2020版高中数学课时作业15概率的意义新
2019-2020年高中数学 第一章 概率与统计(第3课)离散型随机变量的期望与方差(1)教案 湘教版选修2
2019-2020年高中数学第一章概率与统计(第3课)离散型随机变量的期望与方差(1)教案湘教版选修2教学目的：1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ6. 分布列的两个性质：⑴P i≥0，i＝1，2，...；⑵P1+P2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．为参数，并记＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为、事件A 不发生记为，P()=p ，P()=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====（k ＝0,1,2,…， ）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g (k ，p )= ，其中k ＝0,1,2,…， ． 二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布在次射击之前，可以根据这个分布列估计次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有 次得4环； 次得5环；………… 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为，从而，预计n 次射击的平均环数约为．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:…．1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 …… 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 期望的一个性质:若(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变＝……)……) ＝，由此，我们得到了期望的一个性质:5.若ξB （n,p ），则E ξ=np 证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k ×＋…＋n ×． 又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ ＋＋…＋＋…＋．故 若ξ～B (n ，p )，则np ． 三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望 解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：（=1，2， (10)35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B （20,0.9）,,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例5．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为所以1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6× ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值． 例6．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望． 解：⑴因为，，所以 1×＋0×⑵η的概率分布为所以 0×＋1×＋2×＝1.4．所以 0×＋1×＋2×＝2.1.3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．∴P(ξ=k)=P n(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．∴ξ～B(n,)，故Eξ =n×=五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np六、课后作业：1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）于是 E故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数①求的概率分布列②求的数学期望解：①依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取2黑 p(=0)==1时，取1黑1白 p(=1)==2时，取2白或1红1黑p(=2)= +=3时，取1白1红，概率p(=3)= =4时，取2∴分布列为（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3） 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(=1)=p(A 1··)+ p(·A 2·)+ p(··A 3)=p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(=2)=p(A 1· A 2·)+ p(A 1··)+ p(·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3p(=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.22.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. 、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，（1）求，的概率分布； （2）求，解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知，所以()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为,所以七、板书设计（略） 八、课后记：2019-2020年高中数学 第一章 概率与统计(第4课)离散型随机变量的期望与方差(2)教案 湘教版选修2教学目的：1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.分布列:6. 分布列的两个性质：⑴i≥0，＝1，2，...；⑵1+2+ (1)7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．8.9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称……10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质:13.