高一弧度制练习题
弧度制练习(含答案)
厦门外国语学校高一下学期校本作业（2）班级: 姓名: 座号__________弧度制一、选择题1、若α是第四象限角，则απ-是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3. 求值：1333-tan sincosπππ··等于（ ）A.14B. 34C. 12D. 324、下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k A ,6παα与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（ ） A 、B A ⊂ B 、B A ⊃ C 、B A = D 、B A ⊆7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．49．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10．下列命题中正确的命题是( )A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系)(22Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(Z k k ∈+=+ππβα二、填空题：11、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 12．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .13．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 .14、在半径为2米的圆中，1200的圆心角所对的弧长为__________________ 15、一个扇形OAB 的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度数为______ 三、解答题： 16、求值：2cos4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+17、已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝， 求A ∩B .18、单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.19、圆周上点A （1，0）依逆时针方向作匀速圆周运动，已知A 点1分钟转过)(0πθθ<<角，2分钟第一次到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ ．20、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R 。
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
弧度制好题训练含详解
弧度制好题训练一、单选题1．1860°转化为弧度数为（ ） A ．163 B ．313 C ．163πD ．313π2．用弧度制表示与150角的终边相同的角的集合为（ ）A ．52,6k k Z πβπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ B ．5180,6k k Z πββ⎧⎫=+⋅∈⎨⎬⎩⎭ C ．22,3k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．52,6k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3．下列说法中，错误的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1︒的角是周角的1,1rad 360的角是周角的12πC ．1rad 的角比1︒的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 4．已知角5α=，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角5．设集合,,{}23k M k N ππαααπαπ⎧⎫==-∈=-<<⎨⎬⎩⎭Z ∣∣，则M N =（ ）A ．52,,,6363ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．20,,63ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．52,,,6223ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭D ．∅6．若角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ） A ．2παβ=-B ．12()2k k Z απβ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭C ．2απβ=-D ．(21)()k k Z απβ=+-∈7．若一个扇形的半径为2，圆心角为45，则该扇形的弧长等于（ ） A ．4πB ．2π C ．45π D ．90π8．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度α=（ ）．注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等； （ⅰ）取π等于3进行计算． A ．30密位B ．60密位C ．90密位D ．180密位9．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（ ）A ．23πB ．2336πC ．1118πD ．712π 10．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑铁饼者双手之间的距离约为)1.41≈（ ）A ．1.01米B ．1.76米C ．2.04米D ．2.94米11．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ）A ．2sin1B ．2sin1 C ．1sin 2D ．sin 212．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB ，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）A B C 352D 2二、多选题13．在360360-︒︒范围内，与410-︒角终边相同的角是（ ） A ．50-︒B ．40-︒C ．310︒D ．320︒14．（多选）若α是第三象限的角，则1802α-可能是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角D ．第四象限的角15．[多选题]下列说法正确的有（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第一象限角可能是负角 D ．小于90°的角都是锐角16．下列说法正确是（ ） A ．42403π︒=B ．1弧度的角比1︒的角大C ．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关D ．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4第II 卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题-=_______．17．若角α与角β的终边相同，则αβ18．角α的终边落在第一、三象限角平分线上，则角α的集合是_______．19．已知角,αβ的终边关于原点对称，则,αβ间的关系为_________．20．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为______．21．终边在x轴正半轴上所有角α的集合为____________________．（用弧度制表示）22．若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系式为____________.23．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是_______.24．若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边的一半，则这条弧所对的圆心角的弧度数为__________．25．给出下列说法：（1）弧度角与实数之间建立了一一对应；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角，其中正确的是__________(把所有正确说法的序号都填上).四、双空题26．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．27．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x轴对称：________________.28．(1)若角θ的终边与角α的终边关于x轴对称,则θα+=________;+=________.(2)若角γ的终边与角α的终边关于y轴对称,则γα29．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．30．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.五、解答题31．将下列角度与弧度进行互化. (1)20 (2)15- (3)7d 12ra π (4)11rad 5π-32．把下列各角化成2πk α+（02πα<，k ∈Z ）的形式，并分别指出它们是第几象限角： （1）23π6； （2）-1500°； （3）18π7-； （4）672°．33．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).34．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ⅰZ ,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且,22ππγ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.35．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . （1）若45α=︒，10R =，求扇形的弧长l 及面积S ；（2）若扇形的周长是一定值C （0C >），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S （0S >），当α为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.36．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？