高中数学竞赛(练习题)
人教版高中数学经典题目练习
❶等比数列｛an｝的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18,求图片中式子的值解:由于{an}为等比数列则:a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10又a5a6+a4a7=18则:2a5a6=18a5a6=9则:log3(a1)+log3(a2)+...+log3(a9)+log3(a10)=log3[a1*a2*a3*...*a10]=log3[(a1a10)*(a2a9)*...*(a5a6)]=log3[9*9* (9)=log3[9^5]=log3[3^10]=10log3[3]=10❷设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n。
(1)设bn=an+3,证明:数列｛bn｝是等比数列(2）求数列｛n倍an｝的前n项和(1)Sn=2an-3nn=1时，S1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3n>=2时，an=Sn-S(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3即：an＝2a(n-1)+3两边+3an+3＝2[a(n-1)+3]而bn=an+3,代入：bn=2b(n-1)所以数列{bn}是等比数列，q=2,首项为b1=a1+3＝6bn=6*2^(n-1)=3*2^nan=bn-3=3*2^n-3(2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和前n项和为TnTn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]2Tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]上式减去下式：-Tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6故：Tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6注：求这类n项和，都是用Tn减去qTn，错位相消法。
高中数学竞赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)
高中数学比赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)v1.0 可编写可改正同余的见解与应用见解与性质1. 定义：若整数 a,b 被整数 m(m ≥1) 除的余数同样 , 则称 a 同余于 b 模 m,或 a,b 对模 m 同余 . 记为 a ≡b(modm). 余数 r:0 ≤r<1.2. 性质： ( ⅰ)a ≡b(modm)m|a-b, 即 a=b+mk,k ∈Z.( ⅱ) 若 a ≡b(modm),b ≡c(modm),则a ≡c(modm).( ⅲ) 若 a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则 a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm);nnn-1 x n-110n nn-1 x n-110是两个整系数多项式 i≡( ⅳ) 设 f(x)=a x +a+ +a x+a ,g(x)=bx +b+ +b x+b , 知足 ab (modm)(0≤i ≤n). 若 a ≡b(modm),则 f(a) ≡f(b)(modm).( ⅴ)ac ≡bc(modm)a ≡b(modm ),i(c, m)( ⅵ) 若 m ≥1,(a,m)=1, 则存在整数c 使得 ac ≡1(modm).称 c 为 a 对模 m 的逆或倒数 , 记为 c=a -1 (modm);a b(mod m 1 ) ab (mod[m 1,m 2]); ( ⅷ) 若 a ≡b(modm 1),a ≡b(modm 2), 且(m 1,m 2)=( ⅶ)同时建立a b(mod m 2 )1, 则 a ≡b(modm 1m 2).3. 节余类： 设 m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分红 m 类，相应 m 个会合记为： K 0,K 1 , ,K m-1, 此中 K r ={qm+r|q ∈Z,0 ≤余数 r ≤m -1} 称为模 m 的一个 节余类 。
高中数学竞赛讲义-同余(练习题)
- 1 -
课后练习
1、证明：完全平方数模3同余于0或1；
证明：完全平方数模5同余于0、1或4；
证明：完全平方数模8同余于0、1或4；
证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；
证明：整数的四次幂模16同余于0或1；
2、设的末两位数码；在十进制中，求，且)(1)10,(20
a a Z a =∈
3、求2999最后两位数码
整除；
可以被个数来，证明它们的和位数中随意挑出得到的这种方法所式重新排列，然后从按位数码以一切可能的方位的数，将它的有一个12012012012120.4
整除吗？能被的数：的两位数，问：所得到到连接写出198079801920218019.5
课后练习答案
- 2 - 1.略
01
)
100(mod 11
)4,25()4(mod 1)4(mod 1)