若ξB （n,p ），则E ξ=np 二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么, ＝＋＋…＋＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若ξ～B (n ，p )，则np (1-p ) 4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）121-n D 21n E 2=ξ+=ξ离散型随机变量的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； =0.04, .点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）；同理有由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例4．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2 ×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则的值分别是（ ）A ．；B ．；C ．；D ．答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）=当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）=当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ 答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业：1.设～B(n 、p)且E=12 D=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np D= np （1－p ）∴ ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n 2.已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b (2；6，)解：p(=2)=c 62()2()43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1a=0.30.3+0.3+b=1a=0.4∴E=2.3 , E=2.0D=0.81 , D=0.6七、板书设计（略）八、课后记：。
新教材人教版高中数学必修第二册 第10章 10.3 频率与概率
第十章 概 率
游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性 或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进 行比较．
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第十章 概 率
有一种游戏是这样的：在一 个大转盘上，盘面被均匀地分成 12 份，分别 写有 1～12 这 12 个数字(如图所示)，其中 2， 4，6，8，10，12 这 6 个区域对应的奖品是文 具盒，而 1，3，5，7，9，11 这 6 个区域对应的奖品是随身听．游 戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转 盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在 4 所在 区域，则还要往前前进 4 格，到标有 8 的区域，此时 8 区域对 应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时， 得到的奖品是随身听的概率是多少？
P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可 以用频率 第十章 概 率
■名师点拨
频率与概率的区别与联系
名称
区别
联系
本身是随机的，在试验之前无法 (1)频率是概率的近似值，
确定，大多会随着试验次数的改 随着试验次数的增加，频 频率
变而改变．做同样次数的重复试 率会越来越接近概率
栏目 导引
第十章 概 率
随机事件概率的理解及求法 (1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了 随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频 率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看 作随机事件的概率． (2)求法：通过公式 fn(A)＝nnA＝mn 计算出频率，再由频率估算概 率．
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第十章 概 率
2021年高中数学课时作业16第三章概率3.1.3概率的基本性质新人教A版必修
2021年高中数学课时作业16第三章概率3.1.3概率的基本性质新人教A版必修P (A 1)＝0.16，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.3，P (A 4)＝0.1，P (B )＝0.04.(1)至多2人排队等候的概率为P ＝P (A 0∪A 1∪A 2)＝P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56(2)至少3人排队等候的概率为P ＝1－P (A 0∪A 1∪A 2)＝1－0.56＝0.44.10．(衡水高三调研)某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．解析：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知，A 2，A 3，A 4彼此互斥，所以P (A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.又因为A 1与A 2∪A 3∪A 4互为对立事件，所以P (A 1)＝1－P (A 2∪A 3∪A 4)＝1－0.76＝0.24.因为A 1与A 2互斥，且A ＝A 1∪A 2，所以P (A )＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.24＋0.28＝0.52.|能力提升|(20分钟，40分)11．如果事件A ，B 互斥，记A －，B －分别为事件A ，B 的对立事件，那么( )A ．A ∪B 是必然事件B.A －∪B －是必然事件C.A －与B －一定互斥D.A －与B －一定不互斥解析：用Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示，A －∪B －是必然事件，故选B.答案：B12．(太原高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝________.解析：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A ∪B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4故P (A ∪B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23. 答案：2313．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解析：(1)因为每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，所以P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.。