参考答案：1．D 【解析】 【分析】根据弧度与角度间的互化即可求出答案. 【详解】因为1860536060︒=⨯︒+︒，所以1860°转化为弧度数为52rad 3ππ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，即313πrad. 故选：D. 2．D 【解析】 【分析】将150化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】 因为51501501806ππ=⨯=，故与150角的终边相同的角的集合为52,6k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D. 3．D 【解析】 【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1︒的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，故A 、B 正确； 1rad 的角是180()57.301π︒︒︒≈>，故C 正确； 无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D 错误. 故选：D 4．D 【解析】【分析】把弧度制化成角度制，再判断其所在象限. 【详解】因为5557.30286.5≈⨯=，所以α是第四象限角． 故选：D ． 5．A 【解析】 【分析】将集合M 中的α代入集合N 中的不等式中，得到关于k 的不等式，解不等式得出k 的范围，进而可得α的值. 【详解】 由23k ππππ-<-<， 得4833k -<<，因为k Z ∈，所以1012k =-，，，， 即526363ππππα=--，，，， 则={MN 52}6363ππππ--，，，， 故选：A 6．D 【解析】 【分析】根据题意得到π2π,k k αβ+=+∈Z ，即可求解. 【详解】由题意，角α和β的终边关于y 轴对称，可得π2π,k k αβ+=+∈Z ， 即(21)()k k Z απβ=+-∈. 故选：D. 7．B 【解析】 【分析】求圆心角的弧度数，再由弧长公式求弧长. 【详解】 ⅰ圆心角为45， ⅰ 圆心角的弧度数为4π，又扇形的半径为2， ⅰ 该扇形的弧长242l ππ=⨯=，故选：B. 8．A 【解析】 【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位. 【详解】有题意得：1密位=2π160001000=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，所以5431800100α==，因为31301001000÷=，所以迫击炮转动的角度为30密位. 故选：A 9．B 【解析】 【分析】根据钟表求出“10”至“2”所夹的钝角，再求出时针偏离“10”的度数，进而即可得出结果. 【详解】因为“10”至“2”所夹的钝角为2463ππ⨯=，时针偏离“10”的角度为16636ππ⨯=，所以时针与分针的夹角应为22333636πππ-=， 故选：B ． 10．B 【解析】 【分析】先由题意求出“弓”所在的弧长所对的圆心角，然后利用三角函数求弦长 【详解】由题意得，“弓”所在的弧长为54488l ππππ=++=， 所以其所对的圆心角α的绝对值为58524ππ=，所以两手之间的距离2sin 1.25 1.764d R π==≈．故选：B11．A 【解析】 【分析】由题意代入扇形的面积与周长公式列式计算得扇形的半径与弧长，从而得圆心角，再利用三角函数计算弦长. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则1212124l lr r l r ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩，所以可得圆心角为2l r =，过点O 作OH AB ⊥于H ，则1AOH rad ∠=，所以221sin12sin1AB AH ==⨯⨯=.故选：A12．D 【解析】 【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果. 【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =，2S r π=，所以)122124S Sr αππ==， 因为剪下扇形OAB，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以))(2113244S S απππ====.故选：D. 13．AC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】因为50410360︒︒-=-+︒，3104102360=-+⨯︒︒︒， 所以与410-︒角终边相同的角是50-︒和310︒， 故选：AC ． 14．AC 【解析】 【分析】根据角限角的定义得出角的范围，再运用不等式的性质可得选项. 【详解】解：由于α是第三象限的角，故180360270360,k k k Z α，所以90180135180,2k k k Z α+⋅<<+⋅∈，所以4518018090180,2k k k Z α-⋅<-<-⋅∈.当k 为偶数时，1802α-为第一象限角； 当k 为奇数时，1802α-为第三象限角.所以1802α-可能是第一象限角，也可能是第三象限角.故选：AC. 15．BC 【解析】 【分析】对于A ：取特殊角30°和390°.即可否定结论； 对于B ：由第二象限角的范围直接判断； 对于C ：取特殊角－330°即可判断； 对于D ：取特殊角－45°角进行否定结论. 【详解】对于A ：终边相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A 不正确；对于B ：因为钝角的大小在()90,180︒︒，所以钝角一定是第二象限角，故B 正确； 对于C ：如－330°角是第一象限角，所以C 正确； 对于D ：4590-︒<︒，－45°角它不是锐角，所以D 不正确. 故选：BC ． 16．AB 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的相互转化即可判断AB ，根据弧度制的定义即可判断C ，根据扇形的弧长公式和面积公式即可判断D. 【详解】解：对于A ，24042401803ππ︒==，故A 正确； 对于B ，18011rad π︒=>︒，故B 正确；对于C ，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C 错误； 对于D ，设扇形的圆心角为α，半径为R ， 因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则有226122R R R αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21R α=⎧⎨=⎩或14R α=⎧⎨=⎩，即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D 错误. 故选：AB.17．360()k k ⋅︒∈Z ## ()2πk k ∈Z 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义直接写出即可. 【详解】因与角β终边相同连同角β在内的角的集合为{|360()}k k θθβ=+⋅︒∈Z ， 而角α与角β的终边相同，则360()k k αβ=+⋅︒∈Z ，即360()k k αβ⋅︒=∈-Z ， 所以360()k k αβ⋅︒=∈-Z . 故答案为：360()k k ⋅︒∈Z 18．{}45180,k k αα=︒+⋅︒∈Z 【解析】 【分析】分别写出终边落在第一、三象限角平分线上的角α的集合，再求这两个集合的并集即可. 【详解】终边落在第一象限角平分线上的角α的集合为{}{}45360,452180,k k k k αααα=︒+⋅︒∈==︒+⋅︒∈Z Z ，终边落在第三象限角平分线上的角α的集合为{}{}225360,45(21)180,k k k k αααα=︒+⋅︒∈==︒++⋅︒∈Z Z ，于是有{}{}{}45360,225360,45180,k k k k k k αααααα=︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈==︒+⋅︒∈Z Z Z ，所以角α的集合是{}45180,k k αα=︒+⋅︒∈Z . 故答案为：{}45180,k k αα=︒+⋅︒∈Z 19．(21)180()k k Z αβ-⋅︒∈-= 【解析】 【分析】由题设αβ-是180︒的奇数倍，写出αβ-的集合即可. 【详解】由题意，αβ-为180︒的奇数倍， ⅰ(21)180()k k Z αβ-⋅︒∈-=. 故答案为：(21)180()k k Z αβ-⋅︒∈-= 20．+2,22k k ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈【解析】 【分析】根据第二象限的角的特点进行求解即可. 【详解】终边落在第二象限的角的集合为：+2,22k k ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，故答案为：+2,22k k ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈21．{}|2,Z k k ααπ=∈ 【解析】 【分析】根据终边相同的角的特征即可得到答案. 【详解】终边在x 轴正半轴上所有角α的集合为{}{}|02,Z |2,Z x x k k x x k k ππ=+∈==∈. 故答案为：{}|2,Z x x k k π=∈ 22．()2k k Z αβππ+=+∈【解析】 【分析】由角πα-与角α终边关于y 轴对称可得角πα-与角β的终边相同，再结合终边相同的角的关系即可得解. 【详解】因角πα-与角α终边关于y 轴对称，而角α与角β的终边关于y 轴对称， 则角πα-终边与角β的终边相同，于是得()2,k k Z βπαπ=-+∈，即π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以α与β的关系式为()2k k Z αβππ+=+∈. 故答案为：()2k k Z αβππ+=+∈ 23．2π- 【解析】 【分析】根据1小时，分针针转过1周，一个周角为2π，即可得到答案. 【详解】由于经过1小时，分针转过1个周角，因周角为2π，又顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是2π-. 故答案为：2π-. 【点睛】本题考查的知识点是弧度制，属于基础题.24 【解析】 【详解】设圆的半径为r ，正三角形的边长为a ，则23r =⨯=，a ∴=，ⅰ这条弧所对的圆心角的弧度数12a r α==25．（1）（3） 【解析】 【详解】ⅰ角的弧度数是与实数一一对应的，（1）正确；终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，（2）不正确；锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，（3）正确；小于的角可能是负角，（4）不正确；象限角不能比较大小，（5）不正确.