吉林省吉林市普通中学2021届高三数学第二次调研测试(1月)试题 理.doc
2021届吉林省吉林市高三上学期数学理第二次调研测试题答案
2021届吉林省吉林市高三上学期数学理第二次调研测试题答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 13.5 14. 35- 16. 内心 (2分)，（3分） 17．【解析】（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，因为354a a +=，所以2=d ......................1分又13-a 是12-a 和14+a 的等比中项，有)1)(1()1(4223+-=-a a a ...............2分 即)7)(1()3(1121++=+a a a ，得11=a .........................................4分12)1(1-=-+=n d n a a n ，所以数列}{n a 的通项公式12-=n a n .................5分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ...........................7分12)1211(21)12112171515131311(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21321+=+-=+--++-+-+-=+--++-+-+-=++++=n n n n n n n b b b b T n n ...................10分18.【解析】（1）∵(sin ,1)m A =-，(s ,1)n co B =，且m 与n 平行．∴sin cos 0A B += ...................................................1分 ∴sin cos cos()cos cos sin sin A B A C A C A C =-=+=-6C π=sin A A ∴=...........................................................3分 tan 3A ∴=分 (0,)A π∈，6A π∴=........................................................6分（2）设BD x =，则4BC x =......................................................7分由（1）知，6A C π==，4AB BC x ∴==，23B π=.............................9分在ABD ∆中，由余弦定理知，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅ 即222211624cos3x x x x π=+-⨯⨯⨯，解得1x =................................10分 4AB BC ∴==..............................................................11分所以1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅1244sin 23π=⨯⨯⨯=分19.【解析】（Ⅰ）PAB ∆ 为正三角形，且O 为AB 中点，AB PO ⊥∴...........................1分平面⊥PAB 平面ABCD⊂PO 平面PAB ..............................................................2分平面 PAB 平面AB ABCD =.................................................3分⊥∴PO 平面ABCD ..........................................................4分（2）取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，O 为AB 中点,∴AB OE ⊥,由（Ⅰ）知，⊥PO 平面ABCD ，所以以O 为原点，以OP OE OA ,,的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系xyz O -.................................................6分2=AB∴)3,0,0(P ，)0,2,1(C ，)0,0,0(O ，)0,2,1(-D ∴)3,2,1(-=PC ,)3,0,0(=OP ,)0,2,1(-=OD设平面POD 法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅0203y x OD n z OP n ，取1=y ,得)0,1,2(=n ...............................9分 5105224||||,cos =⨯=<n PC n PC n PC ...................................11分设PC 与平面POD 所成角θ，则510sin =θ所以PC 与平面POD 所成角的正弦值为510....................................12分 方法二：连接OC ，在等边三角形PAB 中2AB =， 所以3PO =...........................5分在直角三角形OBC 中1,2OB BC ==， 所以5OC =...........................6分由（1）知PO ⊥平面ABCD ，所以POC ∆与POD ∆都是直角三角形， 所以 223522PC PO OC =+=+=分11153522POD S PO OD ∆=⨯⨯==分 设C 到平面POD 的距离为h由C POD P OCD V V --=得1133PODOCD S h S PO ∆∆⨯⨯=⨯⨯ 即115123323h ⨯=⨯455h =.......................................10分 设PC 与平面POD 所成的角为θ则45105sin =22h PC θ==分 所以PC 与平面POD 所成角的正弦值为510......................................12分 20.【解析】（Ⅰ）依题意，110)028.0011.0005.0(=⨯++++a b ，故056.0=+b a ..........1分 又因为028.0=-b a ，所以014.0,042.0==b a ......................................3分 所求平均数为2.4005.06028.05042.04014.03011.020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（小时）......5分 所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为2.40小时......................6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生比例为2:328.0:42.0=................................................................7分又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生中随机抽取5人，则在)45,35[中抽取3人，分别记为c b a ,,，在)55,45[中抽取2人，分别记为N M ,,.........8分则从5人中随机抽取2人的基本事件有),,(),,(),,(),,(N a M a c a b a ),,(),,(),,(N b M b c b),(),,(),,(N M N c M c ，共10个...................................................10分这2人来自不同组的基本事件有：),,(),,(N a M a ),,(),,(N b M b ),,(),,(N c M c共6个，........................................................................11分所以所求的概率53106==P .......................................................12分 解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生比例为2:328.0:42.0=，................................................................7分 又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生中随机抽取5人，则在)45,35[中抽取3人，在)55,45[中抽取2人，..........................................8分则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为1025=C ...................................10分这2人来自不同组的基本事件数为61213=C C .........................................11分 所以所求的概率53106==P ......................................................12分 21【解析】（1）由椭圆的定义知12PF F ∆的周长为22a c +，所以226a c +=.......................1分又因为椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =，.................................2分 联立解得2,1a c ==，所以b ==..................................3分因此所求的椭圆方程为22143x y +=..............................................4分 （2）设1122(,),(,)M