人教版五年级数学下册概率的意义和性质知识点
人教版五年级数学下册概率的意义和性质
知识点
一、概率的意义
概率是描述事件发生可能性的一种数值。
在数学中，概率是用
来衡量随机事件发生的可能性大小的。
它既可以是一个介于0和1
之间的实数，也可以表示为一个百分比。
二、概率的性质
1. 概率值的范围：概率的值始终处于0和1之间，包括0和1。
当一个事件不可能发生时，概率为0；当一个事件必然发生时，概
率为1。
2. 概率的互斥性：对于两个互斥事件（即两个事件不能同时发生），它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
即，如果事件A
和事件B是互斥事件，则P(A或B) = P(A) + P(B)。
3. 概率的加法法则：对于两个事件A和B，它们的概率之和减
去它们的交集的概率等于它们的并集的概率。
即，P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。
4. 概率的乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
即，P(A且B) = P(A) x
P(B)。
三、举例说明
例如，掷一枚硬币的正面朝上的概率为1/2，因为硬币只有两个可能的结果：正面或反面，且两种结果的可能性相等。
又如，从一副标准扑克牌中抽出一张红桃的概率为1/4，因为一副扑克牌中共有52张牌，其中有13张红桃牌。
四、应用
概率在日常生活中有着广泛的应用，比如天气预报、赌博、产品质量控制等。
通过研究概率，我们可以更好地理解随机事件的可能性和规律，从而做出合理的判断和决策。
以上是人教版五年级数学下册概率的意义和性质的知识点。
希望对您有所帮助！。
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第25 章 随机事件的概率 第1课时 概率及其意义
解：(1)∵成绩在80～90分(含80分，不含90分)的学生有3人，占抽查人 数的15%，∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20(人)，则成绩在100～110 分的学生人数m＝20－(2＋3＋7＋3)＝5 (2)这名学生成绩为优秀的概率为5＋ 203 ＝25
(3)估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×25 ＝ 120(人)
5．(宜昌中考)在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动 中，903班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类 别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇 参赛时抽到“生态知识”的概率是( B ) A．12 B．14 C．18 D．116
6．(2020·恩施州)“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈 准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽 和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是( D )
解：(1)根据题意，知白球有290×219 ＝10(个)，红球和黑球总数为290 －10＝280(个)，设黑球有x个，则红球有(2x＋40)个，∴x＋2x＋40＝ 280，解得x＝80.故红球有2x＋40＝200(个) (2)80÷290＝289 .答：从 袋中任取一个球是黑球的概率是289
14．(兰考期末)一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球， 它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同的数量的黄球，搅拌均匀后使 从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的
一次函数的概率为_5___． 12
13．(眉山中考)一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地 相同的小球．若红球个数是黑球个数的2倍多40个，从袋中任取一个
人教版数学九年级上册25.1.2《概率的意义》说课稿
人教版数学九年级上册25.1.2《概率的意义》说课稿一. 教材分析《概率的意义》是人教版数学九年级上册第25章第1节的一部分，本节课的主要内容是让学生理解概率的定义，掌握概率的基本性质和运算方法。
教材通过具体的例子让学生体会概率在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学概念和运算方法有一定的了解。
但是，对于概率这一概念，学生可能比较陌生，难以理解其本质和应用。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出概率模型，培养学生的抽象思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解概率的定义，掌握概率的基本性质和运算方法，能解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过具体的例子，让学生体会概率在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对概率学习的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：概率的定义，概率的基本性质和运算方法。
2.教学难点：概率的本质理解，如何从实际问题中抽象出概率模型。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子引导学生理解概率的概念，运用概率的知识解决实际问题。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示具体的例子和概率运算过程，帮助学生形象地理解概率的概念。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的摸球游戏，引导学生思考概率的概念。
2.讲解概率的定义：解释概率的概念，让学生理解概率的本质。
3.讲解概率的基本性质：介绍概率的基本性质，让学生掌握概率的运算方法。
4.应用举例：通过具体的例子，让学生运用概率的知识解决实际问题。
5.课堂练习：布置一些简单的练习题，巩固学生对概率知识的掌握。