25(mod 11)10,(.22020202)25(20的末两位位又又为奇数
，解：a a a a a a a a ∴≡∴=≡⇒≡≡=∴∴= ϕ 3.解 考虑用100除2999
所得的余数. ∵∴ 又，∴ ∴
∴2999的最后两位数字为88.。
高三数学竞赛练习题
高三数学竞赛练习题问题1：已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x，求f(x)的极值点和极值。
问题2：若二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像经过点(3, 1)，且开口向上，求a，b，c的值。
问题3：已知集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 4}，集合B = {y | y = 3x + 2}，求A与B的交集和并集。
问题4：已知等差数列的第一项是6，公差是3，求第10项的值。
问题5：已知等比数列的第一项是2，公比是3/2，求前10项的和。
问题6：已知三角形ABC，AB = AC，∠BAC = 80°，BD是BC边的角平分线，求∠BDC的度数。
问题7：已知函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2，求f(x)的零点及对称轴。
问题8：已知平行四边形ABCD中，AB = 5cm，BC = 8cm，∠BAD = 120°，求平行四边形的面积。
问题9：已知△ABC中，AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm，求△ABC的外接圆的半径。
问题10：已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，求A与B的差集。
以上是一些高三数学竞赛练习题，希望能给同学们提供一些学习和训练的机会。
这些问题涵盖了高中数学中的不同知识点，包括函数、数列、三角形、几何等等。
通过解答这些问题，可以巩固基础知识，提升解题能力。
在解题过程中，不仅要理解题意，还要灵活运用数学定理和方法来解决问题。
祝愿大家在高三数学竞赛中取得好成绩！。
高中数学竞赛第三章函数练习题
高中数学竞赛第三章函数练习题第三章函数一、基础知识例2 求函数f(x)= 的最大值。
五、联赛一试水平训练题1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线=-x对称，得到的曲线所对应的.函数是________.2．若a>0，a 1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x) 是________（奇偶性）.3．若 =x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,∈R，都有f(x+1)=f(x)f()-f()-x+2，则f(x)=________.5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=________.6. 函数f(x)= 的单调递增区间是________.7. 函数f(x)= 的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。
8. 函数=x+ 的值域为________.9．设f(x)= ,对任意的a∈R，记V(a)=ax{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-in{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。
10．解方程组：（在实数范围内）11．设∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=n，求证：对任意n∈N+, 都有n≤f(n)≤六、联赛二试水平训练题1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=xf ；（2）对所有的x≠-且x≠0，有f(x)+f()=1+f(x+).2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)f =1，试求f(1).3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, , x+∈[0, 1]时，f(x)+f()≤f(x+)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.4. 试求f(x,)=6(x2+2)(x+)-4(x2+x+2)-3(x+)+5(x>0, >0)的最小值。
高中数学竞赛平面几何基础——相似全等和四点共圆练习题