x y N x y当直线l 的斜率k 存在时，设直线方程为(1)y k x =+，.......................5分联立22143x y+=消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=..................6分 则221212228412,3434k k x x x x k k--+==++......................................7分 因为 1212211212(1)(+4)(1)(+4)+4+4(+4)(+4)QM QN y y k x x k x x k k x x x x ++++=+= 1212121225()84()16kx x k x x kx x x x +++=+++................8分222222228244083434=0412********k k k k k k k k k--+++=⋅--+++.............9分 所以QM QN k k +为定值，这个定值为0......................................10分当直线l 与x 轴垂直时，也有0QM QN k k +=.................................11分所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.............................12分方法二：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程为1x my =-................5分联立22143x y +=消去x 得22(3m 4)y 690my +--=.........................6分则12122269,y 3434m y y y m m -+==++......................................7分 因为 12121212+4+433QM QN y y y y k k x x my my +=+=+++ 12122121223(y )3(y )9my y y m y y m y ++=+++.................8分22222218183434=091893434m mm m m mm m -+++=-++++................9分所以QM QN k k +为定值，这个定值为0......................................10分 当直线l 与x 轴重合时，也有0QM QN k k +=.................................11分所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.............................12分22. 【解析】 （1）4)21(2)2(e a e ef =-=，.................................................1分 解得1=a所以函数解析式为)ln 1)(2()(x ex x f --=....................................2分 （2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞x xe x e x x xf ln 2)1)(2(ln 1)(-=--+-='..................................3分 设xx e x g x x e x g 12)(,ln 2)(2--='-=........................................4分 在),0(+∞上，0)(<'x g 恒成立所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，即)(x f '在),0(+∞上单调递减又0)(='e f ，则在),0(e 上0)(>'x f ，在),(+∞e 上0)(<'x f ..............5分所以函数)(x f 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减....................6分（3）构造函数)2()()(x e f x f x F --=，),0(e x ∈............................7分()())F x f x f x '''=+ln )x x =+-ln[)]x x =-.................................8分设)2(x e x t -=，当),0(e x ∈时，),0(e t ∈设t t e t h ln )(-=，且01)(2<--='tt e t h 可知)(t h 在),0(e 上单调递减，且0)(=e h 所以0)(>t h 在),0(e t ∈上恒成立 即0)(>'x F 在),0(e x ∈上恒成立所以)(x F y =在),0(e 上单调递增................................................9分不妨设21x x <，由（Ⅱ）知21x e x <<0)2()()()2()()(111=--=<--=e e f e f e F x e f x f x F即)2()(11x e f x f -<..........................................................10分 因为)()(21x f x f =，所以)2()(12x e f x f -< 由（Ⅱ）知)(x f 在),(+∞e 上单调递减得122x e x ->.................................................................11分所以12x x +>分。
2021届吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试 数学(理) PDF版
（I）设 bn
an 1 2n
，证明
bn
是等差数列；
（II）求数列 an 的前 n 项和 Sn .
吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试
理科数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
D
C
B
C
A
A
A
A
B
B
B
D
二、填空题
13. 3 2
三、解答题 17【解析】
(2)
因为存在
x0
[ 4
,
3 4
] ，使不等式
f
(x0 )
m
成立，所以 m
大于
f
(x)
的最小值………8
分
由 x 3 ，得 2x 7 ，
4
46
36
当 2x 7 ，即 x 3 时， f (x) 取最小值 3 1 ，
36
4
2
所以 m 3 1 ，则 m 的取值范围为 ( 3 1 ,) .……………………………………12
3 化简，得 a2 c2 ac 16 ①……………………………………………………………………8 分
因为该三角形面积为 4 3 所以 1 ac sin B 4 3 ，即 ac 16 ②…………………………………………………………10 分
2 联立①②，解得 a c 4 ………………………………………………………………………12 分
f ( x 1) f ( x 1) f (1) ，且在区间[1,0] 为减函数．则 f (3) 与 f ( 5 ) 的关系为 2
2021届吉林省吉林市普通高中高三毕业班上学期第一次调研测试数学(文)答案
所以 ,即 ②………………………………………………10分
联立①②,解得 …………………………………………………………………12分
20【解析】
（1）当 时, ....................1分
令 ,解得 , ...........................2分
+
-
+
增
的极小值为 ...........................7分
（2）依题意： ...................9分
又因为 ,所以, ,................................10分
【说明】（1）此处只使用判别式小于等于0加上a>0的不给分；
（2）若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分；
即 即无解。 所以,不存在满足条件的正实数 ...............12分
【说明】（1）此处若结算结果都正确,只结论错误,只扣1分；
（2）此处若计算结果不正切,不给分；
21.【解析】
（1）解法一：将等式 两边都减去 得 .....2分
再除以 得 ,即 ......................4分
........12分
<方法二>即 .............7分
，.........................9分
..................10分
......................................11分
.............12分
所以 ...........................10分
18【解析】（1）由题得,
2021届吉林省吉林市高三上学期第二次调研测试(1月) 英语 PDF版
★保密吉林市普通中学2020-2021学年度高中毕业年级第二次调研测试英语注意事项：1. 本次考试由四部分组成，考试时间120分钟，满分150分。
2. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号填写在答题卡指定位置。
3. 请按题号顺序在答题纸上各题目的答题区域内整洁作答，超出区域答题无效。
第一部分听力（共两节，满分 30 分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where does the man want to stay?A. In an apartment.B. In a hotel.C. In a dormitory.2. What is the man trying to tell the girl?A. To be more social.B. To be hard-working.C. To be cautious.3. How did the man know which shirt the woman likes?A. By her words.B. By her facial expressions.C. By her hand gestures.4. What is the relationship between the speakers?A. Mother and son.B. Teacher and student.C. Shopkeeper and customer.5. Which Mr. Brown is the girl’s teacher?A. The young one.B. The middle-aged one.C. The old one.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2021届吉林省吉林市普通中学高三上学期第二次调研测试数学(理)试题解析