ⅰ（1）（3）是正确的.考点：弧度制；终边相同的角；象限角、轴线角. 26． －5 －60 【解析】 【详解】由题意结合任意角的定义可知，钟表拨快10分钟， 则时针所转成的角度是1036056012-⨯=-， 分针所转成的角度是103606060-⨯=-. 点睛：角的概念中要注意角的正负，特别是表的指针所成的角要分清楚究竟是顺时针问题还是逆时针问题.27．α＝k ·360°＋β(k ⅰZ) α＝k ·360°－β(k ⅰZ) 【解析】 【详解】据终边相同角的概念，数形结合可得： (1)α＝k ·360°＋β(k ⅰZ)， (2)α＝k ·360°－β(k ⅰZ)．28． 360k ⋅︒,k ∈Z ()21180k +⋅︒,k ∈Z 【解析】(1) 设角β与角α的终边相同，用角β表示α，β-表示角θ，根据终边相同的角即可求出（2）设角β与角α的终边相同,则180β︒-与β关于y 轴对称，根据终边相同的角写出γα，即可求解.【详解】(1)设角β与角α的终边相同,则β-与β关于x 轴对称,根据终边相同角的表示,可得1360k αβ=+⋅︒,1k Z ∈,2360k θβ=-+⋅︒,2k Z ∈,故()()()2112360360360360k k k k k θαββ+=-+⋅︒++⋅︒=+⋅︒=⋅︒,k Z ∈. 故答案为：360k ⋅︒,k Z ∈.(2)设角β与角α的终边相同,则180β︒-与β关于y 轴对称.根据终边相同角的表示,可得3360k αβ=+⋅︒,3k Z ∈,4180360k γβ=︒-+⋅︒,4k Z ∈. 故()()()()43341803603602118021180k k k k k γαββ⎡⎤+=︒-+⋅︒++⋅︒=++⋅︒=+⋅︒⎣⎦,k Z ∈. 故答案为：()21180k +⋅︒,k Z ∈ 【点睛】本题主要考查了终边相同的角及角的终边的对称性，属于中档题. 29． 219° －141° 【解析】 【分析】利用终边相同的角求解. 【详解】与2 019°角的终边相同的角为2 019°＋k ·360°(k ⅰZ )． 当k ＝－5时，219°为最小正角； 当k ＝－6时，－141°为绝对值最小的角． 故答案为：219°，－141° 30． 2 1 【解析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积. 【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得221121122S r α=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.31．(1)20=rad 9π(2)15=rad 12π--(3)rad 7=10512π(4)11rad=3965π-- 【解析】 【分析】对于（1）、（2）根据1=rad 180π，可将角度转化为弧度； 对于（3）、（4）根据1801rad=π，可将弧度转化为角度.(1)20=20rad=rad 1809ππ⨯;(2)15=15rad rad 18012ππ--⨯=-;(3)77180==1051212rad πππ⨯; (4) 1111180rad==39655πππ--⨯-; 32．答案见解析 【解析】 【分析】先化为2πk α+的形式，再判断象限. 【详解】 （1）2311266πππ=+ 116π是第四象限角，236π∴是第四象限角. （2）515005360300103ππ︒︒︒-=-⨯+=-+1500︒∴-是第四象限角.（3）1841024777πππππ-=--=-+ 10318,727ππππ<<∴-是第三象限角. （4）266723603122,67215ππ︒︒︒︒=+=+∴是第四象限角. 33．π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】先利用弧度制写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可. 【详解】 因为5π7512rad =，由图（1）知：以射线OA 为终边的角的集合为15π|2π,1Z 2k S k α∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，330角的终边与30-即π6rad -的角的终边相同，以OB 为终边的角为2π|2π,6Z S k k α⎧∈⎫=-⎨⎬⎩⎭，所以终边落在阴影部分内的角的集合为：π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.因为π306rad =，7π2106rad =， 由图（2）知：以射线OA 为终边的角为3πZ 6|2π,n S n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，以射线OB 为终边的角为47πZ 6|2π,S n n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，所以终边在直线AB 上的角为：()πππ2π,Z 21π|||666,Z π,Z n n n n k k S ββββββ+∈++⎧⎫∈+⎧⎫⎧⎫==⋃===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩∈⎭⎩⎭⎩⎭，同理终边在y 轴上的角为ππ,Z |2k k ββ+∈⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以终边落在阴影部分内的角的集合ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 34．(1)()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)49γπ=-. 【解析】 【详解】 试题分析：(1)由题意－800°＝－3×360°＋280°，而280°＝149π，据此可得：()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)由题意结合(1)的结论可知γ＝2kπ＋149π，k ⅰZ ，结合题意，则取k ＝－1得49γπ=-.试题解析：(1)ⅰ－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ⅰα＝－800°＝＋(－3)×2π.ⅰα与角终边相同，ⅰα是第四象限角．(2)ⅰ与α终边相同的角可写为2kπ＋，k ⅰZ 的形式，而γ与α的终边相同，ⅰγ＝2kπ＋，k ⅰZ . 又γⅰ，ⅰ－<2kπ＋<，k ⅰZ ， 解得k ＝－1，ⅰγ＝－2π＋＝－.35．13.（1）5π2l =，25π2S =；（2）当2α=弧度时，扇形面积最大，为216C ；（3）当2α=弧度时，扇形周长最小，为【解析】 【分析】（1）首先将圆心角化为弧度制，由已知结合扇形的面积公式与弧长公式即可直接求解； （2）扇形周长22C R l R R α=+=+，可得2CR α=+，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．（3）依题意212S R α=，则R =(2C α=+【详解】解：（1）若45α=︒，10R =，则451804ππα=︒⨯=︒，所以扇形的弧长25104l R ππα==⨯=，扇形的面积21152510222S lR ππ==⨯⨯=； （2）扇形周长22C R l R R α=+=+，2CR α∴=+，2222111()42222164C C C S R ααααα∴=⋅==⋅+++扇．当且仅当24α=，即2α=时，扇形面积有最大值216C ．（3）扇形的面积212S R α=，所以R =所以()(222C R l R αα≥=+=+=+2α=时周长取得最小值36．（1）163π-（2）2α=. 【解析】【分析】（1）令圆弧的半径为R ，由定义知cos22AOB R R ∠-=求R ，进而由弧田面积OACB AOB S S S =-，即可求其面积；（2）由题意得2r r c α+=，扇形面积22r S α=，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可. 【详解】 （1）由题意，如下图示2CD =，令圆弧的半径为R ，23AOB π∠=，ⅰcos 32R OD R π==，即22R CD OC OD R =-=-=，得4R =，ⅰ弧田面积21132OACB AOB S S SR OD AB π=-=-⋅⋅，而AB =，ⅰ163S π=- （2）由题意知：弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，而扇形面积22r S α=，ⅰ2222242(2)162()8c c c S αααα===+++当且仅当2α=时等号成立. ⅰ当2α=时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.。
新高考高中数学必修一-任意角和弧度制同步测试题(含解析)
人教A 版（2019）必修第一册 5.1 任意角和弧度制一、单选题1．已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．下列选项中，满足αβ<的是（ ） A ．1α=，2β=︒ B ．1α=，60β=-︒ C ．225α=︒，4β= D ．180α=︒，πβ=4．下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ） A ．-56°与664° B ．800°与-1360° C ．150°与630° D ．-150°与930°5．角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ，则角α与β的终边（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上答案都不对6．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．半径为1cm ，圆心角为120︒的扇形的弧长为（ ） A ．1cm 3B ．2cm 3C ．cm 3πD ．2cm 3π8．已知()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，则角θ的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第三或第四象限9．如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为（ ）A ．2πB ．4π C ．8π D ．16π10．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．154π D ．52π11．下列说法：①终边相同的角必相等；①锐角必是第一象限角；①小于90︒的角是锐角；①第二象限的角必大于第一象限的角；①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是第三或第四象限角，其中错误的是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①①D ．