中考数学复习专题讲座精编含详细参考答案数学思想方法
2013年浙江省宁波地区中考数学复习专题讲座六：数学思想方法(二)(含详细参考答案)
2013年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 （2012•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200．解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
中考复习数学思想方法篇(一线教师精编教师版可编辑有详细解析)
数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。
解：2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a因为无论a 取何值，都有0)1(2≥-a 。
所以a 的取值范围是全体实数。
点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现526-可以写成2)15(1525-=+-，从而使题目得到化简。
解：1 5 )1 5 ( 1 52 ) 5 ( 1 5 2 5 5 2 6 2 2 2 - = - = + - = + - = - 点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式。
解：2)1(31)12(3)2(322222---=-++--=---=-+-x x x x x x x ∵0)1(2≤--x ， ∴02)1(2<---x 。
因此，无论x 取什么实数，322-+-x x 的值是个负数。
九年级数学中考数学思想方法专题讲座四
九年级数学中考数学思想方法专题讲座四解题思想方法概论：数形结合百般好学号______班级________姓名__________【化数为形 以形助数】问题一．几个好玩的数列题．1．（南京中考）计算：1+3+5+7+···+(2n -1)＝_______________．2．（长沙中考）计算：2561641321161814121+⋅⋅⋅++++++ ＝_________． 3．（课本）化简：63322...2221+++++＝_______________4．计算：333310...321++++＝____________．问题二．函数图象与数形结合1．（山东德州）已知a >0，b <0，且a +b <0，试比较实数a , b , -a , -b 的大小．2．比较大小：x +2和－2x －1． 3．比较x ，x1，2x 的大小． 练习1．(武汉)如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ． 练习2．在大连到烟台160千米的航线上，某轮船公司每天上午8点到下午16点每隔2小时有一只轮船从大连开往烟台，同时也有一只轮船从烟台开往大连，轮船在途中花费8小时，求：今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中（不包括大连和烟台）遇到几只从对面开来的本公司的轮船，在遇到第三只从对面开来的本公司轮船时的时间及离大连的距离。
问题三．正方形的妙用．1．解一元二次方程01-2=+x x . 2．请证明ab b a ≥+2构造圆的方法 3．已知a ＞b ＞0，求证：b a b a ->-． 4．已知1=-a c b ，求证：ac b 42≥． 5．正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足k C c B b A a =+=+=+，求证：2k cA bC aB <++．问题四．联想的妙用．若x 为实数，则代数式4)4(122+-++x x 的最小值为多少？【化形为数 以数解形】问题1． 如图，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.问题2．已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在DC 上，若EF=BE +DF ，猜想∠CAF 的度数等于多少？并证明你的结论．问题3．如图，若Rt △AOB ≌Rt △COD ，且OA =2，OB =1，AB 与CD 交于点E ，请问点E 到OA 的距离等于多少？变式练习．如图，直角梯形ABCD 中，∠B =90°，腰AB =2cm ，BC =6，AD =2，点E 是CD 上一动点，EG ⊥BC 于点G ，EF ⊥AB 于点F ，设EF =x ，四边形EFBG 的面积为S ，求S 的最大值.B C AD。
九年级数学中考数学思想方法专题讲座三
GFECBAD九年级数学中考数学思想方法专题讲座三解题思想方法概论：一般与特殊学号______班级________姓名__________【化静为动】问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 是AD 上一点， 连接BE ，点P 是BE 上一点，过P 作FG ⊥BE ，交AB 于点F ，交CD 于点G ，则FGBE 的值等于______．问题2．如图，在△ABC 中，AB =AC=8，P 是边BC 上不与B 、 C 重合的一点，则AP 2+BP ·PC 值为______．问题3．如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的 两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ， 则F G A F．问题4．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝4，BC ＝6，将CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE ，求△ADE 的面积．【动中求静】问题5．（北京）如图所示，一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P . 若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由.（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积 的最大值.【能力训练】1．如图，DP ⊥PB 于点P ，BC ⊥PB 于点B ， PD =PB =2，点A 是BP 延长线上一点，过点D 作DC ⊥DA 交BC 于点C ，则四边形ABCD 的面积等于_____．2．如图，平行四边形ABCD 中，AB =8，BC =15，AC =17．P 是边AD 上一点，E 是对角线AC 上一点， EF //BC 交AB 于点F ，则图中的阴影部分面积等于_______．3．如图，等边△ABC 中，D 是BC 上一点，E 是AC 上一点，且BD =CE ，AD 与BE 交于点P ，则∠APE 等于（ ） A ．45° B ．55° C ． 60° D ． 75°4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若BC =2，则DE +DF 的值为_________．5．（2013届八年级期末）在平行四边形ABCD 中，点F 为线段BC 上一点（端点B ，C 除外），连结AF 、AC ，连结DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连结CE ．若△ABF 面积为S ，求△EFC 的面积．6．如图，在等腰R t ABC △中，908C A C ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持A D C E =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：① D F E △是等腰直角三角形；② 四边形CDFE 不可能为正方形； ③ DE 长度的最小值为4； ④ 四边形CDFE 的面积保持不变；⑤ △CDE 面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ） A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤第1题第3题第2题 FE BCDA第4题CEBAFD。
中考专题复习数学思想方法
3.映射模型（结构型）；如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米， P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个 水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设 的管道，则铺设的管道最短的是()
