浅谈数学归纳法论文
谈谈数学归纳法 本科论文
本科生毕业论文（设计）册作者姓名：指导教师：所在学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级（届）：2014届2班二〇一四年五月十日学位论文原创性声明本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。
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（保密的学位论文在年解密后适用本授权书）论文作者（签名）：指导教师（签名）：年月日年月日河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书编号：2014230302099学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授1、论文（设计）研究目标及主要任务通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考.2、论文（设计）的主要内容（1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型；（2）研究数学归纳法解决的常见题型；（3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧；（4）数学归纳法的推广应用.3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导.研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议．4、主要参考文献[1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999,(2):102-106.[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38．[3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11．[4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社,2014:183-201[5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59．指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开题报告书河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）文献综述本科生毕业论文设计谈谈数学归纳法学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级：2010级2班学生：指导教师：张硕论文编号：2014230302099目录中文摘要、关键词 ........................................................................................................ 错误!未定义书签。
毕业论文：数学归纳法及其应用论文
数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．n时表示一个命题，正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当1n时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关当2的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当1n时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当n k时成立，那么当1n k时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念:数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．0N（即“0是自然数”）．Ⅱ．对于N的每一个元素a,在N中都有一个确定的随从'a（我们用符号'a 表示a的随从，以下类同）．Ⅲ． 0不是N中任何一个元素的随从．a b可以推出a b（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元Ⅳ．由''素的随从，或者根本不是随从）．Ⅴ．设M是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数0属于M；（2）如果自然数a属于M，那么它的随从'a也属于M；则集合M包含一切自然数[1]．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起n n，…，则始元素，如果记'01，'12，'23，…，'1{0,1,2,,,}N n皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 （最小数原理） 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合，即{|,}Mn nN nm mA 且对任意由于A 非空，至少有一自然数a A ,而1()a a 不在M 中，所以M N .从而必存在自然数0m M ，且01m M .因为若不然，就有（1）0M (0不大于任一自然数）； （2）若m M ，则1m M .根据归纳原理，集合M 包含一切自然数．此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数，因为对任何aA ，都有0m a ；而且0m A .事实上，若0m A ，则有01m a ，对任意a A ，于是01m M ，这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()T n ，如果（1）00()(0)T n n 为真；（2）假设0()()T n nn 为真，则可以推出(1)T n 也为真.那么，对所有大于等于0n 的正整数n ，命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真，则0{|,()}Mm mN mn T m 且不真非空.根据定理1，M 中有最小数0m .由（1），00m n ，从而001m n 且0(1)T m 为真.由（2），取01nm 即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
浅谈数学归纳法的认识及应用
浅谈数学归纳法的认识及应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。
本文通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法的应用。
要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明命题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
【关键词】归纳法猜想证明方法(一）数学归纳法的概述归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在高中数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
[1]例如：大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？试验（1）从大球中取出5个小球，发现全是红色的。
推理大球中装的全是红球判断考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。
不完全归纳法得到的结论不一定正确。
试验（2）从大球中取出所有的小球，发现全是红色的。
推理大球中装的全是红球判断考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。
完全归纳法一定是正确！[2]数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解高中数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法。
用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n。
结论正确；(2)假设当n=k（k∈N，且k≥n。
）时，结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。
由（1）、（2）可知,命题对从n。
开始的所有正整数n都正确。
这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
关于数学归纳法的论文
数学归纳法在问题求解中的应用作者：管国策指导老师：张胜摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，在不少数学问题的证明中，它都有着其他方法所不能替代的作用.甚至在物理、生物等方面都有着广泛的前景，本文首先阐述数学归纳法的理论依据以及表现形式，然后通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学以及中学数学竞赛中的应用，最后详细叙述对数学归纳法的认识和使用中应该注意的问题.关键词数学归纳法数列行列式离散数学树数学竞赛1、数学归纳法的理论依据归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现规律，不适用于数学严谨证明.数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列归纳公理：（1）存在一个自然数0∈N.（2）每一个自然数a有一个后继元素'a，如果'a是a的后继元素，则a叫做'a的生成元素.（3）自然数0无生成元素.（4）如果'a='b，则a=b.（5）（归纳公理）自然数N的每个子集M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M=N.自然数就是满足上述公理的集合N中的元素，关于自然数的所有性质都是这些公理的直接理论.由以上公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素.如果记'0=1，'1=2，'2=3，…，'n=n+1，…，则N={0,1,2，…，n，…}.由以上公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数在本质上是一致的.20世纪90年代以前的中学数学教材将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集.现在已统一采用上面的证法，即将0作为第1个自然数.为了阐述数学归纳法，我们首先介绍一下正整数集的最小数原理.最小数原理：正整数集中≤，的任意一个非空子集必含有一个最小数.也就是说，存在数a∈S，对于∀x∈S都有a x最小数原理也就是数学归纳法的理论依据.2、数学归纳法的表现形式2.1.第一数学归纳法在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k +1时命题也成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠∅.于是由最小数原理，S 中有最小数a .因为命题对于n =1时成立，所以1a ≠， a >1.从而a -1是个正整数.又由于条件（3），当n =a 时命题也成立.因此a S ∉，导致矛盾.因此该命题对于一切正整数都成立.定理证毕.在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将n =1换成n =c 即可.第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c 时命题成立（2）归纳假设：假设n =k 时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.2.2.第二数学归纳法第二数学归纳法与第一归纳法是等价的.在有些情况下，由归纳法“假设n =k 时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立，不仅依赖()P k 成立，而且依赖于前面各步成立，这时一般要选用第二数学归纳法.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时（3）若能证明n =k +1时命题也成立.则这个命题对于一切正整数n 都成立.其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方不再赘述.