2013年北京中考数学复习专题讲座十：方案设计型问题

答：购买 1 块电子白板需要 15000 元，一台笔记本电脑需要 4000 元． （2）设购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得： ，
解得：99≤a≤101
，
∵a 为正整数， ∴a=99，100，101，则电脑依次买：297 台，296 台，295 台． 因此该校有三种购买方案： 方案一：购买笔记本电脑 295 台，则购买电子白板 101 块； 方案二：购买笔记本电脑 296 台，则购买电子白板 100 块； -3-
2013 年中考数学复习专题讲座十：方案设计型问题
一、中考专题诠释 方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操 作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。 随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越 受到中考命题人员的喜爱， 这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力， 这也是新课程 所要求的核心内容之一。 二、解题策略和解法精讲 方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、 图 形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。 这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造 合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和 灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函 数思想及分类讨论等各种数学思想。 三、中考考点精讲 考点一：设计测量方案问题 这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、 全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。 例 1 （2012•河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅 从楼顶 A 处放下，在楼前点 C 处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前 D 处 测得楼顶 A 点的仰角为 31°，再沿 DB 方向前进 16 米到达 E 处，测得点 A 的仰角为 45°． 已知点 C 到大厦的距离 BC=7 米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留 整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86） ．
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3． （2012• 丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影 部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ） A．① B ．② C．③ D．④
考点：利用旋转设计图案． 分析：通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点 A 中心对称． 解答：解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中 心对称图形．
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故一共有 13 种做法， 故答案为：13． 点评： 此题主要考查了利用轴对称设计图案， 熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称 的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 四、真题演练 一、选择题 2． （2012• 本溪）下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是（
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：设 AB=x 米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到 BE=AB=x ，然后在 Rt△ABD 中得到 tan31°=
x ．求得 x=24．然后在 Rt△ABC 中，利用勾股定理求得 AC 即可． x + 16
解答：解：设 AB=x 米． ∵∠AEB=45°，∠ABE=90°， ∴BE=AB=x 在 Rt △ABD 中，tan∠D= 即 tan31°=
方案三：购买笔记本电脑 297 台，则购买电子白板 99 块； （3）解法一： 购买笔记本电脑和电子白板的总费用为： 方案一：295×4000+101×15000=2695000（元） 方案二：296×4000+100×15000=2684000（元） 方案三：297×4000+99×15000=2673000（元） 因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用 2673000 元． 解法二： 设购买笔记本电脑数为 z 台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为 W 元， 则 W=4000z+15000 （396﹣z）=﹣11000z+5940000， ∵W 随 z 的增大而减小，∴当 z=297 时，W 有最小值=2673000（元） 因此，当购买笔记本电脑 297 台、购买电子白板 99 块时，最省钱，这时共需费用 2673000 元． 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出 题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组． 考点四：设计图案问题 图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的 中考试题中经常出现。这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索， 以展示思维的灵活性、发散性、创新性。 例 6 （2012•遵义）在 4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正 方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种． 考点：利用轴对称设计图案． 分析：根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案． 解 答 ： 解 ： 如 图 所 示 ：
AB ， BD
x ． x + 16
∴x=
16 tan 31� 16 × 0.6 ≈ =24． 1 − tan 31� 1 − 0.6
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即 AB≈24 米 在 Rt △ABC 中， AC=
BC 2 + AB2 ≈ 7 2 + 24 2 =25．
即条幅的长度约为 25 米． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用， 解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求 解． 考点二：设计搭配方案问题 这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两 种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解 题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组） ，通过不等式组的整数解来确定方案。 例 2 （2012• 内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090 盆乙种花卉，搭配 A 、B 两种园艺造型共 60 个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造 型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元，搭配一个 B 种造型的成本为 1500 元，试说 明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？ 考点： 一元一次不等式组的应用。810360 专题： 应用题；图表型。 分析： （1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60﹣x）个，根据“4200 盆甲种花卉”“3090 盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可． （2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案． 解答： 解： （1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60﹣x）个， 则有 ，
）
A．
B．
C．
D．
考点：利用平移设计图案． 专题：探究型． 分析：根据平移及旋转的性质对四个选项进行逐一分析即可． 解答：解：A、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误； B、是利用图形的旋转和平移得到的，故本选项错误； C、是利用图形的平移得到的，故本选项正确； D、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误． 故选 C ． 点评： 本题考查的是利用平移设计图案， 熟知图形经过平移后所得图形与原图形全等是解答 此题的关键．
解得 37≤x≤40， 所以 x=37 或 38 或 39 或 40． 第一方案：A 种造型 37 个，B 种造型 23 个； 第二种方案：A 种造型 38 个，B 种造型 22 个； 第三种方案：A 种造型 39 个，B 种造型 21 个． 第四种方案：A 种造型 40 个，B 种造型 20 个． （2）分别计算三种方案的成本为： ①37×1000+23×1500=71500 元， ②38×1000+22×1500=71000 元， ③39×1000+21×1500=70500 元， ④40×1000+20×1500=70000 元． 通过比较可知第④种方案成本最低． 答：选择第四种方案成本最低，最低位 70000 元． -2-
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故选 B ． 点评：本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转 180°所形成的图形叫中心对称图形． 4． （2012• 广元）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对 称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）
A．4 个 B ．3 个 C．2 个 D．1 个 考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案． 分析：根据旋转、轴对称的定义来分析． 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动； 轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称． 解答：解：图形 1 可以旋转 90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形 2 可以旋转 180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形 3 可以旋转 180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形 4 可以旋转 90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合． 故既可用旋转来分析整个图案的形成过程， 又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案 有 4 个． 故选 A ． 点评：考查了旋转和轴对称的性质．①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的 大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应 角相等．
点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性， （1） 根 据图表信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答； （2） 为 最优化问题，根据（1）的结果直接计算即可． 考点三：设计销售方案问题 在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等 促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况， 可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。 例 5 （2012• 广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑， 经投标，购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元，购买 4 块电子白板和 5 台笔记 本电脑共需 80000 元． （1）求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396，要求购买的总费用 不超过 2700000 元， 并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的 3 倍， 该校有哪几 种购买方案？ （3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。810360 分析： （1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得等量关 系：①买 1 块电子白板的钱=买 3 台笔记本电脑的钱+3000 元，②购买 4 块电子白板的费用 +5 台笔记本电脑的费用=80000 元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案； （2）设购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买 笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的 3 倍； ②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000 元， 根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可； （3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与 电子白板数，再算出总费用． 解答： 解： （1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得： ， 解得： ．