空间坐标系
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
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汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系(115)
与平面的位置关系，如平行、相交或垂直。
立体几何问题
确定点在空间中的位置
通过给定点在空间直角坐标系中的坐标，可以确定该点在空间中 的位置。
计算点到平面的距离
利用空间直角坐标系中的坐标，可以计算点到平面的距离。
判断两平面是否平行或相交
通过空间直角坐标系中的平面方程，可以判断两平面是否平行、相 交或垂直。
向量的数量积满足交换律、结合 律和分配律。
03
空间直角坐标系的应用
平面几何问题
确定点在平面上的位置
01
通过给定点在空间直角坐标系中的坐标，可以确定该点在平面
上的位置。
计算两点间的距离
02
利用空间直角坐标系中的坐标，可以计算两点间的距离。
判断直线与平面的关系
03
通过空间直角坐标系中的直线方程和平面方程，可以判断直线
性质
空间直角坐标系具有方向性和正交性 ，即三个轴的方向是固定的，且它们 之间相互垂直。此外，坐标系的单位 长度和方向也是确定的。
坐标系的建立
选择一个点作为原点 O，并确定三个相互 垂直的轴。
在坐标系中标记点的 位置，需要三个数值， 即点的x、y、z坐标 值。
确定各轴的方向和单 位长度，通常采用国 际单位制（米、千克 等）。
在计算机图形学中的应用
描述三维空间中的点、线、面等几何对象， 进行图形变换等。
向量场和梯度场的概念
向量场
由一组向量构成的集合，每个向量在 空间中定义一个点。
梯度场
与标量场相关联的向量场，表示标量 场中每一点的梯度方向和梯度值。
THANKS
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解析几何问题
01
02
03
求解直线方程
通过空间直角坐标系中的 点或斜率，可以求解直线 的方程。
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间直角坐标系ppt课件
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
空间直角坐标系课件
空间直角坐标系课件空间直角坐标系课件空间直角坐标系是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将通过介绍空间直角坐标系的定义、特点以及应用等方面，来探讨这一主题。
一、定义与特点空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，分别是x轴、y轴和z轴。
这三个轴构成了一个三维的坐标系，用来描述空间中的点的位置。
在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x表示点在x 轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。
空间直角坐标系具有以下特点：1. 三个坐标轴相互垂直：x轴与y轴、x轴与z轴、y轴与z轴两两垂直。
2. 坐标轴上的单位长度相等：在空间直角坐标系中，每个坐标轴上的单位长度相等，通常表示为1。
3. 坐标轴上的正方向：x轴正方向为从左向右，y轴正方向为从下向上，z轴正方向为从里向外。
二、应用领域空间直角坐标系在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
1. 几何学中的应用空间直角坐标系在几何学中被用来描述点、直线、平面等几何图形。
通过坐标系中的点的位置关系，可以计算两点之间的距离、直线的斜率、平面的方程等。
同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算向量的坐标。
2. 物理学中的应用在物理学中，空间直角坐标系常被用来描述物体的运动、力的作用等。
通过坐标系中的点的位置变化，可以计算物体的位移、速度、加速度等物理量。
同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算力的分解、合成等问题。
3. 工程学中的应用在工程学中，空间直角坐标系被广泛应用于建筑、机械、电子等领域。
通过坐标系中的点的位置关系，可以计算建筑物的结构、机械零件的尺寸、电子元器件的布局等。
同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算工程中的力、力矩等问题。
三、坐标系的转换在实际应用中，有时需要将一个空间直角坐标系转换为另一个空间直角坐标系。
坐标系的转换可以通过旋转、平移等方式进行。
通过坐标系的转换，可以方便地进行坐标的变换和计算。
空间直角坐标系
的几何特性. 为顶点的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 = (10 − 4)2 + (−1−1)2 + (6 − 9)2 = 49,
同理有
| AC | = 49, | BC |2 = 98.
2
Q AB | =| AC | , ∴AB= AC， |
2 2
因而△ 为等腰三角形. 因而△ABC为等腰三角形.
2 2
2 2
2
2
= ( x 2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
所以空间两点间的距离 所以空间两点间的距离
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) .
2 2 2
特地， 特别地，
点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
z
a aa Q( , , ) 2 22
D’ A’ B’
C’
Q
O A x C
Q’
B
y
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 后 试写出全部钠原子所在位置的坐标．
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
知识要点空间直角坐标系
知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。
它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。
在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。
假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。
空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。
其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。
2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。
它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。
3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。
分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。
4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。
5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。
在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。
向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。
2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。
若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。
3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。
设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
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空间直角坐标系
教学目的：将学生的思维尤平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的
教学重点: 1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离
教学难点：空间思想的建立
一、空间点的直角坐标
x y之间的一一对应平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组(,)
关系，沟通了平面图形与数的研究。
为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现。
1、空间直角坐标系
过空间一定点o，作三条互相垂直的数轴，它们以o为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，且统称为坐标轴。
通常把x轴，y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：
右手握住z轴，当右手的四个指头从x轴的正向以90︒角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴正向。
三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点o叫做坐标原点。
注明：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把x轴与y轴间的夹角画成130︒左右。
当然，它们的实际夹角还是90︒。
2、坐标面卦限
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。
由x轴与y轴所决定的坐标面称为xoy面，另外还有xoz面与yoz面。
三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限。
3、空间点的直角坐标系
取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系。
设M 为空间的一已知点，过M 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的三个平面，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为R Q P ,,，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为z y x ,,，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组z y x ,,，这组数叫M 点的坐标。
依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为M x y z (,,)。
反过来，若已知一有序数组z y x ,,，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴取坐标为z 的点R ，然后过P 、Q 、R 分别作x 轴、y 轴、z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M 就是以有序数组z y x ,,为坐标的空间点。
这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点M 和有序数组z y x ,,之间的一一对应关系。
注明：
空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定， 因此， 常称我们生活的空间为三度空间或三维空间 ”。
事实上，我们的生活空间应该是四度空间，应加上时间变量t 。
即：(,,,)x y z t ，它表示在时刻t 所处的空间位置是(,,)x y z 。
二、空间两点间的距离公式
设M x y z 1111(,,)、M x y z 2222(,,)为空间的两点，则两点间的距离为
d M M x x y y z z ==-+-+-12212212212()()() 证明：
过M 1、M 2各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M M 12为对角线的长方体，如图所示
∆M NM 12是直角三角形， 故
d M M M N NM 21221222==+ ∆M PN 1是直角三角形， 故 M N M P PN 12122=+ 从而 d M P PN NM 21222
2=++ 而 M P P P x x 11221==- PN Q Q y y ==-1221
NM R R z z 21221==-
故 d x x y y z z 2212212212=-+-+-()()() 特别地，点M x y z (,,)与坐标原点O (,,)000的距离为
d x y z =++222。