第二数学归纳法可概括为一下几个三步：（1）归纳基础：证明n =1时命题成立（2）归纳假设：假设n k ≤时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.2.3.反向归纳法反向数学归纳法是数学家柯西最先使用的，下面我们就来介绍一下.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）命题()P n 对于无限多个正整数n 成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k -1时命题也成立，则这个命题对一切正整数n 都成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令A 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么A ≠∅.任取a A ∈，由条件（1）知必有正整数b >a ,使()P b 成立.令这样的正整数b 组成的集合为B .因为集合B ≠∅，故必有最小数，设这个最小数为m ，显然m >1,由条件（3）知：(1)P m -成立，由a 的取法知：3、数学归纳法的应用数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数n 有关的初等代数问题，在高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、计算机等方面的应用也相当突出.在用数学归纳法解决以上问题时，不仅思路清晰、大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常有效.下面重点谈谈它在初等代数、高等数学、离散数学以及数学竞赛中的应用. 3.1.数学归纳法在初等代数中的应用数学归纳法在恒等式问题、整除问题、三角函数问题、数列问题以及不等式问题中均有着广泛的应用.例1.求证：3n +5n （n N +∈）能被6整除证明：（1）当n =1时，31+51⨯=6能被6整除，命题成立（2）假设n =k 时，命题成立，即3k +5k 能被6整除当n =k +1时，有3(1)k ++5(1)k +=（3k +32k +3k +1）+（5k +5） =（35k k +）+3(1)k k ++6 因为两个连续的正整数的乘积(1)k k +是偶数，所以3(1)k k +能被6整除 则（35k k +）+3(1)k k ++6能被6整除，即当n =k +1时命题也成立 综上所述，对一切正整数n 命题都成立.例2.已知在各项均为正整数的数列{}n a 中，它的前n 项和n S 满足n S =11()2n na a +，试猜想数列{}n a 的通项公式，并有数学归纳法证明你的猜想. 解：1S =1111()2a a + 21a ∴=1n a >0 1a ∴=12S =1a +2a =2211()2a a +即22a +22a -1=0又n a >0 ∴2a-13S =1a +2a +3a=1+(1+3a =331()a a +即23a+3a -1=0 又n a >0 ∴3a…猜想：n an N +∈）下面用数学归纳法证明这个猜想（1）当n =1时，1a=1，命题成立（2）假设n k =（1k ≥）时，k a1n k =+时，有：1k a +=1k S +-k S =1111()2k k a a +++-11()2k ka a +，即1k a +=1111()2k k a a +++-12=1111()2k k a a +++21k a +∴1k a +-1=0又n a >0 1k a +∴∴当1n k =+时，命题也成立.由(1)(2)可知：当n N +∈时，n a 例3：已知数列{}n b 是等差数列， 1b =1，1b +2b +…10b =145 （1）求数列{}n b 的通项公式n b （2）设数列{}n a 的通项n a =1log(1)nb +(a >0且1a ≠)，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，试比较n S 与11log 3a nb +的大小并证明你的结论. 解：（1）设数列{}n b 的公差为d 由题意知：1b =1；1b +10(101)2d -=145 解得：d =3 ∴n b =3n -2（2）由n b =3n -2知：n S =log (11)a ++1log (1)4a ++ (1)log (1)32a n +- =1log [(11)(1)4a ++ (1)(1)]32n +-而11log 3a nb +=log an S 与11log 3a nb +的大小，就是要比较1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-的大小取n =1，有（1+1）取n =2，有1(11)(1)4++推测：1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-()* （1）当n =1时，已验证()*式成立（2）假设n k =（k >1且k N +∈）时()*式成立.即1(11)(1)4++ (1)(1)32k +-则当1n k =+时，1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)3(1)2k ++-1(1)31k ++=3231k k +-33332(31k k +-+=322(32)(34)(31)(31)k k k k +-+++=294(31)k k ++>0从而1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)31k ++即当n =1k +时()*式也成立由(1)(2)知：()*式对任意正整数n 都成立于是当a >1时，n S >11log 3a n b +；当0<a <1时，n S <11log 3a nb +3.2.数学归纳法在高等数学中的应用证明是高等数学的一个重要的组成部分，它的重要性，不仅表现在数学命题需要严格的推理证明，才能确定其真实性，更重要的还在于通过数学证明有助于学生弄清命题的条件与结论之间的本质联系，加强对数学问题的认识，有助于学生深刻理解数学本质，养成严谨的思考问题的习惯，从而自觉掌握数学规律，从根本上提高分析问题和解决问题的能力.例4：如果对一切实数x 和y ，等式()f x y +=()f x +()f y 成立，试证对一切有理数r ，有()f rx =()rf x证：令x =y ，则由已知条件有： (2)f x =()f x +()f x =2()f x (3)f x =()f x +(2)f x =3()f x用数学归纳法可证，对一切自然数n 有()f nx =()nf x另外，对正分数p q （,p q 互质且q >1）有：()pf x =()f px =()p f q x q =()p qf x q()p f x q ∴=()()pf x q令x =y =0，有(0)f =2(0)f ∴(0)f =0接着令y =x -，有()f x +()f x -=0 ∴()f x -=-()f x 同理，对负数p q -（,p q 互质且p >0, q >1）有：()p f x q-=pq -()f x因此，可知对一切有理数r 命题成立. 例5.证明211arctan2n n ∞=⋅∑收敛 证：令n a =21arctan2n ⋅ 求出该数列的部分和n S 1S =1arctan22S =1arctan 2+21arctan 22⋅=2211222arctan111222+⋅-⋅⋅=2arctan 3 3S =1a +2a +3a =2S +3a =2arctan 3+21arctan 23⋅=3arctan 4猜想：n S =arctan 1nn +下面用数学归纳法证明： 假设1k S -=1arctank k-，将上式两边同时加上k a ，得： k S =1k S -+k a =1arctan k k -+21arctan 2k ⋅=23(221)arctan 21k k k k k -+-+=arctan 1k k + 证出等式在n =k 时成立. 因此n S =arctan1nn + 又lim 1n n n →∞+=1，arctan1=4π，证得级数211arctan 2n n ∞=⋅∑收敛 S =4π例6：证明：n D =cos 10012cos 100012cos 012cos aa aa=cos na证：对n 施第二数学归纳法 （1）当n =2时，cos 112cos a a=22cos a -1=cos2a（2）假设<n 时结论成立，则当n 时n D =cos 1012cos 10012cos 001aa a -+21cos n aD - =2n D --+12cos n aD -=cos(2)n a --+2cos cos(1)a n a ⋅- =cos(2)n a --+2cos[(2)]cos n a a a -+⋅=cos(2)n a --+2[cos(2)cos sin(2)sin ]cos n a a n a a a -⋅--⋅ =cos(2)n a --+22cos(2)cos 2sin(2)cos sin n a a n a a a -⋅--⋅⋅=2cos(2)(2cos 1)sin(2)sin 2n a a n a -⋅---⋅ =cos(2)cos 2sin(2)sin 2n a a n a a -⋅--⋅ =cos[(2)2]n a a -+=cos na3.3.数学归纳法在离散数学中的应用随着计算机科学的发展，离散数学在计算机的研究中的作用越来越大，而离散数学中（特别是图论中）的许多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效的方法.例7.设R 是集合X 上的关系，则()t R =1i i R ∞==R ⋃2R ⋃3R ⋃…证明：用第一归纳法先证明1i i R ∞=⊆()t R ；（1）当n =1时，根据传递闭包定义R ⊆()t R ； （2）假设1n ≥时，nR ⊆()t R .设(,)x y ⊆1n R+，因为1n R+⊆n R ⋃R ，故必有某个c x ∈，使(,)x c ∈n R ，(,)c y ∈R由归纳假设，有(,)x c ∈()t R ，(,)c y ∈()t R ，即(,)x y ∈()t R 1n R+∴⊆()t R故对任意的自然数n ，有nR ⊆()t R ，因而1i i R ∞=⊆()t R再证()t R ⊆1i i R ∞=设(,)x y ∈1ii R ∞=，(,)y z ∈1i i R ∞=，则必存在整数,s t ，使得(,)x y ∈s R ，(,)y z ∈t R这样(,)x z ∈s R ⋃tR ，即(,)x z ∈1i i R ∞=∴1i i R ∞=是传递的由传递闭包的定义可知：()t R =1i i R ∞=例8：设T 为任意一颗完全二元树，m 为边数，t 为树叶数，试证明m =22t -，这里2t ≥证明：对树叶数t 进行证明当t =2时，结点树为3，边数m =2，故m =22t -成立假设t =k (2)k ≥时，结论成立，下面证明t =1k +时结论也成立由于T 为二元数，因此T 中一定存在都是兄弟结点12,v v ，设v 是12,v v 的父亲，在T中删除12,v v ，得到'T ,'T 仍为二元完全树，这时结点v 成为树叶，树叶数't =21t -+=11k +-=k ，边数'm =2m -由归纳假设知：'m ='22t -所以2m -=2(21)2t -+-，故m =22t -3.4.数学归纳法在中学竞赛中的应用我们知道中学数学竞赛里有的知识解决需要用的数学归纳法，它方便了我们的解题，下面举几个例子看看它在数学竞赛里是如何运用的.例9.数列{}n a 中有1a =2a =1，1n a +=1n a -+n a (2)n ≥，请你证明：n a =]n n -（这个数列叫做斐波那契数列，它的前12项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144）证明：（1）当1n =时，11522--=5(1)T ∴成立当2n =时，2211(]522+-=33(544+--=5(2)T ∴成立（2）假设n k =和1n k =+时，()T k ，(1)T k +都成立即k a ]k k -且1k a +11]k k ++- 则当2n k =+时，2k a +=k a +1k a +]k k -11]k k ++-(1(1k k +-+k k=221111[(()((]52222k k ⋅-⋅=2211[()(]522k k ++- (2)T k ∴+也成立.由(1)(2)可知：对一切正整数，n a =11()]522n n--恒成立. 例10.设x +1x =2cos θ（其中x 为复数），请用θ的三角函数式表示nx +1n x（n 是正整数），并用数学归纳法证明你的结论.