 的数学家希尔伯特指导下研究数学。1915~1919年间先后 担任哈佛大学哲学讲师，缅因大学数学讲师，通用电气公 司工程师等职。1919年到麻省理工学院任数学讲师，1924 年任助理教授，1929年任副教授，1932年任教授，直到 1960年退休。1935~1936年间曾访问过中国，担任清华大 学客座教授。1933年当选为美国全国科学院院士。 1935~1937年当选为美国数学会副主席。
维纳和一位年轻工程师合作，从驾驶汽车这种简单的 动作中发现，人是采用了一种叫“反馈”的控制方法，使 汽车按要求行驶。维纳又请来了神经专家进行共同研究， 发现机器和人的控制机能有相似之处。后来，维纳又和许 多有名科学家进行讨论，听取对方的批评意见，甚至是 “攻击”意见，终于于1948年出版了《控制论》。
5
绪论
1. 三个著名的古典问题
2. 最优控制问题的提出
3. 最优控制问题举例 4. 最优控制问题的一般描述 5. 最优控制发展简史
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最优控制问题的提出
经典控制理论 采用试凑法设计控制系统，系统性能 不是最优的。所用性能指标如上升时间、最大超调量、调 节时间、稳态误差等。
维纳对控制系统的设计思想：使系统过渡过程期间误差
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绪论
1. 三个著名的古典问题
2. 最优控制问题的提出 3. 最优控制问题举例 4. 最优控制问题的一般描述 5. 最优控制发展简史
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等周问题
在微积分以前，已有许多人开始研究用数学方法 解决最优化问题。例如欧洲古代城堡几乎都是圆形的。 因为公元前187年－212年，阿基米德已证明，给定周 长，圆所包围的面积最大，数学上称为等周问题。中 国古代城堡却是方形的，这是因为给定周长时正方形 是包围面积最大的四边形；反之给定面积时，正方形 是周长最短的四边形。
参考书
参考书
• 最优控制理论与系统
胡寿松, 王执铨, 胡维礼编著，科学出版社，2005年06月
• 最优控制－理论与应用
解学书，清华大学出版社，1986年7月
• 最优控制理论与应用
冯国楠编著 ，北京工业大学出版社， 1991年10月
• 最优控制的要点·例题·习题
徐湘元，华南理工大学出版社， 1997年06月
x u(t)
M g o 地面
记x为M的质心距地面高度， 地面上为正，地面下为负。加速 度u(t)向上为正，向下为负。初 始时刻t0，末端时刻tf 。
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绪论
1. 三个著名的古典问题 2. 最优控制问题的提出
3. 最优控制问题举例
4. 最优控制问题的一般描述 5. 最优控制发展简史
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最优控制问题
例 产值分配问题 设x(t)是某一企业在时刻t
的产值的总额，这一总额分配给下面两种用途：
①利润上缴及消费；②再投资提高生产力。设u(t)
表示在时刻t用于再投资的产值的比值，这里
车的快速运行、轧钢机的快速控制、机械振动的快速消振、 卫星的快速会合等。
将被控对象简化成一个内部带控制器的物体M，其质 量为1。重力加速度g垂直向下作用到M的质心上。控制器 可提供一个作用于M质心上的使其垂直上升或下降的加速 度u(t)。考虑到u(t)由动力设备产生，其大小必受到限制。 因此有| u(t) |≤k， k为正常数。简化示意图如图所示。
弧长为定值的曲 线y=y(x)如何选 取，才能使所围 成的面积为最大。
3
捷线问题
捷线问题，或称最短时间问题，或称最速降线问 题，是这样提出来的：如果有一个质量为m的小球受 到重力的作用，在垂直平面内沿金属丝无摩擦的下滑 到某一点，为了使下滑时间最短，则金属丝应当具有 什么形状？伽利略曾猜测金属丝形状是圆弧，但1694 年贝努里证明这种金属丝是一条摆线，与利用求泛函 极值的变分法所得结果一致。
t1 (1 u(t))x(t)dt
0
利润与消 费的积累
取最大值。
对于这个问题，我们应该考虑，是要把一切产
值都用于消费品的生产；还是目前作一些投资提高
现有的生产能力，以便今后能生产得更多，从而也
能消费得更多。我们是否要遵循先投资一切，而后
再消费一切的过程。
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最优控制问题
例 升降机的最快升降问题 电梯快速升降问题、机
8
维纳
维纳不仅是一个很有名的数学家，在数学方面也有很 多贡献，而且对其他学科也很有兴趣。在第二次世界大战 末期，有两个大问题特别引起了他的兴趣，一个是电子计 算机，另一个是火炮命中率问题。在第二次世界大战期间， 交战双方都在努力提高防空火炮打飞机的命中率，当时平 均3000发炮弹才能击中一架敌机。
平方的时间积分为最小。即
min
0
e2
(t
)dt
维纳在40年代提出了相对于某 一性能指标进行最优设计的概念
这是一种综合性能指标评价方法。通过对这种评价方法的进
一步发展，将对系统的要求统一在一个评价函数中，以求得
在总体上达到最优。这就是最优控制思想的萌芽。
性能指标(目标函数、评价函数或性能泛函)可以是产量 达到最高、成本降到最低、目标方位角估计误差最小、火箭 射程最远等。
4
短程线问题
短程线问题 给定一个曲面及其上面的任意两点 A和B，寻找一条把A、B连接起来的曲线，使它的长度 最短。这条最短的曲线叫做短程线。
以上是三个在历史上对变分法的创立产生过重大 影响的命题。实际上人们做任何一件事，不管是分析 问题，还是进行综合、作出决策，都要用一种标准衡 量一下是否达到了最优。在科学实验、生产技术改造、 工程设计，和在生产计划管理、社会经济问题中，人 们总是希望采取种种措施，以便在有限的资源条件下 或规定的约束条件下得到最满意的效果。
0≤u(t)≤1，那么1－ u(t)就表示用于利润上缴及消
费的比值。假设再投资的产值用来提高生产能力，
则可表示为
dx ku(t)x(t) dt
产值增 长率
其中x(0)=x0表示原始资金，k为适当常数(即生产 的增长率正比于投资的总额)。
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最优控制问题
问题是选择u(t)，使得在某一固定时期t1内总的 利润与消费的积累为最大值，也就是说，我们要使