2021届吉林省吉林市普通中学高三上学期第二次调研测试数学（理）试卷及答案一、单选题1．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，那么A B =（ ）A ．{}23x x -<< B ．{}12x x -≤<C ．{}21x x -<≤D ．{}23x x <<答案：A解题思路：根据并集的定义，直接求解. 解：{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，{}23A B x x ∴⋃=-<<.故选：A2．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-答案：C解题思路：根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解. 解：解：因为复数i （2+i ）=2i ﹣1， 故复数对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C.点评：本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.3．若()1,2,3,4,5i x i =对应数据的茎叶图如图甲所示，现将这五个数据依次从小到大输入程序框（如图乙）进行计算（其中20x =），则下列说法正确的是（ ）A ．输出的S 值是10B ．输出的S 值是2C ．该程序框图的统计意义为求这5个数据的标准差D ．该程序框图的统计意义为求这5个数据的方差 答案：A解题思路：根据程序框图计算运算结果即可得出选项. 解：由程序框图可得()()()()()222221820192020202120222010S =-+-+-+-+-=.故选：A4．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的正视图、侧视图、俯视图依次是（ ）A ．①②③B ．②①③C ．②①④D ．③①④答案：C解题思路：根据三视图的定义直接选出结果即可. 解：由三视图的定义可知：正视图为②；侧视图为①；俯视图为④. 故选：C5．已知ABC 中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C解题思路：由三角形大边对大角可知sin sin A B A B >⇔>，由cos y x =在()0,π上的单调性可得cos cos A B A B >⇔<，由此可确定结果.解：由正弦定理以及三角形大边对大角可得：sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，又(),0,A B π∈，cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B A B ∴>⇔<，即sin sin cos cos A B A B >⇔<，∴“sin sin A B >”是“cos cos A B <”成立的充分必要条件.故选：C.6．等比数列{}n a 中，147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，则{}n a 的前12项和为（ ） A ．24 B ．48C ．56D ．24或56答案：D解题思路：设等比数列{}n a 的公比为q ，根据147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，利用等比数列的性质求解.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质得：()25811147108a a a a q a a a a q +++=+++=，()369122581132a a a a q a a a a +=+++=++，所以2832q =， 解得2q =±，所以2581116a a a a +++=±，所以{}n a 的前12项和为8321656S =+±=或24， 故选：D7．圆22420x y x +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为 A ．250x y --= B ．210x y --= C ．20x y --= D ．40x y +-=答案：D解：根据圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1），得到直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程． 解：∵圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1）， ∴直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直， ∵过（3，1）的半径的斜率是1032--=1， ∴直线l 的斜率是-1，∴直线l 的方程是y-1=-（x-3） 即x+y-4=0 故选D ．8．将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移π6，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图像关于点()π,0对称 B ．函数()g x 的最小正周期为π2C ．函数()g x 的图像关于直线π6x =对称 D ．函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 答案：D解题思路：本题可根据图像变换得出()πsin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过函数()g x 关于点,06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称得出A 错误，然后根据最小正周期2T π=得出B 错误，再然后根据函数()g x 关于直线23x k ππ=+对称得出C 错误，最后根据函数()g x 在区间22,233ππk k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递增判断出D 正确.解：函数()f x 的图像向右平移π6，得到ππsin 2sin 2666y x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到()πsin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A 项：6x k ππ-=，即()6x k k Z ππ=+∈，函数()g x 的图像关于点(),06k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，A 错误； B 项：最小正周期221T ππ==，B 错误； C 项：62x k πππ-=+，即2ππ3xk k Z ，函数()g x 的图像关于直线2ππ3xk k Z 对称，C 错误；D 项：πππππ262k xk ，即π2π2π2π33k x k k Z ，函数()g x 在区间()22,2ππ33k k k Z ππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确，故选：D.点评：关键点点睛：本题考查三角函数图像变换以及正弦函数的性质，主要考查正弦函数的单调性、周期性以及对称性，考查三角函数图像的平移变换及伸缩变换，考查推理能力，是中档题. 9．人们眼中的天才之所以优秀卓越，并非是他们的天赋异禀，而是付出了持续不断的努力．一万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡，从困境走向成功的必要条件．某个学生为提高自己的数学做题准确率和速度，决定坚持每天刷题，刷题时间x 与做题正确率y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报刷题时间为6个单位的准确率为（ ） A ．72.0% B ．67.7%C ．65.5%D ．63.6%答案：C解题思路：首先根据题意得到 3.5x =，42y =，代入回归直线方程得到9.1a =，即9.49.1y x =+，再将6x =代入回归直线方程计算即可. 解：23453.54x +++==，26394954424y +++==， 因为9.4y x a =+过点()3.5,42，所以9.1a =，即回归直线方程为9.49.1y x =+. 当6x =时，9.469.165.5y =⨯+=. 故选：C10．法国机械学家莱洛（F ．Reuleaux 1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形ABC 之内（如图阴影部分）的概率是（ ）A 2π332π23--B 32π23-C 2π3-D π3-答案：B解题思路：由扇形面积公式、正三角形面积公式得：封闭曲线的面积为2(3)a S π-=型的概率公式得解．解：设正三角形的边长为a ，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为22213(3)3223a S a a ππ-=⨯⨯⨯-=，设阴影部分的面积为1S ，由几何概型中的面积型可得：此点取自正三角形ABC 之内（如图阴影部分）的概率是()12233422332S P S a ππ==-- 故选：B点评：方法点睛：几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式得解；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.11．