解：（1）当1n =时，x +1x=2cos θ 当2n =时，2x +21x=21()2x x +-=22(2cos 1)θ-∴2x +21x=2cos2θ当3n =时，3x +31x =22111()()()x x x x x x++-+=2cos 2cos22cos θθθ⋅-=2cos32cos 2cos θθθ+- =2cos3θ 猜想：nx +1n x=2cos n θ （2）假设1n k =-时，1k x -+11k x -=2cos(1)k θ-n k =时，kx +1k x=2cos (2)k k θ≥ 那么1n k =+时，1k x ++11k x+=11111()()()k k k k x x x x x x --++-+=2cos 2cos 2cos(1)k k θθθ⋅--=2cos(1)2cos(1)2cos(1)k k k θθθ++--- =2cos(1)k θ+ (1)T k ∴+成立由(1)(2)知，对一切n 恒有nx +1n x=2cos n θ（其中n 为正整数） 4、对数学归纳法的认识数学归纳法有时也叫逐次归纳法或者完全归纳法.前面两种叫法最早见于英国数学家德摩根1838年所写的《小百科全书》的引言中.因为在使用这个方法论证的时候，有一个形式上的归纳步骤，即确证命题对于第一项为真时，并由此归纳得出命题对于第n 项为真，“这个和通常的归纳程序有极其相似之处”.所以德摩根赋予它“逐次归纳法”的名称.也许是由于这种方法主要被用来数学中的证明的缘故.在《引言》的结尾处，德摩根又提出“数学归纳法”这个名称.比起逐次归纳法，人们似乎更喜欢数学归纳法，因为后者更能表明它论证的可靠性.此后，1887年，德国数学家戴德金又称此法为“完全归纳法”.有一个时期，这个叫法在德国很流行，后来由于逻辑学上完全归纳法专指“从列举对应的一切特殊的前提中，推出关于全部对象的一般结论的一种推理方法”，所以与“数学归纳法”不完全等价了.虽然数学归纳法和普通归纳法有着相似之处，但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的.在这种方法里，它的前提只是已被考察过的部分对象的属性，而结论却是关于同类对象全体的.因此，由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如，从1到40个自然数中，归纳出素数公式是“n 2-n+41”，这个公式对于n=1,2,…,40是正确的，可是当n=41时，得出的412确不是素数，看来归纳法不能用来作为严格的、科学的证明，仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性.然而，数学归纳法则不同，它的基础是递归推理原理，隐含着推向无穷的可能.由于数学归纳法包括着一串有穷多个三段论，每一个三段论自身都是一致的，所以从一定意义上说它又是古典演绎逻辑的一种发展了的形式，其严密性与演绎推理相同.庞加莱很彻底地指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别.他说：“我们必须承认，这（数学归纳法）和通常的归纳法程序有极其相似的不同，归纳法，当其应用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普通顺序，一种在我们之外的顺序.相反，数学归纳法，即递归证法，把自身视为一种必然，因为它不过是心灵本身的一种性质……”庞加莱十分推崇数学归纳法，称它“是数学中全部优点的根源”，“我们只能循着数学归纳法前进，只有它能交给我们新的东西.如果没有这种与自然（普通）归纳法不同但却同样极为有用的归纳法的帮助，演绎法是无法去创造出一种科学来的."应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了，它在数学中的地位已经完全确立.其实不然，仔细想来，数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的.数学归纳法是说“一个对1真的命题，如果它对任一数为真的，对其后继数也为真，则这个命题对于一切数都是真的.”人们不禁要问，何以断定每一个数都有后继数呢？这个问题不解决，自然也就谈不到数学归纳法的可靠性，所以归纳法的逻辑基础问题，与自然数理论密切联系.有趣的是，数的推展是由自然数向着有理数、实数、复数的方向进行的；然而，数的逻辑基础的奠定却循着一个相反的方向.自然数理论建立以后，与有理数数论一起建立起来的.1889年，意大利数学家皮亚诺发表《算数原理新方法》，他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发，建立起关于自然数的五条公理，即：（1）1是自然数;（2）1不是任何自然数的后继者;（3）每一个自然数a 都是一个后继者;（4）若a 和b 的后继者相等，则a 和b 也相等;（5）（归纳公理）若有一个由自然数组成的集合S 含有1，又若当S 中含有一个数a 时，它一定也含有a 的后继者，则S 就含有全部自然数.这样，皮亚诺不仅以公理的形式保证了一个数的后继者的存在，而且为用数学归纳法推证的结果对全体自然数的有效性作了保证.皮亚诺把数学归纳法原理奠基在下述事实的基础上：在任一整数a 之后接着便有下一个a+1，从而从整数1出发，通过有限次这种步骤，便能达到选定的整数n.自然数理论的简历，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也是严格意义下的数学归纳法的进一步明确.对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用.例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可以用数学归纳法来证明.比如等差数列、等比数列的通项公式以及二项式定理.当然，我们在重视它的应用的同时，也不要忘记它的审美价值和哲学价值.数学是自然界中所有美的集合，也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分.5.数学归纳法在应用中要注意的问题5.1在应用第一数学归纳法时，只有第2步而无第1步的证明可能导致错误.例11.设n =k ，等式2+4+…+2n =2n +n +1成立，即：2+4+…+2k =2k +k +1（1）两边同时加上2(1)k +，则有：2+4+…+2(1)k +=2(1)k ++(1)k ++1成立，即：如果n =k 时，等式（1）成立，则n =k +1时，等式也成立.由此得出结论：对于一切自然数n ，等式（1）是成立，这是错误的.因为n =1时，有2=3的错误. 5.2在应用第一数学归纳法时，只第1步骤而无第2步骤的归纳证明可能导致错误的结论.例12.在函数()f n =2n +n +17中，由(1)f =19，(2)f =23，(3)f =29，…，(15)f =257等都是质数，便说：“n 为任何自然数时()f n =2n +n +17的值都是质数”便是错误的.因为：(16)f =216+16+17=16（16+1）+17=17（16+1）=217=289就不是质数如果缺少了第2步，则不论对于多少个自然数来验证命题()T n 的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确.例如：歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第2步归纳递推，所以仍只停留在归纳的第1步，至今只是个猜想而已.第2步在证明(1)T n +为真时，一定要用到归纳假设，即要由()T n 为真，推出(1)T n +为真；或由“0()T n ，0(1)T n +，…，(1)T k -为真，推出()T k 为真”的实质蕴含真正体现出来，否则不是数学归纳法证明.5.3并不是凡与自然数相关的命题()T n 都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的.结 束 语数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到，而反向归纳法在数学的证明中不是很常见.通过数学归纳法去证明与自然数有关的命题，可降低证明过程中的复杂性，使推理过程简单、清晰、也保证了推理的严谨性.正如华罗庚先生在《数学归纳法》一书中提到的：“数学归纳法整数体现了人的认识从有限到无限的飞跃.”参考文献[1]吉米多维奇,数学分析习题集题解[M],济南,山东科学技术出版社,1983.[2]王仁发,代数与解析几何[M],长春,东北师范大学出版社,1999年9月第一版.[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,《高等代数》（第三版）.高等教育出版社.[4]左孝凌等《离散数学》[M],上海科学技术文献出版社,1982.[5]卢开澄,卢明华,图论及其应用[M],北京,清华大学出版社1995.[6]KAWAHIGASHIY.Generalized Longo-Rehren subfactors and A-induction[J],Comm Math Phys,2002,26(2),269-287[7]苏淳《数学奥赛辅导丛书,漫谈数学归纳法》[M],中国科学技术大学出版社,2009.4Mathematical induction application in problem solvingAuthor: Guan guoce Supervisor: Zhang ShengAbstract Mathematical induction is a kind of common methods of proof.In the proof of many mathematics problems ,it has the function which cannot be replaced by other methods,it has broad prospects even in physics,biology and so on.This paper firstly state the theoretical basis of Mathematical induction and its form of expression,then mainly discuss the Mathematical induction in elementary mathematics,higher mathematics,discrete mathematics and the application of mathematical contest through some representatively typical examples.Finally give an account of the cognition to Mathematicalinduction in detail and the problem when using it.Keywords Mathematical induction sequence determinant discrete mathematics tree mathematical contest。
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法沈梦婷教师教育学院10021149 【摘要】数学归纳法是一种常用的数学方法，在许多与自然数有关的数学问题的证明中有着不可替代的作用。
本文就数学归纳法的形式内容及对其的教与学做了一定的分析。
【关键字】数学归纳法，数学教学方法数学中的许多问题与自然数有关, 这类问题的求解及证明贯用的方法就是数学归纳法, 即首先考察特例, 发现某种相似性, 然后把这种相似性推广为一个可以明确表述的一般性命题, 从而得到一个猜想, 最后证明这个猜想。
数学归纳法的依据是自然数的皮亚诺公理中的归纳公理，他是演绎法的一种，与归纳法有本质区别。
绪论——数学归纳法的研究现状对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。
例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了学生对数学归纳法本质的理解：罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性；刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别.除以上这些论文以外,一些论著也提到了数学归纳法，并把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述。
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1），由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
浅谈数学归纳法的应用数学毕业论文
I浅谈数学归纳法的应用摘要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。
数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学以及在高等数学中的应用。
要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其原理和意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明一些数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
