非惯性系中的力学
第二章 非惯性系中的质点动力学
M1-28
积分可得
mgR(cos jmax 1 1) m 2 R 2 sin 2 jmax 0 2
因 sin 2 jmax 1 cos2 jmax 上式变为
mgR(cos jmax 1) 1 m 2 R 2 (1 cos 2 jmax ) 0 2
z
或
2 R cos2 jmax 2 g cos jmax 2 g 2 R 0
2. 当加速度 ae 2 g tan 时，牵连惯性力 FIe 2mg tan ，应用 相对运动动能定理，有
m v 2 0 ( F cos )l (mg sin )l Ie 2 r
整理后得
y' m
FN FIe
mg θ ae x'
m 2 vr (mg sin )l 2
力大小为 FIe m 2 R sin j ，方向如图。 经过微小角度dj 时，此惯性力作功为
z
W FIe R cos jdj m 2 R sin j cos jRdj
相对运动的动能定理，得
R
0 0 mgR(1 cos j max )
jmax
0
Байду номын сангаас
j
mg
FIe
m 2 R 2 sin j cos j dj
vr 质点相对动参考系速度
M1-20
上式两端点乘相对位移
dr
dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
dr 注意到vr , 且科氏惯性力垂直于vr , 有FIC dr 0, 则 dt mvr dvr F dr FIe dr
非惯性系中的力学(物理竞赛)
例 3.一辆质量为 m 的汽车以速度 v 在半径为 R 的水平弯道上做匀速圆周运动。汽车左右轮相距为 d，重心离地高度为 h，车轮与路面之间的摩擦因数为 μ ，求： （1） 汽车内外轮各承受多大的支持力？ （2） 汽车能安全行驶的最大速度？
F 合+F 惯=0
例 1.在火车车厢内有一长 l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度 a0 从静止开始运动时，物体自 倾角为 θ 的斜面顶部 A 点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为 μ ，求物体滑至斜面底部 B 点时， 物体相对于车厢的速度，并讨论当 a0 与 μ 一定时，倾角 θ 为多大时，物体可静止于 A 点？
F 合+F 惯=ma 相 式中, F 合为物体实际受到的合力.
二,匀速转动系中的惯性力 圆盘以角速度 ω 绕铅直轴转动,在圆盘上用长为 r 的轻线将质量为 m 的小球系于盘心且小不球 相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力 T 的作用一下作圆周运动, 符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力 T 的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第 二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律 形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力: F 惯=mω 2r.这个力叫做惯性离心力.若质点 静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方 程,就需要引入惯性力的概念.
一.直线加速系中的惯性力 设非惯性参考系的加速度为 a 参,物体相对于参考系的加速度为 a 相,物体实际的加速度为 a 绝, 则有: a 绝= a 参+a 相.那么,物体”受到”的惯性力 F 惯=－m a 参,其方向与 a 参的方向相反. 惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第 三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力. 在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为:
第四章非惯性系中的质点力学
小结：选用不同的 s 系，其 加速度变换公式的具体分 析结果不同。
§4.3 非惯性系内质点动力学
当计入惯性力，就可在非惯性系中得到形式上和惯性 系一样的动力学规律（如三个定理，三个守恒定律）.
(x 0为势能零点 s系中 2. 当非惯性系以匀角速度 绕固定轴转动时, 2 1 2 2 F m ( r ) m e ( m ) Ic 2
牵连惯性 力 非惯性系中的 质点的动力学 方程
m a F
§4.2 非惯性系内质点的动力学方程
科氏 力
对惯性力作几点说明:
1.惯性力不是相互作用力,不遵从牛顿第三定律，它不 存在反作用力。 2.惯性力仅存在于非惯性系之中。 3.在非惯性系中惯性力真实存在，不是假想的力。 4.惯性离心力
m ( r )
三.落体偏东
以自由落体运动为例，研究科氏力对质点竖直运动的影响
在地面参照系oxyz中，其单位 矢量为i、j 、k.，且 i 水平向 南, j 水平向东, k 竖直向上. 质 点在z轴上 z h 处自由下落， 不计空气阻力，且不受其它物 体的作用， F 0
这里惯性离心力是保守力, 1 对应的势能为 V m 2r2 2
1 2 1 22 1 22 m m v r 0 m r 0 2 2 2
§4.4 地球自转的动力学效应
本节应用非惯性系内动力学理论解决实际问题的范例.
一. 质点相对地球的运动微分方程
1.有关地球运动的几个量. 2.地球为非惯性系时质点在地球表面附近运动微分方程. 地球既有自转又有公转,是非惯性参照系,以日心系为S系.
3. 通过前面分析,我们可利用运动系把质点的复杂运动 分解成为几个比较简单的运动的合成.