①①①①{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（ ）A ．AB =∅ B ．B①AC ．A①BD ．A B =二、填空题13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．14．已知角2020α=-︒，则与α终边相同的最小正角是______．15．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.16．已知扇形的周长为16cm ，面积为162cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为___________.三、解答题17．已知扇形的周长为20cm ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．18．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.19．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．20．把下列各角化为2(02,)k k πααπ+<∈Z 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合． （1）463π-； （2）1485-︒；21．分别写出当角α在第四象限时，角2α的所在象限．参考答案：1．C根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩再判断角β的象限即可.【详解】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题. 2．D利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若角A 小于2π，取4A π=-，此时，角A 不是第一象限角，即“角A 小于2π”⇒“角A 是第一象限角”；若角A 是第一象限角，取24A ππ=+，此时，2A π>，即“角A 小于2π”⇐/“角A 是第一象限角”. 因此，“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D. 3．C先判断出B ，D 不满足αβ<；然后利用角度制与弧度制的互化，判断出C 正确． 【详解】解：对于选项B ，有αβ>， 对于D ，有αβ=； 对于A ，因为1801()2π=︒>︒，所以满足αβ>， 对于C ，因为18044()225π=⨯︒>︒，满足αβ<．故选：C ． 4．C利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解. 【详解】因终边相同的两个角总是相差360的整数倍，对于A ，664(56)7202360--==⋅，即角-56°与664°终边相同，A 不正确； 对于B ，800(1360)21606360--==⋅，即角800°与-1360°终边相同，B 不正确； 对于C ，6301504801360120-==⋅+，即角150°与630°终边不相同，C 正确； 对于D ，930(150)10803360--==⋅，即角-150°与930°终边相同，D 不正确， 所以角150°与630°终边不相同. 故选：C 5．B根据终边相同角的定义判断可得； 【详解】解：因为角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ， 因为β与πβ-的终边关于y 轴对称， 而2()k k αππβ=+-∈Z 与πβ-的终边相同， 所以角α与β的终边关于y 轴对称 故选：B 6．B若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 【详解】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 7．D利用扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】圆心角120︒化为弧度为23π， 则弧长为221cm 33ππ⨯=. 故选：D.8．C利用终边相同的角的概念，对当k 是奇数和偶数进行分类讨论，即可得解. 【详解】由已知，()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，当()2k m m =∈Z 时，24m πθπ=+，即角θ的终边在第一象限；当()21k m m =+∈Z 时，324m πθπ=+，即角θ的终边在第二象限． 所以角θ的终边在第一或第二象限． 故选：C 9．C求出α的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积. 【详解】由图可知，1284παπ=⨯=，所以该扇形的面积212481S ππ=⨯⨯=．故选：C. 10．B把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算． 【详解】 21203π︒=．2123323S ππ=⨯⨯=． 故选：B ． 11．C①取特殊角：0︒与360︒进行判断；①根据锐角的范围直接判断； ①取负角进行否定； ①取特殊角进行否定； ①取特殊角进行否定． 【详解】①终边相同的角必相等错误，如0︒与360︒终边相同，但不相等； ①锐角的范围为(0,90)︒︒，必是第一象限角，正确； ①小于90︒的角是锐角错误，如负角；①第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角； ①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是终边在y 轴负半轴上的角，故①错误． 其中错误的是①①①①． 故选C ．（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论. 12．D考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 45180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈ 表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥ ， 它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =. 故选：D.本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 13．2π-先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数. 【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周360-， 所以转过的角的弧度数是2π-. 故答案为：2π-本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．140°先求出与α终边相同角的集合，再通过解不等式进行求解即可. 【详解】与2020α=-︒终边相同的角的集合为{}2020360,k k Z θθ=-︒+⋅︒∈， 令20203600k -︒+⋅︒>︒，解得10118k >，故当6k =时，140θ=︒满足条件． 故答案为：140° 15．285-︒根据终边相同的角的概念进行判断. 【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒. 故答案为：285-︒本题考查终边相同的角，属于基础题. 16．2设扇形圆心角为α，半径为r ，列方程组求出α的值．【详解】解：由扇形的周长为16cm ，面积为216cm ，可设扇形圆心角为α，且(0,2)απ∈，半径为r ， 则22161162r r r αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 解得24r α=⎧⎨=⎩所以2α=．故答案为：2．17．面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2设扇形的半径为R ，弧长为l ，依题意有220l R +=，利用扇形面积公式12S lR =扇形，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则220l R +=．()()()210112021025222R R S lR R R R R -+⎡⎤==-⋅=-⋅=⎢⎥⎣⎦扇形（当且仅当5R =时取等号）． S 扇形最大值为25，此时5R =，10l =．故扇形圆心角的弧度数2l Rα==． 所以扇形面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2.18．2α=弧度，最大面积225cm设扇形的半径为r ，得出弧长为202,010r r -<<，确定扇形面积函数式，利用二次函数的性质，求出面积最大时半径和弧长的值，即可得出结论【详解】设扇形的半径为r ，其周长为20，则扇形弧长为202r -，且2020,010r r ->∴<<， 扇形面积221(202)10(5)252S r r r r r =-=-+=--+， 当=5r ，1025α==时，S 取最大值为25， 所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为25.本题考查扇形面积、弧长公式的应用、以及二次函数的最值，合理设元是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19．（1）522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （3）,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.【详解】对图（1），可看作5,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（2），可看作33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（3），可看作由,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．20．（1）第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣．利用与角α终边相同的角的集合的结论，即可得出结果.【详解】（1）4628233πππ-=-⨯+，它是第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （2）714855*********ππ-︒=-⨯︒+︒=-⨯+，它是第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （3）2042(820)ππ-=-⨯+-，而382022πππ<-<． 所以20-是第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣． 