相似全等、四点共圆练习题△ABC 中，点P 是三角形内一点，∠PBA =∠PCA ,PD ⊥BA ,PE ⊥AC ,点M 是BC 中点，求证：MD =ME .解法一：,,,,,,.,BP F PC G FM GM DF EG DF FP MG EG FM DFM DFP PFM MGE PGE MGP PBA PCA DFP PGE DFM MGE DFM MGE MD ME===∠=∠+∠∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∴=取的中点，的中点，连接，由中位线的性质和直角三角形的性质，同理即，△≌△解法二：,,,,,,.,,,,,,,.DE C B P M DE DE G F H N CGE EHP EG CE FD BD BD CEPBA PCA BPD CPE PH PE HP DP PD PE EG FD FN NG DN EN MDE ∴==∠=∠∴∴=∴==∴=∴连接并延长，过作直线的垂线，交于△∽△，又△∽△△为等腰三角形，得证解法三：,,,,,.BA F DF DB CA G EG EC BPF CPG BPG CPF BPG FPC CF BG ==∠=∠∠=∠≅=延长至，使延长至，使由已知条件可得：所以，所以△△所以得证2：如图，P 为△ABC 外一点，M 是△ABC 中BC 边的中点，D ,E 分别为BA ,CA 延长线上的点，且PE ⊥CE ，PD ⊥BD ，∠PBD =∠PCE ,求证：EM =DM .证明：,,,,,,,,,2,,PB PC G F GM GD FM FE GMFP MF GP GD GM PF EF MGD MGP DGP MFE MFP EFP DGP EFP PBDMGD MFE MFE DGM EM DM====∠=∠-∠∠=∠-∠∠=∠=∠∴∠=∠=取的中点连接则四边形为平行四边形，△≌△ABCD 中，AB //CD ，分别以两腰AD ，BC 为边作正方形ADFE ,正方形BCHG ,连接FG ,取FG 中点M ，求证:MA =MB证明：,,,,,,,,,,2,2:::,2,DA CB N NF NG P Q PM PA QM QB MPNQ MQ PN PA PM BQ MPN MON APN AFN NQB BGQ AN BN AD BD AF BGRt FAN Rt GBN APN NQB AFP AMP BMQ MA MB==∴=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∴∠=∠=∠∴∴=延长交点连接并去其中点连接则是平行四边形，△∽△△≌△4.△ABC 的垂心H ，BC ，AH 的中点分别是M ,N ，以AH 为直径作圆和MN 的交点为P .求证AP 平分∠BAC .证明：,,,,,,,,,,,,,119022,,,EH CH BH DH EN DN MD ME E H C B H D BEC M EM BC DM BCMEN MDN ENP DNP BAP CAP ∠=︒∴==⇒∠=∠⇒∠=∠连接由题意易知，共线，共线，是中点，，同理，△≌△得证5.△ABC 的内切圆与BC ,CA ,AB 相切与D ,E ,F ,过F 作BC 的平行线交AD 于G ，交DE 的延长线于H ，求证FG =GH .','',,''',A BC l DF l F DH l E AF F BDF BD BF AF AF AE AE AF AF FG GH=∴====∴=证明：过作的平行线，并延长交于延长交于则△∽△同理，6.△ABC 不是Rt △，O 是外心，H 为垂心，直线OH 交AC 于K ，交ABA 于L ,若HL =OK ,求证AL =AK .,,,,ALK AOK AO HL OK S S AL AH AK AO AL AO AK AH AO AH AHO AOH AHL AOK AL AK=∴=⋅=⋅⋅=⋅∴=∴∠=∠⇒∴=△△连接，△≌△7.P A ，PB ,分别切圆O 于A ,B ，DE 切圆O 于C ，交P A ,PB 于D ,E ,CF ⊥AB ,求证：∠CFD =∠CFE .,t ,,,PAB PBA Rt AMD R BNE DM AD DC MF AD AFDFA EFB DFA EFB EN EB CE FN EB BF∠=∠∴===⇒=∴⇒∠=∠如图作辅助线，△∽△△∽△ AM =弧MC ,MD ⊥BC 于D ，求证AB +BD =DC,,,,180180,,,,DB E BE BA ACM CAM MA MC AB BE BM BM ABM ACM EBM MBC MBC MAC MCA ABM EBM EM MA MC MD EC ED DC AB BD DC=∠=∠===∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠=∠∴∴==⊥∴=+=延长至，使，由题意，，，△≌△即 ,DB DC E DE BD =法一是延长，法二可以在上取一点，使过程略△ABC 中，AB >AC ，∠A 的外角的角平分线交△ABC 外接圆于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：2AC AB AE -=,','',,DBA DCA DE DE Rt BDE Rt CDE BE CE AB AE AC AE ∠=∠=∴∴=-=+如图作辅助线，△≌△，即得证托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
11高一数学竞赛练习题九
最新高中数学奥数竞赛高一数学竞赛练习题九1、称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”。