已知函数()22cos f x x x =+，则不等式()()21f x f x -<的解集是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞C ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 答案：A解题思路：依题意得出()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[0,)+∞单调递增，进而可得结果. 解：显然2()2cos f x x x =+是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，()22sin ()f x x x g x '=-=，()22cos 0g x x '=-≥， 所以()g x 即()'f x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0f x f ''≥=， 所以()f x 在[0,)+∞单调递增，故不等式222(21)()(|21|)(||)|21|||1|21|||3410 1.3f x f x f x f x x x x x x x x -<⇔-<⇔-<⇔-<⇔-+<⇔<< 所以，不等式解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.点评：关键点点睛：本题的关键点是：依题意得出()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[0,)+∞单调递增.12．已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是（ ） A ．13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭答案：B解题思路：设FA r =，1r ≥，则14146FA FB r r -=-+，构造函数21463()66r f r r r r r-=-=++，[1,)r ∈+∞，用导数求()f r 在[1,)+∞上的取值范围即可.解：设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞， 则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =， 当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增. 所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==. 故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.点评：关键点点睛：本题的关键点是：构造函数21463()66rf r r r r r-=-=++，[1,)r ∈+∞，用导数求()f r 在[1,)+∞上的取值范围. 二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件23601330x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，则3z x y =-的最大值为______．答案：5 解：略14．已知10sin cos αα+=sin 2α=______． 答案：35解题思路：由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得结果． 解：因为10sin cos αα+=21+2sin cos 5αα=，即21sin 23α+=，得3sin 25α=-. 故答案为：35. 15．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，向量1232m e e =-，则|m =_____．解题思路：利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m 的值，进而可求得m 的值.解：根据题意，两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，则121211cos 601122e e e e ⋅=⋅=⨯⨯=， 1232m e e =-，则()222221211221329124131272m m e e e e e e ==-=-⋅+=-⨯=， 因此，7m =.点评：本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题． 三、双空题16．在三棱锥S ABC -中，6AB =，8BC =，10AC =，二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小均为45°，则三棱锥S ABC -的顶点S 在底面ABC 的射影为ABC 的______（填重心、垂心、内心、外心）．三棱锥S ABC -的外接球的半径为______．答案：内心解题思路：过S 作底面ABC 的垂线，垂直为E ，过E 分别作EF AC ⊥，EG AB ⊥，EH BC ⊥，连接SE ，SG ，SH ，则SFE ∠，SGE ∠，SHE ∠分别为二面角S AC B --，S AB C --，S BC A --的平面角，由二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小相等及三角形全等，可得S 在底面射影为底面三角形ABC 的内心；利用等面积法求得底面内切圆的半径，设D 是AC 的中点，则D 是三角形ABC 的外心，由三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，得OD ⊥平面ABC ，可得//OD SE ，则M ，D ，E 共线，利用解析法求得DE ，设三棱锥S ABC -的外接球的半径为R ，即OC OA R ==，然后利用三角形相似列式求得R .解：解：如图，过S 作底面ABC 的垂线，垂足为E ，过E 分别作EF AC ⊥，EG AB ⊥，EH BC ⊥，连接SE ，SG ，SH ，由三垂线定理可得，SF AC ⊥， SG AB ⊥，SH BC ⊥，则SFE ∠，SGE ∠，SHE ∠分别为二面角S AC B --， S AB C --，S BC A --的平面角，二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小相等，可得SFE SGE SHE ∠=∠=∠，又直角边SE 为公共边，EF EG EH ∴==，S ∴在底面射影为底面三角形ABC 的内心；6AB =，8BC =，10AC =，222AB BC AC ∴+=，可得ABC 是以角B 为直角的直角三角形．由等面积法求得：11()22BC AB AB BC AC EF ⋅=++⨯，得2EF =， 设D 是AC 的中点，则D 是三角形ABC 的外心，三棱锥S ABC -的外接球球心为O ， 则OD ⊥平面ABC ，则//OD SE ，M ∴，D ，E 共线，在直角三角形ABC 中，分别以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 由(2,2)E ，(4,3)D ，得22(42)(32)5DE =-+-=．设三棱锥S ABC -的外接球的半径为R ，即OC OA R ==，若O 与S 在平面ABC 的同侧，由直角梯形SEDO 与直角三角形ODC 得：222255R R --=-，R 无解；若O 与S 在平面ABC 的异侧，则222525R R -+=-，解得41R =，故答案为：内心；41．点评：方法点睛：求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC 外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足534a a =+，且31a -是21a -和41a +的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 答案：（1）21n a n =-；（2）21nn +． 解题思路：（1）首先根据数列是等差数列，求出公差，再根据等比中项的定义，列式求通项公式； （2）由条件可知()()1112121n n n b a a n n +==-+，再利用裂项相消法求和. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为534a a =+，所以2d =． 又31a -是21a -和41a +的等比中项，有()()()2324111a a a -=-+． 即()()()2111317a a a +=++，得11a =．()1121n a a n d n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知6C π=，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→.（1）求A 的值；（2）若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点，且AD =ABC 的面积.答案：（1）6π；（2）解题思路：（1）根据题意，由//m n →→，利用平面向量共线的坐标运算，得出sin cos A B =-，且6C π=，进而得出1sin cos cos cos sin sin sin 2A B A C A C A A =-=-=-，即可求出sin A A =，结合三角形的内角，即可求出A 的值； （2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由三角形内角和可算出23B A B ππ=--=，在ABD △中，利用余弦定理求出x ，从而得出AB 和BC ，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积.解：解：（1）由题可知，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→， ∴()sin cos 10A B -⨯-=，即sin cos A B =-，∴()sin cos cos cos cos sin sin A B A C A C A C =-=+=-， 又6C π=，∴1sin cos cos sin sin sin 2A A C A C A A =-=-，即3sin cos 22A A =，∴sin 3A A =， 若cos 0A =，则sin 0A =，与22sin cos 1A A +=矛盾，∴cos 0A ≠，∴tan 3A =， 又A 为ABC 的内角，∴6A π=，∴A 的值为6π. （2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =， 由（1）得6A π=，且已知6C π=，则23B A B ππ=--=， 在ABD △中，根据余弦定理：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅， 得2222(21)(4)24cos 3x x x x π=+-⋅⋅⋅， 解得：1x =， ∴4AB BC ==， ∴112sin 44sin 43223ABC S BA BC B π=⋅⋅=⨯⨯⨯=△， ∴ABC 的面积为43.