21．答案见解析由终边相同的角和象限角的定义进行判断即可【详解】（1）当角α在第一象限时，即22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，22,24n n n Z απππ<<+∈，则2α为第一象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),24n n n Z απππ+<<++∈，即522,24n n n Z αππππ+<<+∈，则角2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （2）当角α在第二象限时，即22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ，则,422k k k αππ+π<<+π∈Z ， 当2k n =（n Z ∈）时，22,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第一象限的角，当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),422n n n Z παπππ++<<++∈，即5322,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （3）当角α在第三象限时，即322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，则3,224k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),224n n n Z παπππ++<<++∈，即3722,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第四象限的角， 综上，角2α在第二或第四象限； （4）当角α在第四象限时，即3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),42n n n Z παπππ++<<++∈，即 7222,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α在第二或第四象限， 综上，角2α在第二或第四象限。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.3.已知角的终边过点(－5,12),则=________.【答案】【解析】.【考点】任意角的三角函数的定义.4.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角5.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．6.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．7.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．8.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算9.一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______.【答案】【解析】设该扇形的半径、弧长分别为，则依题意有，从中解得，从而.【考点】1.扇形的弧长公式；2.扇形的面积公式.10.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，终边经过点,则【答案】-.【解析】由题意可得 x=-1，y=，r2=x2+y2=4,r=2,故cosa==-.【考点】任意角的三角函数的定义．11.已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( )A．B．C．D．2【答案】D【解析】根据题意，由于设圆的半径为r，则可知，圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，可知圆心到三角形不边长的距离为r，利用30得三角函数知可知，正三角形得边长得的长度为2r,那么利用弧长公式可知，弧度数等于弧长除以半径即为2，故选D.【考点】弧度数的问题点评：解决的关键是根据弧长公式，利用圆的半径来得到弧度数，属于基础题。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.已知角的终边经过点，则．【答案】【解析】由题意可得：,所以.【考点】任意角三角函数的定义.2.半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（）m．A．B．C．60D．1【答案】B【解析】因为60°=又根据弧长计算公式L=故选B.【考点】扇形的弧长计算公式.3.下列命题正确的是 ( )A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】小于的角可以是锐角、零角及负角，故错；终边相同的角相差的整数倍，故错；终边落在直线上的角可以表示为，故错；正确.故选D.【考点】三角函数的概念的应用.4.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.5. sin480°等于（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为，所以选D.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.6.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（）.A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】，，则扇形的面积.【考点】扇形的弧长与面积公式.7.半径为3，中心角为120o的扇形面积为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】扇形面积公式.8.如图，在直角坐标系中，射线OP交单位圆O于点P，若∠XOP ＝θ，则点P的坐标是().A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)【答案】A【解析】设，则，由任意角的三角函数定义得：，即.【考点】任意角的三角函数定义.9.如果有意义，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴．【考点】三角函数的取值范围．10. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.11.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．12.已知点是角终边上一点，且，则的值为（）A．5B．C．4D．【答案】D【解析】由两点间距离公式知点P到原点的距离=，有三角函数定义知==＜0，故＜0，平方解得=4（舍）或=4.由题知=,∴==＜0，∴＜0，解得=-4，故选D.【考点】任意角的三角函数定义13.设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1【答案】A【解析】由三角函数的定义可知，所以，选A.【考点】任意角的三角函数.14.已知角是第二象限角，角的终边经过点,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由角的终边经过点与，可得，解得或，而是第二象限角，所以，故，所以，故选答案D.【考点】任意角的三角函数.15.是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C.【考点】象限角的概念.16.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．17.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。
高一数学 弧度制(原卷版)
专题45 弧度制1．度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制 1度 的角 1度的角等于周角的1360，记作1° 弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度 的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad 可省略不写)在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad ，那么|α|＝lr.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．弧度数的计算3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度π6π4π3π22π33π45π6π3π22π5.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR ;(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝|α|·r ，|α|＝l r ，r ＝l |α|；②S ＝12|α|r 2，|α|＝2Sr2.题型一 角度与弧度的互化与应用1．将下列角度化为弧度(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°； (8) 2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1 500°；(12)67°30′；(13)2145°2．将下列弧度化为角度 (1)－5π12rad ；(2)－11π5 rad ；(3)7π5 rad ；(4)7π12；(5)－11π5；(6) －10π3；(7)23π6；(8)－13π6；(9)8π53．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3 radB ．－103π rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76π rad D.π12 rad 化成度是15°4．已知α＝15°，β＝π10 rad ，γ＝1 rad ，θ＝105°，φ＝7π12 rad ，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．题型二 用弧度数表示角1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大3．下列说法正确的是( )A ．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B ．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D ．－120°的弧度数是2π34．