给定数集M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1001,,31,21Λ，则数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为（）（A ）2004851（B ）2004851-（C ）10099-（D ）)10011()311)(211(+++Λ 2、已知定义在R 上且周期为T 的函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1-x ）和f （8+x ）=f （8-x ），则T 的值为 （ ） （A ）16 （B ）14 （C ）8 （D ）23、若方程2x 2+px+q=0的两根为sin θ和（ ）4、二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，a ∈N*，c ≥1，a+b+c ≥1，方程ax 2+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55、在下列四个函数中以π为周期，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递增的偶函数是 （ ）（A ）y=sin|x|（B ）y=cos|x|（C ）y=|cotx|（D ）y=lg|sinx|6、设f （x ）=x x 24cos 4sin +x x 24sin 4cos +-，则函数f （x ）的一个等价形式为 （A ）cos2x -sin 2x （B ）cosx-sinx （ ）（C ）cos2x（D ）sin2x7、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=32sin ,32cosππa ，b a -=，b a +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（）（A ）1（B ）21（C ）2（D ）23 8、⊙O 1与⊙O 2相切，它们的半径分别为3和7，若恰存在3个半径为r 的圆与⊙O 1、⊙O 2都相切，则r 的所有可能取值为 （ ） （A ）10 （B ）3、4、7 （C ）4 （D ）3、49、设集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5，6}，映射f ：M →N ，则对任意的x ∈M ，x+f （x ）+xf （x ）恒为奇数的映射f 的个数为________________。
最新的高中数学竞赛函数练习题
最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。
所以，g(x)=x。
h(x)=lg(10x+1)－x。
2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。
因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。
4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。
因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。
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练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA =1．三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA=1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。
证明：设AL 交BC 于L ，BM 交CA 于M ，CN 交AB 于N ，则由正弦定理得：CAL AC BAL AB LC BL ∠∠=sin sin PABAC PACAB ∠∠=sin sinPBC AB PBA BC MA CM ∠∠=sin sin ，PCABC PCBAC NB AN ∠∠=sin sin 将上述三式相乘得：HKQ PD CB AA CB Y XZ M N L EDF G H1sin sin sin sin sin sin =⋅⋅=∠⋅∠⋅∠∠⋅∠⋅∠=⋅⋅PC PB PB PA PA PC PCA PBC PAB PCB PBA PAC NB AN MA CM LC BL 由塞瓦定理逆定理知：AL 、BM 、CN 三线共点。
4.圆心为O 的一个圆经过△ABC 的顶点A 和C ，并与AB ，BC 分别交于不同的两点K 、N ，△ABC 的外接圆和△KBN 的外接圆相交于两个不同的点B 、M ，求证：∠OMB 是直角。
（26届IMO 试题）证明：如图，设AC 与KN 相交于点P ，连结PB 与弧BNK 相交于点M ’， 则由圆幂定理知：PA PC ⋅=PK PN ⋅=PB PM ⋅'又PA PC ⋅=PB PM ⋅ 所以PB PM ⋅'=PB PM ⋅ 从而知点M 与M ’重合。
因为A ，K ，N ，C 四点共圆，所以∠BNK =∠A 又∠BNK =∠BMK ， 所以∠BMK =∠A又由外心的性质可知：∠A+∠KCO=090 下证：∠KCO=∠KMO 又∠BMN =∠AKN =∠NCP 所以M ，N ，C ，P 四点公圆又∠CMK =∠KMN+∠NMC=∠KBN+∠NPC=0360-2∠A-∠ACB-∠AKN=0180-2∠A=0180-∠KOC所以K ，O ，C ，M 四点共圆，从而结论成立。
5．锐角△ABC ，H 为自A 向边BC 所引高的垂足，以AH 为直径的圆分别交边AB ，AC 于M ，N （不同于A ），过点A 作直线L A 垂直于MN ，类似地作出L B ，L C ，求证：L A ，L B ，L C 三线共点。
证明：连结HN ，则HN ⊥AC ，过点B 作BG ⊥AB ，交L A 于G 由AG ⊥MN ，因为∠AMN=∠AHN=∠C 所以∠BAG=090-∠AMN=090-∠C=∠HAC 又∠ABG=090=∠AHC所以ABG ∆∽AHC ∆⇒∠AGB=∠ACB ⇒A ，B ，G ，C 四点共圆， 即点G 在△ABC 的外接圆上。