关键词：归纳法，数学归纳法，证明II the Application of Mathematical InductionABSTRACTMathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in the higher mathematics study and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. Mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set mathematical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly combined with junior high school textbooks to detailed mathematical induction method in middle school mathematics and application in advanced mathematics. To use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use inductive hypothesis, using the induction hypothesis launch a guess that the most important. Finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering "induction - guess - proof" theIII discovery of thinking method.KEY WORDS: induction method, mathematical induction, proof目录1 绪论 (1)1.1 引言 (2)1.2 数学归纳法的来源 (2)2 数学归纳法的概述 (4)2.1 常用数学证明方法 (4)2.1.1 演绎法 (4)2.1.2 归纳法 (4)2.2 数学归纳法基本原理及其其它形式 (5)2.2.1 数学归纳法概念 (5)2.2.2 数学归纳法的基本原理 (5)2.2.3 数学归纳法的其它形式 (7)3 数学归纳法的步骤 (9)3.1 数学归纳法的步骤 (9)3.2 三个步骤缺一不可 (10)4 数学归纳法的典型应用 (13)4.1证明恒等式 (13)4．2 证明不等式 (15)4．3 证明整除问题 (18)IV4.4 证明几何问题 (19)4.5 行列式与矩阵的证明 (19)5运用数学归纳法时容易出现的错误分析 (22)5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 (23)5.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 (24)6 应用数学归纳法时的一些技巧 (25)6.1 灵活选取“起点” (25)6.2 恰当选取“跨度” (26)6.3 选取合适的假设方式 (27)6.3.1 以“假设n k=时成立” (27)£时成立”代替“假设n k6.3.2 以“假设n k=+时成立”代替“假设n k=时成立”28n k=，17 数学归纳法的地位和作用 (30)致谢 (31)参考文献 (33)浅谈数学归纳法的应用11 绪论在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“k时命题成立，那么1+k时命题也成立”的证明方法。
第一数学归纳法及其应用 毕业论文
2012届本科毕业论文第一数学归纳法及其应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名学号指导教师完成时间2012.5第一数学归纳法及其应用摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧.关键词：归纳法第一数学归纳法不等式数列1 引言对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法, 并证明了2135(21)+++++=, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如n n经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式()n展开式的系数公式,a b从而得到有名的帕斯卡三角阵.继帕斯卡之后, 数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具, 如在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们的出色工作中, 都可以找到数学归纳法的例子, 1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano, 1858～1932, 意大利)发表《算术原理新方法》, 给出自然数的公里体系, 使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．现在开始我们重新认识一下数学归纳法.2 数学归纳法的原理2.1 归纳法在现实中的一些运用先从少数的事例中摸索出规律来, 再从理论上来证明这一规律的一般性, 这是人们认识客观世界的方法之一. 不论在数学上, 或在其他场合, 从对一系列具体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程, 叫做归纳法. 人们从有限的经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的, 在这个过程中人们自觉或不自觉地运用了归纳法. 许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等, 都是应用归纳法的产物. 如“兵贵神速”、“骄兵必败”, 都是对战争的胜负规律的一种认识, 同样“滴水石穿”、“有志竟成”是人们考察了古往今来许多有成就者的经历后得出的.2.2 数学归纳法的本原理解了归纳法我们再具体到数学中来, 以识数为例. 小孩子识数, 先学会数1个、2个、3个, 过些时候, 能够数到10了, 又过些时候, 会数到20, 30, …100了, 但后来, 就不再是这样一段段地增长了, 而是飞越前进. 倒了某个时候, 他领悟了, 就什么数都会数了, 这一飞跃, 竟是从有限到无穷!怎样会有这种方式呢? 首先, 他知道从头数; 其次, 他知道一个一个按次序数, 而且不愁数了一个以后, 下一个不会数, 也就是领悟了下一个数的表达方式, 可以由上一个数来决定, 于是, 他也就会数任何数了. 解释这个飞跃的原理就是, 正是运用了数学归纳法的思想, 数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物, 由简到繁, 由有限到无穷.1979年6月9日, 在英国伦敦, 一群记者和上千名观众静静注视着一个人,急切的等待着一项基尼斯世界纪录的诞生. 这个人就是迈克·凯尼, 他用13天的时间, 用了169713块骨牌搭出一个长达6900米的多米诺牌阵, 当迈克·凯尼走到第一块骨牌前, 用手轻轻推到它时, 奇迹出现了——将近17万张骨牌组成的长达6900米的多米诺阵在半小时内统统颠覆. 这就是神奇的多米诺现象, 在这个过程中要使所有的骨牌倒下必须满足两个条件, （1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌, 只要前一块倒下, 后一块必定倒下. 这样我们就会发现这与数学中一个极其重要的证明方法——数学归纳法如出一辙. 并且摆多米诺阵的人应该注意的关键问题竟然也和使用数学归纳法的人应该注意的关键问题神似韵合. 2.3 命题的长蛇阵在前面我们屡次提到数学归纳法, 那么究竟什么是数学归纳法？我们现在先看一个命题.试证：在一个正方形的纸上有n个点, 已知这n个点连同正方形的4个顶点, 其中任意3点都不共线．试证：至多可以剪得顶点属于上述4n+个点的三角形纸片22n+个．我们可以把这个命题看成是无穷多个命题组合而成, 这无穷多个命题列举如下：命题1：在一个正方形纸上有1个点, 已知这5个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5个点的三角形4个.命题2：在一个正方形纸上有2个点, 已知这6个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉6个点的三角形6个.命题3：在一个正方形纸上有3个点, 已知这7个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉7个点的三角形8个.……命题k：在一个正方形纸上有k个点, 已知这4k+个点中任意3点都不共线证明：至多可以剪得顶点属于上诉4k+个.k+个点的三角形22命题1k+个点中任意3点都不k+个点, 已知这5k+:在一个正方形纸上有1共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5k++个.k+个点的三角形2(1)2上述无穷多个命题排成了一个命题的长蛇阵, 它像无穷多个骨牌, 一个接着一个的摆放在那里. 如何证明这无穷多个命题呢？命题1的证明：当正方形内有一点, 且五点不共线, 则可以如图1所示, 得到4个三角形. 命题1得证.命题2的证明：根据命题1, 当正方形中有2点, 则另外一点一定在上题所分的4个三角行中任一个中, 假设如图2所示, 则可看作这一点把其中一个分成3个, 即多了2个, 有6个, 命题2得证.命题3的证明：根据命题2, 当正方形中有3点, 则另外一点一定在上题所分6个三角形中任一个中, 假设如图3所示, 则可看作是这一点把其中一个分成了3个, 即多了2个, 共有8个, 命题3得证.继续这个过程, 我们可以依次证明命题4、命题5、……. 也就是说, 我们可以证明这一系列命题中的任何一个命题. 因此, 一开始给出的命题, 当n是任意自然数时都是正确的.（图1）（图2）（图3）2.4 什么是数学归纳法在上一部分, 我们把一个与自然数有关的命题写成一个命题长蛇阵, 然后依次来证明, 这种方法显然给人一种繁琐的感觉. 但是我们可以看到, 从命题2开始, 命题长蛇阵中的每一个命题都是在前一个命题成立的基础上被证明的, 并且证明的方式很类似. 也就是说, 命题1k+是在命题k成立的基础上被证明的. 因此我们处理长蛇阵的方法可以改用以下两步：1.证明命题1成立;2.根据命题k成立, 推出命题1k+成立. 这样根据第二步可知以后每个命题都成立. 可见, 有这两步已经足够了. 如果把命题长蛇阵里的一个命题比作一块骨牌, 那么第二步就像把这些骨牌统统摆到了能产生“多米诺”现象的位置, 第一步恰如用手指轻轻地推倒了第一块骨牌. 仅用这两步就可以使命题长蛇阵中的每一个命题一个接一个的自动证明.一般来说, 一个与自然数n有关的命题可以看成是一个命题长蛇阵. 1n=时为命题1, 2n=时为命题2, 依次类推. 因此, 在证明一个与自然数有关的命题时, 可以采用以下两步：()1证明1n=时命题成立；()2证明：如果n k=时命题成立, 那么1n k=+时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法. 这种方法也可以概括为：“1对；假设n对, 那么1n+也对”. 这种概括是著名数学家华罗庚提出来的.2.5 数学归纳法的历史与原理在前面的论述中我们从游戏入手已经基本理解了数学归纳法的基本思想和主要步骤, 那么什么事保证数学归纳法的正确性呢？数学归纳法的背景是什么呢？在这里我们简要地介绍一下数学归纳法的理论背景.意大利有一个数学家, 名叫皮亚诺(C·Peano, 1858～1932, 意大利), 他总结了自然数的有关性质, 并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理, 后人称为“皮亚诺公理”.()1 1是一个自然数；()2 1不是任何其他自然数的后继；()3每个自然数的后继是自然数；()4若两个自然数的后继相等, 则这两个自然数也相等；()5（归纳公理）自然数的某个集合若含有1, 而且如果含一个自然数就一定含有这个自然数的后继, 那么这个集合含全体自然数.其中公理5被称为归纳公理, 是数学归纳法的逻辑基础．自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性, 所以也可以把数学归纳法当作公理来看待. 所谓公理不是已知数学理论的逻辑推理的产物, 而是未经证明的产物, 其承认的的根据是生活实践.3 第一数学归纳法第一步：当1n =时, 等式成立;第二步：假设当n k =时, 这个等式是成立；也就是假设3.1 第一数学归纳法的步骤及其误区下面我们具体论述第一数学归纳法的步骤.设()P n 是一个含有自然数n 的命题, 利用第一数学归纳法的证明步骤是： 验证00(1)n n n =≥时()P n 成立;假设0()n k k n =≥时()P k 成立, 能推出1n k =+时(1)P k +也成立.根据（1）、（2）知, 对一切自然数0()n n n ≥,()P n 成立.