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )A.5π11B.44π5C.5π22 D.22π56．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________.7．将－1485°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是_________．8．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z)9．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z10．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B.{}α|α＝2k π＋30°，k ∈Z C.{}α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z11．若把－570°写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.12．终边经过点(a ，a )(a ≠0)的角α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝π4＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z13．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4D.3π414．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)15．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A.π6B.π3C.2π3D.4π316．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________．17．若角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，且α＝π6，则在0～4π内满足要求的β＝________.18．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)19．若α＝2k π－354，k ∈Z ，则角α所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．角－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限21．角29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．α＝－3 rad ，它是第________象限角．23．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限25．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z)，则α2的终边在( )A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上26．已知角α=－1480°(1) 将α改写成写成2k π＋β(k ∈Z)的形式，其中0≤β<2π，并判断它是第几象限角？ (2) 在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合27．已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．28．已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．29．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.30．已知α＝1690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．31．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈Z 32．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________．33．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________．34．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )35．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．36．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．37．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．38．如图所示：(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合．(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用1．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．2．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．3．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 rad B.32 rad C.2π3rad D.3π2rad 4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．4D ．1或46．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．87．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm 2.8．已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.9．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．10．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形圆心角不变C ．扇形面积增大到原来的2倍D ．扇形圆心角增大到原来的2倍11．求半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．12．已知扇形OAB 的圆心角为57π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________．13．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．14．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1 D.2sin 115．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A.π2B.π3C. 2D. 316．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm ，求扇形的弧长和面积．17．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积．18．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m 2.19．已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．20．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．21．已知扇形AOB 的周长为10 cm ”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．22．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？23．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求该扇形的圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度．24．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .25．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求：(1) AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．26．如图所示，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________．27．已知扇形OAB 的周长是60 cm ，面积是20 cm 2，求扇形OAB 的圆心角的弧度数．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1128．如图，一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)29．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12。
高中数学人教B版高一数学必修三《7.1.2弧度制及其与角度制的互换》基础练习含答案