点评：本题考查平面向量共线的坐标运算和三角形的面积，通过余弦定理解三角形以及两角和与差的正弦公式的应用，考查化简运算能力.19．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAB △是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点．（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求PC 与平面POD 所成角的正弦值． 答案：（1）证明见解析；（2）105． 解题思路：（1）利用线面面面垂直的性质定理即可证明.（2）方法一：取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，以O 为原点，以OA ，OE ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面POD 一个法向量，根据s in ,s co PC n θ=即可求解；方法二：连接OC ，由（1）利用等体法求出C 到平面POD 的距离为h ，根据sin hPCθ=即可求解. 解：（1）PAB △是正三角形，O 为AB 中点，PO AB ∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ∴⊥平面ABCD .（2）方法一：取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，O 为AB 中点， ∴OE AB ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为原点， 以OA ，OE ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -．∵2AB =∴(3P ，()1,2,0C ，()0,0,0O，()1,2,0D -，∴(1,2,3PC =-，(3OP =，()1,2,0OD =- 设平面POD 法向量为(),,n x y z =则3020n OP z n OD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得()2,1,0n =． 410cos ,225PC n PC n PC n⋅===⨯设PC 与平面POD 所成角θ，则10sin 5θ=． 所以PC 与平面POD 所成角的正弦值为105． 方法二：连接OC ，在等边三角形PAB 中2AB =，所以3PO ．在直角三角形OBC 中1OB =，2BC =， 所以5=OC由（1）知PO ⊥平面ABCD ，所以POC △与POD 都是直角三角形，． 所以223522PC PO OC =++=POD S △11153522PO OD =⨯⨯=．设C 到平面POD 的距离为h 由C POD P OCD V V --=得1133POD OCD S h S PO ⨯⨯=⨯⨯△△， 即11512333h =⨯45h = 设PC 与平面POD 所成的角为θ则45105sin 22h PC θ===所以PC 与平面POD 10点评：思路点睛：解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20．2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：[)15,25，[)25,35，[)35,45，[)45,55，[]55,65，得到频率分布直方图如图所示，其中0.028a b -=．（1）求a ，b 的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）学校要在参加公益劳动总时间在[)35,45、[)45,55这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率． 答案：（1）0.042a =，0.014b =；平均数为40.2；（2）35． 解题思路：（1）根据矩形面积和为1，求,a b 的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.解：（1）依题意，()0.0050.0110.028101b a ++++⨯=，故0.056a b +=． 又因为0.028a b -=，所以0.042a =，0.014b =．所求平均数为200.11300.14400.42500.28600.0540.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）． 所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2．（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=．又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，分别记为a ，b ，c ，在[)45,55中抽取2人，分别记为M ，N ，则从5人中随机抽取2人的基本事件有(),a b ，(),a c ，(),a M ，(),a N ，(),b c ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，(),M N ．这2人来自不同组的基本事件有：(),a M ，(),a N ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，共6个，所以所求的概率63105P ==． 解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=．又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为2510C =． 这2人来自不同组的基本事件数为11326C C =． 所以所求的概率63105P ==． 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6，()4,0Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的左焦点1F 且与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，试问：直线QM 与直线QN 的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值：若不是，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）直线QM 与直线QN 的斜率的和不为定值． 解题思路：（1）由椭圆的定义可得12PF F △的周长为22a c +，再由离心率12c e a ==，即可求出a 、c ，最后根据222a c b -=求出b ，即可得解；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线l 的斜率k 存在时，设直线方程为(1)y k x =+，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，121244QM QN y yk k x x +=+--计算可得． 解：（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=． 又因为椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =， 联立解得2a =，1c =，所以b ==因此所求的椭圆方程为22143x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y当直线l 的斜率k 存在且不为零时，设直线方程为()1y k x =+．联立22143x y +=消去y 得()22223484120k x k x k +++-=．则2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+因为()()()()()()122112121214144444QM QN k x x k x x y yk k x x x x +-++-+=+=---- ()()12121212238416kx x k x x kx x x x -+-=-++222222228242483434041232163434k k k k k k k k k-+-++=⋅≠-++++ 当直线l 与x 轴垂直时，有0OM ON k k +=． 所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和不为定值． 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．已知函数()()ln 2f x x a x ⎛=-- ⎝⎭且4f =（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的解析式； （2）判断()f x 的单调性；（3）若()f x k =有两个不相等实根1x ，2x ，证明：12x x +>答案：（1）()()1ln f x x x ⎛=-- ⎝⎭；（2）函数()f x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减；（3）证明见解析．解题思路：（1）根据4f=求出a 的值即得解； （2）利用导数和二次求导求出函数的单调性；（3）构造函数()()()F x F x f x =-，(x ∈，得到()y F x =在(上单调递增，得到()()21f x f x <，即得解.解：（1）12f a ⎫=-=⎪⎝⎭⎝⎭1a =，所以函数解析式为()()1ln 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+()11ln ln 22f x x x x x x ⎛⎛⎫'=-+--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭设()ln g x x =，()1g x x'=-， 在()0,∞+上，()0g x '<恒成立所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减又0f '=，则在(上()0f x '>，在)+∞上()0f x '<．