第一数学归纳法的第一个步骤是奠基, 是命题论证的基础；第二个步骤是归纳, 是命题的正确性能够由特殊递推到一般的依据. 这两个步骤密切相关, 缺一不可. 如果只有奠基步骤而没有归纳步骤则属于不完全归纳法, 因而论断的普遍性是不可靠的. 如果只有归纳步骤而没有奠基步骤, 则归纳的假设就失去了依据, 从而是归纳法步骤的证明失去意义. 甚至会导致一些错误. 下面我们来看几个例子.误区一：忽略了归纳奠基的必要性.例1 试证明(1)12312n n n +++++=+. 错证：假设n k =时等式成立, 即(1)12312k k k +++++=+, 当1n k =+时.1231k k ++++++(1)112k k k +=+++(1)(2)12k k ++=+ 则1n k =+时等式成立. 根据数学归纳法原理可知, 当n 是任意自然数时, 等式都成立.事实上我们知道这个题目本身就是错的, 但是我们竟然把错误的结论“证明”出来了, 此种怪现象出现的原因, 就是缺乏归纳奠基这一步.切莫以为归纳基础这一步就是“当1n =时命题正确”这么一句话, 似乎无关紧要, 可有可无. 从上例可以看出, 不去认真的验证这一步, 或者根本没有这一步, 都可能陷入错误之中.误区二：忽略了归纳递推的必要性例2 求证:22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ 错证：当1n =时, 得21112316=⨯⨯⨯=；这时等式成立. 假设n k =时, 这个等式成立；也就是说假设22221123(1)(21)6k k k k ++++=++. 当1n k =+时, 222221123(1)(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k ++++++=+++++ 而 11(1)[(1)1][2(1)1](1)(2)(23)66k k k k k k +++++=+++ 所以222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++ 也就是说, 当1n k =+时, 这个等式也是成立的.归纳步骤完成, 结论成立. 乍看起来, 上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤, 特别是也有了第二个步骤, 但事实上, 在证明等式222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++ 的过程中根本没有用到22221123(1)(21)6k k k k ++++=++这个式子. 所谓从“k ”到“1k +”的过程, 意思是必须把“n k =”时的命题, 当作已经给定的条件（假设）, 在这个基础上来证明“1n k =+”时的命题.上面这个证明的过程中, 只不过是把要证明的公式加以“注解”而已, 等于什么也没有做.正确的证法应该是：22221123(1)(21)6k k k k ++++=++ 在这个等式两边都加上2(1)k +,得2222221123(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=+++ 而 21(1)(21)(1)6k k k k ++++ 1(1)[(21)(1)]6k k k k =++++ 21(1)[266]6k k k k =++++ 21(1)[276]6k k k =+++ 1(1)(2)(23)6k k k =+++. 所以 222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++. 这就是说, 当1n k =+时, 这个等式是成立的.归纳步骤完成, 就可以断定, 对于任何自然数n , 这个等式都能成立. 误区三：忽略了归纳递推与归纳奠基之间的协同配合例3 试证任何n 个人都一样高.错证：当1n =时, 命题变成“任何一个人都一样高”, 结论显然成立. 设n k =时, 结论成立, 即“任何k 个人都一样高”, 那么, 当1n k =+时将1k +个人记为121,,,k k A A A A +,由归纳假设, 12,,,k A A A 都一样高, 而23,,A A 1,k k A A +也都一样高,故121,,,k k A A A A +都一样高. 根据数学归纳法原理, 任何人都一样高.显然, 例题3的题目是错误的, 但是错证中数学归纳法的步骤齐全, 这次的问题出在什么地方呢？我们注意到在上述归纳推理步骤中, 有一个步骤是这样的：“由归纳假设, 12,,,k A A A 都一样高, 而231,,,k k A A A A +也都一样高,故121,,,k k A A A A +都一样高. ”仔细推敲, 不难发现, 这个推理只有在2k ≥时才能成立, 而在1k =时不成立. 这就是说, 尽管由2n k =≥时命题成立, 可以推出1n k =+时命题也成立, 但是由1n =时命题成立, 不可能推倒出2n =时命题成立. 此例中显然还需要“2n =时命题成立”作为它的归纳奠基, 这显然是不会成立的. 这道题问题就出在归纳递推步骤与归纳奠基的协同配合.上面举的几类错误地应用数学归纳法的例子, 实际上通过这些例子说明了应用数学归纳法应当注意的地方. 让大家明白数学归纳法的两个步骤是密切联系、缺一不可的.3.2 数学归纳法的应用在上一部分我们说明了数学归纳法的步骤及误区, 并且我们可以知道数学归纳法是一些涉及自然数的论断, 我们可能会这样问：“是不是涉及自然数的论断都可以用数学归纳法呢？或者什么时候用数学归纳法呢？”这个问题较难回答, 主要是决定于问题的具体情况.例如, 要证明对于任意自然数n , 等式2(3)(1)23n n n n +-=+-成立. 我们可以直接计算左边式子而得到证明. 又如, 如果a b <,,a b 都是自然数, 要证明对于任意自然数n , 有a a n b b n+<+. 这里, 我们可以利用分数的基本性质, 通过计算来证明这个不等式成立. 像这类问题就不必用数学归纳法.但是对于那些无法直接计算而必须按从小到大的顺序逐步计算的式子, 要证明这些论断的正确性, 一般需要应用数学归纳法. 运用数学归纳法, 可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.下面说明数学归纳法在一些数学问题中的应用3.2.1 用归纳法证明代数恒等式例4 (全国高考试题)证明下列恒等式Ⅲ：()()()()()()22222212233445212221143n n n n n n n ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--+=-++⎣⎦证明：当1n =时, 左边=22122341814⨯-⨯=-=-；右边()()11141314=-+⨯+=-. 等式成立.假设当n k =时等式成立, 即()()()()()()22222212233445212221143k k k k k k k ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--+=-++⎣⎦当1n k =+时,()()()()()()()()222222221223344521222121222223k k k k k k k k ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--++⎣⎦⎡⎤++-++⎣⎦()()()()()()2214321222223k k k k k k k ⎡⎤=-+++++-++⎣⎦()()()()()()214321221123k k k k k k k ⎡⎤=-++++++-+⎣⎦()()()()1432167k k k k k =-++-++()()2141514k k k =-+++ ()()()1247k k k =-+++()()()111413k k k =-+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦说明当1n k =+时等式也成立, 恒等式对任何正整数n 都成立.3.2.2 用归纳法证明不等式例5 设01n a <<, 用数学归纳法证：()()()12121111n n a a a a a a --->----证明：当1,2n =时, 101a <<, 201a <<, ()()121212111a a a a a a --=---, 所以()()1212111a a a a -->--,假设n k =时, ()()()12121111k k a a a a a a --->----成立．证明1n k =+时, ()()()()()()()12112112112112111111111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++---->-----=-----++++>----- 也成立. 所以原命题成立.3.2.3 用数学归纳法解决整除问题运用数学归纳法来证明整除问题, 是充分运用整除的性质, 即：/,/h f h g 则/h f g +.例6 证明22633n n n +++能被11整除.证明：当n=l 时, 22633n n n +++=2363366++=能被ll 整除.假设n k =时, 22633k k k +++能被ll 整除.则当1n k =+时,()()()()2112122222226333663333366363333363333366333333k k k k k kk k k k k k k k k k ++++++++++=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=++-+由于22633k k k +++能被1l 整除, ()23333k k ++能整除ll,所以()()222366333333k k k k k ++++-+能整除ll .即当1n k =+时命题也成立. 根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切n N *∈成立.3.2.4 运用数学归纳法证明与数列有关的命题例7 设数列{}n a 的前n 项和为nS , 若对于所有的自然数n , 都有()12n n n a a S +=, 证明：{}n a 是等差数列.分析：要证明{}n a 是等差数列, 可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式, 即证：()11n a a n d =+-. 命题与n 有关, 考虑是否可以用数学归纳法进行证明.证明：设21a a d -=, 猜测()11n a a n d =+-.当1n =时, 1n a a =, 当1n =时猜测正确.当2n =时, ()11221a d a d a +-=+=,当2n =时猜测正确假设当()2n k k =≥()2n k k =≥时, 猜测正确, 即：()11k a a k d =+-.当1n k =+时,()()()11111122k k k k k k a a k a a a S S ++++++=-=- 将()11k a a k d =+-代入上式, 得()()()11112121k k a k a a ka k k d ++=++---整理得()()()11111k k a k a k k d +-=-+-因为2k ≥, 所以11k a a kd +=+, 即1n k =+时猜测正确.综上所述, 对所有的自然数n , 都有()11n a a n d =+-,从而{}n a 是等差数列. 评注：将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n 成立的问题.在证明过程中a 的得出是本题解答的关键. 利用已知的等式()12n n n a a S +=,数列中通项与前n 项和的关系11k k k a S S ++=-建立含a 的方程, 代人假设成立的式子()11k a a k d =+-解出1k a +. 另外, 不能忽视验证1n =、2n =的正确性,本题 用数学归纳法证明时递推的基础是2n =时等式成立,因为()()1111k k a k a +-=-+ ()1k k d -得到11k a a kd +=+的条件是2k ≥.3.2.5 用数学归纳法证明几何问题例8 平面内有n 个圆, 其中每两个圆都相交于两点, 且每三个圆都不相交于同一点. 求证：这n 个圆把平面分成22n n -+个部分.证明：当1n =时, 一个圆把平面分成两部分, 21122-+=, 命题成立. 假设当n k = 时命题成立, 即k 个圆把平面分成22k k -+.当1n k =+时．这1k +个圆中的k 个圆把平面分成22k k -+个部分, 第1k +个圆被前k 个圆分成2k 条弧, 每条弧把它所在部分分成了两个部分, 这时共增加了2k 个部分．即1k +个圆把平面分成()()()2222112k k k k k -++=+-++ 即命题也成立.根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切n N *∈成立.从上面的一些例子可以看到, 数学归纳法在代数、几何等方面都有很广泛的应用, 当然这些例子只是九牛一毛, 例如运用数学归纳法证明三角函数的求和公式, 证明组合里的一些公式, 证明函数的各种性质, 以及在微积分行列式一些证明中的应用等等. 