7.1.2《弧度制及其与角度制的互换》基础练习含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共12小题）1．将弧度化成角度为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．120°化成弧度制为（）A．B．C．D．3．﹣150°的弧度数是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．4．把π弧度化为角度是（）A．210°B．240°C．270°D．300°5．将315°化为弧度为（）A．B．C．D．6．60°的圆心角所对的弧长为6π，则该圆弧所在圆的半径为（）A．1B．10C．18D．367．半径为4，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．πD．8．若一个扇形的半径变为原来的倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（）A．3倍B．2倍C．倍D．倍9．一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角为（）A．1B．2C．3D．410．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A．B．C．D．12011．已知α＝﹣，则下列4个角中与角α终边相同的是（）A．B．C．D．﹣12．已知α＝﹣2rad，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共2小题）13．已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为10cm，则扇形的面积为cm2．14．已知半径为1的圆O上的一段圆弧AB的长为3，则圆心角∠AOB＝（用弧度制表示），扇形OAB的面积为．三．解答题（共6小题）15．把下列各角度换算为弧度（精确到0.001）（1）15°（2）8°30′（3）﹣100°16．已知．（1）写出与角α终边相同的角的集合；（2）写出在（﹣5π，π）内与角α终边相同的角的集合．（1）求弦AB所对圆心角α的大小；（2）求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S．18．已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R．（1）若α＝60°，R＝6cm，求该扇形的弧长；（2）若扇形的周长为12cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．（1）若这个扇形面积为10，且α为锐角，求α的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小和弦长AB．20．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．7.1.2《弧度制及其与角度制的互换》答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：∵πrad＝180°，即1 rad＝，∴rad＝×＝120°．故选：C．2．【解答】解：∵1°＝，∴120°＝120×＝．故选：C．3．【解答】解：∵1°＝rad；∴﹣150°×＝﹣．故选：B．4．【解答】解：∵π＝180°，∴π＝×180°＝240°．故选：B．5．【解答】解：315°＝315×＝．故选：D．6．【解答】解：60°的圆心角所对的弧长为6π，由60°＝，所以该圆弧所在圆的半径为r＝＝18．故选：C．7．【解答】解：半径为4，圆心角为的扇形的弧长为：l＝＝π．故选：C．8．【解答】解：∵，∴，∴扇形的圆心角变为原来的3倍，故选：A．9．【解答】解：根据扇形的面积公式S＝lr，可得：6＝×6r，解得：r＝2，再根据弧长公式l＝rα，可得扇形的圆心角α＝＝＝3．故选：C．10．【解答】解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，面积为S＝30×16÷4＝120；扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．故选：B．11．【解答】解：与α＝﹣终边相同的角的集合为{β|，k∈Z}．取k＝6时，β＝．∴与角α终边相同的是．故选：C．12．【解答】解：α＝﹣2rad≈﹣2•57.30°＝﹣115°，在第三象限，故选：C．二．填空题（共2小题）13．【解答】解：设扇形的半径为r，由题意可得：2r+2r＝10，解得r＝．则扇形的面积S＝2×＝．故答案为：．14．【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，则l＝3，r＝1，可得圆心角∠AOB＝＝3，扇形OAB的面积S＝lr＝＝．故答案为：3，．三．解答题（共6小题）15．【解答】解：（1）15°＝15×＝≈0.262；（2）8°30′＝8.5°＝8.5×＝≈0.148．（3）﹣100°＝﹣100°×＝﹣≈﹣1.745．16．【解答】解：（1）与角α终边相同的角的集合S＝{β|β＝+2kπ，k∈Z}，（2）当k＝0时，β＝，当k＝﹣1时，β＝﹣当k＝﹣2时，β＝﹣，故在（﹣5π，π）内与角α终边相同的角的集合为{﹣，﹣，} 17．【解答】解：（1）根据题意，半径为6的圆O中，弦AB的长为6，则△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，即α＝，（2）根据题意，由（1）的结论，l＝α×r＝2π，S＝rl＝6π．18．【解答】解：（1）l＝αR＝×6＝2πcm，故扇形的弧长为2πcm；（2）依题意得：2R+l＝12，即l＝12﹣2R，∴S＝•l•R＝（12﹣2R）R＝﹣R2+6R，由二次函数可得，当R＝3时，S有最大值9cm2，此时l＝6，得α＝＝2．∴当α＝2时，扇形有最大面积S＝9cm2．19．【解答】解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，（1）由题意知，解得：，或，∴α＝＝或5；∵α为锐角，∴α＝．（2）∵2r+l＝14，∴S＝lr＝•l•2r≤（）2＝×72＝，当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，面积取得最大值，∴r＝，∴弦长AB＝sin1×2＝7sin1．20．【解答】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为{a|2kπ﹣≤a≤2kπ+，k∈Z}（2）图（2）阴影部分内的角的集合为{a|kπ+≤a≤kπ+，k∈Z}。
高一数学必修第一册 第5章 第一节 课时2 弧度制(解析版)
第5章 第一节 课时2 弧度制一、单选题1．下列说法中，错误的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1︒的角是周角的1,1rad 360的角是周角的12πC ．1rad 的角比1︒的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【答案】D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1︒的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，故A 、B 正确； 1rad 的角是180()57.301π︒︒︒≈>，故C 正确； 无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D 错误. 故选：D2．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A ．π3B ．π6C ．-π3D ．-π6【答案】B【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为6π． 【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转π6弧度.故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题． 3．下列转化结果正确的是（ ） A ．60°化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30°C ．1°化成弧度是180radD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭︒ 【答案】D【分析】根据弧度制与角度制的互化：1801rad π=即可求解.【详解】对于A ，60°化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B ，rad 12π化成角度是11801512⨯︒=︒，故B 不正确； 对于C ，1°化成弧度是rad 180π，故C 不正确；对于D ，1rad 化成角度是180π⎛⎫ ⎪⎝⎭︒，故D 正确．故选：D ．4．下列各角中，终边相同的角是( )A ．23π和240︒B ．5π-和314︒ C ．79π-和299πD ．3和3︒【答案】C【分析】通过角度与弧度的互化，逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：对于A 选项，42403π︒=，不合题意； 对于B 选项，365π-=-︒，314(36)350︒--︒=︒，不合题意；对于C 选项，297()499πππ--=，符合题意； 对于D 选项，3357.3171.9≈⨯︒=︒，171.93168.9︒-︒=︒，不合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化，考查终边相同角的概念，属于基础题． 5．若扇形的弧长是3cm π，面积是26cm π，则该扇形圆心角的弧度数θ=（ ） A ．3πB ．4π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】利用扇形的弧长公式与面积公式可求得θ的值.【详解】由题意得，设扇形的半径为r cm ，则扇形的面积为1362S r ππ=⨯=，解得4r cm =，所以343r ππθ==. 故选：D.6．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（ ） A ．2 B ．1C ．21sin 1D ．21cos 1【答案】C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2， 故扇形所在圆的半径1sin1r =， 扇形的面积为221sin 1122sin 11⎛⎫=⎪⎝⎭⨯⨯， 故选：C ．7．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为 A ．2πB ．3π CD【答案】C【详解】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα== C. 【解析】弧长公式.8．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750- C ．2100- D ．3500-【答案】B【分析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=， 由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.二、填空题9．若三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别是______．【答案】5,,4312πππ【分析】由三角形的内角和为π，根据三角形三内角之比为3:4:5，利用弧度制的表示，即可求解.【详解】由题意，可知三角形的内角和为π，又由三角形三内角之比为3:4:5， 所以三内角的弧度数分别是34,34543453ππππ⨯=⨯=++++，5534512ππ⨯=++，故答案为5,,4312πππ.【点睛】本题主要考查了弧度制的表示，以及三角形的内角和定理的应用，其中解答中熟记弧度制的表示是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．已知扇形AOB 的面积为43π，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______． 