1.1多项式的因式分解课件1
义务教育课程标准实验教科书 SHU XUE 八年级下
湖南教育出版社
你会解方程 x2 −1 = 0 吗?
利用平方差公式， 写成(x+1)(x－1)， 就得到方程 利用平方差公式，把方程的左边 x2 −1写成 － ， (x+1)(x－1)＝0 － ＝ 这样就可以求出解了． 这样就可以求出解了．
x2 −1 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 x2 −1因式分解． 因式分解． 把 － ，
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁． 多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
乘哪个整数？ （1）6 等于 2 乘哪个整数？ ）
6＝2×3 ＝ ×
等于x+1乘哪个多项式？ 乘哪个多项式？ （2）x2－1等于 ） 等于 乘哪个多项式
x2 −1 = ( x +1)( x −1)
叫作6的一个因数． 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把 叫作 的一个因数．同 ， ＝ × ，我们把2叫作 的一个因数 也是6的一个因数 理，3也是 的一个因数． 也是 的一个因数． 对于多项式
12 = 2×2×3
30 = 2×3×5
① ②
有了①式和② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 就容易求出 和 的最大公因数为
2×3 = 6
进而很容易把分数
12 约分：分子与分母同除以6，得 约分：分子与分母同除以 ， 30 12 2 = 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用： 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
解方程
x2 −1 = 0
③
把③式左端的多项式因式分解，得 式左端的多项式因式分解，
( x +1)( x −1) = 0
从④式得 x +1 = 0 或 x −1 = 0 即
④
x = −1 或 x =1
x = −1 x =1 或
因此方程③ 因此方程③的解是
1.把下列多项式因式分解： 把下列多项式因式分解： 把下列多项式因式分解
2 有多项式x－ 使得 x2 −1 x +1 ，有多项式 －1使得 x −1= ( x +1)( x −1) 与
叫作x 的一个因式 的一个因式 因式． ，我们把x+1叫作 2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式． 我们把 叫作 的一个因式，同理， － 也是
一般地， 一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我 ， 的一个因式 此时， 因式， 的一个因式 因式． 们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式． 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式． 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式． 的形式， 把 x2 −1 写成 ( x +1)( x −1) 的形式，叫作把 x2 −1 的因式分解 一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的 一般地， 乘积的形式，称为把这个多项式因式分解． 乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．
(1) x
解
2
2
−4
2) x2 + x (
x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
x2 + x = x( x +1)
2.求4，6，14的最大公因数 求 ， ， 的最大公因数
4=1×2×2 × × 6=1×2×3 × × 14=1×2×7 × × 最大公因数是2 最大公因数是
ห้องสมุดไป่ตู้
为什么要把一个多项式因 式分解呢？ 式分解呢？
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的， 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因 砖是基本建筑块之一. 此， 砖是基本建筑块之一
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中， 在数学中也经常要寻找那些“ 例如，在正整数集中， 这些大于1的数 和它自身， 像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于 的数，它的因数只有 和它自身， ， ， ， ， ， ， ， 这些大于 的数，它的因数只有1和它自身 称这样的正整数为质数 素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块” 质数或 称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”： 每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式． 每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式． 例如
湖南教育出版社
你会解方程 x2 −1 = 0 吗?