总之, 遇到一个涉及自然数的问题的时候, 首先我们要考虑的是, 有没有简单直接的方法来把它算出来. 如果没有简单直接的方法, 就可以用数学归纳法来试试, 至于那些从对1,2,3n =等情况递推而归纳出的结果, 它的正确性, 一般要用数学归纳法来证明.4 第一数学归纳法的技巧应用数学归纳法证题, 易陷入困境的常在第二步, 解决这个问题并无万能方法, 应该遵循的基本原则：积极创造条件, 有效利用归纳假设, 巧妙变形过渡,4.1 欲进先退若在由()P k 到()1P k +的推导过程中陷入困境, 不妨先由()1P k + 退到()P k , 然后用归纳假设再进回到()1P k +. 退的技巧有很多, 常用的有撤出、合并等.4.1.1 撤出例9 有()21n n N +∈个飞机场, 每个飞机场都有一架飞机, 各个飞机场之间的距离互不相等. 现让所有的飞机一起起飞, 飞向最近的机场降落, 求证必存在一个机场没有飞机降落.证明：当1n =时, 设3个飞机场为,,,A B C 其中BC⎪⎪<⎪AB⎪,BC AC ⎪⎪<⎪⎪,则,B C 间的飞机必定对飞. 而不管A 机场的飞机飞向B 还是飞向C , 都使A 机场无飞机降落.现假设n k =时命题成立, 当1n k =+时, 由于机场之间的距离两两不等, 必有两处机场的距离是最近的, 这两处的飞机会对飞, 不会影响其他机场. 我们将这两个机场先撤出, 由归纳假设, 剩下的21k +个机场中, 存在一个机场P 没有飞机降落, 再把撤走的机场放回, 则P 仍无飞机降落, 从而可知当1n k =+时命题成立.4.1.2 合并例10 设有2n 个球分成了许多堆, 我们可以任意选甲, 乙两堆来按照以下规则挪动：若甲堆的球数p 不少于乙堆的球数q , 则从甲堆拿q 个球放到乙堆去, 这样算挪动一次, 求证:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.证明：当1n =时, 共有2个球, 若已成一堆, 则不必挪动；若分成两堆, 则挪动一次便可成功.假设n k =时命题成立, 当1n k =+时,对于12k +个球, 若将2个粘合成1个便退到2k 个球的情况, 这种粘合要求每堆球的个数为偶数, 可讨论如下：若每堆球的个数为偶数, 则每挪动一次都挪动了偶数个球, 这样的任意一次挪动与将球两两粘合在一起挪动无本质区别, 从而等价与2k 个球的挪动, 根据归纳假设, 这是可以做到的.若存在球数为奇数的堆, 则由总球数为偶数知, 有奇数的堆数为偶数, 将它们配对先挪动一次, 于是每堆球数都为偶数, 问题可以解决.4.2 构造在用数学归纳法证明某些问题时, 从n k =到1n k =+的证明中有时需要巧妙构造.例11 对每个2n ≥, 求证存在n 个互不相等的正整数12,,n a a a ,使得()()i j i ja a a a -|+,对任意的{},1,2,,i j n i j ∈≠成立. 证明：当2n =时, 取121,2a a ==, 命题显然成立.假设n k =时命题成立, 即存在12,,k a a a 满足()()i j i j a a a a -|+,记b 为12,,k a a a 及它们每两数之差的最小公倍数,则1k +个数b ,12,,k a b a b a b +++也满足()()t t a b b a b b +-|++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,()1,2,t k =,()()()()i j i j a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤+-+⎪+++⎣⎦⎣⎦,(),1,2,i j k i j =≠,即命题对1n k =+时成立, 由数学归纳法知命题得证.上例证明中从n k =到1n k =+的过渡用到了较高的构造技巧.4.3 凑配有些问题从n k =到1n k =+证明过程中需要凑配出一些特定形式.例12 设数列n n a n =, 求证：当3n ≥时, 1n n a a +<.证明：显然, 题设数列是正数列当3n =时, 4264428a ===, 而36339a ====, 所以43a a <,原不等式成立.假设3n k =≥时, 有11k k k ++<,即 ()11k k k k ++<, ()1当1n k =+时,要证2121k k k +++<+, 即要证()()1221k k k k +++<+, ()2 由()1式两边分别乘以()12k k ++, 从而()()()()11121221k k k k k k k k k +++⎡⎤++<+<+⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 两边消去()1k k +, 得()()1221k k k k +++<+.两边开()()12k k ++次方即得2121k k k +++<+.即当1n k =+时, 原式成立.综上, 证得原命题成立.上例证明第二步若要直接将()1代入()2是困难的, 因此用凑配法, 先在()1的两边乘以()12k k ++, 问题就迎刃而解了.4.4 先猜后证有些题目的结论是不容易以下求得的, 根据特殊到一般的规律, 先从符合题意的最小基数0n n =入手, 探索0n n =, 01n n =+, …等个别特例的结果, 发现、总结其规律性. 对一般的自然数n 给出一个猜想, 再用数学归纳法论证这个猜想的正确性. 即先猜后证.例13 设列{}n a 的通项公式为()()12131,2n n a n n -=+=求数列的前n 项和的公式.解：因为 ()111121133S a -==⨯+⨯=,()212212322131823S S a -=+=+⨯+⨯==⨯,()231233222323139333S S a -=+=⨯+⨯+⨯=⨯=⨯,()3413443433241312343S S a -=+=⨯+⨯+⨯=⨯=⨯,至此, 可以猜测数列的前n 项和公式是()31,2,n n S n n == ()3下面用数学归纳法证明. 当1n =时由上述计算可知公式()3是正确的.设公式当()4n k k =≥时正确, 当1n k =+时,因为()()()111321333313k k k k k k k S S a k k k k +++=+=++=+=+⎡⎤⎣⎦故公式()3当1n k =+时也是正确的.因此, 公式()3对一切自然数n 都成立. 即()3是数列｛｝前n 项和公式. 这种求和方法——观察-归纳-证明, 实质上是一种由不完全归纳到完全归纳的方法. 由于这种方法中, n S 的形式要从1S , 2S , 3S , 4S 等几个数值中看出来, 因而对1S , 2S , 3S , 4S 等几个数值的化简式变形就成了关键, 只有待其体现了某种规律时, 才有可能猜想出n S 的形式.4.5 顺势分流假如要做一件事, 一下子做不了, 我们不妨把其中能做的那一部分分出来先做了, 然后再去做剩下的一部分. 假如用数学归纳法证题, 一下子证不出来, 我们不妨把其中能用数学归纳法的证明的那一部分分出来先证, 然后再去证明剩下的那一部分, 我们把这种方法叫做顺势分流, 即顺着数学归纳法之势, 将能做的与不能做的分开处理.例14 试证：对于一切自然数n , 都有222n n +>.分析：当1n =时结论显然成立, 设n k =时结论成立, 即222k k +>,当1n k =+时,()()()()212222212222322331k k k k k k k k k k ++-+=+---≥---=-+ 此时发现, 仅当3k ≥时,才有()212210k k ++-+≥. 这就是说, 仅当3k ≥时, 命题n=k+1成立.因此我们不得不将3n ≥的情况与2n ≤的情况分开来处理, 具体的说, 我们可以采用以下的方式证题：①直接验证2n ≤时不等式成立, 即验证1,2n n ==时不等式成立；②用数学归纳法证明3n ≥时不等式成立, 即验证“3n =时对, 假设3n k =≥时对, 推证1n k =+时成立”.命题即可得证, 证明从略.通过上述论证可以看出, 数学归纳法的论证十分的灵活多变, 要完全掌握这一方法单靠死记硬背是行不通的, 关键是要培养自己的逻辑思维能力, 把握住归纳奠基与归纳递推所展示的逻辑链, 而逻辑思维能力是一个需要毕生精力不断苦练的功夫.5 小结通过上述论证可以看出, 数学归纳法是十分有效的方法, 也是一种认识可数无限集合性质的重要方法. 使用数学归纳法进行论证, 将会更深刻的理解所 要论证的命题, 实现由有限到无限的飞跃.当然, 并非一切与自然数有关的命题的证明都一定要采用数学归纳法, 有些命题虽与自然数有关, 但不用数学归纳法也可以证明. 另外, 对于有些问题运用数学归纳法比较简便, 而另一些问题则以不用数学归纳法较为方便. 因此在具体。
浅谈数学归纳法
浅谈“数学归纳法”论文摘要：“观察—归纳—猜想—论证”的思想方法，既能发现问题，又能证明结论，还能激发学习兴趣，它是由揭露个别事物或某一对象的部分属性过渡到一般或整体的思维形式。
由于归纳推理的过程和人类认识进程的一致性，因而这种推理方法显得非常自然，容易被人接受，是认识数学真理的一个重要手段，其地位越来越重要，数学归纳法正是应用这一思想方法来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法。
本文简单总结了一下它的基本依据和证明过程，以及它两个条件的内在联系，然后回顾了一下数学归纳法的各种其他形式，在原来的基础上拓宽了对数学归纳法的认识。
最后举例说明数学归纳法的应用，其中有代数、不等式方面的证明，也有几何方面的典型例子，从中可以窥见数学归纳法的强大功能。
正文：已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。
Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：（1）递推的基础：证明当n=1时表达式成立。
（2）递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。
如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。
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编号学士学位论文浅谈数学归纳法学生姓名：***学号：***********系部：数学系专业：数学与应用数学年级：08级指导教师：***完成日期：2012 年5月10日中文摘要数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的数学证明方法.典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷序列是成立的.在数学归纳法的学习中，对数学归纳法的作用不难理解，对方法的操作步骤也不难掌握，但对其真实可靠的原因却不一定能理解到位，理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法颇为重要.首先对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证明的严密性与有效性.其次假设的利用，即如何利用假设证明当1=+时结论正确.并掌握其实质.n k关键词：数学归纳法；归纳；证明；实质IOn the mathematical inductionAbstractMathematical induction is a mathematical method of proof used to prove and natural number n is related to the correctness of the proposition. Typically used to determine an expression in the range of all natural numbers is established or used to determine the other forms in an infinite sequence is established. In the learning of mathematical induction, the role of mathematical induction is not difficult to understand the steps of the method is not difficult to grasp, but its real reason is not necessarily able to understand the place, to understand and master the "induction - guess - proof "way of thinking of this discovery is very important. First, the understanding of the principle of mathematical induction, that is to understand the mathematical induction to prove the rigor and effectiveness. Secondly, assume that the use of, namely, how to use the assumptions prove correct conclusion when n = k +1. And always keeping in mind changing them and grasp its essence.Key words：mathematical induction; induction; proof; in real termsII目录中文摘要 (I)ABSTRACT ............................................................................................................. I I 目录 . (III)引言 (1)1.