【答案】2【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】21203π︒=，扇形AOB 的面积为43π， 所以2241123223r r ππα==⨯，解得2r =． 故答案为：211．在Rt PBO 中，90PBO ∠=，以O 为圆心､OB 为半径作圆弧交OP 于A 点.若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=___________.【答案】2【解析】用,OB α求出扇形面积和直角三角形面积可得．【详解】如图，tan PB OB α=，211tan 22POB S OB PB OB α=⨯⨯=△，S 扇形AOB212OB α=，由题意2211212tan 2OB OB αα⋅=，所以tan 2αα=． 故答案为：2．三、解答题12．已知()1,4k k k θπ=π+-⋅∈Z ，试判断角θ的终边所在的象限．【答案】第一象限或第二象限【分析】分k 为奇数和k 为偶数，两种情况讨论，根据终边相同角的表示，即可求解，得到答案.【详解】由题意，当k 为奇数时，设21k n =+，则()213(21)12,44n n n n πθπ+π=+π+-⋅=+∈Z ， 此时θ与34π的终边相同，所以θ的终边位于第二象限； 当k 为偶数时，设2k n =，则()2212,44nn n n πθππ=π+-⋅=+∈Z ， 此时θ与4π的终边相同，所以θ的终边位于第一象限， 综上可得，角θ的终边所在的象限为第一象限或第二象限.【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+(k Z ∈，02βπ≤<)的形式，并指出角α是第几象限的角； （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角. 【答案】（1）5104παπ=+，是第三象限角；（2）19113,,444πππ---．【分析】（1）先把度数改写弧度，再改写成2k βπ+形式，并确定所在象限； （2）解不等式520k πβπ-≤+<可得结论． 【详解】（1）2025α=︒=45520251018044ππππ⨯==+，54π是第三象限角，∴α是第三象限角．（2）由55204k πππ-≤+<得25588k -<<-，因为k Z ∈，∴3,2,1k =---，对应角依次为19113,,444πππ---． 【点睛】本题考查终边相同的角，解题关键是把解写出2,k k Z πβ+∈或360k β⋅︒+，k Z ∈形式，考查角度与弧度的互化．属于基础题． 14．如图，已知圆O 的半径r 为10，弦AB 的长为10．(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求圆心角α所对应的弧长l 及阴影部分的面积S ． 【答案】(1)3πα=(2)103l π=；3503S π⎛= ⎝⎭【分析】（1）根据AOB 为等边三角形，可得3πα=，即可求解.（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解. 【详解】(1)由于圆O 的半径r 为10，弦AB 的长为10， 所以AOB 为等边三角形，3AOB π∠=，所以3πα=．(2)因为3πα=，所以103l r πα=⋅=， 111050102233AOB S lr ππ==⨯⨯=扇．又110532532AOB S =⨯⨯△所以5032535033AO B B AO S S S ππ⎛-=-= ⎝=⎭扇△． 15．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿． （1）当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；（2）当小轮的转速是120r /min 时，大轮上每1s 转过的弧长是60cm π ，求大轮的半径． 【答案】（1）32π； （2）20cm . 【分析】（1）设大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，求得43R r =，再利用弧长公式，即可求解.（2）由（1）和小轮的转速为120r /min ，求得小轮转动1s 的的弧长为3R π，利用弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿 设大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，则260245R r ππ=，即43R r =，即43R r =，当小轮转动一周时，设大轮转动的弧度数为α，则2R r απ=， 即423r r απ⨯=，解得32πα=，即大轮转动的弧度数为32π.（2）由（1）知，大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，且43R r =， 因为小轮的转速为120r /min ，当小轮转动1s时，小轮转过的弧度数为1202460ππ⨯=， 其转过的弧长为34434r R R πππ=⨯=，又由大轮上每1s转过的弧长是60π ，所以360R ππ=，解得20R cm =. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用，其中解答中正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．在一块顶角为23π、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB 中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； （2）比较两种方案中的扇形面积的大小． 【答案】（1）23π-； （2）3π，3π. 【分析】（1）根据题意，求得方案一和方案二对应的圆心角和半径，利用弧长公式，即可求解；（2）由（1）中的扇形的圆心角和半径，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，顶角为23π、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB 中裁剪扇形， 方案一：可得1,26OAD R π∠==，所以扇形的周长为1112224633C R R πππ=+⨯=⨯+=+；方案二：可得22,13MON R π∠==，所以扇形的周长为222222212633C R R πππ=+⨯=⨯+=+，所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值122(4)(2)2333C C πππ-=+-+=-.（2）由（1），根据扇形的面积公式，可得方案一：扇形面积为221111122263S R ππα==⨯⨯=；方案二：扇形面积为2222211212233S R ππα==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．已知扇形的圆心角为α，半径为r ．（1）若扇形的周长是定值C （0C >），求扇形的最大面积及此时α的值； （2）若扇形的面积是定值S （0S >），求扇形的最小周长及此时α的值．【答案】（1）2α=，面积最大值为216C ； （2）2α=，周长的最大值为【分析】（1）由扇形的周长是定值C ，求得2l C r =-，再由扇形的面积公式，结合二次函数的性质和弧长公式，即可求解. （2）由扇形的面积是定值S ，求得2Sl r=，再由扇形的弧长公式和本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意知，扇形的圆心角为α，半径为r ，设扇形的弧长弧长为l ， 若扇形的周长是定值C （0C >），则2r l C +=，即2l C r =-， 又由扇形的面积为222111(2)()222416C C S lr C r r r Cr r ==-=-+=--+，当4C r =时，扇形的面积取得最大值，此时最大值为216C ，此时22C l C r =-=，又由扇形的弧长公式，可得24C Cα=⨯，解得2α=. （2）由扇形的圆心角为α，半径为r ，设扇形的弧长弧长为l ，若扇形的面积是定值S （0S >），则12S lr =，即2Sl r =，又由扇形的弧长公式，可得扇形的周长为222S C r l r r =+=+≥=当且仅当22Sr r=时，即r =时，等号成立，此时l==α2α=. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。
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49π)(49360Z k k ∈+︒⋅π)(45Z k k ∈+ππ高一数学弧度制练习题 一、选择题：
1．下列命题中正确的是（ ） A.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
B.第一象限的角是锐角
C.第二象限的角比第一象限的角大
D.角α是第四象限角的等价条件是22()2k k k Z ππαπ-
<<∈ 2．若0835-=α，则角α的终边在（ ）
A. 第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A.）（Z k k ∈+︒452π B. C.)(315360Z k k ∈︒-︒⋅ D.
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A 3
π B 23π C 3 D 2 5已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤,则A B 等于
A ．φ B.{}|44αα-≤≤ C.{}|0ααπ≤≤ D.{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤
6． 已知2kπ＋2π3<α<2kπ＋5π6(k ∈Z)，则2
α为第( )象限角． A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一象限 D.第三象限
二、填空题：
7．圆的半径变为原来的
12
，而弧长不变，该弧所对的圆心角是原来的___倍． 8.若角α的终边与85π角的终边相同,则在[]0,2π上,终边与角4α的终边相同的角是 9.两角差为 ，两角和为1rad ，求这两角的弧度数分别为________、________。
三、解答题：
10.把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数。
（1）127π （2）π6
13— （3）︒1125 （4）︒225—
11．解答下列各题：
(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．
(3)已知一扇形的周长为40cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
12.如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．。