利用平方差公式， 写成(x+1)(x－1)， 就得到方程 利用平方差公式，把方程的左边 x2 −1写成 － ， (x+1)(x－1)＝0 － ＝ 这样就可以求出解了． 这样就可以求出解了．
x2 −1 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 x2 −1因式分解． 因式分解． 把 － ，
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁． 多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
乘哪个整数？ （1）6 等于 2 乘哪个整数？ ）
6＝2×3 ＝ ×
等于x+1乘哪个多项式？ 乘哪个多项式？ （2）x2－1等于 ） 等于 乘哪个多项式
x2 −1 = ( x +1)( x −1)
叫作6的一个因数． 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把 叫作 的一个因数．同 ， ＝ × ，我们把2叫作 的一个因数 也是6的一个因数 理，3也是 的一个因数． 也是 的一个因数． 对于多项式
12 = 2×2×3
30 = 2×3×5
① ②
有了①式和② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 就容易求出 和 的最大公因数为
2×3 = 6
进而很容易把分数
12 约分：分子与分母同除以6，得 约分：分子与分母同除以 ， 30 12 2 = 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用： 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
解方程
x2 −1 = 0
③
把③式左端的多项式因式分解，得 式左端的多项式因式分解，
( x +1)( x −1) = 0
从④式得 x +1 = 0 或 x −1 = 0 即
④
x = −1 或 x =1
x = −1 x =1 或
因此方程③ 因此方程③的解是
1.把下列多项式因式分解： 把下列多项式因式分解： 把下列多项式因式分解
2 有多项式x－ 使得 x2 −1 x +1 ，有多项式 －1使得 x −1= ( x +1)( x −1) 与
叫作x 的一个因式 的一个因式 因式． ，我们把x+1叫作 2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式． 我们把 叫作 的一个因式，同理， － 也是
一般地， 一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我 ， 的一个因式 此时， 因式， 的一个因式 因式． 们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式． 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式． 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式． 的形式， 把 x2 −1 写成 ( x +1)( x −1) 的形式，叫作把 x2 −1 的因式分解 一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的 一般地， 乘积的形式，称为把这个多项式因式分解． 乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．
(1) x
解
2
2
−4
2) x2 + x (
x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
x2 + x = x( x +1)
2.求4，6，14的最大公因数 求 ， ， 的最大公因数
4=1×2×2 × × 6=1×2×3 × × 14=1×2×7 × × 最大公因数是2 最大公因数是
ห้องสมุดไป่ตู้
为什么要把一个多项式因 式分解呢？ 式分解呢？
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的， 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因 砖是基本建筑块之一. 此， 砖是基本建筑块之一
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中， 在数学中也经常要寻找那些“ 例如，在正整数集中， 这些大于1的数 和它自身， 像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于 的数，它的因数只有 和它自身， ， ， ， ， ， ， ， 这些大于 的数，它的因数只有1和它自身 称这样的正整数为质数 素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块” 质数或 称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”： 每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式． 每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式． 例如
合集下载
1.1因式分解课件华东师大版八年级数学上册
公因式 m
定义： 多项式中的每一项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式。
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
4 4 4a 4a2b
思考：
多项式中的公因式是如何确定的？
华东师范大学出版社 《义务教育教科书》
八年级数学(上册)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) ________ (2)m(a b c) __________
猜想：ab ac ( )( )
ma mb mc ( )(
)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) _a_b_+_a_c___ (2)m(a b c) _m_a_+_m_b_+_m_c__ 猜想：ab ac ( a )(b+c )
解：(1)原式=x(x-25) (2)原式=2x(2x2-1) (3)原式=2ab(a-2b+3) (4)原式=-3x(1-2x)
三、课堂小结：
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法？ 3、提公因式法因式分解步骤(分两步)？
达标检测，当堂反馈（7分钟）
检测指点： 1、闭卷检测，独立完成（5分钟） 2、对子互批，自主纠错（1分钟） 3、小组汇报，师生点拨（1分钟）
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
解：(1)原式=3a(a-3b) (2)原式=-5a(a-5)
定义： 多项式中的每一项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式。
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
4 4 4a 4a2b
思考：
多项式中的公因式是如何确定的？
华东师范大学出版社 《义务教育教科书》
八年级数学(上册)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) ________ (2)m(a b c) __________
猜想：ab ac ( )( )
ma mb mc ( )(
)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) _a_b_+_a_c___ (2)m(a b c) _m_a_+_m_b_+_m_c__ 猜想：ab ac ( a )(b+c )
解：(1)原式=x(x-25) (2)原式=2x(2x2-1) (3)原式=2ab(a-2b+3) (4)原式=-3x(1-2x)
三、课堂小结：
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法？ 3、提公因式法因式分解步骤(分两步)？
达标检测，当堂反馈（7分钟）
检测指点： 1、闭卷检测，独立完成（5分钟） 2、对子互批，自主纠错（1分钟） 3、小组汇报，师生点拨（1分钟）
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
解：(1)原式=3a(a-3b) (2)原式=-5a(a-5)
多项式的因式分解-第1课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
公因式、因式分解
01 知问识题精引讲入
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9 【解答】 原式=29×(7+2.1+0.9) =29×10 =290
01 知问识题精引讲入
Q2：运用所学的知识填空 (1) m(a+b+c)=_m__a_+_m__b_+_m__c_； (4) ma+mb+mc=( m )(a+b+c) (2) x2(x+1)=____x_3_+_x_2____； (5) x3+x2=( x2)(x+1) (3) ab(x-y)=___a_b_x_-_a_b_y___. (6) abx-aby=(ab)(x-y)
课后总结
【因式分解】 像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
【注意点】 ①因式分解与整式乘法是互逆运算； ②因式分解是两个或几个因式积的形式，且每个因式都是整式；整式乘法是多项式的形式； ③因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验； ④因式分解必须分解彻底．
【提公因式法】 把多项式的公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，
【分析】 b2(x-2)+b(2-x) =b2(x-2)-b(x-2) =b(x-2)·b-b(x-2)·1 =b(x-2)(b-1)．
【利用提公因式法求值】
例5、已知x2y+xy2=42，xy=7，则x+y=____6____．
【分析】 ∵x2y+xy2=42，xy=7， ∴xy(x+y)=42， ∴x+y=6．
提公因式法
02 知识精讲
提公因式法
《因式分解(一)》PPT课件 (公开课获奖)2022年苏科版 (15)
9.5 多项式的因式分解(1 - -提公因式法
单项式乘多项式法那么：
m(a +b +c) m=a +mb +mc
创设情境
解答以下问题：
(1)m =2 , a ,b ,c ,求代数式m(a +b +c)的 值.