所以函数()f x 在(上单调递增，在)+∞上单调递．（3）构造函数()()()F x F x f x =-，(x ∈．所以()()()F x f x f x '''=+()ln ln22x x x =-+()lnx x ⎡⎤=-⎣⎦设()t x x =，当(x ∈时，()0,t e ∈． 设()ln e h t t t =-，且()210e h t t t'=--< 可知()h t 在()0,e 上单调递减，且()0h e =． 所以()0h t >在()0,t e ∈上恒成立即()0F x '>在(x ∈上恒成立所以()y F x =在(上单调递增．不妨设12x x <，由（2）知12x x <<()()()(1110F x f x f x Ff f =-<=-=即()()11f x f x <．因为()()12f x f x =，所以()()21f x f x <由（2）知()f x 在)+∞上单调递减得21x x >．所以12x x +>点评：方法点睛：若12,x x 是函数()f x 的两个零点，而0x x =是函数()f x 的极值点，证明1202x x x +<（或1202x x x +>），极值点偏移问题常用的解题步骤是：（1）构建函数0()()(2)h x f x f x x =--（移小不移大），（2）判断函数()h x 的单调性（一般利用复合函数的单调性求单调性）；（3）证明()0h x >（或()0h x <）即0()(2)f x f x x >-（或0()(2)f x f x x <-）；（4）利用函数()f x 的单调性证1202x x x +<（或1202x x x +>）.。
吉林省吉林市2021届新高考数学二模考试卷含解析
吉林省吉林市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】函数2x ay x +=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤，[][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B. 2．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.3．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数直接计算得到答案. 【详解】因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩所以2((1))(2)222f f f -==-=.故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力. 4．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（ ）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 【答案】A 【解析】 【分析】进行交集的运算即可． 【详解】{0A =，1，2，3}，{|22}B x x =-， {0AB ∴=，1，2}．本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112 B ．10102C ．10092D ．10082【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】 由（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=(122n ★)2018， 又2★2018=1，所以4★12018=2，6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，以此类推，2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=， 所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，，以此类推，2018◆202020192=，所以（2018◆2020）（2020★2018）10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 6．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．3B ．23C ．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：y考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π B ．86πC ．43πD ．12π【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ， 则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.10．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.11．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.3C ．0.24D ．0.36【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础． 12．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________． 【答案】36 【解析】 【分析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在1OO A ∆中，利用22211O A O O OA +=即可得到关于x 的方程，解方程即可解决. 【详解】由已知，2428R ππ=，解得7R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，直三棱柱的棱长为x ，则13O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得23x =2336x =.故答案为：36. 【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.14．函数()x f x ae =与()1g x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤ 【解析】 【分析】先求得与()g x 关于x 轴对称的函数()1h x x =+，将问题转化为()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，即方程e 1x a x =+有解.对a 分成0,0,0a a a =<>三种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】关于x 轴的对称点，所以()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，方程e 1x a x =+有解.0a =时符合题意.0a ≠时转化为1e (1)x x a =+有解，即ex y =，1(1)y x a =+的图象有交点，1(1)y x a=+是过定点(1,0)-的直线，其斜率为1a ，若0a <，则函数e x y =与1(1)y x a=+的图象必有交点，满足题意；若0a >，设e xy =，1(1)y x a =+相切时，切点的坐标为(),e m m ，则e 111e m m m a a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a ≥，即01a <≤时，e x y =，1(1)y x a=+的图象有交点，此时，2()e x f x a x =-与2()1h x x x =-++的图象有交点，函数2()e x f x a x =-与2()1g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤.故答案为：1a ≤ 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识. 15．函数1log 2y x =____.【答案】(0,1] 【解析】由题意得12{?log 0x x >≥，解得定义域为(]0,1．16．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______. 【答案】e【分析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2eM a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题． 三、解答题：共70分。
吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学试题及参考答案
吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条 形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合}06|{2>--=x x x A ,}|{N x x B ∈=,则()R C A B ⋂=A. }2,1{B. }2,1,0{C. }3,2,1{D. }3,2,1,0{2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数①|sin |x y =；②)32cos(π+=x y ；③x y 2tan =A. 0B. 1C. 2D. 33. 下列向量中不是单位向量的是A. )0,1(B. )1,1(C. )sin ,(cos ααD. )0|(|||≠a a a4. 为了得到函数)421cos(π+=x y 的图象,可将函数x y 21cos=的图象 A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位C. 向左平移2π个单位D. 向右平移2π个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴,则“角α的终边在第二、三象限”是“0cos <α”的★ 保 密A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 等差数列{}n a 中,5101530a a a ++=,则22162a a -的值为A ． 10-B.20-C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在区间),0[+∞是单调增函数,若)2()1(f a f <-,则实数a 的取值范围是 A. 31<<-a B. 1-<a 或3>a C. 13<<-aD. 3-<a 或1>a8. 《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正 方形面积之比为25:1,则)cos(βα-的值为 A. 2524B.1C.257D.09. 已知某函数的图象如图所示,则该函数的解析式可能是A. x e e y xx cos )11(+-= B. 222||--=x y xC. 2||2||+-=x y x D. x x y cos )1(2-=10. 某兴趣小组对函数)(x f 的性质进行研究,发现函数)(x f 是偶函数,在定义域R 上满足)1()1()1(f x f x f +-=+,且在区间]0,1[-为减函数.则)3(-f 与)25(-f 的关系为A.)25()3(-≥-f fB.)25()3(->-f f C.)25()3(-≤-f fD.)25()3(-<-f f11.设I 为ABC Δ的内心,延长线段AI 交线段BC 于点D ,若DB CD 3=,则=C B sin :sinA. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:912. 已知函数)2()(,1,1,ln )(f kx x g x xe x x x f x'+=⎩⎨⎧<≥=,对]3,3[,21-∈∃∈∀x R x ,使得)()(21x g x f ≥成立,则k 的取值范围是A. ]6131,(---∞eB. )6131[∞++，e C. ]6131,6131[+--e eD. ]6131,(---∞e ⋃)6131[∞++，e 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
吉林省吉林市普通中学2021届高三数学第二次调研测试(1月)试题 理
吉林省吉林市普通中学2021届高三数学第二次调研测试（1月）试题 理本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 集合{|212}P x N x =∈-<-<的子集的个数是A. 2B. 3C. 4D. 82. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是A. 数据中可能有异常值B. 这组数据是近似对称的C. 数据中可能有极端大的值D. 数据中众数可能和中位数相同4. “1cos 22α=-”是“,3k k Z παπ=+∈”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ：(0.675,0.989),-(1.102,0.010),-(2.899,1.024),(9.101,2.978),下列函数模型中拟合较好的是A. 3y x =B. 3xy =C. 2(1)y x =--D. 3log y x =6. 已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 5B. 1C. 5-D. 1-7. 已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为A. 1B. 2C.12D. 48. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是A. 直线EFB. 直线GHC. 直线EHD. 直线1A B9. 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积 术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂 乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长,,a b c 求三角形面积S，即S =若ABC ∆的面积22S a b ===，则c 等于 A. 5B. 9C.或3D. 5或910. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c . 点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是A.B.C.2D. 311.已知125ln ,log 2,a b c eπ-===，则 A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>12. 如图，在ABC ∆中，点,M N 分别为,CA CB的中点，若1AB CB ==，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC 等于A. 2B.C.23D.83二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学(文)试题(1)
一、单选题1. 对于正数，，抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，线段与两个抛物线的交点分别为，．若，，则的值为（ ）A ．6B．C ．7D．2. 已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-13. 若，则（ ）A．B ．1C．D ．24. 复数在复平面内对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知数列满足：.若正整数使得成立，则A ．16B ．17C ．18D ．196. 在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中错误的是（）A．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值B．若平面，则的最小值为C ．若的外心为，则为定值2D ．若，则点的轨迹长度为7. 已知直线经过点，那么直线的斜率是（ ）A．B．C ．1D ．28. 为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（）A ．70B．C．D ．60吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学（文）试题(1)吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学（文）试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．点坐标可以是D ．有最大值10. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）A．B ．切线：C．D．11.如图，在长方体中，，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则以下结论正确的为（）A ．平面B ．不存在点，使得平面C．点和点到平面的距离相等D ．直线与平面所成角的最大值为12. 已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ）A ．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为B．圆锥的高与母线长之比为C．圆锥的侧面积与底面积之比为3D ．球的体积与圆锥的体积之比为13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______.14.已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则______，的最小值为______.15.已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为____.16. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知.(1)求B ；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.17. 某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：良好及以优秀合计下男450200650女150100250合计600300900(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828其中，．18.已知函数，.(1)当时，求的单调区间；(2)若的两个极值点分别为，，求的取值范围.19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．20. 已知函数.(1)当时，求函数的单调区间与极值；(2)若，关于的不等式恒成立，求的最小值.21. 足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”.在省时省心的同时，线上买菜也面临着质量不佳、物流滞后等问题.“指尖”上的菜篮子该如何守护“舌尖”上的幸福感？某手机APP（应用程序）公司为了解这款APP使用者的满意度，对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查”活动，邀请每位使用者填写一份满意度测评表（满分100分）.该公司最后共收回1100份测评表，随机抽取了100份作为样本，得到如下数据：（1）从表中数据估计，收回的测评表中，评分不小于80分的女性人数；（2）该公司根据经验，对此APP使用者划分“用户类型”：评分不小于80分的为“A类用户”，评分小于80分的为“B类用户（i）请根据100个样本数据，完成下面列联表：（ⅱ）根据列联表判断能否有95%的把握认为“用户类型”与性别有关？附：K2。
吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试(期中) 数学(理)含答案
目要求。
1. 已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 下列函数中最小正周期为的函数的个数
①
；②
；③
A. 0
B. 1
3. 下列向量中不是单位向量的是
A.
