新初中数学图形的相似技巧及练习题含答案(1)

D 是 AB 的中点， BD 1 AB ，
2 BD / /OC ，
OCQ∽BDQ ，
BQ BD 1 ， OQ OC 2
又 QF / / AB ， OFQ∽OAB ，
QF OF OQ 2 2 ，
AB OA OB 2 1 3
AB 6 ，
QF 6 2 4 ， OF 6 2 4 ，
（ ）．
A． 1 3
B． 2 5 5
C． 2 3
D． 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可
求解．
【详解】
∵四边形 ABCD 是正方形
∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B= 90
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
5
A．10
B．12
C．16
D．20
【答案】D 【解析】 【分析】
连接 BD ，如图，先利用圆周角定理证明 ADE DAC 得到 FD FA 5 ，再根据正 弦的定义计算出 EF 3，则 AE 4 ， DE 8 ，接着证明 ADE∽DBE ，利用相似比得 到 BE 16 ，所以 AB 20 ．
2 DE BC ，
BE DB2 DE2 (15)2 ( 3)2 3 41 .
82
8
故选 D． 【点睛】 本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关 键．
8．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 A 出发，沿折线 AC－ CB 运动，到点 B 停止．过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PD 的长 y（cm）与点 P 的运动时间 x（秒）的函数图象如图 2 所示．当点 P 运动 5 秒时，PD 的长是（ ）
∴EM：AN＝BE：AB，
∵ E 为 AB 中点， ∴BE= 1 AB，
2 ∴EM＝ 1 AN，
2
∵平行四边形 ABCD 的面积为 8，
∴2× 1 ×AN×BD＝8， 2
∴AN×BD＝8
∴S△OED＝ 1 ×OD×EM＝ 1 × 1 BD× 1 AN＝ 1 AN×BD＝1．
2
22 2 8
故选：C．
A．1.5cm
B．1.2cm
C．1.8cm
D．2cm
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由图 2 知，点 P 在 AC、CB 上的运动时间时间分别是 3 秒和 4 秒，
∵点 P 的运动速度是每秒 1cm ，
∴AC=3，BC=4．
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=5．
如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，则易得△ABC∽△ACH．
11．如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确 的是（ ）
A．∠ABD=∠C
B．∠ADB=∠ABC
C． AB CB BD CD
D． AD AB AB AC
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 B 正确；又由两组对应
数，求出其他角的度数，可得 AQ＝AC，将 BQ 转化为 BQ ，再由相似三角形和等腰直角
AQ
AC
三角形的边角关系得出答案．
【详解】
解：如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE 是等腰直角三角形，即 AE＝DE＝ 2 AD， 2
在 Rt△ABC 中，
∵∠BAC＝90°，AD 是△ABC 的中线，
【详解】
解：连接 BD ，如图，
AB 为直径，
ADB ACB 90 ， AD CD，
DAC DCA，
而 DCA ABD ，
DAC ABD ， ∵DE⊥ AB ， ABD BDE 90 ，
而 ADE BDE 90 ， ABD ADE ， ADE DAC ，
FD FA 5 ， 在 RtAEF 中， sin CAB EF 3 ，
AF 5 EF 3 ，
AE 52 32 4 ， DE 5 3 8， ADE DBE ， AED BED ，
ADE∽DBE ， DE : BE AE : DE ，即 8: BE 4 :8 ， BE 16 ， AB 4 16 20． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
A．3．5
B．4
C．5
D．5．5
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 EB、EC，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，
所以∠1=∠3，则 BM=ME，同理可得 NC=NE，接着证明△AMN∽△ABC，所以
MN 7 BM ，则 BM=7- 7 MN①，同理可得 CN=5- 5 MN②，把两式相加得到 MN 的
6
7
6
6
方程，然后解方程即可．
【详解】
连接 EB、EC，如图，
∵点 E 为△ABC 的内心，
∴EB 平分∠ABC，EC 平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME，
同理可得 NC=NE，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴ MN AM ，即 MN 7 BM ，则 BM=7- 7 MN①，
BC AB
6
7
6
同理可得 CN=5- 5 MN②， 6
①+②得 MN=12-2MN，
∴MN=4． 故选：B． 【点睛】 此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形 各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角 形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
由△AEC∽△BDQ 得： BQ ＝ BD ， AC AE
∴ BQ ＝ BQ ＝ AD ＝ AQ AC AE
2AE ＝ AE
2．
故选：A．
【点睛】 考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定 等知识，合理的转化是解决问题的关键．
6．如图， O 是平行四边形 ABCD 的对角线交点， E 为 AB 中点， DE 交 AC 于点 F ，若 平行四边形 ABCD 的面积为 8 ，则 DOE 的面积是( )
CE CD ED , CA CB AB ABC 90, AB 4, BC 3,
AC 5,
设 BD x, BD CE ，
BD CE x,CD 3 x,
x 3 x ED , 53 4
3x 15 5x,
x 15 , 8
15 8 ED ,
54 ED 3 ,
∴当 x 5 时， PD y 3 5 21 6 1.2cm ．
5 55
故选 B．
9．如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 为直径， AD CD ，过点 D 作 DE AB于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F .若 sin CAB 3 ， DF 5 ，则 AB 的长为( )
k 的值是（ ）
A．4 【答案】C 【解析】
B．8
C．16
D．24
【分析】
延长根据相似三角形得到 BQ : OQ 1: 2 ，再过点 Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出
QF 、 OF ，进而确定点 Q 的坐标，确定 k 的值．
【详解】
解：过点 Q 作 QF OA ，垂足为 F ，
OABC 是正方形， OA AB BC OC 6， ABC OAB 90 DAE ，
边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 D 正确，继而求得答案，注意排除
A． 2
B． 3 2
C．1
D． 9 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式
以及线段间的关系求解．分别作△OED 和△AOD 的高，利用平行线的性质，得出高的关
系，进而求解．
【详解】
解：如图，过 A、E 两点分别作 AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为 M、N，则 EM∥AN，
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形
的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找
到底和高的比．
7．如图 Rt ABC 中， ABC 90， AB 4 ， BC 3， D 为 BC 上一动点， DE BC ，当 BD CE 时， BE 的长为（ ）．
【解析】
试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为
（2，-1）．
故选 D
考点：位似变换
2．如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 【分析】 由平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，可知△ADE 与△ABC 相似，且面积
所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的