(2)m =12 , a ,b =5 ,c ,求代数式ma +mb +mc的值.
ma +mb +mc =m(a +b +c)
有几项.
(4) 把 -8a2b2 +4a2b -2ab分解因式.
注意： (1)当多项式的第|一项系数为负数时 ,
通常把 "－〞号作为公因式的符号进行 因式分解.
(2)在提出负号时 ,多项式的各项都要 变号 !
练一练
把以下各式分解因式： (1) 4x2 -12x3 (2) 12ab2c -6ab (3) 24a3b +32a2b2c -8a2b (4) -x2y +4xy -5y (5) -2m3 +8m2 -12m
证明(1)
【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的
值的情况时 ,得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
m
－2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写m表格: －6 －4 2
2－2m＋m2 50 26 2
0 …… 2 ……
请你再取一些m的值代入代数式算一算 ,说明 小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现 ? 新的结论 ?
4
-4a 4a2b
例1 把以下各式分解因式 (1) 5x3 -10x2 (2) 6a3b–9a2b2c
单项式乘多项式法那么：
m(a +b +c) m=a +mb +mc
创设情境
解答以下问题：
(1)m =2 , a ,b ,c ,求代数式m(a +b +c)的 值.
(2)m =12 , a ,b =5 ,c ,求代数式ma +mb +mc的值.
ma +mb +mc =m(a +b +c)
有几项.
(4) 把 -8a2b2 +4a2b -2ab分解因式.
注意： (1)当多项式的第|一项系数为负数时 ,
通常把 "－〞号作为公因式的符号进行 因式分解.
(2)在提出负号时 ,多项式的各项都要 变号 !
练一练
把以下各式分解因式： (1) 4x2 -12x3 (2) 12ab2c -6ab (3) 24a3b +32a2b2c -8a2b (4) -x2y +4xy -5y (5) -2m3 +8m2 -12m
证明(1)
【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的
值的情况时 ,得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
m
－2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写m表格: －6 －4 2
2－2m＋m2 50 26 2
0 …… 2 ……
请你再取一些m的值代入代数式算一算 ,说明 小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现 ? 新的结论 ?
4
-4a 4a2b
例1 把以下各式分解因式 (1) 5x3 -10x2 (2) 6a3b–9a2b2c
鲁教版(五四学制)八年级数学上册课件：1.1因式分解 (共15张PPT)
八年级数学上册第一章因式分解
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
《多项式的因式分解——用完全平方公式因式分解》的课件
牛刀小试：
1.填空：
(1)a2+6a+9=a2+2·_a_·_3_+_3_2=_(_a_+_3_)_2 (2)a2+_4_a_b_+4b2=a2+2·a__2·b _(_2+b_)__(_a2+=_2_b_)___2 (3)9a2+_6_a_b_+_b_2=(3__a+b)2 (4)a2-8a+1_6_=(a-_4_)2
=(2+b+c)2
泰微课播放：
课堂小结：
这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本P87 习题9.5的第5、6两题
拓展题： 1.若多项式x2-(k-1)x+16是完全平方式,求k值. 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.求a2+b2、ab的值. 3.已知x2+y2+2x-6y+10=0,求x+y.