C. 2 B.
D. 3
C.
D.
4. 为了得到函数 A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位
所以
是首项为 ，公比 的等比数列.......................................8 分
所以
18【解析】 （1）由题得，
...........................10 分
7
……………………………………………………4 分
令
，得
所以，函数 的对称中心为
…………………………………6 分
（2）由（1）知
，因为
则 两点间的最小距离为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
数列 前项和为 且
，
（I）求 （II）求
的通项公式； 值.
3
18．（本小题满分 12 分）
已知函数
，
（I）求函数
的对称中心；
（II）若存在
，使不等式
， 成立，求实数的取值范围.
19．（本小题满分 12 分）
在
中，
分别是内⻆
的对边，
，
（I） 求⻆的大小；
（II）若
，且
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吉林省吉林市普通中学2021届高三数学第二次调研测试（1月）试
题 理
本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求。
1. 集合{|212}P x N x =∈-<-<的子集的个数是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是
A. 数据中可能有异常值
B. 这组数据是近似对称的
C. 数据中可能有极端大的值
D. 数据中众数可能和中位数相同
4. “1cos 22α=-
”是“,3
k k Z π
απ=+∈”的 A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ：(0.675,0.989),-
(1.102,0.010),-(2.899,1.024),(9.101,2.978),下列函数模型中拟合较好的是
A. 3y x =
B. 3x
y =
C. 2(1)y x =--
D. 3log y x =
6. 已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最小值为
A. 5
B. 1
C. 5-
D. 1-
7. 已知圆22670x y x +--=与抛物线2
2(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为
A. 1
B. 2
C.
1
2
D. 4
8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为
所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是
A. 直线EF
B. 直线GH
C. 直线EH
D. 直线1A B
9. 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积 术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂 乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三
边长,,a b c 求三角形面积S
，即S =若ABC ∆的面积
22
S a b =
==，则c 等于 A. 5
B. 9
C.
或3
D. 5或9
10. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦距为2c . 点A 为双曲线C 的右
顶点，
若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为1
2
c ，则双曲线C 的离心率是
A.
B.
C.
2
D. 3
11.
已知12
5ln ,log 2,a b c e
π-===，则 A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. c a b >>
12. 如图，在ABC ∆中，点,M N 分别为,CA CB
的中点，若1AB CB ==，且
满足
22
3AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC 等于
A. 2
B.
C.
23
D.
8
3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案填在答题卡中相应位置。
13. 在空间直角坐标系O xyz -
中，(0,3,0),(0,0,5),A B C D ，则
四面
体ABCD 的外接球的体积为__________.
14. 直线20(0,0)mx ny m n +-=>>过圆22
:2210C x y x y +---=的圆心，则
24
m n
+的最小值是__________. 15. 若函数1
()sin(2)6
2
f x x π
ω=+
-
在区间[0,]π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取
值范围是__________.
16. 关于函数()ln(2)ln(4)f x x x =+--有下列四个命题：
①函数()y f x =在(2,4)-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于(1,0)中心对称； ③不存在斜率小于
2
3
且与数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有__________. （写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =， 且223,2,a S a 成等差数列.
A
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求222222
2212345699100b b b b b b b b -+-+-+
+-的
值.
18. （12分）如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC
， 且90,30,1,ACB BAC BC AA '∠=︒∠=︒==
M 是棱CC '的中点.
（1）证明：AB A M ''⊥；
（2）求二面角A MB A ''--的余弦值.
19. （12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
2
A π
≠
,且满足sin220cos()0bc A B C ++=.
（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若2
4,a S =求
c b
b c
+的最大值. 20. （12分）为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域. 现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ；
（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；
（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为,,a b c ，其中0,100,50a a b c >+==，当,,a b c 的方差2s 最大时，求,a b 的值，并求出此时方差2s 的值.
21. （12分）设函数()ln 1)f x x a =-.
（1）若函数()y f x =在(1,)+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围； （2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 22. （12分）已知(2,0),(2,0)A B -，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34
-，设点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直
M
A
B
C
A
B
C
线与4x 相交于点T ，求
||
||
TF MN 的最小值及此时直线l 的方程.。