因为∠ABG=090，故AG 是△ABC 外接圆的直径，就是说L A 经过△ABC 的外心A同理可证：L B ，L C 经过△ABC 的外心。
故结论成立。
6．如图，△ABC 为锐角三角形，且BC>AC ，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作OF 的垂线交边CA 于P ，证明：∠FHP=∠BAC证明：延长CF 交圆O 于D ，连结BD ，BH ，由垂心性质可知F 为HD 的中点。
设FP 所在直线交圆O 于M ，N ，交BD 于点T ，由OF ⊥MN ，知F 为MN 中点，由蝴蝶定理知：F 为PT 中点；又F 为HD 中点，故HP//TD ，于是∠FHP=∠BDC=∠BAC 7．如图，在⊿ABC 中，AB≠AC ，I 是它的内心，过I 作一圆与边AB 切于B ，与直线AC 交于D 、E ，求证：IC 平分∠DIE.【分析】I 是⊿ABC 的内心→∠ICD=∠ICB ，要证∠CID=∠CIE ，只需证∠IDC=∠IFC ，即证∠IDA=∠B 、I 、D 、E 共圆→∠IDA=∠IBE ， AB 是圆的切线→∠IBA=∠IEB ， I 是⊿ABC 的内心→∠IBA=∠IBF ，∴∠IEB=∠IBF ，∴∠IFB=∠IBE=∠IDA ，得证.8．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr.(IMO -12) 分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅， A ...'B 'C 'OO 'EDO ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A + ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠=22B tg A tg =qr . 9.如图，从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为D ，作⊙O 1切︿BC ，CD ，DB 分别于点E ，F ，G ，求证：AC=AGB证明：设半圆的圆心为O ，则O ，O 1，E 共线，连O 1F ，知O 1F ⊥CD ，得O 1F//AB ，连结EF ，AE ，由∠FEO 1=21∠FO 1O=21∠EOB=∠OEA ，知E ，F ，A 三点共线。
又因为∠ACB=090，CD ⊥AB ，有∠ACF=∠ABC=∠AEC ，从而AC 是⊙CEF 的切线，故点A 对⊙CEF 的幂AC 2等于点A 对⊙O 1的幂AG 2，即有AC=AGB10.如图，PAB 、PCD 为圆O 割线，AD 交BC 于E ，AC 交BD 于F ，则EF 为P 的极线。
（1997年CMO 试题等价表述）证法一：作AEB 外接圆交PE 于M ，则PE*PM=PA*PB=PC*PD ，故CDME 共圆（其实P 为三圆根心且M 为PAECBD 密克点），从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD ， BOMD 共圆。
∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M 为ST 中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM ，由定理2（3）知E 在P 极线上，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
证法二：如图，设PS 、PT 为圆O 切线。
在△ABT 中，可以得到**AU BV TWUB VT WA =sin sin sin sin sin sin AS AST BD BDA TC TCB BS BST DT TDA AC ACB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠1AS BD TC PS PB PC BS AC DT PB PC PT⋅⋅=⋅⋅=由塞瓦定理逆定理知ST 、AD 、BC 三线共点于E ，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
至此，点P 在圆O 外时，我们得到了P 点极线的四种常见的等价定义： 1、过P 反演点做的OP 的垂线。
2、过P 任意作割线PAB ，AB 上与PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线。
3、P 对圆O 的切点弦。
4、过P 任意做两条割线PAB 、PCD ，AD 、BC 交点与AC 、BD 交点的连线。
(注：切线为割线特殊情形，故 3、4是统一的)11. △ABC 内切圆I 分别切BC 、AB 于D 、F ，AD 、CF 分别交I 于G 、H 。
求证：3DF GHFG DH⨯=⨯(2010年东南数学奥林匹克)证明：如图，由定理13知GFDE 为调和四边形，据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE ，同理HF*DE=2DH*EF 相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*GH ，代入即得 3DF GHFG DH⨯=⨯12.已知：如图，△ABC 内切圆切BC 于D ，AD 交圆于E ，作CF=CD ，CF 交BE 于G 。