可(1以)多用项完式全的平项方数公是式多因少式？分解的多项式的特点： ((12))三两项个；平方项的符号相同吗？第三项的符号呢？ ((23))两第个三平项方与项两的个符平号方相项同的，底第数三是项什符么号关可系正？可负； (3)第三项等于两个平方项底数的积的两倍。
分解的结果：
两个平方项底数的和(或差)的平方
2.下列各式中，哪些能用完全平方公式因式分解？ 哪些不能？
(1)m2+mn+n2; × (2)x2-2xy-y2; × (3)x4-4x2+4y2; × (4)4a2-20a+25; √ (5)x2+8x+4; × (6)36a2+12ab+b2.√
例题解析：
1.1 多项式的因式分解
( x +1)( x −1) = 0
从而得 x +1 = 0 或 x −1 = 0 即 x = −1 或 x =1 因此方程的解是 x = −1 x = 1 或
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? 1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? 判断下列各式哪些是整式乘法 =(x+2y)(x(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)2x(x-3y)=2x2-6xy (2)2x(x(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (3)(5a(4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a(5)(a-3)(a+3)=a2-9 =(m+4)(m(6)m2-42=(m+4)(m-4) (7)2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解
2.乘法公式有哪些? 2.乘法公式有哪些? 乘法公式有哪些 (1)平方差公式:(a+b)(a(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式:(a+b)(a (2)完全平方公式:(a± (2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2 完全平方公式:(a
3.试计算: 3.试计算: 试计算 (1)3a(a(1)3a(a-2b+c) (3)(a+2b)2 (2)(a+3)(a(2)(a+3)(a-3) (4)(a-3b)2 (4)(a-
根据左面的算式填空: 根据左面的算式填空: 3x(x3x(x-1) (1) 3x2-3x=__________ m(a+b+c) (2) ma+mb+mc=_________ (m+4)(m(m+4)(m-4) (3) m2-16=____________ (x(x-3)2 (4) x2-6x+9=___________ a(a+1)(aa(a+1)(a-1) (5) a3-a=____________
1.1因式分解PPT课件(华师大版)
D．x2＋y2＝(x＋y)2
8 (中考·甘肃)已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为
2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )
A．b＝3，c＝－1
B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4
D．b＝－4，c＝－6
9 如图①，在边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的小正 方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形，如图②， 通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式， 这个等式是( )
6 (中考·常德)下列因式分解正确的是( ) A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B．(x2－4)x＝x3－4x C．ax＋bx＝(a＋b)x D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2
7 (中考·眉山)下列因式分解错误的是( )
A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2
C．x2＋xy＝x(x＋y)
2 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解
为_________．
3 (中考·株洲)把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋
n)，则m＝________，n＝________.
4 若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么 这个多项式是( ) A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4
总结
(1)因式分解的结果不是整式的积的情势； (2)分解不彻底； (3)因式分解走回头路．
1 (中考·海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
1.因式分解(公式法)PPT课件(华师大版)
(2) ( a2 y2 ) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
例4.分解因式
(1) x2＋14x＋49
(3)9a 2 6ab b2
（2）25x2＋10x＋1
(4) -x2-4y2＋4xy
解：原式 x2 2 x 7 72 原式=（5x)2+2×5x×1+12
【点拨】a2－4ab＋4b2－1 ＝(a－2b)2－1 ＝(a－2b＋1)(a－2b－1)。
例5.分解因式
(1)3ax2 6axy 3ay 2 (2)x4 18 x2 81
(3（) 2x y)2 （6 2x y) 9
解：(1)原式 3a(x2 2xy y 2 )
3a(x y)2
中的一个公式。
运用公式法
乘法公式 反过来 因式分解
(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 逆用乘法公式把某些多项式进行因式分解。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(3)112 392 6613
例7.若n是整数,试说明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。
解：原式=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
∴ (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。
人教教材《因式分解》全文课件
(1)a2－3ab－4b2＝
(a－4b)(a＋b)
(2)2x2＋x－6＝
(2x－3)(x＋2)
(3)a2b＋ab2＋a＋b＝(ab＋1)(a＋b)
； ；
．
6．将下列各式因式分解： (1)x2＋3x＋2； 解：原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)x2－x－6； 解：原式＝(x－3)(x＋2)．
(3)2x2＋5x－3； 解：原式＝(x＋3)(2x－1)． (4)x2－5xy＋6y2；
人教教材《因式分解》全文课件
人教教材《因式分解》全文课件
(3)a2＋b2－9＋2ab. 解：原式＝a2＋2ab＋b2－9 ＝(a＋b)2－32 ＝(a＋b＋3)(a＋b－3).
人教教材《因式分解》全文课件
人教教材《因式分解》全文课件
知识点 2 十字相乘法 【例 2】 阅读理解：由多项式乘法：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq， 将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2 ＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 第16课时 运用特殊方法因式分解
01 课前预习
1.把多项式分成几组来分解因式的方法叫 分组分解法
．
2.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的
方法叫做十字相乘法.
02 课堂精讲精练
知识点 1 分组分解法 【例 1】 【阅读材料】 分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋ (my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称 为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”， 也可以是“三、一(或一、三)分组”．