6.总结与反思：让学生总结本节课所学的内容，反思自己在学习过程中的收获和不足。
七. 说板书设计板书设计如下：1.概率的定义：反映事件A发生的可能性。
(人教版)高中数学选修2-3课时作业15 Word版含答案
第二章一、选择题(每小题分，共分)．已知ξ的分布列为：则(ξ)的值为( )解析：(ξ)＝×＋×＋×＋×＝，(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.故选.答案：．设一随机试验的结果只有和且()＝，令随机变量ξ＝(\\(，发生，不发生))，则ξ的方差(ξ)等于( ) ．．(－)．(－) ．(－)解析：依题意ξ服从两点分布，则(ξ)＝(－)，故选.答案：．已知随机变量ξ的分布列为(ξ＝)＝，＝，则(ξ＋)等于( )．．．．解析：(ξ)＝(＋＋)×＝，(ξ)＝[(－)＋(－)＋(－)]＝，所以(ξ＋)＝(ξ)＝×＝.故选.答案：．由以往的统计资料表明，甲、乙两位运动员在比赛中得分情况为：．甲．乙．甲、乙均可．无法确定解析：(ξ)＝(ξ)＝，(ξ)＝×＋×＋×＝，(ξ)＝×＋×＋×＝，∴(ξ)<(ξ)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．(·北京市东城区下学期高二期末测试)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日误差分别为，(单位：)，其分布列如下：解析：()＝()＝，()＝，()＝，∵()<()，∴甲质量好．答案：甲．已知随机变量ξ～(，)，且(ξ)＝，则(ξ)＝.解析：由题意知(ξ)＝＝×＝得＝，∴(ξ)＝(－)＝××＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知随机变量的分布列为：试求()和(－)．解析：()＝×＋×＋×＋×＋×＝.所以()＝(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＝.－的分布列为：。
高中数学生活性教学探究——以高中数学人教A版必修3《概率的意义》为例
三 、 活 性 教 学 的 实 施 生 正 确 理 解 了生 活 性 教 学 的 内涵 和理 念 后 ，才 能 在 实 际 教 学 中开 展 生 活 性 教 学 。 内涵 与 理 念 只有 真 正 应 用 到实 施 的实 践 中 ， 能 达 到 了生 活 性 教 学 的 目的 ， 真 正有 意 义 ， 则 就 才 才 否
＿ 一
高 中 数 学 生 活 性 教 学 探
以 高中数 学人教Ａ 必修３ 概 率的意义》 版 《 为例
蔡 茶 米
（ 建 师 范 大学 教 育 学 院 ， 建 福 州 ３ ０ ０ ） 福 福 ５ ０ ７
究
摘 要 ： 者 结 合 各 种 理 论 和 自身 实践 ， 生 活 性 教 学 作 从 的 内 涵 、理 念 和 实施 三 个方 面论 述 了 高 中数 学 生 活性 教 学 的 重要 性 和 必要 性 ， 以及 实施 过 程 中应 注意 的 主 要 问 题 。旨在 呼 吁 高 中数 学教 学 更 多地 关 注 学 生 的 生 活 实 际 ．增 强 学 生 学 习 兴趣 ， 高学 习效 率 。 提 关 键 词 ：高 中数 学 生 活性 教 学 内涵 理 念 实施
“ 从 数 中来 ” 实 践 的 需 要 产 生 了数 学 ， 学 的 最 终 目的 数 ， 数 也 是 为实 践 服 务 。新 的 《 学课 程 标 准 》 明确 指 出 ：要 重 视 数 也 “ 从 学 生 的生 活 实 践 和 已有 的 知 识 中 学 习 数学 和理 解 数 学 。 因 ” 此 ， 数 学 教 学 中 ， 师要 从 学 生 的生 活 背 景 和 已 有 的 生 活 经 在 教 验 出发 ， 系 生 活 实 际 ， 学 生 从 身 边 熟 悉 的事 物 中 学 习 数 学 联 使 和 理 解 数 学 ， 会 到 生 活 中 的 数 学 ， 受 到数 学 的 魅 力 ， 而 体 感 从 增强 对 数 学 的兴 趣 及 对 学 好 数 学 的 信 心 。 生 活 性 教 学 的 内涵 生 活 ， 般 指 生 物 为生 存 、 展 而进 行 的各 种 活 动 。 人 ， 一 发 对 它 包 括 满 足 基 本 生 理 需 要 的 生 活 和 有 价 值 有 意 义 的 精 神 生 活 。 为 有 意识 的 独 特存 在 体 ， 更 多 的是 追 求 具 有 丰 富 内涵 作 人 的精 神 生 活 。 生 活 性 教 学 就 是 植 根 于 学 生 生活 世 界 ．关 注学 生 生 活 现 实 ， 导 其 不 断 超 越 现 实 生 活 ， 善 当下 生存 状 态 ， 高 生 活 引 改 提 质量为 主 旨的教学 。 在 《 率 的意义》 ， 很多 生活 中的例 子可用 于教 学 ， 概 中 有 最 常 见 的 是 抛 硬 币 ， 引 用 这 样 的例 子 讲 解 概 率 的意 义 无 疑 最 容 易 为 学 生 所 接 受 。 通 过 实 验 ， 导 学 生 发 现 “ 现 正 面 引 出 与反 面 的概率是 一样 的 ，即每次抛 掷硬 币时 出现正 面或 出 现 反 面 的 可 能 性 是 一 样 的 ，但 整 个 实 验 过 程 中 正 面 或 反 面 出 现 频 率 却 不 一 定 一 样 ” 让 他 们 知 道 正 反 面 出 现 的 概 率 对 ， 于 每 一 次 的 抛 掷 动 作 都 是 一 样 的 ， 也 就 是 说 在 每 一 次 的抛 掷 都 是 独 立 的 ， 不 存 在 因 为 概 率 为 ０５ 所 以 正 反 面 出 现 并 ．， 次数 一样 的情况 。 二 、 活 性教 学的 基 本 理 念 生 人 们 一 直 关 注 教 育 与 生 活 的 关 系 。英 国教 育 家 罗 素 早 就 指 出 ， 育 要 使 儿 童 过 美 好 的生 活 ，教 育 即 生 活 ” 绝 不 仅 是 教 “ ， 为 未 来 生 活 做 准 备 。 我 国 教 育 家 陶 行 知 则 认 为 ． 生 活 即教 “ 育 ” “ 育 即生 活 的改 造 ” 他 主 张 生 活决 定 教 育 ， 育 要 通 过 、教 ， 教 生 活 才 能 发 挥 力 量 而 成 为 真 正 的 教 育 ，教 学 做 合 一 ” 是 生 活 “ 法亦是教育法。
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[课时作业15] 概率的意义
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐
篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为
3
4
C．淋雨的可能性为 D．淋雨的可能性为
121
4
解析：所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种
情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为.
1
4
答案：D
2．某篮球运动员投篮命中率为98%，估算该运动员投篮1 000次命中的次数为( )
A．98 B．980
C．20 D．998
解析：1 000次命中的次数为98%×1 000＝980.