（2）数形结合思想
由数想形
1.如图
6，直线 l
:
y
2 3
x
3与直线
y
a
(
a
为常数)的交点在第四象限，则
a 可能在(
)
A.1 a 2
B. 2 a 0
见形C思. 数3 a 2 D. 10 a 4
2.有如图所示的两种广告牌,其中图是由两个等腰直角三角形构成的,
图是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种
【特别提醒】 1.分类中的每一部分是相互独立的. 2.一次分类必须按同一个标准. 3.分类讨论应逐级进行,做到不重、不漏. 4.最后必须归纳小结,综合得出结论.
1. 已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 多少？ 2.(2015·攀枝花中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩 形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD 为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为________.
（4）数学建模思想
1.函数模型（定义型）；
10.一台印刷机每年印刷的书本数量 y(万册)与它
的使用时间 x(年)成反比例关系，当 x=2 时，y=20，
则 y 与 x 的函数图像大致是(
中考数学复习专题讲座五数学思想方法(学生版)
1）求AC所在直线的函数解析式；
2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，
OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
A．9 B． ±3 C． 3 D．5
．（2012?广元）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．
． D．
． （2012?黔西南州）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点
．（2012?东营）若3x=4，9y=7，则3x﹣2y的值为（ ）
A． B． C． ﹣3 D．
．（2012?南京）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（ ）
A．a B． a2 C． a3 D．a4
．（2012?南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10 B． 6 C． 5 D．3
．（2012?本溪）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的
）
A．13 B． 11或13 C． 11 D．12
．（2012?莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）
120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家
35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的
45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？
中考数学复习专题讲座(八)数形结合思想
中考数学复习专题讲座(八)----数形结合思想【中考展望】1．用数形结合的解题思想来解决问题主要分为两类，一是利用几何图形的直观或者图形的有关性质来解决数量关系和表示数的问题, 它常常借用数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形性质,常常需要建立方程（组）或函数关系式等。
2. 热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律例 1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．S．【答案】解：设第n个图形的棋子数为n第1个图形，S 1=1； 第2个图形，S 2=1+4； 第3个图形，S 3=1+4+7；第n 个图形，S n =1+4+…+3n -2；第（n-1）个图形，S n-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n 个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．类型二、 利用数形结合解决数与式的问题例2.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （ ）.0a c bA.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b ＞0，c-b ＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果． 具体步骤为：① a,b,c 的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果. 【答案与解析】解：从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|， 故a+b ＞0，c-b ＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c ． 故选A ． 【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的 运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a ±b)2，二次根式((0)a a ≥.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.★【变式】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2||a a b +-=_________。
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2018年中考数学复习专题讲座：数学思想方法<2）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试卷中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组>。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 <2018?广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2018年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2018年、2018年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：<1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：<1）设年平均增长率为x．根据题意2018年公民出境旅游总人数为 5000<1+x）万人次，2018年公民出 2境旅游总人数 5000<1+x）万人次．根据题意得方程求解；<2）2018年我国公民出境旅游总人数约7200<1+x）万人次．2解答：解：<1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000<1+x）=7200．解得 x=0.2=20%，x=﹣2.2 <不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 2 120%．<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，则2018年我国公民出境旅游总人数为 7200<1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2018年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。
具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。