2-5 非惯性系惯性力
在非惯性系中应用牛顿定律时， 在非惯性系中应用牛顿定律时，计算力要计入真 实力和假想的惯性力，加速度要用相对加速度。 实力和假想的惯性力，加速度要用相对加速度。 这时牛顿定律的形式为： 这时牛顿定律的形式为：
F' = F + Fi＝ma'
第二章 牛顿定律
3
物理学
第五版
2-5 非惯性系 惯性力 a0
m T A B T m
A:质点受绳子的拉力提供的向 质点受绳子的拉力提供的向 心力，所以作匀速圆周运动。 心力，所以作匀速圆周运动。
B：质点受绳子的拉力， ：质点受绳子的拉力， 为什么静止？ 为什么静止？
在匀速转动的非惯性系中， 在匀速转动的非惯性系中，设想小球受到一个 的作用，大小与绳子的拉力相等， 惯性离心力Fi 的作用，大小与绳子的拉力相等， 方向与之相反，所以小球处于静止的平衡状态。 方向与之相反，所以小球处于静止的平衡状态。
第二章 牛顿定律
2
物理学
第五版
2-5 非惯性系 惯性力 -
惯性力： 惯性力：大小等于运动质点的质量与非惯性系加 速度的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。 速度的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。 惯性力没有施力物体，所以不存在反作用力。 惯性力没有施力物体，所以不存在反作用力。
Fi＝ - ma0
Fi＝- mω r en
2
T + F＝ i 0
2-5 非惯性系 惯性力
m T T
m
地面观察者： 地面观察者：质点受绳子 的拉力提供的向心力， 的拉力提供的向心力，所 以作匀速圆周运动。 以作匀速圆周运动。
圆盘上观察者： 圆盘上观察者：质点受绳 子的拉力，为什么静止？ 子的拉力，为什么静止？
§2.5 非惯性系 惯性力
Байду номын сангаас
在匀速转动的非惯性系中，小球受到一个惯性离心力的作用， 在匀速转动的非惯性系中，小球受到一个惯性离心力的作用， 大小与绳子的拉力相等，方向与之相反， 大小与绳子的拉力相等，方向与之相反，所以小球处于静止 的平衡状态。
−1
a0 g
l g
l → T = 2π a
§2.5 非惯性系 惯性力
例 如图 m与M保持接触 各接触面处处光滑求： 与 保持接触
m下滑过程中，相对M的加速度 amM 下滑过程中，相对 的加速度 下滑过程中
m
θ
M
解：画隔离体受力图 以M为参考系画 为参考系画m 为参考系画 的受力图 y′ N Mm x′ m ma
在惯性系中有： 在惯性系中有：
f = ma
= m a＝ m ( a' + a 0 )
在非惯性系中有： 在非惯性系中有： f
f－ma0＝ma'
惯性力： 惯性力：大小等于运动质点的质量与非惯性系加速度 的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。 的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。
f 惯＝− ma0
f + f 惯＝ma'
§2.5 非惯性系 惯性力 加速平动的非惯性系、 三 加速平动的非惯性系、惯性力
a -a
m
a f惯 f
m
地面观察者： 地面观察者：物体水平方
力学2动力学II-非惯性系讲解
设有一质量为m的质点，在真实的外力F 的作 用下相对于某一惯性系S产生加速度 a ，
则根据牛顿第二定律，有:
F ma
假 沿设直线另运有动一。参在考S系参S考相系对中于,惯质性点系的S加以速加度速是度aa。0
则： a a a0
aAB aAC aCB
将此式代入上一式可得：
e
er
方向描述：er ：径向方向
e ：极角增加方向
O
位矢 r rer
速度
v
dr dt
d( rer dt
)
dr dt
er
r der dt
dr dt
er
r
d
dt
e
vr er
v e
r
P
X
e
r
der
d er
der der e der er d d
vr : v :
dt
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本地加速度
牵连横向 加速度
牵连向心 加速度
科里奥利 加速度
a a d r ( r ) 2 v
dt
a绝 a相 a牵
牵连加速度
f惯性力 ma牵
m
d
dt
r
[m
(
r
)]
2m(v )
欧拉力
对匀速转动的S'系：
非惯性系中的牛顿第二定律：
虚拟力
F ma F真实力 R
惯性力不是物体间的真实的相互作用,是一种假想的 力。它既无施力者, 也无反作用力, 不满足牛顿第三定律。
非惯性系惯性力
*地球自转对重力的影响
以地球为参照系，考虑地球的自转,于是地面上任何 一个物体都是在三个力：
N
支持力N、引力F引、惯性离性力ƒ*c作用下处于平 衡态，
F引
ƒ*c
W
而地面上的观察者通常总是把地面上 的物体作二力平衡来处理，即认为物 体在重力W和支持力N作用下达到平 衡态，
因此重力W实际上应是F引和ƒ*c的合力，即：
加速度。
YT
as
f﹡ X
解：以小车为参照系（非惯性系），
mg
因为a/=0,这时动力学可简化为静力学
重物受3个力:
张力T， 重力mg，
惯性力f﹡，
而处平衡态，故有
T cos mg 0 (1)
T sin f 0 (2) ( f * mas )
联立，得
tg as
g
as g tg
7
匀角速转动的非惯性系中的——惯性离心力 *惯性离心力的引入：
a 另外 f﹡ 与 s 有关，非惯性系相对于惯性系的加速度的形式不同，则 f﹡ 也不同。
后面将从三个方面加以说明。
4
3、 非惯性系中的运动定律的形式
a 设有惯性系O和非惯性系O，O系以加速度 s相对于O系运动，现在O系中有一 a 质点，其质量为m，且相对于O系以相对加速度 / 运动，于是质点m相对惯性系
19