归纳法及数学归纳法的定义及思想方法 (2)1.1归纳法 (2)1.1.1归纳法的定义 (2)1.1.2归纳法的特点 (2)1.1.3归纳法的思想方法 (2)1.2数学归纳法 (3)1.2.1数学归纳法的定义 (3)1.2.2数学归纳法的思想方法 (3)2.数学归纳法的理论依据及表现形式 (5)2.1数学归纳法的理论依据 (5)2.1.1理论依据 (5)2.2数学归纳法的表现形式 (6)2.2.1第一数学归纳法 (6)2.2.2第二数学归纳法 (6)2.2.3反向归纳法 (7)2.2.4螺旋式归纳法 (7)3.第一数学归纳法与第二数学归纳法的联系与区别 (7)4.数学归纳法在中学数学代数及几何方面的应用 (9)4.1 数学归纳法在初等代数中的应用 (9)4.2数学归纳法在几何方面的应用 (11)5.数学归纳法在应用时易错分析及做题技巧 (12)5.1易错分析 (12)5.2做题技巧 (13)III结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (16)IV引言数学归纳法是一种重要的数学思想方法，学习数学归纳法就得具备以下两个条件：当1n=的时候，这个命题是正确的.当n k=时，这个命题也是正确的.那么当+1=的时候，这个命题是否也是正确的.抽象的进行数学归纳.首先我n k们要了解归纳法与数学归纳法的思想，通过思想来解决实际问题.我们在中学阶段所学习的比较浅显，对此需要进行整理疏通总结其实质.数学归纳法有各种各样的表达形式，我们在做题的时候选哪一个会比较方便.各种形式之间有什么联系与区别，对第一数学归纳法和第二数学归纳法要着重掌握，要学以致用其思想.了解数学归纳法在中学代数及几何问题方便的应用，在应用数学归纳法时所需的一些问题进行整理.更深刻总结数学归纳法的重难点及解题技巧，选取典型例题来体现这一思想，抓住其最基本的步骤并掌握数学归纳法的证明方法.11.归纳法及数学归纳法的定义及思想方法1.1归纳法1.1.1归纳法的定义归纳论证是一种由个别到一般的论证方法.它通过许多个别的事例或分论点，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论.1.1.2归纳法的特点（1）归纳法是根据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论，超越了前提所包含的内容.（2）归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象，因而结论具有猜测的性质.（3）归纳法的前提是单个事实、特殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.1.1.3归纳法的思想方法归纳推理是从特殊性到一般的认识过程.归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的认识，而结论则是关于该类事物或想象的普遍性认识.归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所给定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的.也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理.归纳推理只告诉我们在给定的经验性证据基础上怎样的结论才是可能的，并不能具体的帮助我们解决数学问题.例如（1）冰是冷的.推断出普遍的命题如：所有冰都是冷的.或：在太阳下没有冰.（2）比如在我们买葡萄的时候就用了归纳法，我们往往先尝一尝，如果都很甜，就归纳出所有的葡萄都很甜的，就放心的买上一大串.传统上，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和23不完全推理.完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象.并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理.1.2数学归纳法1.2.1数学归纳法的定义数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立.1.2.2数学归纳法的思想方法（1）.数学归纳法中的归纳思想对于一个与自然数有关的命题()P n ，数学归纳法将命题()P n 理解为一系列问题：(1)P ,(2)P ,(3)P ,,即()P n ={}∈P(n)|n N .然后有命题(1)P ,(2)P ,(3)P ,都成立去下决定“命题()P n 成立”，为数学归纳法中的归纳思想.所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理.命题()P n 是一般的、整体的，而命题(1)P ,(2)P ,(3)P ,中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题(1)P ,(2)P ,(3)P ,都成立去概括得出命题()P n 成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）.（2）数学归纳法中的递推思想在数学归纳法中，除了命题(1)P 是直接证明以外，我们通常不直接去证明命题(2)P ,(3)P ,成立（除非有必要），而是采取了递推的思想.(1)()(1)p p k p k ⇒+}⇒ (2)P , (2)()(1)p p k p k ⇒+}⇒(3)P ,如此循环往复递推，命题(2)P ,(3)P ,都成立.4简单地说就是，由(1)P 推得(2)P ，由(2)P 推得, (3)P ，即(1)P ⇒ (2)P ⇒ (3)P ,.这个过程类似于多米诺骨牌，其中归纳递推：()P k ⇒(1)P k +起着至关重要的作用，正因为如此，在用数学归纳法证明命题时，有一点是不可回避的，即找出命题()P k 与命题(1)P k +的联系.（3）数学归纳法中的无穷思想证明与自然数有关的命题的数学归纳法，几乎就是数学归纳法公理的“直译”.因此，数学归纳法的正确性的依据就是“自然数公理”.正是自然数既存在“最小的一个起始数”又是“一个接一个的、有序的排着”，所以由归纳与归纳递推构成的“反复递推”得以遍及“所有的自然数”，从而实现从有限到无限的跨越.（4）数学归纳法中的模式思想所谓模式，其实就是解决某一类问题的方法论，当你把解决某类问题的方法总结归纳到理论高度，那就是模式.对于无穷命题序列：(1)P ,(2)P ,(3)P ,，如果逐个的去考察命题(1)P ,(2)P ,(3)P ,等，那就是“没完没了”的事情，如果具体的去看(1)P ⇒ (2)P 、(2)P ⇒ (3)P 等等，也解决不了问题.数学归纳法为我们提供了一种模式：()P k ⇒(1)P k +，说出来就是：只要有前一个，就必然有后一个.为什么模式()P k ⇒(1)P k +能解决无穷命题序列：(1)P ,(2)P ,(3)P ,问题呢？这是自然数的结构所决定的，通俗的讲，自然数从1开始，每个自然数都有唯一的一个后继数，直至无穷，而且全体自然数都在其中.因而所有自然数可以有序的排成一列：1,2,3自然数的这种单向、有序、可数的结构特点，被模式()P k ⇒(1)P k +尽数概括.5 2.数学归纳法的理论依据及表现形式2.1数学归纳法的理论依据2.1.1理论依据（1）理论依据是自然数的皮亚诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中一条叫做归纳定理：“如果某一正整数的集合M 含有1，而且只要M 含有正整数K ，就一定含有K 后面紧挨着的那个正整数1K +，那么M 就是正整数集本身.”现设()P n 是一个与正整数n 有关的命题，用M 表示使()P n 成立的正整数的集合.由数学归纳法的第一个步骤，可知命题(1)P 成立，所以M 含有1.再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n k =时命题()P k 成立后，可以推出+1n k =时命题(1)P k +也成立；换句话说，只要M 含有正整数K ，就一定含有K 后面紧挨着的那个正整数1k +.因此根据归纳公理，M 就是正整数集本身，即命题()P n 对于所有正整数都成立.（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可.1. 当1n =时,这个命题是正确的.2.假设n k =时，这个命题是正确的，那么当1n k =+时，这个命题也事正确的.（3） 根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是 1.也可能是2,3等（有时还可能取n =0或﹣1等）要切实理解命题()P n 中的正整数n 在各种实际问题中代表什么.（4） 在完成第二个步骤时，要运用命题()P k 成立这一归纳假定，去推导命题(1)P k +也成立.不能离开()P k 成立这一条件，用其他方法导出(1)P k +成立6的结果，因为这样就看不出()P k 成立到(1)P k +成立这一递推关系了.2.2数学归纳法的表现形式2.2.1第一数学归纳法定义：在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）当1n =时命题成立（2）假设n k =时命题成立（3）若能证明1n k =+时命题也成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠∅，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,因为命题对于1n =时成立，所以a ≠1，1a >，从而1a -是个正整数，又由于条件（3）当n a =也成立.因此a S ∉，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕.在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将1n =换成n c =即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c 时命题成立（2）归纳假设：假设n k =时命题成立（3）归纳递推;由归纳假设推出1n k =+时命题也成立.2.2.2第二数学归纳法第二数学归纳法与第一数学归纳法时等价的，在有些情况下，由归纳法“假设n k =时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立，不仅依赖()P k 成立，而且依赖于前面各步成立.这时一般要选用第二数学归纳法.第二数学归纳法原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）当1n =时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时（3）若能证明1n k =+时命题也成立，则这个命题对于一切正整数n 都成立其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方就不重复了.第二数学归纳法可概括为一下三步：7（1）归纳基础：证明1n =时命题成立（2）归纳假设：假设n k ≤时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出1n k =+时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.2.2.3反向归纳法反向归纳法是数学家柯西最先使用的，原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）命题()P n 对于无限多个正整数n 成立（2）假设n k =时命题成立（3）若能证明1n k =-时命题也成立，则这个命题对一切正整数n 都成立.2.2.4螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题()P n ，()Q n ，（1）验证0n n =时()P n 成立；（2）假设()P k 0()k n >成立，能推出()Q k 成立，假设()Q k 成立，能推出(1)P k +成立；综合（1）（2），对一切自然数n 0()n n ≥, ()P n ，()Q n 都成立.3.