例2 <2018?桂林）李明到离家2.1千M的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．<1）李明步行的速度<单位：M/分）是多少？<2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？考点：分式方程的应用。
专题：应用题。
分析：<1）设步行速度为xM/分，则自行车的速度为3xM/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可；<2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断．分，根据题意得：，3xM/ xM/解答：解：<1）设步行速度为分，则自行车的速度为是原方程的解，即李明步行的速度是70M/分．x=70x=70解得：，经检验 <2）根据题意得，李明总共需要：．即李明能在联欢会开始前赶到．- 1 - / 12答：李明步行的速度为70M/分，能在联欢会开始前赶到学校．点评：此题考查了分式方程的应用，设出步行的速度，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验．考点五：函数思想函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。
构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例3<2018?十堰）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A 产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．<1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？<2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？<3）在<2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？<成本=材料费+加工费）考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。
专题：应用题。
分析：<1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买元，可列出方程组105，解方程组即可得到甲材料每2千克和乙种材料3千克共需资金甲种材料千克15元，乙材料每千克25元；<2）设生产A产品m件，生产B产品<50﹣m）件，先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20<50﹣m）+25×20<50﹣m）=﹣100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到﹣100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50﹣m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；<3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300<50﹣m），根据成本=材料费+加工费得到W=﹣100m+40000+200m+300<50﹣m）=﹣200m+55000，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本．，解得，所以甲材料每千克元，则<1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y解答：解：15元，乙材料每千克25元；<2）设生产A产品m件，生产B产品<50﹣m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20<50﹣m）+25×20<50﹣m）=﹣100m+40000，由题意：﹣100m+40000≤38000，解得m≥20，又∵50﹣m≥28，解得m≤22，∴20≤m≤22，∴m的值为20，21，22，共有三种方案，如下表：A<件） 20 21 22B<件） 30 29 28<3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300<50﹣m），则W=﹣100m+40000+200m+300<50﹣m）=﹣200m+55000，∵W 随m的增大而减小，而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=﹣200×22+55000=50600元．点评：函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。
运用函数思想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。
4．<2018?广元）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m的生3例活垃圾运走．）假如每天能运xm，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；3<1）若每辆拖拉机一天能运12m，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？3<2<3）在<2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？考点：反比例函数的应用。
分析：<1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；- 2 - / 12<2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；<3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．y==20<）x=12×5=60，代入函数解读式得；天）；<1） y=；<2解答：解：<3）运了8天后剩余的垃圾是1200﹣8×60=720m3．务要在不超过6天的时间完成则每天至少运720÷6=120m3，则需要的拖拉机数是：120÷12=10<辆），则至少需要增加10﹣5=5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．考点六：数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数>,或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形>的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
y=相交于A<1，2）、B<m，﹣例5 <2018?襄阳）如图，直线y=kx+b与双曲线1）两点．1）求直线和双曲线的解读式；<1，请直接＜x＜x＜0y），A<x，y）为双曲线上的三点，且x），<2）若A<x，yA<x，321133122312 y的大小关系式；y，y，写出312＞kx+b的解集．<3）观察图象，请直接写出不等式1考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
的值，再用待m，﹣B<m1）代入双曲线）代入所得解读式求出y=，求出k的值，将分析：<1）将点A<1，22的值，可得两函数解读式；x和b定系数法求出k1）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；<2x的范围，从图象上看：直线在双曲线上方，＞时自变量的＞的解集，就是求kx+b<3）求不等式kx+b11点的横坐标结合图象进行解答．、B这是“以形助数”．根据A）在双曲1B<m，∴双曲线的解读式为：，﹣y=．∵点<1）∵双曲线2y=经过点A<1，），∴k=2解答：解：2，上，得）在直线y=kx+b1，2），B<﹣2，A<1线2y=上，∴m=﹣，则B<﹣2，﹣1）．由点1 y=x+1．解得，∴直线的解读式为：．＜y＞y0，∴y＜y＜y<2）∵在第三象限内随x的增大而减小，故y＜y0，又∵y是正数，故31321320．2＜x＜1<3）由图可知，x＞或﹣点评：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。