答案：B
3．下列命题中是真命题的有( )
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是；
5
9
②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相同；
④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是；命题②中摸到白球的概率要小于摸到红球与
1
2
黑球的概率；命题③中取得小于0的数的概率大于取得不小于0的数的概率；命题④中男生被抽到的概
率为，而每名女生被抽到的概率为.
121
3
答案：A
4．下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是( )
A．抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向上的概率
B．某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率
C．进行10 000次抛掷硬币试验，出现5 001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率
D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率
解析：A，B，D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0.5.
答案：C
5.
如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字，指针停在每个扇
形的可能性相同，四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相同；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会
加大．
其中，你认为正确的见解有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：丙正确．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率均为.
1
2
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一
名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为________(保留两位小数)．
解析：所求概率为≈0.21.
32
150
答案：0.21
7．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共
抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．
解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500
n
2 5002100
套座椅中大约有50套次品．
答案：50
8.
玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，
若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步．”你认为这个游戏规则公平吗？
答：________.
解析：如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲
玲先走的概率是，倩倩先走的概率.所以不公平．
583
8
答案：不公平
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．解释下列概率的含义．
(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；
(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；
(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是.
22
45
解析：(1)生产1 000件电子产品大约有997件是合格的．
(2)本次活动中购买额满200元可参加抽奖活动，抽奖中奖的可能性为0.6.
(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)出生一个新生婴儿，这个婴儿将是女孩的可能性是.
22
45
10．有A，B两种乒乓球，A种乒乓球的次品率是1%，B种乒乓球的次品率是5%.
(1)甲同学买的是A种乒乓球，乙同学买的是B种乒乓球，但甲买到的是次品，乙买到的是正品，
从概率的角度如何解释？
(2)如果你想买到正品，应选择哪种乒乓球？
解析：(1)因为A种乒乓球的次品率是1%，所以任选一个A种乒乓球是正品的概率是99%.
同理，任选一个B种乒乓球是正品的概率是95%.
由于99%>95%，因此“买一个A种乒乓球，买到的是正品”的可能性比“买一个B种乒乓球，买到
的是正品”的可能性大．但并不表示“买一个A种乒乓球，买到的是正品”一定发生．乙买一个B种乒
乓球，买到的是正品，而甲买一个A种乒乓球，买到的却是次品，即可能性较小的事件发生了，而可能
性较大的事件却没有发生，这正是随机事件发生的不确定性的体现．
(2)因为任意选取的一个A种乒乓球是正品的可能性为99%，因此如果做大量重复买一个A种乒乓球
的试验，出现“买到的是正品”的频率会稳定在0.99附近．同理，做大量重复买一个B种乒乓球的试
验，出现“买到的是正品”的频率会稳定在0.95附近．因此若希望买到的是正品，则应选择A种乒乓
球．
[能力提升](20分钟，40分)
11．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜
D．甲、乙两人各写一个数字1或2，若两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜
解析：B中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以
121
4
对乙不公平．
答案：B
12．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少
个，在不将袋中球倒出来的情况下，两人一组，共分为20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一
名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为
6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；
(2)请你估计袋中红球接近________个．
解析：(1)∵20×400＝8 000，
∴摸到红球的频率为＝，
6 0008 0003
4
∵试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，
∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是.
3
4
(2)设袋中红球有x个，根据题意得＝，解得x＝15，
x
x
＋534
经检验x＝15是原方程的解．
∴估计袋中红球接近15个．
答案：(1) (2)15
3
4
13．某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的
概率是0.3?
解析：如果把治疗一个病人作为一次试验，“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人
数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈
是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．
治愈的概率是0.3，指如果患病的人有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆
动这一前提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．
14．平面直角坐标系中有两个动点A、B，它们的起始坐标分别是(0,0)、(2,2)，动点A、B从同一
时刻开始每隔一秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位．已知动点A向左、右移动
1个单位的概率都是，向上、下移动1个单位的概率分别是和p；动点B向上、下、左、右移动1个
141
3
单位的概率都是q.求p和q的值．
解析：由于动点A向四个方向移动是一个必然事件，
所以＋＋＋p＝1，
14141
3
所以p＝；同理可得q＝.
161
4