第一数学归纳法与第二数学归纳法的联系与区别第一数学归纳法（简称“一归”）和第二数学归纳法（简称“二归”）的关系，指出“一归”和“二归”是等效的，并加以证明.设N 表示全体自然数集合；()P n 表示含有自然数n 的一个命题；“A B ⇔”表示A 和B 互为充要条件；对“∀”表示“任意的”或“所有的”；“ ∃”表示“有一个”“存在一个”.所谓“一归”是指，对∀一个()P n ：（1） 当1n =时，验证(1)P 真；8（2） 若当n k =时，()P k 真，证明当1n k =+时，(1)P k +真.从而断定对∀n N ∈，()P n 都真.所谓“二归”是指，对∀一个()P n ：（1） 当1n =时，验证(1)P 真；（2） 若对n k ≤时，()P n 都真即(1)P ,(2)P ,(3)P ,，()P k 都真，来证明当1n k =+时，(1)P k +真.从而断定∀n N ∈，()P n 对都真.“一归”和“二归”都是数学证明方法，这是可以从理论上加以严格证明的，现在着重谈一下它们之间的关系.实际上“一归”和“二归”是等效的，即“一归”证明的()P n 可以用“二归”证明，反之亦然.下面就从理论上来证明上面的结论.定理一 设∀个()P n ，()P n 能用“一归”证明真⇔()P n 能用“二归” 证明真.证明 必要性（⇒）.先分析一下如何证明证明.对()P n 下面的“一归”的条件都成立，即（1）当1n =时，(1)P 真；（2）若当n k =时，()P k 真，则当1n k =+时，(1)P k +真.这是已知条件，来证明“二归”的条件（1）（2）对()P n 真.事实上，“一归”和“二归”的条件（1）是相同的，只须证明“二归”的条件（2）对()P n 也真即可，也即证明：若对n k ≤时，()P k 真，则当1n k =+时，(1)P k +真即可.事实上，因为当n k ≤时，()P n 真，即(1)P ,(2)P ,(3)P ,，()P k 都真，所以特别当n k =时，()P k 真.由“一归”条件（2）对()P n 成立，故(1)P k +真.所以若当n k ≤时，()P n 真，则当1n k =+时，(1)P k +真.所以“二归”的条件（1）（2）对()P n 都真，故()P n 能用“二归”证明真.9充分性（⇐）.由“二归”的条件（1）（2）对()P n 成立来证明“一归”的条件（1）（2）对()P n 也成立.因它们的条件（1）相同，只须证明：若当n k ≤时，()P k 真，能推出(1)P k +真时，则若()P k 真，能推出(1)P k +真即可.用反证法来证明.事实上，若由()P k 真推出(1)P k +真不能对∀k N ∈ 都成立，则∃0k N ∈,使得由0()P k 真推不出0(1)P k +真.N 中这样的0k 组成一个非空的自然数的集合0N ，由最小数原理（任意非空的自然数的集合中都有一个最小数）知，0N 中有一个最小数，设为0m 因为“二归”的条件（1）（2）对()P n 真，所以对∀n N ∈ ，当n m <时()P n 真可以推出(1)P n +真（这里n m <的n 是存在的，因为“二归”的条件知(1)P 真，故(2)P 真，所以1m ≠）所以(1)P ,(2)P ,(3)P ,，(1)P m -都真故由“二归”的条件（2）知()P m 真，因而(1)P ,(2)P ,(3)P ,，(1)P m -()P m 都真.再由“二归”的条件（2）知(1)P m +真，所以m 不属于0N .这与0m N ∈矛盾.因此，0N 中不能有最小数m ，即0N 是空集.所以对∀k N ∈ ，由()P k 真都能推出(1)P k +真.由“一归”的条件（1）（2）知对()P n 真，所以()P n 能用“一归”证明真.4.数学归纳法在中学数学代数及几何方面的应用4.1 数学归纳法在初等代数中的应用例1 求证：35()n n n N ++∈能被6整除证明：（1）当1n =时，31516+⨯=能被6整除，命题成立10（2）假设n k =时，命题成立，即35k k +能被6整除当1n k =+时，有332(1)5(1)(331)(55)k k k k k k +++=+++++ 3(5)3(1)6k k k k =++++ 因为两个连续的正整数的乘积(1)k k +是偶数，所以3(1)k k +能被6整除则3(5)3(1)6k k k k ++++能被6整除，即当1n k =+时命题也成立 综上所述，对一切正整数n 命题都成立.例2 是否存在正整数m ，使得()(27)39n f n n =+⨯+对任意自然数n 都能被m 整除？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.证明：由()(27)39n f n n =+⨯+，得(1)36f =，(2)336f =⨯,(3)1036f =⨯，(4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明：（1） 当1n =时，显然成立.（2） 假设n k =时，()f k 能被36整除，即()(27)39k f k k =+⨯+能被36整除； 当1n k =+时，[]112(1)7393(27)3918(31)k k k k k +-⎡⎤++⨯+=+⨯++-⎣⎦,由于131k --是2的倍数，故118(31)k -- 能被36整除.这就是说，当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有()(27)39n f n n =+⨯+能被36整除，m 的最大值为36.例3 试证：当1n >时，有：1!()2n n n +<11证明: （1）当2n =时，2392!()24<=，所以原不等式成立. （2）假设n k =时，1!()2k k k +<不等式成立. 那么：1(1)!!(1)()(1)2k k k k k k ++=+<+如果能证明： (1)12()(1)()22k k k k k ++++<【1】则原不等式当1n k =+时，就成立了. 现在来证明【1】式，将它改写一下，即证(1)12(1)1k k +<++但由二项式定理，确有(1)11(1)1(1)211k k k k ++=+++>++于是【1】式成立，依数学归纳法，原不等式当1n >时成立.4.2数学归纳法在几何方面的应用例4 求证:凸n 边形(3)n ≥个内角之和等于0180(2)n -.证明：（1）当3n =时，凸n 边形就是三角形.而三角形的三个内角和等于0180，所以命题成立.（2）假设(3)n k k =>时命题成立.也就是说假设凸k 边形时其内角之和等于0180(2)n -.现在要证明凸1k +边形时，其内角之和等于[]0180(1)2k +-.事实上，当1n k =+时，这时的凸n 边形就是凸1k +边形.我们可以任选定其一个顶点，过这个顶点的两个顶点作凸1k +边形的一条对角线.在这条对角线的两侧一边是三角形，另一侧是一个凸k 边形.则凸1k +边形的内角之和恰好等于这个三角形的内角之和（已知三角形的三个内角和等于0180）加上这个凸k 边形的内角之和（已设凸k 边形的内角之和为0180(2))k -的总和.12所以有凸1k +边形的内角之和[]0000180180(2)180(12)180(1)2n k k +-=+-=+-.这就证明了，当1n k =+时，命题成立.所以，凸n 边形(3)n ≥个内角之和等于0180(2)n -.例5 平面上有n 个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证这n个圆分平面为22n n -+个部分.证明: （1）当1n =时，221122n n -+=-+=,而一个圆把平面分成两部分，所以1n =时命题成立.（2）设当n k =时，命题成立，即k 个圆分平面为22k k -+个部分，则1n k =+时，第1k +个圆与前k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点把第1k +个圆分成2k 段，每一段把原来的所在平面一分为二，故共增加了2k 个平面块，共有2222(1)(1)2k k k k k -++=+-++个部分.所以 当1n k =+时，命题也成立.所以平面上有n 个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，这n 个圆分平面为22n n -+个部分.5.数学归纳法在应用时易错分析及做题技巧5.1易错分析Ⅰ 在数学归纳法使用过程中的两步都是必不可少的，否则，就会在没有验证第一步的情况下，而得出错误的结论的问题.例如：数学归纳法证明：224621n n n ++++=++ 假设当n k =时，等式成立，当1n k =+时，224622(1)(1)(1)1n n n n ++++++=++++，验证等式也成立，从而得出对任何自然数等式成立的结论，但是当1n =时，左边等于2，右边等于3，命题不成立.Ⅱ在应用第一数学归纳法时，只第一步骤而无第二步骤的归纳证明可能导致错误的结论.例在函数2()17f n n n=++中，由(1)19f=,(2)23f=，(3)29f=,,(15)257f=等都是质数，便说：“n为任何自然数时2()17f n n n=++的值都是质数”便是错误的，因为：22(16)16161716(161)1717(161)17289f=++=++=+==就不是质数，如果缺少了第二步，则不论对于多少个自然数来验证命题()T n的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确.例如：歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第二步归纳递推，所以仍只停留在归纳的第一步，至今只是个猜想而已.第二步在证明(1)T n+为真时，一定要用到归纳假设，即要由()T n为真，推出(1)T n+为真.Ⅲ并不是凡与自然数相关的命题()T n都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明.5.2做题技巧1.用数学归纳法证明某些与自然数有关的数学命题，在不易证得或不能直接证得时，可以适当的选择另一个与原命题相关的命题以便比较地推证.2.运用数学归纳法要注意充分利用（即可多次使用）归纳假设.3.某些与自然数n有特殊关系的命题在用数学归纳法证明中要注意好这种特殊关系.13结束语用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.运用数学归纳法可以证明许多数学问题.既可以开阔眼界，又可以受到推理论证的训练.对于一些用常规的分析综合法不好证明的题，用数学归纳法往往会得到一些意想不到的效果.在现代数学，特别是高等数学中，数学归纳法未来的发展是十分有前景的，它不仅仅使数学问题的解决变得简单化、规范化，也使我们更容易在解决这些数学问题时轻而易举的观察到在这些数学问题中的普遍规律.14参考文献[1] 华罗庚.数学归纳法[M].北京科学出版社,2002-12-15.[2] 王力,张宇.数学归纳法的教学[J].初等数学研究.2007,23（9）120-123.[3] 王仲春,李元中,顾莉雪,孙名符.数学思维与数学方法论[M].高等教育出版社.2001-6-3.[4] 郑文祥.第一、第二数学归纳法之间的关系[J].2002,25(5)34-35.[5] 蒋文蔚,杨延龄.数学归纳法[M].北京师范大学出版社,1985.[6] 张明志,数学归纳法[J].四川教育出版社,1985.[7] 韩文.例析数学归纳法的应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报.2006,6.[8] 张先打.数学归纳法在中学数学中的应用[M].150301.[9] 乌仁.浅谈数学归纳法的两个步骤及其应用[M].赤峰学院学报.2007,6.[10] 武瑞雪.数学归纳法应用技巧及常见误区剖析[J].语数外学习（高中版）.2007,11.15学士学位论文BACHELOR ’S THESIS致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文完成.在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍.毕业论文能够顺利完成，并非我一人的功劳，是在我的指导老师对我的教诲和我的同学帮助和鼓励的结果.在这里我要对他们表示最诚挚的谢意！感谢我的指导老师—王卫东老师.是您对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进.没有您的悉心指导就没有这篇论文的成功.王老师教会我什么是论文，论文应该怎样写具体的格式怎样操作，要做哪些准备工作等等.花费了老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心的感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将是我受益终生！感谢班主任王亚君老师，感谢所有教授过我课程的喀什师范学院的老师们，是你们诲人不倦才有了现在的我.感谢这篇文章所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！16。