江岸的冲刷（北半球）；
v fk* fk* v
v fk*
0
17
信风；
据历史记载，第一次世界大战期间，英、 德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行 了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北方 大约6-7km时，英舰炮手瞄准德舰开炮，奇怪 的是炮弹全都落在德舰的左侧大约100多米以 外的地方。怪就怪在英舰炮手都是经过严格 训练的富有作战经验的好炮手，不应发生如 此大的偏差。
牛顿第二定律的推广非惯性系中的力学定律
牛顿第二定律的推广非惯性系中的力学定律在牛顿力学中，牛顿第二定律是描述质点在惯性系中运动的力学定律。
然而，在现实世界中，很多情况下质点并不总是在惯性系中运动，而是处于非惯性系中。
那么，在非惯性系中，牛顿第二定律是否仍然成立呢？本文将探讨牛顿第二定律在非惯性系中的推广及其力学定律。
一、牛顿第二定律的基本原理牛顿第二定律是经典力学中最重要的定律之一，它表明物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，与物体的质量成反比。
具体公式为：F = m * a其中，F表示作用在物体上的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
该公式说明了物体的加速度与作用在物体上的力的关系。
二、非惯性系中的力学定律在非惯性系中，质点的运动状态会受到惯性力的影响。
惯性力是由于参照系的加速度引起的，它会对质点产生额外的力，从而影响质点的实际运动状态。
为了在非惯性系中推广牛顿第二定律，我们需要引入“亚惯性力”的概念。
亚惯性力是指作用在非惯性系中质点上的力，它包括了惯性力和外力两部分。
牛顿第二定律在非惯性系中的表达式可以改写为：F' = m * (a - a')其中，F'表示亚惯性力，a表示实际加速度，a'表示非惯性系的加速度。
通过这个公式可以看出，在非惯性系中，实际的加速度是由物体受到的合力和亚惯性力共同决定的。
而亚惯性力的大小与非惯性系的加速度以及物体的质量有关。
三、非惯性系中的例子为了更好地理解非惯性系中的力学定律，我们可以举一个具体的例子来说明。
假设有一个质量为m的小球，它被放置在一个半径为R、线性加速度为a'的转盘上。
在这个转盘上旋转的过程中，小球会受到两个力的作用：重力和离心力。
重力是指向下的，大小为mg，其中g表示重力加速度。
而离心力是指向外的，大小为m * (a' * R)。
根据牛顿第二定律的推广公式，小球所受合力可以表示为：F' = mg + m * (a' * R)。
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非惯性系中的力学
牛顿运动定律只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程,就需要引入惯性力的概念.
一.直线加速系中的惯性力
设非惯性参考系的加速度为a
参,物体相对于参考系的加速度为a
相
,物体实际的加速度为a
绝,
则有:
a绝= a参+a相.那么,物体”受到”的惯性力F惯=－m a参,其方向与a参的方向相反.
惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第
三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力.
在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为:
式中, F
合
为物体实际受到的合力.
二,匀速转动系中的惯性力
圆盘以角速度ω绕铅直轴转动,在圆盘上用长为r的轻线将质量为m的小球系于盘心且小不球相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力T的作用一下作圆周运动,符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力T的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律
形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力:F
惯
=mω2r.这个力叫做惯性离心力.若质点静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于零,即:
例1.在火车车厢内有一长l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度a0从静止开始运动时，物体自倾角为θ的斜面顶部A点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为μ，求物体滑至斜面底部B点时，物体相对于车厢的速度，并讨论当a0与μ一定时，倾角θ为多大时，物体可静止于A点？
例2.如图所示，定滑轮A的一侧持有m1=5kg的物体，另一侧挂有轻滑轮B，滑轮B两侧挂着民m2=3kg，m3=2kg的物体，求每个物体的加速度。
例3.一辆质量为m的汽车以速度v在半径为R的水平弯道上做匀速圆周运动。
汽车左右轮相距为d，重心离地高度为h，车轮与路面之间的摩擦因数为μ，求：
（1）汽车内外轮各承受多大的支持力？
（2）汽车能安全行驶的最大速度？
例4.长为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的两个小球。
如图所示，它们处于平衡状态，突然连接两绳中间的小球受水平向右的冲击（如另一球碰撞），瞬间内获得水平身体右的速度v0.求这瞬间连接m2的绳子的拉力为多大？。